1基变换与坐标变换

第一章
预备知识
第一节 线性空间
定义、性质及例子 基与维数 基变换与坐标变换 子空间和维数定理
一、线性空间的定义、性质及例子
定义１ 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数 域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数 运算，叫做加法，即对于任意两个元素 与 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为 与 的 和，记为 ；在数域F 与集合V 的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法，对于F中任一个数k 与V 中任一元素 ，在V 中都有惟一的一个元素 与 它们对应，称为k与 的数量乘积，记为 k．若加 法与数量乘法满足下述八条规则，那么V 称为数域F上 的线性空间．
例8 如果将复数集合C 看作数域C 上的线性空间，
那么数1就是它的一组基，所以它是一维线性空间；
如果将复数集合C 看作实数域上的线性空间，那么
数1和i 就是它的一组基，这时空间是二维的．
空间的维数与所考虑的数域有很大的关系．
三、基变换与坐标变换
在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都 可以作为V的一组基．对于不同的基，同一个向量的
n i 0
P[ x ]n { p( x ) p( x ) i x n i , i R}, 对于通常的多项
式的加法和数乘运算，P[ x]n 为一个实线性空间．
注意 n 次多项式的全体
Q[ x ]n { p( x ) p( x ) i x n i , i R, 且 n 0},
例7
q 4 x 2 也 是 一 组 基 ．
3
p4 x 是 一 组 基 ， 而1 1，q 2 x 2，q 3 x 2 ， q
3 2
在 线 性 空 间 [ x ]3 中 ，p1 1，p2 x，p3 x 2， P
任一次数不超过次的多项式 3 g x ax 3 bx 2 cx d ,
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
(3) 0 0;
1 ;
0 0.
(4) 如果 0 ，则 0 或 0.
定义2
设 x(1) , x( 2) ,, x( k ) 是线性空间V 中的任一组
k
向量，1 , 2 ,, k 是F 中任一组数，
说明
(1) 线性空间不能离开某一数域来定义．实际 上，对于不同数域，同一个集合构成的线性空间会 不同，甚至一种能成为线性空间而另一种不能成为 线性空间． (2) 凡满足八条规律的加法及数乘运算，称为 线性运算．
(3) 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义 的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质 的任一条，则不能构成线性空间．
坐标是不同的．
问题：同一个向量在不同的基下的坐标有什么关 系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改 变呢？
设 1 , 2 ,, n 及 1 , 2 ,, n 是n维 线 性 空 间 的 两 组 V 基，且
1 a11 1 a 21 2 a n1 n a a a 2 12 1 22 2 n2 n , n a1n 1 a 2 n 2 a nn n
及 1 2 x x 1,
3 2
4 x 3 x 2 1, 2 x 2 x 2,
2
3 2 x 3 x 2 x 2,
求坐标变换公式 .
4 x 3 3 x 2 x 2,
解题思路 先求基变换公式，再求坐标变换公式 解 设
（3）线性空间的基不惟一. （4）若向量组 1 , 2 , , r是线性空间 V 的一个 基，则 V 可表示为
V x 1 1 2 2 r r 1 ,, r F
V : 基所生成的线性空间
1 , 2 ,, r : 向量x在基 1 , 2 ,, r 下的坐标
i 0 n
对于通常的多项式的加法和数乘运算不能构成线性 空间．
例4
A Amn C
mn
, V x C n Ax 0 , F=C，


定义与 C n中相同的运算， V 构成一个复线性空间， 叫做矩阵Ａ的零空间（或核），也叫做方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)． 例5 A Amn C

二、基与维数
定义３ 设V是 线 性 空 间 ， 1 , 2 , , s 为V中 一 组
向 量 ， 如 果 存 在 不 全 零 的 一 组 数 1 , k 2 , , k s 使 为 k k 1 1 k 2 2 k s s 0 , 则 称 1 , 2 , , s 线 性 相 关 ； 否 则 称 为 性 无 关 ． 线
1 , 2 ,, n 1 , 2 ,, n A
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x1 x 2 1 , 2 , , n A , x n
由基向量的线性无关性，得坐标变换公式
x1 , x2 ,, xn
d , 在第一组基下的坐标为 c, b, a ,
T
在第二组基下的坐标为 1 1 g ( 2), g ( 2), 2! g ( 2), 3! g ( 2) .
T
注意 线性空间V 的任一元素在不同的基下所对应 的坐标一般不同，但一个元素在一组基下对应的坐 标是唯一的．
设 , , V ; , F
加法满足下面四条规则：
(1) ;
( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素 , 对任何 V , 都有 0
0 0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
1 , 2 ,, n 1 , 2 ,, n A,
即
其中
a 11 a 21 A a n1
a12 a 22 a n2
a1n a 2n . a nn
基 变 换 公 式
过渡矩阵 （可逆）
C n、R n 是 n维空间，C mn、R mn是 m×n维空间，
次数不超过n 的多项式全体构成n +1维线性空间．
定理3 n 维线性空间中任何n 个线性无关的向量都 是线性空间的一组基．
说明 （1）只含有零向量的线性空间称为0维线性空间， 因此它没有基． （2）若把线性空间V 看作向量组，那末V 的基就 是向量组的最大无关组，维数就是向量组的秩.
y 1 x (1) 2 x ( 2 ) k x ( k ) i x ( i )
i 1
也是V中的向量，称y 是向量组 x(1) , x( 2) ,, x( k ) 的一 个线性组合， i x ( i ) 叫做y 的一个线性表出．
i 1 k
例１ V x x 1 , 2 ,, n , i C , F=C，又设
被 1 , , s 线 性 表 示 ， 则 s; 且 1 , , s 存 r 中
设V是 线 性 空 间 1 , , r 和 1 , , s 是 ，
换 所 得 到 的 1 , , r , r 1 , , s 可 将 1 , , s
0;
数量乘法满足下面两条规则：
(5) 1 ;
(6) ;
数量乘法与加法满足下面两条规则：
(7) ;
(8) .
当F 为实数域时，V 称为实空间；当F 为复数域 时，V 称为复空间．
例2
B bij

V A A a ij
mn


m n
, a ij C , F=C，又设
mn

, C , 对于通常的矩阵加法和数乘运算，
V 构成一个复线性空间，一般记为 C 同样， R m n为一个实线性空间．
．
例3
次数不超过n 的多项式的全体记作 P[ x]n ，即
T
, x ,, x T , A x1 2 n A
1
x1 , x2 ,, xn T
x1 , x2 ,, xn T
.
例 8 在P [ x ] 3 中 取 两 组 基
1 x 3 2 x 2 x , 2 x 3 x 2 x 1, 3 x 3 2 x 2 x 1,
向量组线性无关等价于 k11 k 2 2 k s s 0 当且仅当 k1 k 2 k s 0 时成立．
定理1
V中 的 两 组 向 量 ， 如 果1 , , r 线 性 无 关 ， 且 可 在r个 向 量 ， 不 妨 设 为 1 , , r 用 1 , , r 代 ，
T


y 1 , 2 ,, n V , C , 对于通常的加法和数乘
T
运算，V 构成线性空间，是一个复线性空间，称为 n 维复坐标向量空间，记作 C ． 若将上例中的 C 全换成 R ，则可得到 n 维实坐 n 标向量空间，记作 R ．
n
C n 和 R n是最常用的两个线性空间．
线性表示．
定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意 有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表 出，则称S 是V 的基． 定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量． 有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n ．
设V中 的 元 素 在 基 两 组 下 的 坐 标 分 为 别
x1 , x 2 , , x n
T
, x ,, x T , , x1 2 n
x1 x1 x2 x 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n 2 x x n n
1 3 , 1 2
故坐标变换公式为 x1 ' x1 x2 ' 1 x2 x ' B A x . 3 3 x ' x 4 4
(1 , 2 , 3 , 4 ) ( x3 , x 2 , x,1) A, (1 , 2 , 3 , 4 ) ( x3 , x 2 , x,1) B,
1 1 1 1 2 0 2 2 1 2 1 1 1 1 其中 A , B 0 2 1 1 1 1 0 0 1 2 2 1 1 1 所以 ( 1 , 2 , 3 , 4 ) (1 , 2 , 3 , 4 ) A1 B,
mn
, V y C m y Ax , x C n ,


F=C ，定义与 C m 中相同的运算， V 构成一个复线 性空间，叫做矩阵Ａ的列空间，或A的值域，记为 R(A)．
R ，在其中定义加法 例６ 正实数的全体，记作
及乘数运算为 a b ab, a a , R, a, b R . 对上述运算 R 构成实数域R上的线性空间．