数学建模 费用分担问题

数学建模一周论文论文题目：费用分担问题

姓名1：林成贵学号：1030110304

姓名2：杨立学号：1030110320

姓名3：吕全标学号：1030110217

专业：资源勘查工程

班级：10级资勘三班

指导教师：刘胜兰

2011年12月28日

摘要

随着经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而水资源更是关系着每个居民的日常生活，污水必须经过处理方能排入河中。因此对于污水处理这一特殊的问题我们在解决时就应该本着高效的原则去实施。在这个污水处理问题中，我们分情况讨论，先分五种情况，第一种情况是每个城镇都建立一个污水处理厂，第二种情况是三个城镇建立两个污水处理厂，第三种情况是三个城镇建立一个污水处理厂。然后还要讨论污水处理厂的选址问题，而且还要合理分担配每个城镇的费用。为了节省开支，我们要选一种开支最小的可行方案。将该方案应用到实际问题中从而解决了实际生活问题。

对该问题进行全面的分析后可知，这是一个运筹学方面关于费用分担问题。在该问题中，我们按最原始的分情况讨论方法解该题，然后综合考虑费用最小，最后在结合三个城镇各自的情况后合理的分配各城镇的费用。

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一、问题的提出

有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输

送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。

用Q 表示污水量，单位为米3/秒，L 表示管道长度，单位为公里，则有经验公式：

0.712

0.51

C1=730Q ( C2=6.6Q

L 建厂费用万元）

管道费用（万元）

已知三城镇的污水量分别为：Q1=5立方米/秒，

Q2=3立方米/秒，Q3=5立方米/秒， 问：

三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？

二、模型的假设

1、我们再假设污水只能由上游往下游。

2、假设所有管道都是直的，而且足够大。

3、所有污水处理厂紧靠河边。

三、问题的分析

通过对此问题的研究可知，如何最经济的解决污水处理问题，从而使个城镇负担的费用最少是我们最终需要达到目的。由于单独建厂费用与修建管道联合建厂的费用都是随着污水量多少和需要修建的管道的长度而异的。所以设计时既要考虑污水量的多少的情况问题，又要考虑到管道修建的长度问题，而且还要考虑污水处理厂的选址问题。 具体问题分析步骤如下：

(1)列出各种污水处理方案，并计算各种方案的总投资；

(2)从节约总投资的角度出发，三城镇应在城镇3联合建厂，说明理由；

(3)如果联合建厂，对于各城镇如何分担污水处理费用有下面的建议：联合建厂费按污水量之比分担,管道费用根据谁用谁投资的原则，如果联合使用则按污水量之比分担。分别计算在上述建议下，各城镇分担的费用。

(4)你认为一个合理的建议应该满足那些关系(设分担费用分别为),考虑这些关系，

并考虑城镇2所处的相对有利的地理位置，给出一组

解答如下：

1、三城镇污水处理共有以下五种方案：

（1）三城镇各建一个污水处理厂

投资分别为

C1=2300万元，

C(2)=1600万元,

C(3)=2300万元

总投资为D(1)=C(1)+C(2)+C(3)=6200万元；

（2）城镇1,2合作,在城镇2建一个污水处理厂，在城镇3建一个厂

投资分别为

C(1,2)=3500万元，

C(3)=2300万元

总投资为D(2)＝C(1,2)+C(3)=5800万元；

（3）城镇2,3合作，在城镇3建一个污水处理厂，在城镇1建一个厂

投资分别为

C(2,3)=3650万元，

C(1)=2300万元

总投资为D(3)＝C(1)＋C(2,3)=5950万元；

（4）城镇1,3合作，在城镇3建一个污水处理厂，在城镇2建一个厂

投资分别为

C(1,3)=4630 万元，

C(2)=1600万元

总投资为D（4）=C（1,3）+C（2）=6230万元。这个费用已超过了城镇1，3分别建厂的费用，所以不可取。

（5)三城镇合作，在城镇3建一个污水处理厂

投资分别为

C（1,2,3）=5558万元

总投资为D(5)=5558万元。

2、对于上述五种方案，比较结果以D(5)＝5558(万元)最小，所以从节约总投资的角度出发，应该在城镇3联合建一个污水处理厂。

3、由以上五种方案可知，经过计算，城镇1,2,3分担的费用分别为2500(万元)，1320(万元)，1740(万元) ，城镇1 分担的费用比单独建厂的费用（Xn）还大，显然不合理。所以各城镇分担的费用应满足下列关系：

X1≤2300万元，

X2≤1600万元，

X3≤2300 万元，

X1+X2≤3508万元，

X2+X3≤3650万元,

X1+X3≤4240万元。

4、对步骤1进一步分析，即我们应该让三城镇合作，共建一个污水处理厂，接下来的问题是怎样分配每个城镇的费用。

该方案的总费用包括城镇1至城镇2的管道费用C(1→2)、城镇2至城镇的

管道费用C(2→3)和在城镇3建废水处理厂的费用C（3）（城镇2至城镇3的污水量包括城镇1至城镇2的污水量，因为该方案中城镇2没有污水处理厂）。

C（1→2）=300万元

C（2→3）=724万元

C(3)=4534万元

四、符号设定

N：表示城镇

C1：建厂费用

C2:管道费用

Q：污水量

L：管道长度

D：总投资

d：分担费用

特征函数符号：

V（Φ）

Φ（v）

V（s）

W(|s|)

五、模型的建立

V(Φ) V(1)=V(2)=V(3)

V(1∪2)=C(1)+C(2)-C(1,2)

V(2∪3)=C(2)+C(3)-C(2,3)

V(1∪3)

V(N)=C(1)+C(2)+C(3)-C(1,2,3)

六、模型的求解[1]

下面的问题是如何分担费用D1

总费用D1有三部分

联合建厂费d1=730·(5+3+5)0.712=4530（万元）

城1至城二的管道费用d2=6.6·50.51·20=300（万元）

城二至城三的管道费用d3=6.6·（5+3）0.51·38=730（万元）

城三提出，d1由三城污水比例5: 3：5分担，d2,d3是为城1,2铺设的管道费，应由他们负责，城二同意，并提出d3由城1,2按污水量之比5:3分担。d2则应由城一自己负担，城一提不出反对意见，但他们计算了一下按上述方法各城应分担的费用为