平面任意力系平衡方程及其应用
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平面任意力系平衡方程讲解课件
01
02
03
04
仅适用于小变形的情况
对于大变形或复杂的结构，需 要使用更高级的力学理论
仅适用于线性弹性材料
对于非线性弹性材料或塑性材 料，需要使用更高级的材料模
型
04
平面任意力系平衡方 程的优化与改进
优化求解算法
线性化求解
将平衡方程转化为线性方程，降 低求解难度，提高求解速度。
迭代法优化
采用更高效的迭代算法，如牛顿法 、拟牛顿法等，加快收敛速度。
03
平面任意力系平衡方 程的适用范围
适用场景与条件
适用于平面任意力系 的平衡问题
力的作用点可以不在 物体的重心上
物体处于平衡状态， 即没有加速度或速度
不适用场景与原因
不适用于空间力系的平衡问题
不适用于具有加速度或速度的 物体
力的作用点不在物体的重心上 时，需要考虑科氏力等因素
限制因素与局限性
平衡状态
物体在受到一组的力作用后，如果处 于静止或匀速直线运动状态，则称该 物体处于平衡状态。
平衡方程
对于平面任意力系，其平衡方程为合 力为零，即合力在x轴和y轴上的投影 分别为零。
02
平面任意力系的平衡 方程
平衡方程的推导
1 2 3
静力平衡
在无外力作用下，物体处于静止状态，此时物体 内部各部分之间无相对运动趋势，处于平衡状态 。
并行计算
利用多核CPU或分布式计算资源， 实现并行计算，大幅缩短求解时间 。
提高计算精度
精细化建模
采用更高精度的物理模型，提高 方程的准确性和精度。
高阶有限元方法
采用高阶有限元方法，降低误差 ，提高计算精度。
自适应步长控制
根据误差大小自动调整步长，确 保计算的稳定性和精度。
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）按图示坐标列平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程 解方程，求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
二、关于平面任意力系 的例题
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-2 起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴AB转动；
起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物， 如图 3-6 所示。
起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m， 其他尺寸如图所示。
求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。
c．如果再加上
，那么力系如
有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q，
重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支
座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程 取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3平面力系的平衡方程及其应用
《机械基础》教案（2009～ 2010学年第二学期）学院山西省工贸学校系（部）机电系教研室教师梁少宁山西省工贸学校③学生学案课题名称：平面力系的平衡方程及其应用班级：姓名：(一)、工作任务：物体在平面力系作用下，不但有在平面内发生移动的可能性，而且有在平面内发生转动变化的可能性。
要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？(二)、学习目标：1、理解平面任意力系的概念；掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。
2、能应用平面任意力系平衡方程解决工程上的平衡问题；(三)、回答问题1、要使物体在平面任意力系作用下仍保持平衡状态，应满足什么条件？2、物体在平面力系作用下，在平面内都会发生那些移动方式？(四)、分析该资料，完成项目任务：一：平面力系的概念平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。
空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。
汇交力系——作用线交于一点的力系。
平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。
平面汇交力系的工程实例：二、力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
1 、力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b(或由a1到b1)的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影F x（或F y）取正值；反之，取负值。
若已知力F在直角坐标轴上的投影F x、F y，则该力的大小和方向为力F可分解为F x、F y，可见利用力在直角坐标轴上的投影，可以同时表明力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。
2、合力投影定理若刚体在平面上的一点作用着n个力F1，F2，…，F n，按两个力合成的平行四边形法则（三角形）依次类推，从而得出力系的合力等于各分力的矢量和。
即一般地，则其合力的投影合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
平面力系的平衡方程及应用
Fy 0
FAy FC sin 450 F 0
M A 0 FC cos 450 l F 2l 0
G
解得
FC 28.28kN
FAx 20kN
FAx FAy
45o
FC
FAy 10kN
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
例2-19 已知G1=10kN，G2=40kN，尺 寸如图。求轴承A、B处的约束力。
例2-16 AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰链支座。
设已知电葫芦和提升重物共重G= 5kN, q = 25º，a=2m，l = 2.5m。
吊车梁的自重略去不计，求钢索BC和铰A的约束力。
C
q
A
D
B
a
l
G
§2-4 平面力系的平衡方程及应用
解：选择吊车梁（含电动葫芦和重物）为研究对象，根据
FBx 12.025kN
FAx Fr FBx F 1 cos 45o F2 cos 30o 0
FAx 1.405kN
FAy Fa 0
FAx Fa 0.5kN
三力平衡汇交定理，可画出梁的受力图，取坐标系Oxy
l
a
FA
O FTB
q
A
D
B
FTB
q
y
FA
x G
G
由平面汇交力系 的平衡方程求解
Fx 0, FA cos FTB cosq 0
Fy 0, G FA sin FTB sinq 0
tan
OD AD
BD tanq
AD
(l
a) a
tanq
FA 8.63kN
解：取起重机，画受力图。
MA 0 Fx 0 Fy 0
平面一般力系的平衡和应用
由 mA (Fi ) 0
P2aNB 3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
解除约束
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
衡第 三
静节 定 和物 超体 静系 定的
平
三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示.已知
P =20kN,均布荷载q = 4kN/m.求铰链支座A和
B的约束反力.
P
1m
q
C
2m
A
2m
为载荷集度(单位为牛顿/米)，其左端的集度为零，右端集度为 q 。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束 力。
首先在 O 点建立坐标系
y
第二步作受力分析
q
Foy
q
• 主动力为分布载荷（忽略重
力），且为一平行力系
O Fox
• 约束反力：
x
dx
l
x
Aq
FA
O 为固定铰支座，A 为活动铰 支座。
和 物 RC = 7.07 kN
B XB
YB
2m
Q
C
RC
2m
超 体 整体分析
P
静系
Q
定的 平
A
XA
mA
YA 2m
B
C
RC
2m
2m 2m
衡第
P = 30kN, Q = 20kN, = 45o
三 静节 定
Xi = 0 Yi = 0
XA - 20 cos45o = 0 XA = 14.14 kN YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA = 37.07 kN
的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意
平面任意力系的平衡方程及应用——高职教学中一道典型的例题
学生应理 解 并熟练 掌握 。本 文举一 典型 例题 来说 明平 面任 意力 系的平衡 方程 的 三种形 式 的具体运 用 。
关键 词 ： 平 面任 意力 系； 平衡 方程 ； 典 型例 题
中图分 类号 ： ０ ３ １ ２ － － ４
文 献标 识码 ： Ｂ
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ６ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ３ — ０ ９ ６ ８ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ３ ． ０ ３ ５
０ 前 言
平 面任 意 力系 的平 衡 问题是 静力 学 的主 要 内 容， 也 是理论 力学 的一项 重 要 内容 ， 它是 解决 物体
系统 平衡 问题 的基 础 ， 是 教 学 的重点 和难 点 ， 因此 学 生应 理解并 熟 练掌握 应 用平 面任 意力 系 的平衡 ｃ 班 …
Ｔｈ ｅ Ｅｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ Ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａｎ ｄ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｃｏｐ ｌ ａ ｎ ａｒ Ａｒ ｂ ｉ ｔ ｒ ａ ｒ ｙ Ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｓ
— —
Ａ Ｔ ｙ ｐｉ ｃ ｌ ａ Ｅｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｉ ｎ Ｈｉ ｇ ｈ ｅ ｒ Ｖｏ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｅｄ ｕｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
２ ０ １ ３年第 ３舰 （ 总第 １ ９ ３期 ）
山 东 纺 织 经 济
平面任意力系的平衡方程及应用
— —
高职教学 中一道典 型的例题
金 晓。 孟翠玉 山东烟 台 ２ ６ ５ ７ １ ３ ）
（ 烟台南山学院
摘
要： 平 面任 意力 系的平衡 方程 及应 用是教 学的重 点和 难点 ， 它是 解 决物体 系统 平衡 问题 的基 础 ，
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
平面任意力系的合成与平衡条件(建筑力学)
平面汇交力系 合成 FR=Fi 平面力偶系 合成 M=Mi
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 FR 和主矩 MO 都等于零 FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
MO MO (Fi ) 0
平面任意力系 的平衡方程
Fx 0
Fy 0 MO(Fi ) 0
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡方程的基本式
● 几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量 （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可 （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直 （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合 成与平衡条件
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系
平面任意力系 1、力系的简化 2、平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系：各力的作用线在同一平面 内，既不汇交为一点又不相互平行的力系。 研究方法：
（平面任意力系） 未知力系
力系向一点简化
已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
平面任意力系的简化
F Bd
A
F′
F Bd
A F′ ′
F′ M
B A
M=±F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同 时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
平面任意力系的简化
为什么钉子有
时会折弯？ F ′ F
M
两圆盘运动形式 是否一样？
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 MA(F ) 0 。
平面任意力系的平衡方程及应用
FCDl
s in
G1
l 2
G2a
0
(a)
Fx 0 FAx FCD cos 0
(b)
Fy 0 FAy G1 G2 FCD sin 0
(c)
第2章 平面力系的平衡
C
A
D
C
l
2a
G 1
l
G2 (a)
y FAy A
FAx
图2.5
FCD
B x
G1
G2
(b)
FR'
Fx 2 Fy 2 0, MO MO (Fi ) 0
第2章 平面力系的平衡
由此可得平面任意力系的平衡方程为
Fx 0
Fy 0
Байду номын сангаас
MO (F ) 0
式（2.6）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也称为一 力矩式方程。它说明平面任意力系平衡的解析条件是: 力系中各 力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零，以及 各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零。这三个方程是 各自独立的三个平衡方程，只能求解三个未知量。
解（1） 选圆球为研究对象，取分离体画受力图。 主动力: 重力G。 约束反力: 绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。 受力图如图2.6（b）所示。
第2章 平面力系的平衡
（2） 建立直角坐标系Oxy
∑Fx=0
FT-Gsin30°=0
FT=50N( ∑Fy=0
FN-G cos30°=0
FN=86.6N
解 （1）以横梁AB为研究对象，取分离体画受力图。
作用在横梁上的主动力: 在横梁中点的自重G1、起吊重量 G2。作用在横梁上的约束反力: 拉杆CD的拉力FCD、铰链A点的 约束反力FAx、FAy，如图2.5（b）所示。
平面力系的平衡方程及应用分析
PART 5
平面力系平衡方程的实例分析
实际工程中的应用案例
桥梁工程：分析桥梁受力情况，确保桥梁安全稳定 建筑工程：分析建筑物受力情况，确保建筑物安全稳定 机械工程：分析机械设备受力情况，确保机械设备安全稳定 航空航天工程：分析飞机、火箭等受力情况，确保飞行器安全稳定
经典物理中的平衡问题
牛顿第二定律：物体受到的 力与其质量和加速度成正比
多重平衡问题分析
多重平衡问题：多个力系同时作用于同一物体，需要同时满足多个平衡条件 应用领域：工程设计、建筑结构、机械制造等 解决方法：利用平面力系平衡方程，分别求解各个力系的平衡条件 实例分析：桥梁设计、汽车悬挂系统设计等
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PART 3
平面力系的平衡方程
平衡方程的推导
牛顿第二定律： F=ma
力矩平衡条件： ΣM=0
平面力系的平衡 条件：ΣFx=0， ΣFy=0
平面力系的平衡 方程：ΣFx=0， ΣFy=0，ΣM=0
平衡方程的形式
平面力系的平衡方程：Fx=0，Fy=0，M=0 Fx：x轴方向的合力 Fy：y轴方向的合力 M：力矩
求解未知力的方法
利用平衡方程求解未知力
利用力偶平衡方程求解未知力
添加标题
添加标题
利用力矩平衡方程求解未知力
添加标题
添加标题
利用力系简化方法求解未知力
平衡方程的解题步骤
确定已知条件：包括力的大小、方向、作用点等 建立平衡方程：根据已知条件，列出平衡方程 求解未知量：利用平衡方程求解未知量 验证结果：检查求解结果是否满足平衡条件，如有不满足，重新求解
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平面力系的平衡方 程及应用ssibilities
平面任意力系的平衡方程的三种形式
平面任意力系的平衡方程的三种形式一、概述1. 平面任意力系概念的简介在物体力学中，平面任意力系是一个很重要的概念。
平面任意力系是指一个物体在平面上受到多个力的作用，这些力可以是任意的方向和大小。
平面任意力系的研究对于分析物体的平衡和运动具有重要的意义。
2. 平衡方程的定义和作用平面任意力系的平衡方程是描述物体受力平衡的数学表达式。
通过平衡方程，可以求解物体受力的情况，从而进一步分析物体的平衡状态。
二、平面任意力系的平衡方程的三种形式1. 牛顿第一定律形式牛顿第一定律可以描述为：若物体受到多个力的作用，且这些力相互平衡，那物体将保持静止或匀速直线运动。
根据这一定律，可以得出平衡方程的第一种形式。
即对于平面任意力系，受力平衡时，力在x、y方向上的合力均为0，可以用数学公式表示为：ΣFx = 0；ΣFy = 0。
式中ΣFx表示x方向上的合力，ΣFy表示y方向上的合力。
当ΣFx和ΣFy都等于0时，物体在受力平衡状态。
2. 平衡方程的角度形式平衡方程的角度形式是指从物体受力的角度出发，建立平衡方程。
在平面任意力系中，受力平衡时，物体对于一个特定点的力矩的和为0。
力矩的和可以表示为：ΣM = 0。
式中ΣM表示力矩的和。
根据力矩的定义，可以将力矩表示为力乘以力臂的乘积。
可以将平衡方程的角度形式表示为：ΣM = ΣF × d = 0。
式中d表示力臂的长度。
当ΣM等于0时，说明物体对于特定点的力矩平衡，即物体处于受力平衡状态。
3. 用平面力系的分解形式建立平衡方程在平面任意力系中，可以将作用在物体上的力进行分解，将力分解成在x、y方向上的分力和分力的合力。
根据此方法，可以建立平衡方程的分解形式：ΣFx = 0；ΣFy = 0。
这种形式的平衡方程适用于多种情况，可以将力分解成任意方向上的分力，从而更加灵活地分析物体的受力情况和平衡状态。
三、平衡方程的应用1. 建立平面任意力系的平衡方程在实际问题中，可以通过观察和分析物体受力的情况，建立平衡方程，从而求解物体受力平衡的情况。
平面力系的平衡方程及应用
研究方法：几何法，解析法。
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
1.4平面力系的平衡方程及应用教案
课题 1.4平面力系的平衡方程及应用
课时 1 班级21机电3/4班课型新课时间2021年10月22日
教学目标知识目标：熟记任意力系和汇交力系平衡的条件能力目标：能通过列平衡方程计算力的大小
德育目标：提高合作探究能力，增强合作意识
教学重点任意力系和汇交力系平衡的条件
教学难点根据平衡方程进行计算
教法直观教学法
学法小组合作探究
教学评价师生互评，小组互评
教具多媒体课件，教具，动画
教学过程及主要教学内容师生活动一、汇交力系平衡方程及图示：
所有的力都汇聚于一点的称为汇交力系。
二、平面任意力系及图示：教师：精讲
互问互答
学生：小组合作学生：组间竞赛
三、例题：
作业减速器中的齿轮轴受力如图所示，已知F、a，求：（1）绘制齿轮轴的受力图；（2）求支座A/B的约束力。
课后反思（教学收获、特色创新、存在不足、改进措施）。
平面任意力系的平衡
20
[例6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
根据∑mi=0有:
解: 各力偶的合力偶距为
m m1 m2 m3 m4 4(15) 60N m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
y
F2
O
F1
x
mO (Fi ) 0
于是，由平面一般力系平衡方 程的基本形式，得平面汇交力 系的平衡方程：
Fn
∑FXi=0
∑FYi=0
18
三、平面平行力系的平衡方程
图示平行力系， 取如图所示直角坐标系，则
y
F1
O
F2 Fn
∑FXi≡0 于是，由平面一般力系平衡方程的 基本形式及二力矩式，得平面平行 力系的平衡方程：
0.45m
d
mA 1m
B
0.5m 0.45m
FAy
W1
W2
mA(Fi) = 0
mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0
mA = 5.043 kN.m
11
例题2-5. 一容器连同
2m
盛装物共重W=10kN,
作用在容器上的风荷
载q=1kN/m,在容器的
Fxi= 0 投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.
(c)三力矩式
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 mC(Fi) = 0
三个矩心A ,B 和 C不在一直线上.
2
FX i 0 FY i 0
mO (Fi ) 0
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 Fxi= 0
[例6] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
根据∑mi=0有:
解: 各力偶的合力偶距为
m m1 m2 m3 m4 4(15) 60N m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
y
F2
O
F1
x
mO (Fi ) 0
于是，由平面一般力系平衡方 程的基本形式，得平面汇交力 系的平衡方程：
Fn
∑FXi=0
∑FYi=0
18
三、平面平行力系的平衡方程
图示平行力系， 取如图所示直角坐标系，则
y
F1
O
F2 Fn
∑FXi≡0 于是，由平面一般力系平衡方程的 基本形式及二力矩式，得平面平行 力系的平衡方程：
0.45m
d
mA 1m
B
0.5m 0.45m
FAy
W1
W2
mA(Fi) = 0
mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0
mA = 5.043 kN.m
11
例题2-5. 一容器连同
2m
盛装物共重W=10kN,
作用在容器上的风荷
载q=1kN/m,在容器的
Fxi= 0 投影轴x不能与矩心A和B的连线垂直.
(c)三力矩式
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 mC(Fi) = 0
三个矩心A ,B 和 C不在一直线上.
2
FX i 0 FY i 0
mO (Fi ) 0
mA(Fi) = 0 mB(Fi) = 0 Fxi= 0
平面力系的合成与平衡—平面一般力系的平衡方程和应用(建筑力学)
y
0
FAy FB 80 5 2 0
M F 0
A
FB 4 80 2 5 2 5 0
解上述方程，得：
FAy 37.5kN
FB 52.5kN
结果均为正，说明其实际方向与假设方向相同。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
例4.10 在图示刚架中，已知q=3kN/m，F 6 2kN ，M=10kN.m，不计刚架自重。
求固定端A处的约束力。
解：(1)取刚架为研究对象；(2)画受力图；
(3) 列平衡方程：
Fx 0
Fy 0
M A F 0
解得：
1
FAx q 4 F cos45 0
2
FAy F sin 45 0
1
1
M A q 4 4 M F sin 45 3 F cos45 4 0
M
M
i
( Fi ) 0
B ( Fi ) 0
A
不能选择与力垂直
的投影轴
A、B两点的连线
不与各力作用线
平行。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
三、平面一般力系平衡方程的应用
基本步骤：
1、根据求解的问题，恰当选取研究对象：要使所取物体上既包括已知条
件，又包含待求的未知量。
2、对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
一、平面一般力系的平衡方程
平面一般力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR'=0
MO=0
因为 FR‘= （∑）2 + （∑）2
3-2平面力系的平衡条件
G3 A
1.8 m
G2 G
G1
2.0 m
B
2.5 m 3.0 m
FA
FB
例题
3-5
解： 1.取汽车及起重机为研究 取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 对象，受力分析如图。 2.列平衡方程。 列平衡方程。 列平衡方程
G3 G2 G
3.0 m
A
1.8 m
G1
2.0 m
B
2.5 m
∑F = 0,
F y
F
c
C
α
B
FAy
A
FAx
α D C E B xA来自WDaWE
b
解：
WD W
WE
l
1.取伸臂 为研究对象。 取伸臂AB为研究对象 取伸臂 为研究对象。 2.受力分析如图。 受力分析如图。 受力分析如图
3.选如图坐标系，列平衡方程。 3.选如图坐标系，列平衡方程。 选如图坐标系
∑F = 0, ∑Fy = 0, ∑M (F) = 0,
∑F = 0 , ∑F
x
y
= 0,
∑m (F) = 0
O
力系中的各力在其作用平面内两坐轴上的 投影的代数和分 力系中的 各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和 分 各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和 别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。 别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。 对任一点矩的代数和也等于零
∑F = 0,
x
FAx = 0
∑F
y
= 0,
FAy − F + FD = 0
AB −F× + FD × 2 − M = 0 2
y M FAy
理论力学第3章力系平衡方程及应用
a
分布力(均布载荷) 合力作用线位于AB
中点。
3.1 平面力系平衡方程
a
【解】
y M=qa2 a
2qa
F3
C
FAx
A
aFAy
45
B
D
x
2a FB a
F3 2qa
MA 0
q 2 2 a q a a F B 2 a 2 q sa 4 i 3 n a 5 0
FB 2qa
Fx 0 FAx2qcao4s50 FAx qa
C
【解】 F2
构件CGB（ 图b）
F2
构件AED
（图c）
C
R
D
45
FC
FD
D
G
45
F1
E
a
F1
E
a
A
B
G 图b
FBy
图c A FAx
MA
FAy
构件CD（图a ）
3个未知量 B FBx
4个未知量
F'C
3个独立方程
3个独立方程
【基本思路】
C R
杆CGB受力图计算FCAED受力图
计算A处的反力(偶)；CGB受力图计算
3.2 平面物体系平衡问题
q
C
B
30
FC FBy
l
l
【解】 杆CB
FBx
MB 0
FCco3s0l qll/2 0
FC
3 ql 30.5kN/m 2m 0.577kN
3
3
3.2 平面物体系平衡问题
【解】整体
FAy
l
l
l
Fx 0
MA
A
FAx
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平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外，还有如 下两种形式 。 二力矩式：∑X=0 ∑MA=0 条件：A、B连线不能垂直于X轴 ∑MB=0 三力矩式： ∑MA=0 ∑MB=0 条件：A、B、C不能在一条直线上 ∑MC=0 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以，平 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。
用平衡方程求解平衡问题的步骤： 1、选研究对象，并作其受力图 2、列平衡方程 3、解方程 4、校核
用平衡方程求解平衡问题技巧： 1、X、Y轴尽量建立在与多个未知力平行或垂直的方向上； 2、列力矩式时，矩心选在未知力的交点上； 3、尽量不要求解联立方程组；使得一个方程只有一个未知量
约
梁
B
X
20KN
练习1 悬臂刚架尺寸和受力如 图所示,求A支座的约束反力 解: ∑X=0 XA=0
∑Y=0 YA=4×3+5=17kN ∑MA=0
Hale Waihona Puke XAMA YAMA=4×3×1.5+5×3=33kN•m
校核:∑MC=MA+XA•4-4×3×1.5-5×3 =33-33=0 计算无误
练习2 习题4-8
XA
X Y
2 2
M0=∑M0=∑M0（F）
平衡方程的基本形式
称为平面任意力系基本形式的平衡方程。因方程中仅含有一个 力矩方程，故又称为一矩式平衡方程。它表明平面任意力系平 衡的必要和充分条件为：力系中所有各力在力系作用面内两个 坐标轴中每一轴上的投影的代数和等于零；力系中所有各力对 于作用面内任一点的力矩的代数和等于零。
MA
YA
练习3 教材习题 4-7
YB XA YA
练习4
校核 ∑MC=6XA-6YA+2P+3Q-m+6q×3 代入数字得 ∑MC=0 说明计算无误
练习5：求图示刚架的支座反力.
q0=2kN/m
二、例1
例2
例3
1、列力矩式 2、列投影式
3、校核
∑MA=0→SB ∑X=0→XA ∑Y=0→YA ∑MB=0
平面任意力系平衡方程及其应用 教学目的：
1、牢固掌握平衡方程的形式 2、牢固掌握用平衡方程解决力学问题的基本步骤 3、能够熟练应用平衡方程
重 点
1、平衡方程的三种形式； 2、平衡方程的灵活应用；
难 点
平衡方程的灵活应用
一、平面任意力系平衡条件及平衡方程 1、平衡条件 平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对 任一点的主矩都等于零。即：R′=0 M0=0 2、平衡方程 由 R′= 得：