直线与圆的位

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《直线和圆的位置关系》PPT课件

例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线.
O AC B
巩固练习
如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与
切线的其他重要结论
纳
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
探究新知
知识点 2 切线的性质定理
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA.
课堂小结
直线与圆的位置关系
定义性质
相离相切相交公共点的个数
d与r的数量关系
判定
定义法性质法
相离:0个;相切：1个; 相交：2个
相离:d>r;相切:d=r 相交:d<r
0个：相离；1个：相切； 2个：相交
d>r：相离;d=r:相切 d<r：相交
人教版数学九年级上册
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
我们说这条直线是圆的切线;
点
l
归
2.数量关系法：圆心到这条直线的距
dr
离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
l
纳 3.判定定理：经过半径的外端且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
O
A
l
探究新知
素养考点 1 通过证明角是90°判断圆的切线

直线和圆的位置关系

y
O
－２
x
例4 圆 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 3 0 上到直线 x + y + 1 0
的距离为 5 的点共有 2 个.
练习２：
圆 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 3 0 上到直线 x + y + 1 0 的距离为h的点有且只有3个，则h = . 2
课后作业：
1. P88 23、 24
2. 已知直线 l :(2m+1)x+(m+1)y = 7m+4 (m∈R）圆C：(x-1)2+(y-2)2 = 25. （1）证明：不论m取什么实数直线 l 与圆C总
相交；
（2）求直线 l被圆C截得的弦的最短长度及此时的直线方程.
优山美诗 / 优山美诗
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y B
D
A C
O
x
小结：圆的弦长的计算
方法1：求出A、B坐标，利
B
D
用两点间距离公式；方法2：|AB|= 1 + k 2 x1 - x 2
(1 + k 2 )[( x1 + x 2 ) 2 - 4 x1 x 2 ]
A
d
r
C
方法3: |AB|=2 r 2 - d 2
练习１ 2 2 2 1.已知直线 l : 2 x + 3 y + 1 0 被圆C： x +y r所截得的弦长为m，则下列直线中被圆C截得的弦长同样为m=1 和过点P( -1 ,2) 的直线 L.
(1)试判断点P的位置.
(2)若直线 L 与圆 C 相切 ,求直线 L 的方程. (3)若直线 L 与圆相交于 A 、B 两点,求直线 L 的斜率范围. (4)当直线 L的斜率为-1时,试判断它们的位置关系. (5)若直线 L 与圆相交于 A 、B 两点 ,且满足 OA⊥OB, 求直线 L 的方程.

初三数学直线和圆的位置关系

初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。

3、直线和圆位置关系

1、直线与圆的三种位置关系：（1）当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；（2）当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

这时直线叫做圆的切线，唯一公共点叫切点。

（3）当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交。

这时直线叫做圆的割线。

2、直线与圆位置关系的数量描述：如果O 的半径为R ，圆心O 到直线L 的距离为d ，那么（1）直线L 与O 相交⇔0≤d<R （2）直线L 与O 相切⇔d=R （3）直线L 与O 相离⇔d>R3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

二、例题精讲：例1、如图，在Rt ABC ∆中，ACB=90A=30BC=4∠∠，，（1）以C 为圆心、3为半径的C 与直线AB 有怎样的位置关系？（2）以C为圆心、3.5为半径的C 与直线AB 有怎样的位置关系？（3）要使C 与直线AB 相切，C 的半径长应该是多少？（4）设C 的半径长为R ，如果C 与直线AB 有公共点，请写出R 的取值范围。

例2、如图，在ABC ∆中，C=90A=30∠∠，，O 是AB 上一点，BO=a ，O 的半径r 为12；问：当a 在什么范围内取值时，直线BC 与O 相离？相切？相交？CBAB例3、如图、已知折线ABCD ，作ABC ∠、DCB ∠的平分线相交于点I ，又作IE BC ⊥，E 是垂足。

以I为圆心、IE 为半径作I（1）请说明I 与BC 必相切。

（2）请问：I 与AB 、CD 都相切吗？为什么？例4、已知AB 是O 的直径，C 是AB 延长线上一点，且BC=OB（1）如图①，过点C 作射线CD ，使30ACD ∠=。

求证：CD 是O 的切线（2）如图②，作弦AP ，使30PAC ∠=，联结CP 。

问：CP 是不是O 的切线？并说明理由。

例5、如图，ABC ∆内接于O ，过点B 作射线BP ，使CBP=BAC ∠∠。

求证：BP 是O 的切线。

直线与园的位置关系

2、已知⊙O的直直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离为______； =5cm （2）若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离为______；（3）若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离为______． >5cm
小结：
两判定直线与圆的位置关系的方法有____种：直线与圆的公共点（1）根据定义，由_____________________ 的个数来判断；
正确错误
选择
1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与 ⊙O没有公共点，则d为（ A ）： A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位置关系是（ C ）： A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
正确
错误
1、已知⊙O的直径为12cm．（1）若圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O 的位关系为________；相离（2）若圆心O到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O 的位置关相切系为________；（3）若圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O 的位置关相交系为________．
直线和圆的位置关系
使至塞上
王维
单车欲问边，属国过居延。征蓬出汉塞，归雁入胡天。大漠孤烟直，长河落日圆。萧关逢候骑，都护在燕然。
大漠孤烟直，
长河落日圆。
如果我们把太阳看作圆，地平面看作直线，那么直线与圆的位置关系是如何的呢？
符号“”读作 “等价于”。它表示从左端可以推出右端，并且从右端也可以推出左端。
.O
a与⊙O无交点 b与⊙O有1个交点
圆与直线相离圆与直线相切
c与⊙O有2个交点

直线与圆的位置关系

那么直线和圆有几个公共点？为什么?
2、已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的关系分别为以下情况，那么圆的半径应分别取怎样的值？（1）相交；（2）相切；（3）相离。
例、在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3cm，BC=4cm.
(1)以A为圆心，3cm为半径的圆与直线BC的位置关系是
以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC的位置关系是相切 ;
0
相离 ; 以A为圆心，3.5cm为半径的圆与直线BC的位置关系是相交 .
(2)以C为圆心，半径r为何值时， ⊙C与直线AB相切？相离？相交？
BCຫໍສະໝຸດ A小结：说一说，这节课你有哪些收获？
课后思考
⑴垂直于半径的直线是圆的切线吗？
⑵过半径外端的直线是圆的切线吗？ ⑶过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线吗？ ⑷过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线吗？
当直线与圆的位置关系是相交时，
知识梳理：
直线和圆的位置关系图形公共点个数公共点 d 与 r 名称的关系直线名称
相离相切
没有
d>r
切点
一个
d=r d<r
切线
相交
两个
割线
练一练！
1、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为（1）d=4.5cm （2）d=6.5cm （3）d=8cm，
分层作业：
1.基础题：作业本(2)P21；
2.自选题：
如图，一热带风暴中心O距A岛为2千米，风
暴影响圈的半径为1千米.有一条船从A岛出发沿
AB方向航行，问∠BAO的度数是多少时船就会进入风暴影响圈？
B A O
挑战自我！
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC, ∠C= 30° ，AD=1，AB=2.

直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点；（2）直线与圆相切：有一个公共点；（3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2；（3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系．若0∆<，则直线与圆相离；若0∆=，则直线与圆相切；若0∆>，则直线与圆相交．（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：d r <⇔相交，d r =⇔相切，d r >⇔相离．二、计算直线被圆截得的弦长的常用方法（1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．（2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式2221(1)[()4]A B A B A B AB k x x k x x x x =+-=++-三、圆与圆的位置关系的判定设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>，则有：12121C C r r C >+⇔与2C 外离；12121C C r r C =+⇔与2C 外切；1212121r r C C r r C -<<+⇔与2C 相交；1212121()C C r r r r C =-≠⇔与2C 内切；12121C C r r C <-⇔与2C 内含；四、圆的切线方程问题（1）已知22222222123:,:()(),:0,O x y r O x a y b r O x y Dx Ey F +=-+-=++++=则以00(,)M x y 为切点的1O 的切线方程200;xx yy r +=2O 的切线方程200()()()(),x a x a y b y b r --+--=3O 切线方程0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++= （2）已知圆的222x y r +=的切线斜率为k ，则圆的切线方程为21y kx r k =±+（3）已知切线过圆外一点11(,)P x y ,可设切线方程为11(),y y k x x -=-利用相切条件确定斜率k ，此时必有两条切线，不能漏掉斜率不存在的那一条切线．（4）切线长公式：从圆外一点00(,)P x y 引圆222()()x a y b r -+-=的切线，则P 到切点的切线段长为22200()()d x x y y r =-+--；从圆外一点00(,)P x y 引圆220x y Dx Ey F ++++=的切线，则P 到切点的切线段长为220000d x y Dx Ey F =++++五、圆系方程（1）同心圆系2220000()(),,x x y y r x y -+-=为常数，r 为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系22200()(),x x y y r -+-=r 为常数，圆心00(,)x y 在直线0ax by c ++=上移动．（3）过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-．当1λ=-时，方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程：直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交，则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程．题型一、直线与圆相交【例1】直线10x y -+=与圆()2211x y ++=的位置关系是_________．【例2】圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有_________个．【例3】判断直线210x y -+=和圆2222410x y mx my m +--+-=的位置关系，结论为（）A ．相交但直线不过圆心B ．相交且直线过圆心C ．相交或相切D ．相交、相切或相离【例4】自点()64P -，向圆2220x y +=引割线，所得弦长为62，则这条割线所在直线的方程是．【例5】直线023=+-y x 被圆224x y +=截得的弦长为_______.【例6】若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l ：y kx =的距离为22，则k 的取值范围是_________．【例7】圆22(2)(3)4x y -++=上与直线20x y -+=距离最远的点的坐标是_________．【例8】若直线l 与圆22(1)4x y ++=相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l的方程为．题型二、直线与圆相切【例9】若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(12)P -，，则ab 的积为_________．【例10】过点()4,4引圆()()22134x y -+-=的切线，则切线长是_________．【例11】动圆C 经过点)0,1(F ，并且与直线1-=x 相切，若动圆C 与直线122++=x y 总有公共点，则圆C 的面积（）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π【例12】求过点(24)A ，向圆224x y +=所引的切线方程为．【例13】已知圆的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为(1,1)A --，要使过定点A 作圆的切线有两条，则a 的取值范围是_________．【例14】过点(2,4)A --且与直线l ：3260x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程为．【例15】过直线2x =上一点M 向圆()()22511x y ++-=作切线，则M 到切点的最小距离为_______．【例16】已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆:C 222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，那么四边形PACB 面积的最小值为_______，此时P 点的坐标为_______．【例17】已知圆224O x y +=：，过点(2,4)P 与圆O 相切的两条切线为,PA PB ，其中A B 、为切点，求直线AB 的方程．题型三、综合问题【例18】直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是_________．【例19】圆224x y +=被直线3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小为_________．【例20】过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________．【例21】若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为____________．【例22】若过定点(10)M -，且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是____________．【例23】若过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是_________．【例24】直线经过点332P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，被圆2225x y +=截得的弦长为8，则此弦所在直线方程为____________．课后练习【题1】圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是_________．【题2】直线2x =被圆224x a y -+=（）所截得的弦长等于23，则a 的为_________．【题3】如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是________．【题4】经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为____________．【题5】过点(1,2)P 的直线将圆22450x y x +--=分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为____________．【题6】过点(1,2)的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =_________．【题7】已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R ．（1）证明直线l 与圆相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时，求直线l 的方程．【题8】已知圆22:2440C x y x y +-+-=，问最否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由．。

直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 如何判断直线与圆的位置关系直线与圆一共有三种位置关系，相离、相切、相交，判断直线与圆的位置关系有两种方法，一种的比较圆心到直线的距离与半径大小，一种是联立方程组，看判别式与0的关系。

例题1 判断直线L ：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O ：922=+y x 的位置关系。

解析：方法一：直线L ：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点)23,21(-p ∵点P 在圆O 内， ∴直线L 与圆O 相交。

方法二：圆心O 到直线L 的距离为当d<3时，)22(9)12(22+<-m m ， ∴0174142>++m m ∴m ∈R 所以直线L 与直线O 相交。

2. 求切线方程例题2 已知点),(00y x p 是圆C ：222r y x =+上一点，求过点P 的圆C 的切线方程。

解析：∵点),(00y x p 是圆C ：222r y x =+上一点，∴22020r y x =+ 当00≠x 且00≠y 时，00x y k cp =，∴00y x k -=， ∴切线方程为)(0000x x y x y y --=-，即2202000r y x y y x x =+=+ （1） ∴切线方程为当P 为(0，r)时，切线方程为y=r ，满足方程(1)；当P 为(0，-r)时，切线方程为t=-r ，满足方程(1)；当P 为(r ，0)时，切线方程为x=r ，满足方程(1)；当P 为(-r ，0)时，切线方程为x=-r ，满足方程(1)；综上，所求切线方程为200r y y x x =+3. 相交弦问题例题3 若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB 的中点，求直线AB 的方程。

解析：圆心C(1，0)，1-=pc k ， ∵AB ⊥PC ，∴1-=AB k ，且AB 过点P ，∴直线AB的方程为y+1=x-2即y=x-3 。

直线与圆的位置关系

切的方法各有下秋．
Ｉｆ，ｆｒｌ，ｓｏｓｇｏ１ｓｂｄａｗｅｂｌｖｔｏｂ．ｅａｔｌｉｎｔｏｄＯ＂ａｓｅｉｅｉｔｅｉｅａａａｅ
Ｃ证明
・
．
如图，已知Ｄｃ是／Ｂ的平分线，是Ｄ＿ＡＯＤｃ上一点，（Ｄ与Ｏ相切于点Ｅ，证：Ｂ与（Ｏ相切．ＤＡ求ＯＤ过Ｄ作ＤＬＢ于点Ｆ，Ｆ＿Ｏ连接Ｄ．Ｅ
，
ＢＣ与ｏＯ相交．
三
切线的判定
在直线与圆的三种位置关系中．切是最为重要的一种，以相所切线的性质和判定显得尤为重要．
注意（）阗外一点可以１过
引圆的两条切线．（）圆上一点可以引厕的２过
与这个圆相离．
以上是判定直线与圆位置关系最根本的方法— — 定义法（一般不用。比较繁琐）．
＝直线与团位置关系的判定定理和性质定理（用数形结利
合的方法得到圆心到直线的距离与圆半径ｒ的关系）设圆半径为ｒ圆心到直线的距离为ｄ，．ｄ惜ＺｏＤ相切．＝与
ｏＤ切Ｏ于，Ａ
ＤＥ上Ｄ４．
’
’
．
．
又
・．
’
ＯＤ平分ＡＯＢ，
ＤＥ＝ＥＤ
‘
．．
即ｄ．＝ｒ
・．．
ｏＤ与ＯＢ相切．这是典型的应用方法ｂ证明的题目．（）

人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》圆PPT精品课件

出去的?
情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？
知识回顾
推进新课
回顾直线与圆相切：
切线
切点
判断直线和圆相切
有哪两种办法？
.
.O
直线与圆
相切
新知探究
切线具有的性质
1. 定义法：
和圆有且只有一个公共点
的直线是圆的切线.
2. 数量关系法（d=r ）：
圆心到直线的距离等于
半径的直线是圆的切线.
一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
归纳
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线的三种方法
O
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
l
A
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，
即d=r；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径
O r
d
l
A
O
的直线是圆的切线.
又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,
所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.
所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
人教版数学九年级上册
直线和圆的位置关系
第3课时
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2. 运用切线长定理进行计算与证明.
复习引入
问题1
在同一个平面内，有一点和⊙，过点能否作
1
• ∴MN= 2 OM=2.5cm.
• 所以(1)⊙M与直线OA相离，因为r<MN.
• (2)⊙M与直线OA相交，因为r>MN.
• (3)⊙M与直线OA相切，因为r=MN.
综合应用
• 6.已知⊙O的半径为 2 ，直线l与点O的距离为d，

圆与直线的位置关系

圆与直线的位置关系在几何学中，圆和直线是常见的几何对象，它们之间的位置关系有着重要的理论和实际应用价值。

本文将探讨圆与直线的不同相交情况以及相应的性质和应用。

一、相交情况1. 直线与圆相交当一条直线与圆相交时，可能存在三种不同的相交情况：相离、相切和相交。

（1）相离情况：当直线不与圆相交，且直线与圆的中心距离大于圆的半径时，可以判断直线与圆相离。

（2）相切情况：当直线与圆相交，且直线与圆的中心距离等于圆的半径时，可以判断直线与圆相切。

相切的情况下，直线与圆只有一个交点。

（3）相交情况：当直线与圆相交，且直线与圆的中心距离小于圆的半径时，可以判断直线与圆相交。

相交的情况下，直线与圆有两个交点。

2. 直线与圆的位置关系在直线与圆相交的情况下，可以进一步讨论直线与圆的位置关系。

（1）两条切线：当直线与圆相交于两个交点时，这两个交点连同圆心构成的直线称为切线。

切线与圆的切点处于圆上，切线与圆的切点处的切线方向垂直于半径。

（2）割线：当直线与圆相交于两个交点时，这两个交点连同圆心构成的直线称为割线。

割线的两个端点分别处于圆的内部和外部。

二、圆与直线位置关系的性质和应用1. 直径与切线的关系当直线通过圆的圆心，并且与圆相交于两个交点时，该直线称为直径。

直径是圆上任意两点之间距离的最大值。

根据圆的性质，直径与圆上任意切点处的切线垂直。

2. 切线定理切线定理是指在圆上任取一点和该点处的切线，该点与圆心连线与切线的切点连线所夹的角等于切线和该点处的切线段之间的角。

该定理在解决相关几何问题时具有重要的应用价值。

3. 圆与直线的应用圆与直线的位置关系在很多实际问题中都有重要应用，例如：（1）导航定位：通过确定某一圆上的两个已知点和与该圆相切的直线，可以确定导航目标的位置与方向。

（2）机械设计：在机械设计中，圆与直线的位置关系可以用于确定零件的相对位置和运动轨迹，有助于提高机械系统的设计精度。

（3）轮胎与地面的摩擦力：轮胎与地面接触时，通过轮胎与地面的接触点构成的直线与圆的位置关系，可以分析轮胎与地面的摩擦力和抓地力，以提高汽车的行车安全性。