三角恒等变换(讲义及答案)

5. 若 sin cos 1 ，cos sin 1 ，则 sin( ) ______．
2
3
6. 若 cos( ) 1 ，cos( ) 3 ，则 tan tan =________．
5
5
7. 在△ABC 中，若 2cos B sin A sin C ，则△ABC 一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
8. 求证：
（1） sin(2A B) 2cos(A B) sin B ；
sin A
sin A
（2）
1
sin 2 cos 2
.1cocsos
tan
2
．
4
9. 若 3sin x 3 cos x 2 3 sin(x ) ， ( ，) ，则 ____．
以 代 ，可得到 C( ) ， S( ) ， T( )
C( ) ：________________________
S( ) ：________________________
T( ) ：________________________ C( ) ， S( ) ， T( ) 这三个公式叫做和角公式； C( ) ， S( ) ， T( ) 这三个公式叫做差角公式．
三角恒等变换（讲义）
知识点睛
一、两角差的余弦公式推导 如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边 作角 ， ，它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A，B．则
OA (cos ，sin ) ， OB (cos ，sin ) ，
∴ OA OB (cos ，sin ) (cos ，sin ) _____________．
1
三、倍角公式 利用 C( ) ， S( ) ， T( ) ，令 ， 得到 cos 2 =_____________=____________=____________ sin 2 =_____________________
tan 2 =_____________________
四、半角公式
（2）若 sin( ) cos cos( )sin 3 ，则 cos 2 ____； 5
（3）若 ( ，) ， sin 2 3 7 ，则 sin __________；
42
8
（4）若 cos(x y)sin x sin(x y) cos x 12 ，且 y 是第四象限 13
（3）已知 cos 3 ， ( ，) ， sin 12 ， 是第三
5
2
13
象限角，则 cos( ) _____________．
2. 化简： （1） sin14 cos16 sin 76 cos 74 ___________；
（2） 3 sin x 1 cos x =___________；
∴ cos( ) __________________________，
∴ cos( ) cos cos sin sin ，记作 C( ) ．
二、两角差的其他公式
利用诱导公式可得
S( ) ： sin( )=sin cos cos sin
T(
)
：
tan(
)=
tan tan 1 tan tan
10. 当函数 y sin x 3 cos x（0 ≤ x 2 ）取得最大值时，x 的值 为______________．
11. 函数 y 2 cos x (sin x cos x) 的最大值是_________，最小正周 期是____________．
12. 函数 f (x) 5sin x cos x 5 3 cos2 x 5 3（ x R ）的单调递 2
角，则 tan y ____________． 2
3
4. 求值：
（1）若 tan( ) 2 ，tan( ) 1 ，则 tan 2 _______；
5
4
（2）已知 ， 都是锐角，且 sin 5 ，cos( ) 4 ，13
5
则 sin =_________；
（3）若 sin x 1 ， sin(x y) 1，则 sin(2 y x) _________． 3
图1
图2
设
OA
与
OB
的夹角为
，
则 OA OB OA OB cos =_____________，
∴______________________________________．
由图 1 可知， 2k ，由图 2 可知，_____________，
于是 ____________，
利用 cos 2 2 cos2 1 1 2 sin2 可得，以 代 2 ， sin2 __________________
2 cos2 __________________
2 相除，得到 tan2 _________________
2
五、形如 a sin x b cos x 的化简
增区间是_________________．
13. 化简： （1） 1 3 ； sin10 cos10
（2） sin15 cos15 ； sin15 cos15
（3） 2 sin 2 2 cos 4 ；
（4） (1 sin 2 cos 2)(sin cos) ，其中 ．
2
2
（3）
1 1
tan15 tan15
________________；
（4） sin 25 cos15cos80 ______________． sin 65 sin15sin10
3. 利用倍（半）角公式求值：
（1）若 为第二象限角，且 sin 3 ，则 sin 2 ________； 5
a sin x b cos x a2 b2 sin(x ) ，
其中sin b ，cos a ．
a2 b2
a2 b2
2
精讲精练
1. 利用和（差）角公式，求值：
（1）若 ( ，) ，且 sin 4 ，则 cos( π) ________；
2
5
4
（2）若 tan 3 ， tan 4 ，则 tan( ) _________； 3