自旋算符与Pauli矩阵
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
, z 0 (G 0) 中运动。 五、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0 (1) 用变分法求基态能量，则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一 个？为什么？
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学(第八章自旋)
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
量子力学
模拟试题Planck的量子假说揭示了微观粒子_____特性，Einstein的光量子假说揭示了光的_____性。
Bohr的氢原子理论解决了经典电磁理论和原子的_____之间的矛盾，解决了原子_____起源问题。
Planck的量子假说揭示了微观粒子特性，Einstein的光量子假说揭示了光的性。
量子力学中表示力学量的算符必须是算符，以保证它的本征值为。
对于一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是当中的某一个，测量结果一般说来是不确定的，除非体系处于,测量结果的不确定性来源于。
两个力学的第一个惊人之举即引入了概念，以概率的特征全面描述微观粒子的运动状态。
它一般具有、、的标准条件厄米算符的性质之一为，其本征值为, 其本征函数组成。
坐标和动量满足的对易关系式为，它们满足的测不准关系式为。
微观粒子的决定其运动状态遵从概率性统计规律。
两个力学量算符对易是两个力学量同时具有确定值的条件。
两个力学量同时具有确定值的条件是两个力学量算符 。
坐标和动量满足的对易关系式为 ，它们满足的测不准关系式为 。
写出含时间的薛定谔方程表达式。
在z S ˆ表象中写出z y x S S S ˆ,ˆ,ˆ的矩阵表示 试述量子力学的态叠加原理。
写出力学量算符∧F 的本征方程。
写出德布罗意关系式.写出两电子自旋单态和三重态的波函数。
写出力学量算符∧F 的本征方程.写出偶极跃迁中角动量量子数和磁量子数的选择定则。
写出泡利矩阵),,(z y x σσσ的表达式。
对易关系式[]?,=y x p L1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
第八章 自旋 8.1-8.4
（11）
此方程组有非平庸解的条件是
1 1 1 1 0
（12）
解得λ= 0，2.
代入式（11），得
c1 / c2 1, 0 c1 / c2 1, 2
再利用归一化条件，可求出 s2 的归一化本征态为 1 2 a 1 2 1 a 2 , 0 （13） 1 a 1 2 1 a 2 , 2
第八章 自旋
大量实验事实证明，认为电子仅有三个 自由度并不是完全正确的。还存在一个新的
自由度—自旋，它是粒子固有的 。
1 电子自旋存在的实验依据
(a)碱金属光谱的双线结构
G.E.Uhlenbeck与 S.A.Goudsmit 提出 了电子自旋的假设。
(b)反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect）
式中|a|2与|b|2分别代表电子 sz=±/2 的概率， 归一化条件表示为 2 2 a a b a b 1 （5） b
特例：sz=±/2 的本征态 1/ 2 s z 常简记为 a 和β，即
1 a 1/ 2 ( sz ) , 0 0 1/ 2 ( sz ) 1
（6）
a 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一
般自旋态可以展开为
a sz aa b b
（7）
波函数表示为
(r , sz ) r , / 2 a r , / 2 （8）
8.1.2 电子自旋算符，Pauli矩阵
（15）
式（15）与（13）归纳为
a a i a
（16）
自旋算子分量的矩阵表示
自旋算子分量的矩阵表示1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍自旋算子分量的矩阵表示的背景与重要性。
自旋算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了粒子的自旋性质以及与其相关的物理量。
自旋算子有助于我们理解微观粒子的行为规律，并在量子信息处理、核磁共振等领域得到广泛应用。
自旋算子的矩阵表示是一种常见的描述方式。
通过使用矩阵形式，我们可以更直观地理解自旋算子在量子系统中的作用，以及它们如何与其他物理量发生相互作用。
熟悉自旋算子的矩阵表示有助于我们推导粒子的自旋态、相互作用哈密顿量等相关物理量，并进行相关计算。
在本文中，我们将首先介绍自旋算子的定义与性质，包括自旋角动量、自旋态以及自旋算子的代数性质。
然后，我们将重点讨论自旋算子的矩阵表示。
通过引入一种常用的表示方法，即由泡利矩阵组成的基矢表象，我们将详细阐述自旋算子在该表示下的矩阵形式。
我们将探讨如何利用基矢表象下的矩阵表示求解自旋算子分量的本征值和本征态，并将其应用于具体问题。
最后，通过总结本文的研究内容与结论，我们可以进一步认识到自旋算子分量的矩阵表示对于理解微观粒子行为的重要性，并对未来的研究方向进行展望。
本文旨在为读者提供一个清晰的自旋算子矩阵表示的概念框架，并希望能够激发更多的研究兴趣和深入探讨。
1.2文章结构文章结构部分的内容应包含以下内容：在本部分中，我们将介绍本篇文章的整体结构和各个部分的主要内容。
首先，文章的第一部分是引言部分。
引言部分包含了概述、文章结构和目的三个小节。
1.1 概述部分将对本文所要讨论的主题进行简要的介绍。
我们将对自旋算子分量的矩阵表示进行说明，并提出相关的问题和挑战。
1.2 文章结构部分将详细说明整个文章的结构安排和内容组织。
我们将介绍文章的目录以及各个部分的主要内容和章节划分。
1.3 目的部分将明确本文的研究目标和意义。
我们将阐述为何研究自旋算子分量的矩阵表示对于解决相关问题和推动学科发展具有重要意义。
接下来，文章的第二部分是正文部分。
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-自旋(圣才出品)
上式中任何一式的左侧的 3 个二体自旋算符中任何两个都构成 2 电子体系的一组 CSCO．例如，{σ1x,σ2x,σ1y,σ2y）的共同本征态，列于表 8．2 中[采用（σ1z,σ2z）表象]，
这就是著名的 Bell 基． 表 8.2 Bell 基
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对于 j = l −1/ 2(l 0) ，
（1）
（2）方程的解以及光谱双线粗细结构原因
（2）
电子能量本征值与量子数
都有关，记为 ，是（2j＋1）重简并．可以得出
即 j = l +1/ 2 能级略高于 j = l −1/ 2(l 0) 能级．但由于自旋轨道耦合很小，这两条能级 很靠近．这就是造成光谱双线粗细结构的原因．
本征态 SM 可以表示为
以它们为基矢的表象，称为角动量耦合（coupling）表象．
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（4）分离态与纠缠态
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由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能够表示为每个粒子的量子态的乘积，则
称为可分离态（separablestate）．反之，为纠缠态（entangled state）．例如，（S1z ，
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2．反常 Zeeman 效应 考虑磁场后能量本征值为
（3） 与 则是求解径向方程（1）和（2）得出的本征函数和本征值．当无外磁场 时（B＝0），能级 是（2j＋1）重简并．当加上外磁场时，如式（3）所示，能级 将依赖于磁量子数 mj，一般说来， 能级分裂为（2j＋1）条．（2j＋1）为偶数，这就 造成了反常 Zeeman 分裂现象．
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第七章自旋与全同粒子1
（一）自旋角动量
轨道角动量 r ˆ L r r r ˆ ˆ ˆ L × L = ih L ˆ ˆ ˆ [ L x , L y ] = ih L z ˆ ˆ ˆ [ L y , L z ] = ih L ˆ ˆ ˆ [ L z , L x ] = ih L
x y
自旋角动量 r ˆ S r r r ˆ ˆ ˆ S × S = ih S ˆ [S ˆ ˆ , S y ] = ih S ˆ ] = ih S
h 2 h 2
,t) ,t)
写成列矩阵
r ψ 1 ( r , t ) Φ= r ψ ( r , t ) 2
若已知电子处于S 若已知电子处于 Sz = h/2 或 Sz = -h/2 的自旋态，则波函数可分别写为： 的自旋态，则波函数可分别写为： r 0 ψ 1 ( r , t ) Φ1 = Φ−1 = r 2 2 0 ψ 2 ( r , t )
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
r r 设原子磁矩为 M，外磁场为 B， 则原子在 Z 向外场 v B 中的势能为： 中的势能为：
r v U = − M • B = − MB z cos θ
原子 Z 向受力
磁矩与磁 场之夹角
∂Bz ∂U Fz = − cos θ =M ∂z ∂z
分析
若原子磁矩可任意取向， +1） 若原子磁矩可任意取向，则 cos θ 可在 （-1，+1） 之间连续变化， 之间连续变化，感光板将呈现连续带
最后得 SZ 的 矩阵形式
h 1 0 Sz = 2 0 − 1
是对角矩阵， SZ 是对角矩阵，对角矩阵 元是其本征值± /2。 元是其本征值±h/2。
（2）Pauli 算符
高量8-角动量表象
N z2 1 N N
7
2. 方向算符 N 与轨道角动量算符 L 之间的关系
利用公式
[ Li , N j ] i ijk N k
k
很容易得出[ L , z , N , z ] 的相关对易关系：
[ L , N ] 0, [ L , N ] 2N z [ Lz , N ] N [ L , N ] 2N z , [ L , N ] 0 [ Lz , N ] N [ L , N z ] N , [ L , N z ] N [ Lz , N z ] 0
n 1 n
13
L nL N N L nLn N N Ln (n 1)L(n1)1 N
n 1
n
[ L , N ] 0
即当k=n+1时也成立。 （3）综合（1）（2），原式对任何正整数k 都成立，即
[ L , z , N , z ]的相关对易关系，容易证明
[ L , N ] 2 ( N Lz N z L ) 2 N
2 2
[ Lz , N ] N
9
[ L , N ] 2 ( N Lz N z L ) 2 N
2 2
[ Lz , N ] N
以上两式两边作用到|ll>上，有
2 2
注意：L | ll ?
2
L N | ll l (l 1) N | ll 2lN | ll 2 N | ll Lz N | ll lN | ll N | ll
i ijk Lk i ijk Sk
k k
i ijk ( Lk Sk ) i ijk J k
《量子力学》教学大纲
《量子力学》课程教学大纲一、课程基本信息英文名称 Quantum Mechanics 课程代码 PHYS3004课程性质 专业必修课程 授课对象 物理学学 分 4学分 学 时 72学时主讲教师 修订日期 2021.9指定教材 曾谨言，《量子力学教程》，科学出版社，2000年二、课程目标（一）总体目标：本课程的知识目标：了解量子力学的实验基础和发展史、应用和前沿，及其对现代科学技术的支撑作用；系统掌握量子力学的基本概念、基本原理及处理量子系统实际问题的计算方法。
能力目标：掌握微观体系的物理研究方法和前沿进展，提高解决交叉学科领域量子问题的能力，锤炼科学思维能力和科研创新能力。
素质目标：掌握辩证唯物主义基本原理，建立科学的世界观和方法论；富有科学精神，勇于在物理学前沿及交叉领域探索、创新与攀登。
（二）课程目标：课程目标1：了解量子力学的发展简史，量子力学理论发展中的著名物理实验及其地位和作用；了解量子力学的诠释及适用范围；了解量子力学实验和理论研究的前沿进展和应用前景；使学生认识到量子力学理论在现代科学研究领域的重要性，掌握辩证唯物主义基本原理，建立科学的世界观和方法论。
课程目标2：掌握量子力学基本原理和基本计算方法，学会运用量子力学理论对一维定态若干问题，以及中心力场氢原子等问题的分析和处理；训练学生运用理论公式求解并分析量子系统的能力，培养和提高学生的抽象思维能力和解决交叉学科领域量子问题的能力。
课程目标3：掌握定态微扰论的近似计算方法，掌握利用含时微扰理论处理近代物理实验量子跃迁等的方法，掌握自旋及全同粒子体系的处理方法；培养和提高学生对非精确求解、自旋纠缠态等复杂系统的求解能力，掌握对近似解的误差分析和数据处理等基本技能，锤炼科学思维能力和科研创新能力。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系表1：课程目标与课程内容、毕业要求的对应关系表课程目标对应课程内容对应毕业要求课程目标1 第一章 波函数和薛定谔方程第四章 中心力场第六章 自旋与全同粒子第七章 微扰论与量子跃迁毕业要求3：了解物理学前沿和发展动态，新技术中的物理思想，熟悉物理学新发现、新理论、新技术对社会的影响。
SU(2)群和SU(3)群及其在物理中的应用
[X
µ
, X υ ] = ai ∑ f µυ X k
k
f µυ = c µυk / 2i c µυ k 为群的结构
将 X i 化为李代数的产生元
则有
1 0 0 1 H1 = 0 −1 0 6 0 0 0 0 1 0 1 E1 = 0 0 0 3 0 0 0
3
0 − i σy = i 0
1 0 σz = 0 − 1
这便从 SU(2)群的角度揭示了电子自旋的 Pauli
这就是 Pauli 提出的 Pauli 矩阵 矩阵的生成
σ y 和 σz 之间又对易关系
[σ , σ ] = −2iσ
1 2
[σ , σ ] = −2iσ
即
分别对应本征值 ±
1 α = χ1 / 2 (s z ) = 0
0 β = χ−1 / 2 (s z ) = 1
即 χ(s z ) = aα + bβ 则 α 和 β 电子自
则一般的电子自旋可以用 α 和 β 来展开 旋空间中的两个基
在电子自旋空间中基的变换形成一个 SU(2)群
0 1 σ1 = 1 0
3
0 i σ2 = − i 0
1 0 σ3 = 0 − 1
SU(3)的无穷小产生子为
ＳＵ（３）群的无穷小产生子 和 SU(2)群的无穷产生子的产生方式相同
0 1 0 X1 = − 1 0 0 0 0 0 i 0 0 X4 = 0 0 0 0 0 − i 0 0 0 X7 = 0 i 0 0 0 −i
a12 | det( a ) = 1 , a ∈ U ( 2 ), a ∈ C ij a22 a12 a22 a32 a13 a 23 | det( a ) = 1, a ∈ U (3), a ij ∈ C a 33
电子自旋角动量
θe -iϕ ⎞ ⎛ a ⎞ sin sinθ ⎛a⎞ ⎟⎜ ⎟ = ±⎜ ⎟ -cos θ ⎠⎝b⎠ -cosθ ⎝b⎠
�
解出 a 和 b 即得相应于本征值 ±1 的本征态 χ ( ± ) ( n ) 为
⎧ θ⎞ ⎛ -iϕ 2 ⎪ ( + ) � ⎜ e cos 2 ⎟ ⎪ χ ( n) = ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ e iϕ 2 sin θ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ 2⎠ ⎨ ⎛ -iϕ 2 θ ⎞ ⎪ -e sin ⎟ ⎪ ( -) � ⎜ 2 ⎟ ⎪ χ ( n) = ⎜ θ iϕ 2 ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ e cos ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎩
Si =
ℏ 2 ℏ σi , 2 (i = x, y, z )
(7.5)
这里已经抽出 Si 的绝对数值 ，所以 σ i 的本征值只能为 ± 1 ，就是说，
σ i 为自逆矩阵。将 σ i 代入对易规则（7.4）式，就得到决定它们的下
列关系，
⎧ σ i , σ j = 2iε ijk σ k ⎨ 2 σi =σ0 ⎩
t Goudsmit 针对以上难以解释的实验现象，1925 年 Uhlenbeck 和 Goudsmi
提出假设：电子在旋转着，因而表现出称之为自旋的内禀角动量 s , 它
ℏ 2 � � 假定电子存在一个内禀磁矩 μ 并且和自旋角动量 s 之间的关系为（电 �
在任意方向的取值只能有 ± 两个数值。为使这个假设与实验一致，
子电荷为 -e ）
e � � μ= s μc
（7.1）
这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电子便具有
� 了 m,e, s, μ 共四个内禀的物理量。 根据实验事实用外加的方式引入电子 �
自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本身 的一些精细结构，以及在外场下的多重分裂现象，也都得到了很好的 解释。 然而， 认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即 遭到否定。假设电子半径为 re ，作为定性的估算可以合理地假定
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【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
量子力学-自旋与全同粒子
自旋量子数 s 只有一个数值1/2 只有一个数值1
HUST
Applied Physics
12
3、自旋算符的形式及其本征态 、
Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 Sˆ × Sˆ = i ℏ Sˆ S S 不对易， 定值。 所以， 定值 。 所以 ， 只能用某一方向的分量 来反映自旋的特点。一般用S 来反映自旋的特点 。一般用Sz ， 即建 [ Sˆ x , Sˆ y ] = i ℏ Sˆ z 表象（或称S 的共同表象） 立Sz 表象 （ 或称 S 2和 Sz 的共同表象） ， [ Sˆ y , Sˆ z ] = i ℏ Sˆ x 表象研究电子的运动状态 研究电子的运动状态。 在Sz 表象研究电子的运动状态。 （1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式 ）自旋算符S S
3s
3S1/2
5
二、自旋假设的提出
Uhlenbeck 和 Goudsmit在1925年，根据上述现象提出，电 在 年 根据上述现象提出， 自旋。 没有经典对应， 子具有一种特殊的运动——自旋。 该运动方式没有经典对应， 子具有一种特殊的运动 自旋 该运动方式没有经典对应 不能用经典运动来解释（与自转有本质区别） 不能用经典运动来解释 （ 与自转有本质区别）。 这就是电子的 自旋假设： 自旋假设： 自旋角动量， （ 1） 电子具有 自旋角动量 ， 它在空间 ） 电子具有自旋角动量 任何方向上的投影只能取两个值： 上的投影只能取两个值 任何方向上的投影只能取两个值： 自旋磁矩， （ 2） 电子具有 自旋磁矩 ， 它与自旋角 ） 电子具有自旋磁矩 动量的关系为： 动量的关系为：
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ， 中的势能为： 原子在 Z 向外磁场 B 中的势能为：
电子的自旋
ˆ 描写，它无经典对 ③ 自旋角动量用自旋算符 s 应，因为不能写成坐标和动量的函数。
那么，电子的自旋算符该如何表示？计及自
旋后，电子的态函数又该如何表示？
§2 电子的自旋态和自旋算符
（一）电子自旋态的描述
考虑自旋后，电子的波函数写为二分量形式：
(r , 2 ) ( r , sz ) ( r , ) 2 第4个变量
【量子计算机中的基本概念 】 比特和昆比特
传统计算机的基本单元是一个用固体设备（晶 体管）代表的二进制数字位（bit，比特）0或者1。 晶体管关闭（输出电压为0V）代表了二进制数0， 晶体管打开（输出电压为5V）代表了二进制数1。 在任意时刻，一个存储器位只能存储和处理一个数 字0或1，不能同时存储和处理0和1。
归一化条件
d 1
共轭态
(r , ) 2 1 * ( r , ) * ( r , ) d 2 2 ( r , ) 2
* ( r , ) * ( r , ) 2 2
(sz ) 2
自旋向上的态 — (4)
(5)
ˆz 1 2 ( r , sz ) 1 2 ( r , sz ) s 2
本征值-ħ/2（自旋向下），本征函数-1/2。
0 , 1 ( r , sz ) ( r , ) 2 2
令
(sz ) 自旋向下的态 2
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值：
e z B 2m
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中，原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动，即自旋磁矩，它在 z 向投影有2个 值，所以观察到2条个分立线。
电子自旋和自旋波函数
电子自旋和自旋波函数摘要：运用利力学量算符和波函数的矩阵表示，在Sz表象中讨论了电子自旋算符及其波函数的构造，找出并证明了一些性质。
同时对比轨道角动量和自旋角动量就自旋的本质提出新的问题关键词：自旋；Sz表象；角动量自旋是量子力学的特有概念，量子力学是随着物理学的发展为了解释微观领域的实验现象，在许多物理学家的共同努力下建立并逐渐完善起来的。
其确立促进了实验工作的发展，特别在原子光谱的实验中，先后发现了光谱的精细结构和反常Zeeman效应。
如在碱金属钠原子光谱中，起初看到有一条波长为589.3nm的黄线，由于光谱仪的分辨率的提高，后来发现它是两条谱线构成的。
它的波长分别喂589.6nm和589.0nm，此即所谓碱金属光谱的双线结构。
另外，在弱磁场中，一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常Zeeman效应。
原有的量子理论已经无法解释这些新的物理现象。
1925年，为了解释，Uhlenbeck和Goudsimt提出了电子具有自旋的假设，稍后由Pauli加以完善。
除上述实验现象外，Stern—Gerlach实验也是电子自旋±±的客观存在的重要实验依据，电子具有自旋就像电子具有的质量和电荷一样，电子的自旋也是表征电子固有属性的物理量，自宣德存在，这标志电子又有了一个新的自由度[1]依据实验事实得出：每个电子都具有自旋S，它在任意方向上得投影只能取两个值S z=±/2[2]1.1 电子自旋算符和自旋波函数在量子力学中，微观粒子的力学量用算符表示，由于自旋具有角动量的特征和量纲，运用角动量算符的普遍定义我们通过运用角动量算符的普遍定义A×A=一ihA 写出电子自旋角动量算符的定义S×S=ih S其分量式为：[Sx，Sy ]=ihSz：[Sy ，Sz ]=ihSx[Sz ，Sx ]==ihSy ． (1)根据角动量空间量子化的性质，设电子自旋量子数为s，则电子的自旋角动量沿空间特定方向的分量个2s+1=2(s=1/2)，因而S2算符的本征值为S2=s（s+1）h 2=3h2/4算符的本征值为Sz=ms h（ms=±1/2）(力学量算符的本征值就是实验中的观值)．任何电子都有相同的自旋角动量，引入无量纲的矢量算符σ（泡利算符）在σz 表象中：σx =0110⎛⎫⎪⎝⎭ σy = 00i i -⎛⎫ ⎪⎝⎭σz =1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 泡利算符是用自旋算符S =h/2σ来定义的，显然泡利算符与自旋算符只相差一个常数h/2，它是一个无量纲的算符,在σz 表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为：S x =h/20110⎛⎫ ⎪⎝⎭ S y = h/200i i -⎛⎫⎪⎝⎭S z = h/21001⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (2) S z 在自身表象中为对角矩阵，对角矩阵元即为其本征值±h/2，S x ，S y ，S z 的本征值均为±h/2。
12.14自旋(续)+轨道角度量+本征值+矩阵元+表示
JzJ+|a, b = (J+Jz + ¯hJ+)|a, b = (b + ¯h)J+|a, b
(27)
这说明只要b = k, 那么J+|a, b 是Jz的本征值为b + ¯h的本征态; 只要b + ¯h = k, 那么b + 2¯h也是一个Jz的一个本征值; 只要b + 2¯h = k, 那么b + 3h¯也是一个Jz的一个本征值,...等等. 这样我们得到了一些列的本征值b, b + h¯, b + 2¯h, · · ·. 然 而, 我们已经证明了任何Jz的本征值都必须满足−k ≤ b ≤ k, 因此其必以b = k结束. 总结之, 有
累
一
个
相
因
子e±i
ωT 2
,
其中T 是经过磁
场区域的时间,
ω
=
gn eB mp c
为中子的自旋进动频率.
当两束中子在干涉区域会合时,
便会由于相位差的出现而发生干涉.
幺正幺模群SU (n)
我们知道e−i
σ·nˆ 2
φ
可写为
e = −i
σ·nˆ 2
φ
cos
φ 2
−
inz
sin
φ 2
(−inx
−
ny
)
sin
√
√
− a≤b≤ a
(33)
因此b的可能值有一个上限, 记为bmax; 同时又一个下限, 记为bmin, 满足
√
√
bmax ≤ a and bmax + ¯h > a