北师大版 等腰三角形

（更上一层楼！）
1．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．
求证：AD=AE．
2．如图所示，∠BAC=∠ABD, AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.
3．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？
用符号表示为：∵∠B=∠C，∴AB=AC
例1如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO②∠BEO=∠CDO ③ BE=CD ④ OB=OC,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形,选择其中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形
例2如图所示已知点D在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证∠BAD=∠CAE
（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗?若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．
（更上一层楼！）
1．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是( )
A．BC边上的高和中线互相重合B．AB和AC边上的中线相等
C．三角形中顶点为B和顶点为C的角平分线相等D．AB，BC边上的高相等
（加油！老师相信你！）
一．全等三角形的判定及性质
判定定理简称
判定定理的内容
边边边“SSS”
三边分别相等的两个三角形全等
边角边“SAS”
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
角边角“ASA”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
角角边“AAS”
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
二.等腰三角形的性质：
（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？
证明你的猜想。
(不断反思，不Leabharlann 进步！)一、本节课我做的比较好的地方是：
二、我需要努力的地方是：
（仔细审题，认真作答！）
1．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：
2．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是( )
A．B．C．D．
3．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为________．
三．等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
（1）△BCE≌△ACD；
（2）CF=CH；
（3）FH∥BD.
2．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
例4.如图,在△ABC中,D、E两点分别在边AC、AB上,AB-AC,BC=BD,AD=DE=BE,,求∠A的度数.
例5．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高；
（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以说明；
10．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为___________
11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=度．
C.AB=AC=2，BC=4 D.AB=3，BC=7，周长为10
2．如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于( )
A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm
3．在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，下列条件中，不能使BD＝CE的是( )
A．BD，CE为AC，AB上的高B．BD，CE都为△ABC的角平分线
6．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=°．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D点，则BD=_________．
8．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=°．
9．如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°，则∠D的度数为_____.
A．2.5 B．3C．3.5 D．4
（更上一层楼！）
1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
例3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CEB．AD=AEC．DA=DED．BE=CD
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1．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）
A.∠A=30°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=80°
A．1组B．2组C．3组D．4组
4．等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120
1)等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
2)等腰三角形的三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
说明：
（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；
②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．
（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，AD平分∠BAC
或∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC
或∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC．
②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情
C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACBD．∠ABD＝∠BCE
4．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒
2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
3．如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
例1.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是
例2..一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．
例3 .如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为．
况只有一条对称轴．
拓展：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高线，两个底角的平分线分别相等
（2）等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距高之和等于一腰上的高．
（3）等腰三角形顶角的平分线（底边上的高线、中线）上的任意一点到两腰的距离相等
（4）等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（底边上的高线、中线）所在直线就是它的对称轴