三角形相似的判定SAS
相似三角形的判定(SSS和SAS)课件
其他领域的应用
物理学中的应用
01
在物理学中，相似三角形可以用来解决一些与距离、高度和角
度相关的问题，如光的折射、反射等。
工程学中的应用
02
在工程学中，相似三角形可以用来解决一些与测量、设计和施
工相关的问题，如建筑设计、道路规划等。
若两个三角形相似，则它们的面 积比等于相似比的平方。
面积于计算相似三角形的面积。
在实际应用中，可以通过测量两 个三角形的面积和相似比来计算
其中一个三角形的面积。
05
相似三角形的应用举例
测量问题中的应用
利用相似三角形测量高度
通过构造相似三角形，利用已知边长和角度，可以计算出目 标物体的高度。
相似三角形的判定 (SSS和SAS)课件
目录
• 引言 • SSS判定方法 • SAS判定方法 • 相似三角形的性质与定理 • 相似三角形的应用举例 • 总结与展望
01
引言
相似三角形的定义
对应角相等，对应边 成比例的两个三角形 叫做相似三角形。
相似三角形对应边的 比叫做相似比（或相 似系数）。
相似用符号“∽”来 表示，读作“相似于 ”。
比例和度量问题。
培养逻辑思维
学习和掌握相似三角形的判定方 法，有助于培养学生的逻辑思维
、推理能力和问题解决能力。
相似三角形的研究前景
01
深入探究判定方法
尽管SSS和SAS是两种常用的相似三角形判定方法，但仍存在其他判定
方法值得进一步研究和探讨。例如，探究更多基于边和角关系的判定方
法，提高判定的准确性和效率。
27.2.1相似三角形的判定(SAS)
课题：27.2.1相似三角形的判定（SAS）【教学目标】1．掌握相似三角形判定定理(SAS) ，能初步运用定理解决相关问题2．通过相似三角形判定定理(SAS)的探究归纳过程，体会类比的数学思想．【教学重点】相似三角形判定定理(SAS)的理解与应用．【教学难点】相似三角形判定定理(SAS)的证明．【教学过程】一、复习引入1．证明两个三角形全等的方法都有哪些？(SAS、ASA、AAS，SSS)2．到目前为止，我们学习过的证明两个三角形相似的方法有哪些？(定义、预备定理、SSS)【白板操作】第2页点击“心形”右边，出现已学的三种方法．二、探究相似三角形判定方法（SAS）思考：类似于判定三角形全等的方法，我们还能不能通过两边及其夹角来判断两个三角形相似．【白板操作】第3页1．探究3（课本P44）．学生自主画图，小组讨论验证【白板操作】第4页2．学生自己写出猜想，再根据猜想的的条件和结论分别写出已知、求证、尝试自己证明。
已知：在△ABC和△A’B’C’，''''A B A CAB AC=，∠A=∠A’。
求证：△ABC∽△A’B’C’【白板操作】第5页点击图形相应位置，互相辅助线；点击“心形”右边，出现辅助线的作法；其余证明过程师生板书．3．得出定理，如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．符号：在△ABC和△A’B’C’中∵''''A B A CAB AC=,∠A=∠A’简写为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．【白板操作】第6页点击“心形”右边，分别出现上述内容．三、例题例1.根据下列条件，判断△ABC和△A’B’C’是否相似，并说明理由．AB=7，AC=14，∠A＝60°A’B’＝6，A’C’＝3，∠A’＝60°例2.如图△ABC 中，D 、E 是AB 、AC 上点，AB ＝7.8，AD ＝3，AC ＝6，CE ＝2.1．试判断△ADE 与△ABC 是否会相似？【白板操作】第7-8页 师生在白板上书写解答过程．四、辨析：提出问题：是否有SSA 呢？反例：''''A B A C AB AC=，∠B=∠B ’，但△ABC 与△A ’B ’D ’不相似. 【白板操作】第9页 点击“心形”右边，出现反例图形等．第10页 这里设置了屏幕遮盖．五、课堂练习1．能判定△ABC ∽△A’B’C’的条件是( ) (A)''''AB A B AC A C =,且∠A=∠A’ (B)''''AB AC A B A C = (C)''''AB AC A B A C =，且∠B=∠B’ (D)''''AB AC A B A C =，且∠C=∠C’ 2．已知△ABC 和 △A’B’C’,根据下列条件，判断它们是否相似.（1）∠A=120°，AB=7cm ，AC=14cm,∠A`=120°，A`B`=3cm ，A`C`=6cm;(2) ∠A ＝45°，AB=12cm ， AC=15cm∠A’＝45°，A’B’＝16cm ，A’C’＝20cm六、本节小结：1. 到目前为止我们所学习过的相似三角形的判定方法(定义、预备定理、SSS 、SAS)2. 证明方法小结① 化归到预备定理、构造平行、全等三角形② 类比思想【白板操作】第11页 点击“心形”右边，出现相关内容．【教学反思】。
相似三角形的判定SAS定理概述
定理的推广
推广到多边形
将SAS定理从三角形推广到多边形， 需要寻找多边形中对应顶点之间的角 和边的关系，以判断两个多边形是否 相似。
推广到高维空间
在高维空间中，可以定义高维几何对 象之间的相似性，并利用SAS定理的 思路进行判定。
定理的证明推广
证明方法的改进
对SAS定理的证明方法进行改进，可以更深入地理解定理的 本质，并发现新的应用领域。
在数学竞赛中的应用
几何证明
在数学竞赛中，经常需要使用相似三角形判 定定理来证明几何定理或解决几何问题。
代数与三角函数
在数学竞赛中，有时需要使用相似三角形判 定定理来求解代数或三角函数问题。
在科学研究和工程中的应用
物理学
在物理学中，相似三角形判定定理常用于研究力学、光学等领域的问题。
地理学
在地理学中，相似三角形判定定理常用于研究地球的形状、大小等问题。
判定多边形相似
对应角相等
如果两个多边形的对应角相等， 则这两个多边形相似。
对应边成比例
如果两个多边形的对应边成比例 ，则这两个多边形相似。
在几何图形中的应用
01
02
03
确定相似图形
通过SAS定理，我们可以 确定哪些图形是相似的， 这对于解决几何问题非常 重要。
计算面积和周长
通过相似图形的性质，我 们可以计算图形的面积和 周长。
解决实际问题
在解决实际问题时，如建 筑设计、地图绘制等，我 们经常需要使用相似图形 的概念。
03
SAS定理与其他相似三角 形判定定理的关系
SAS定理定义
总结词
SAS定理是相似三角形判定定理的一种，即如果两个三角形的两边及夹角分别 相等，则这两个三角形相似。
相似三角形判定3(SAS)
E
思考2:如图,在正方形网格上有 △A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角 形相似吗?为什么？
☞ 回顾与反思
1.什么叫相似三角形？ 2. 相似三角形有哪些特征？ 3. 如何判断两个三角形相似？D
A
B
C
E
F
如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，
AB AC 1 , DE DF 2
由此，能判断△ABC与△DEF相似吗？为什么？
D
A
B
C
E
F
1 如果把2 换成其它数值，再试一试。
如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，
N AM AB . (相似三角形对应边成比例). DN DE
E
F
例2: 已知：如图，AE2=ADAB，∠ABE=∠ACB 试说明：（1）△ADE∽△AEB； （2）DE∥BC；（3）△BCE∽△EBD
A D B E C
思考1: 如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm。
（1）在AB上取一点D，当AD＝______时， △ACD∽△ABC； （2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝__时， △AEB∽△ABC； A 此时，BE与DC有怎样的位置关系？ 为什么？
AB AC , 那么△ABC∽△DEF DE DF
Dห้องสมุดไป่ตู้
A M B C E N F
结论:
如果一个三角形的两边与另一个三角 形的两边对应成比例，且夹角相等， 那么这两个三角形相似。
D A
B
C
E
F
交流讨论1 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，要使 △ABC∽△DEF，需要添加什么条件？
D A
B
C
sas全等三角形判定定理
sas全等三角形判定定理
SAS（边-角-边）全等三角形判定定理指如果两个三角形的其中两条边和它们之间所夹的角度相等，则这两个三角形是全等的。
具体来说，如果两个三角形中的一条边和它所对的角度分别相等，而另一条边也相等，则这两个三角形是全等的。
例如，若已知两个三角形ABC和DEF，满足AB=DE，BC=EF，∠BAC=∠EDF，则可判定这两个三角形全等。
其中AB和DE为S，∠BAC和∠EDF为A，BC和EF为S，由此可得SAS全等三角形判定定理。
这个定理可以用来解决各种问题，包括建筑设计、测绘学、航空航天工程等领域的空间问题。
三角形中的相似关系与判定方法
三角形中的相似关系与判定方法在几何学中，相似是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能不相等的大小。
在三角形中，我们常常遇到相似关系，并且有特定的判定方法来确认它们是否相似。
本文将探讨三角形中的相似关系及其相应的判定方法。
一、三角形的相似关系三角形的相似关系是指两个或多个三角形具有相同的形状，其对应的角度相等、对应的边长成比例。
当两个三角形相似时，我们可以推断它们的相似性质，例如角度对应相等、边长成比例等。
在三角形ABC与三角形DEF中，若满足以下条件，可以确定它们相似：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F；2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、三角形相似的判定方法在几何学中，我们可以利用以下几种方法来判定三角形相似：1. AA相似法则（角-角相似法则）若两个三角形的两个角对应相等，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
2. SAS相似法则（边-角-边相似法则）若两个三角形的两个边对应成比例，且夹角对应相等，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似法则（边-边-边相似法则）若两个三角形的所有边对应成比例，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
4. 直角三角形相似定理在直角三角形中，若两个直角三角形的斜边长度成比例，则可以判定它们相似。
即在直角三角形ABC与直角三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF，则可以推断直角三角形ABC与直角三角形DEF相似。
5. 平行线分比定理若两个或更多平行线截取的线段成比例，则可以判定三角形相似。
27.2.1相似三角形判定(20141219 SSS、SAS)
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB BC AC = = , 例2.如图已知, AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE. A D B E C
1.图中的两个三角形是否相似?
2如图在正方形网格上有 、如图在正方形网格上有△Ａ Ｃ A1 B1C1和A C 1Ｂ 1和 2 B21 2， △Ａ 它们相似吗？如果相似 ，求出相似比；如果 2Ｂ2Ｃ2,它们相似吗？如果相似，求 出相似比；如果不相似，请说明理由。 不相似，请说明理由。
探究3
边S 角A 边S
A
AB AC 已知： A B AC k ,
∠A =∠A′ . 求证：△ABC∽△A′B′ C′. A′
B
C
你能证明吗？ C′
B′
AB AC , A A '. 已知：在ABC和A' B' C '中， A' B ' A'C ' 求证: △ ABC ∽△ A ' B ' C '.
1.定义判定法 2.平行判定法 比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3.边边边判定法（SSS） 4.边角边判定法（SAS）
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
证明：在线段A ' B（或它的延长线 ' 上）截取A ' D AB，过点D再作 DE ∥ B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B A' DE ∽A ' B ' C '.
C D E A
A'
AB AC , A ' D AB. 又 A ' B ' A 'C '
三角形全等与相似判定
三角形全等与相似判定
三角形全等：完全重合
判定
1、三组对应边分别相等(SSS或“边边边”) 这一条也是三角形具有稳定性的原因 2．有两边及其夹角对应相等(SAS或“边角边”)
3．有两角及其夹边对应相等(ASA或“角边角”) 4．有两角及一边对应相等(AAS或“角角边”)
பைடு நூலகம்
5．直角三角形全等条件：斜边及一直角边对应相等 (HL或“斜边，直角边”)
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB， BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
4.四边形ABCD是平行四边形，点E 在BA 的延长线上， 且BE=AD ，点F 在AD上，AF=AB, 求证：△AEF≌△DFC
1.如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD， 连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB 至点D，使DB=AB，连结CD，以CD为直角边作等腰直 角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连结BE （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）若AC=3cm，则BE=__________cm
三角形相似：对应角相等，对应边成比例。
(1)平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边 或延长线所得的三角形与原三角形相似。(简叙为 两角对应相等两个三角形相似). (2)两边夹角相等 （SAS） (3)三条边对应成比例 （ SSS） (4)两个角分别对应相等（AA）
直角三角形相似的判定定理: 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和 原三角形相似.
三角形的相似与全等的判定与计算方法
三角形的相似与全等的判定与计算方法三角形的相似与全等判定与计算方法三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的相似与全等关系对于几何学的学习和应用非常重要。
在本文中，我们将探讨三角形的相似与全等的判定与计算方法。
1. 相似三角形的判定与计算方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1.1 AA相似判定法如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的某一个角相等，且两个三角形中的另一个角也相等，则这两个三角形相似。
利用AA相似判定法，我们可以计算相似三角形之间的边长比。
设两个相似三角形分别为△ABC与△DEF，已知它们对应的两个角分别为∠A与∠D，则可以通过以下公式计算它们的边长比：AB/DE = BC/EF = AC/DF1.2 SSS相似判定法如果两个三角形的三条边的对应边长成比例，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
利用SSS相似判定法，我们可以计算相似三角形之间的边长比。
设两个相似三角形分别为△ABC与△DEF，已知它们对应的三条边分别为AB与DE、BC与EF、AC与DF，则可以通过以下公式计算它们的边长比：AB/DE = BC/EF = AC/DF1.3 SAS相似判定法如果两个三角形的两个边的比例相等，且这两个边夹角的度数相等，则这两个三角形相似。
利用SAS相似判定法，我们可以计算相似三角形之间的边长比。
设两个相似三角形分别为△ABC与△DEF，已知它们对应的两个边分别为AB与DE、BC与EF，并且∠BAC = ∠EDF，则可以通过以下公式计算它们的边长比：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 全等三角形的判定与计算方法全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
判定两个三角形是否全等可以使用以下方法：2.1 SSS全等判定法如果两个三角形的三条边的对应边长相等，则这两个三角形全等。
第3课时 三角形相似判定SSS或SAS
DE＝6， EF＝8， DF＝9. (2)AB=4， BC=8， (3) AB=12， BC=15， AC＝10. AC＝24.
DE＝20， EF＝16， DF＝8.
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
（注意：大对大，小对小，中对中．）
典例精析 例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm, BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC. C F
C 3 A 4 3.5 B E 2.1 2.4 D 1.8 F
方法归纳 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形 的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等， 计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
练一练 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3， BC=4， AC＝6.
A
B
D
E
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例或两边成比例及夹角相等 的两个三角形相似
学习数学 享受数学
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理；
学 习 目 标
2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
合作探究
探究
A
AB BC AC . 已知： 2 A1B1 B1C1 A1C1 B 求证： △ABC∽△A1B1C1. A1
A
A1 C
D
B C
B1
C1
B1 C1 证明：在线段 （或它的延长线）上截 归纳 A1B1 取 A1由此得到三角形的判定定理： D AB ，过点D作 DE∥B1C1 ，交 AC 1 1 于点E 根据前面的定理可得 A1DE∽A1B1C1 . 三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形的判定(SSS,SAS)PPT教学课件
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC ,
求证: △ ABC ∽△ A' B'C' .
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
A' B' B'C' A'C'
A
A'
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽ A' B'C'
BC AC ，
AC AD
AD= 25 . 4
B
C
练习
1. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似， 并说明理由： (1)∠A＝40°，AB＝8cm，AC＝15cm，
∠A′＝40°，A′B′＝16cm，A′C′＝30cm； (2)AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，
C'
应用
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： （1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，
∠A'=120°，A'B'=3cm，A'C'=6cm； （2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，
A'B'=12cm，B'C'=18cm，A'C'=21cm.
解：（1） AB 7 , AC 14 7 ,
归纳
知识要点
边S 边S
判定三角形相似的定理之一
√边 S
如果两个三角形的三组对应边的比 相等三，边那对么应这成两比个例三，角两形三相角似形.相似.
小学数学知识归纳三角形的相似判定及性质
小学数学知识归纳三角形的相似判定及性质三角形是初中数学中重要的几何形状之一，它具有丰富的性质与判定方法。
相似性是三角形研究中一项重要的内容，通过相似判定及相似性质可以帮助我们更深入地理解三角形的特性。
本文将归纳总结小学阶段数学中关于三角形相似判定及性质的知识，帮助小学生更好地掌握和运用。
一、相似判定方法1. AAA相似判定法当两个三角形对应的三个角分别相等时，可以判定它们相似。
例如，当三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F 时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。
2. AA相似判定法当两个三角形中一对对应角相等，并且另一对对应角相等时，可以判定它们相似。
例如，当三角形ABC和三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E或∠A = ∠E，∠B = ∠D时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。
3. SAS相似判定法当两个三角形中一对对应边成比例，并且夹角也相等时，可以判定它们相似。
例如，当三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF，并且∠B = ∠E时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。
4. SSS相似判定法当两个三角形对应的三条边成比例时，可以判定它们相似。
例如，当三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = AC/DF = BC/EF时，可以得出三角形ABC ∽三角形DEF。
二、相似性质1. 对应角相等性质如果两个三角形相似，它们对应的角相等。
例如，在∆ABC ∽∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 对应边成比例性质如果两个三角形相似，它们对应的边成比例。
例如，在∆ABC ∽∆DEF中，AB/DE = AC/DF = BC/EF。
3. 相似三角形的周长比性质如果两个三角形相似，它们的对应边长之比等于它们的周长之比。
例如，在∆ABC ∽ ∆DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF = 周长(∆ABC)/周长(∆DEF)。
两个等腰三角形相似的判定方法
两个等腰三角形相似的判定方法相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
在几何学中，相似的三角形有很多特点和性质，可以通过多种方法判断两个三角形是否相似。
本文将介绍两种判定方法：AA相似判定法和SAS相似判定法。
1. AA相似判定法AA相似判定法是指两个三角形中对应的两个角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
具体步骤如下：步骤1：观察两个三角形，找到它们的两个对应角。
对应角是指位置相同且相等的角。
步骤2：比较两个对应角是否相等。
如果两个对应角相等，则可以判定这两个三角形是相似的。
步骤3：如果两个对应角不相等，则不能判定这两个三角形相似。
注意事项：- AA相似判定法只需要比较两个对应角的大小，不需要考虑边长。
- 对应角相等是相似三角形的必要条件，但不是充分条件。
即仅通过两个对应角相等不能完全确定两个三角形相似。
2. SAS相似判定法SAS相似判定法是指两个三角形中有一对对应边成比例，且夹在这一对对应边之间的两个角相等，那么这两个三角形就是相似的。
具体步骤如下：步骤1：观察两个三角形，找到它们的一对对应边和夹在这一对对应边之间的两个角。
步骤2：比较这一对对应边的比例关系。
如果这一对对应边成比例，则继续下一步。
步骤3：比较夹在对应边之间的两个角是否相等。
如果这两个角相等，则可以判定这两个三角形是相似的。
步骤4：如果对应边的比例关系不成立或夹角不相等，则不能判定这两个三角形相似。
注意事项：- SAS相似判定法需要比较对应边的比例关系和夹角的大小。
- 对应边成比例和夹角相等是相似三角形的必要条件，但不是充分条件。
即仅通过对应边成比例和夹角相等不能完全确定两个三角形相似。
通过AA相似判定法和SAS相似判定法可以判断两个等腰三角形是否相似。
但需要注意的是，这两种判定方法仅适用于等腰三角形，对于其他类型的三角形需要使用其他相似判定方法。
同时，在判断相似三角形时，需要根据具体情况综合运用多种判定方法，以确保判断的准确性和严谨性。
3.3 (第五课时)相似三角形的判定3(SAS)
A
P
B
C
中考 试题
例2 已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，
△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一
组时，这两个三角形相似（ C A. 2cm，3cm； C. 5cm，6cm；
）. B. 4cm，5cm； D. 6cm，7cm .
又 ∵∠A=∠A，
∴ △ADE∽△ACB．
例3.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结 CP．试增添一个条件使△ ACP∽△ABC． 【解析】 ⑴∵∠A=∠A， ∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时, P B 1 2 C
A
△ACP∽△ABC .
⑵ ∵∠A=∠A， ∴当AC:AP＝AB:AC时， △ ACP∽△ABC. 答：增添的条件可以是
数形结合
∴△ABC∽△ A B C .
2. 已知在Rt△ABC与Rt△ A B C 中，∠C =∠C′= 90°， AB=6cm，AC=4.8cm，A B =5cm，B C =3cm. 求证：△ A B C ∽△ABC.
证明： AB = 6 , AC = 4.8 = BC与Rt△ A B C 中，∠C =∠C′= 90°， AC=3cm，BC=2cm， C = 4.2cm，B C = 2.8cm. A 求证：△ A B C ∽△ABC.
∵ 证明： AC = 5 , BC = 5 . A C 7 B C 7 C = C = 90 ,
AC 3.5 D F E F . AC BC BC 2.5
∠F=∠C， ∠F是边FD与FE的夹角， ∠C是边CA与CB的夹角，
相似三角形的判定(解析版)
相似三角形的判定(解析版)相似三角形的判定（解析版）相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
判定两个三角形是否相似有多种方法，本文将介绍三种常见的相似三角形判定方法，并以解析的方式解释其原理和应用。
一、AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的相似角和对应边的比值来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 观察两个三角形中的对应角，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E（或∠C = ∠F），则可以得出两个三角形的相似角。
3. 检查两个三角形中对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF（或AC/DF）成立，则可以得出两个三角形相似。
通过AA相似判定法，我们可以快速判定两个三角形是否相似，并且可以进一步得出它们对应边的比值关系。
二、SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的边长比值来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 检查两个三角形中各对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF =AC/DF成立，则可以得出两个三角形相似。
通过SSS相似判定法，我们可以根据三个对应边的比值关系来判断两个三角形是否相似。
三、SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的两组对应边的比值和夹角的相等关系来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 检查两个三角形中对应边的比值和夹角的相等关系。
如果AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，则可以得出两个三角形相似。
SAS相似判定法是一种灵活且常用的判定方法，通过两组对应边的比值和夹角的相等关系来判断两个三角形是否相似。
结论：通过以上三种相似三角形的判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
在实际应用中，相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。
例如，在建筑、地图测量和航空导航中，我们需要利用相似三角形的性质来进行距离和高度的估算。
三角形的相似判定
三角形的相似判定相似三角形是高中数学中非常重要的概念之一。
在几何图形中，如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
本文将从相似三角形的定义、判定方法和一些相关性质进行探讨。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
2. 判定相似三角形的方法（1）AA判定法当两个三角形的两个对应角相等时，如果它们的第三个对应角也相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，若∠A=∠D，∠B=∠E，则可推出∠C=∠F，从而得出两个三角形相似。
（2）SAS判定法当两个三角形的一个对应边成比例，两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可推出∠B=∠E，从而得出两个三角形相似。
（3）SSS判定法当两个三角形的对应边成比例时，这两个三角形是相似的。
具体而言，若AB/DE=AC/DF=BC/EF，则得出两个三角形相似。
3. 相似三角形的性质（1）相似三角形内角相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角都相等。
这一性质可以通过AA判定法和SAS判定法得到证明。
（2）相似三角形边长比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边之比相等。
这一性质可以通过SAS判定法和SSS判定法得到证明。
（3）相似三角形面积比如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的面积之比为k²。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF相似且AB/DE=AC/DF=BC/EF=k，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k²。
4. 常见应用相似三角形的概念在几何问题中有广泛的应用。
例如，可以利用相似三角形的性质解决高塔定影问题、测量无法直接获得的长度等。
5. 实例分析现举一个例子来说明相似三角形的判定及应用。
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
三角形相似的三个判定定理
三角形相似的三个判定定理在数学中，相似是一个重要的概念。
在几何学中，相似是指两个图形形状相同但大小不同。
在三角形中，相似的概念也非常重要。
本文将介绍三角形相似的三个判定定理。
第一定理：AA相似定理AA相似定理是指如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
这个定理的证明非常简单。
假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E。
我们需要证明这两个三角形相似。
首先，我们可以通过角的对应关系得到∠C=∠F。
然后，我们可以使用正弦定理得到：AB/DE=sin∠B/sin∠EAC/DF=sin∠C/sin∠F因为∠B=∠E，∠C=∠F，所以sin∠B/sin∠E=sin∠C/sin∠F。
因此，AB/DE=AC/DF，这意味着三角形ABC和DEF相似。
第二定理：SAS相似定理SAS相似定理是指如果两个三角形的两个角分别相等，且它们的对应边成比例，则这两个三角形相似。
这个定理的证明也非常简单。
假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，AB/DE=AC/DF。
我们需要证明这两个三角形相似。
首先，我们可以通过角的对应关系得到∠B=∠E。
然后，我们可以使用正弦定理得到：BC/EF=sin∠B/sin∠E因为∠B=∠E，AB/DE=AC/DF，所以BC/EF=AC/DF。
因此，三角形ABC和DEF相似。
第三定理：SSS相似定理SSS相似定理是指如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
这个定理的证明也非常简单。
假设有两个三角形ABC和DEF，其中AB/DE=BC/EF=AC/DF。
我们需要证明这两个三角形相似。
我们可以使用正弦定理得到：sin∠A/sin∠D=AB/DEsin∠B/sin∠E=BC/EFsin∠C/sin∠F=AC/DF因为AB/DE=BC/EF=AC/DF，所以sin∠A/sin∠D=sin∠B/sin∠E=sin∠C/sin∠F。
因此，三角形ABC和DEF相似。
总结三角形相似的三个判定定理分别是AA相似定理、SAS相似定理和SSS 相似定理。
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㎝，BC=5㎝，动点 A
P
P
C
P从点A出发以每秒 2㎝的速度向点C运 动，同时动点Q以
①求经过多少 秒PQ∥AB？
每秒1㎝的速度从 ②经过几秒以P、Q、
点C向点B运动。 C为顶点的三角形与
△ABC相似？
2、△ABC中，AB=10，AC=6，D为AC的 中点，点E在AB上，如果△ADE与原三 角形相似，则AE=_____
A
E
B
3、正方形ABCD中，E
F
是AB的中点，F在BC
上且 BF 1 BC
D
C
①求证：△4 ADE∽△BEF
②判断△DEF的形状。并说明理由。
应用4：
B
Rt△ABC中，
Q Q
∠C=90°，AC=12
△ACD∽△ABC
②在AC的延长线上取一点E，
当CE=____时△AEB∽△ABC
E
③此时，CD与BE有怎样的位置关 系？为什么？
应用3
1.如图：△ABC中，D在
AB上，点E在AC延长线上， D
下面四个条件中，能满
足△ABC∽△AED的有
________
B
AD AB AC AE
A C E
AD BC AC DE
F
∵
AB BC CA DE EF FD
∴△ABC∽△DEF
探索新知
A
△ABC和△A＇B＇C＇中，
B
∠A
∠A＇，AA＇BB＇=
AC A＇C＇
C B'
你能判断 △ABC∽△A'B'C'吗？
A' C'
归纳结论：
A
A'
△ABC和△A＇B＇C＇中， B
∠A
∠A＇，AA＇BB＇=
AC A＇C＇
∴△ABC∽△A' B'C '
复习回顾1：
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 所得的三角形与原三角形相似.
“A”型
“X”型
A
D
E
O
D
E
B （图1） C
B
（图2）
C
复习回顾2：
判定方法1：如果一个三角形的三条
边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似。
A
D 几何语言：
B
C
E
在△ABC和△DEF中，
C B'
C'
如果一个三角形的两边与另一个 三角形的两边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似。
应用1：
A
A'
B
C B'
C'
根据下列条件，判断△：
（1）
（2）
应用2：
A
如图，在△ABC中，
D
AB=4㎝，AC=2㎝
C
①在AB上取一点D， B
当AD=____时