高考数学第二章 第十节 第二课时 函数的极值与最值

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考点一
运用导数解决函数的极 值问题
多维探究 题点多变考点——多角探明
4．已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数 a 的取值
范围是( )
A．(－∞，0) C．(0,1)
B．0，12 D．(0，＋∞)
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3．函数的最值与导数 (1)函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x0 指的是：函数在这个区 间上所有点的函数值都 不超过 f(x0)． (2)函数 y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x0 指的是：函数在这个区 间上所有点的函数值都 不小于 f(x0)．
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运用导数解决函数的极 值问题
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角度一 知图判断函数极值
1．(2018·赤峰模拟)设函数 f(x)在定义域 R 上可导，其导函数 为 f′(x)，若函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如 图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
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1．函数 f(x)＝(x2－1)2＋2 的极值点是( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝1 或－1 或 0
D．x＝0
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解析：导函数f ′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴 下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A. 答案：A
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2．(2018·济宁模拟)函数 f(x)＝12x2－ln x 的最小值为( A )
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1．函数的极大值 在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数 值都小于 x0 点的函数值，称点 x0 为函数 y＝f(x)的极大值点， 其函数值 f(x0)为函数的极大值． 2．函数的极小值 在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的函数 值都 大于 x0 点的函数值，称点 x0 为函数 y＝f(x)的极小值点， 其函数值 f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为 极值 ， 极大值点与极小值点统称为极值点．
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[锁定考向] 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选 择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中、高档题． 常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值； (3)已知函数极值情况求参数值(范围)．
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[小题纠偏]
已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，当 x＝－1 时有极值 0，则 a＋b
的值为___1_1____．
解析：
f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得
f′－1＝0， f－1＝0，
即
－6a＋b＋3＝0， a2＋3a－b－1＝0，
解之，得
a＝1， b＝3，
或
a＝2， b＝9.
当a＝
1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，所以f(x)
在x＝－1处无极值，舍去．所以a＝2，b＝9.所以a＋b＝11.
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[小题诊断] 1．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f ′(x)在(a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值点的 个数为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
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，f(2)＝－
10 3
，故f(x)在[0,2]上的最小
值是f(1)＝－137.
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易错通关
已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端 导函数的符号．
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角度二 已知函数求极值
2．(2017·高考全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1
的极值点，则 f(x)的极小值为( )
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运用导数解决函数的极 值问题
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又∵当 x→0 时，g(x)→－∞，当 x→＋∞时，g(x)→0，
而 g(x)max＝g(1)＝1，
∴只需 0＜2a＜1，即 0＜a＜12. 答案：B
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2．已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx 的图象如
图所示，则 x21＋x22等于( )
解析：∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∴由 f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0， 得 x＝0 或 x＝1 或 x＝－1， 又当 x＜－1 时 f′(x)＜0，当－1＜x＜0 时，f′(x)＞0， 当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0，当 x＞1 时，f′(x)＞0， ∴x＝0,1，－1 都是 f(x)的极值点． 答案：C
A.12
B．1
C．0
D．不存在
解析： f′(x)＝x－1x＝x2－x 1，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；
令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，
且f(1)＝12－ln 1＝12.
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运用导数解决函数的百度文库 值问题
多维探究 题点多变考点——多角探明
解析：由题图可知，当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当 x＝－2 时， f′(x)＝0；当－2＜x＜1 时，f′(x)＜0；当 1＜x＜2 时，f′(x) ＜0；当 x＝2 时，f′(x)＝0；当 x＞2 时，f′(x)＞0.由此可得 函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得极小值．故 选 D. 答案：D
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
D．1
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解析：因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋ (x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x) ＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的 根，所以 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1. 令 f′(x)>0，解得 x<－2 或 x>1，令 f′(x)<0，解得－2<x<1，所 以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1， ＋∞)上单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值 ＝f(1)＝－1.
第二章 函数、导数及其应用 第十节 导数的应用 第二课时 函数的极值与最值
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1．函数的极值 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数 求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．最值 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不 超过三次)．
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解析：∵f(x)＝x(ln x－ax)， ∴f′(x)＝ln x－2ax＋1， 故 f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令 f′(x)＝0，则 2a＝ln xx＋1， 设 g(x)＝ln xx＋1，则 g′(x)＝－xln2 x， ∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
C．4
D．2
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解析：由题意得 f′(x)＝3x2－12，由 f′(x)＝0 得 x＝±2，当 x ∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增，当 x∈(－2,2) 时， f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减，当 x∈(2，＋∞)时，f′(x) ＞0，函数 f(x)单调递增，所以 a＝2. 答案：D
＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
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解析：f(x)＝x(x2－2mx＋m2)＝x3－2mx2＋m2x，所以 f′(x)＝ 3x2－4mx＋m2＝(x－m)(3x－m)．由 f′(1)＝0 可得 m＝1 或 m ＝3.当 m＝3 时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，当 1＜x＜3 时，f′(x) ＜0，当 x＜1 或 x＞3 时，f′(x)＞0，此时在 x＝1 处取得极大 值，不合题意，∴m＝1，此时 f′(x)＝(x－1)(3x－1)，当13＜x ＜1 时，f′(x)＜0，当 x＜13或 x＞1 时，f′(x)＞0，此时在 x ＝1 处取得极小值．选 B. 答案：B
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运用导数解决函数的极 值问题
方法技巧
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解决函数极值问题的一般思路
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考点一
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答案：A
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角度三 已知函数极值情况求参数值
3．(2016·高考四川卷)已知 a 为函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点，
则 a＝( )
A．－4
B．－2
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3．(2018·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是
( D) A．y＝x3
B．y＝ln(－x)
C．y＝xe－x
D．y＝x＋2x
解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选
D.
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4．已知函数 f(x)＝x(x－m)2 在 x＝1 处取得极小值，则实数 m
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5．函数 f(x)＝13x3＋x2－3x－4 在[0,2]上的最小值是_－__13_7____．
解析： f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－
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