【教案】 解分式方程

解分式方程

一、教学目标

（一）、知识与能力目标

1．使学生了解分式的概念，使学生能够求出分式有意义的条件，明确分母不得为零是分式概念的组成部分。

2．分式方程的解法及化归思想。

3、理解分式方程必须验根的原因。

（二）、过程与方法目标

能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题。

（三）情感与价值目标

在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。

培养学生严谨的思维能力。

在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

二、教学重点

分式方程的解法及其应用。

三、教学难点

1、准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点．教学方法:分组讨论。

2、理解解分式方程时产生增根的原因，分式方程的应用。

四、教学方法

启发式设问和同学分组讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用

五、教学过程

（一）、组织教学：检查学生进班情况

（二）、复习巩固：

1、什么是一元一次方程？

2、怎样解一元一次方程？

（三）、引入新课：

1、情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林的面积是多少公顷?

(1)、这一问题有哪些等量关系？

（2）、如果设原计划每月固沙造林X 公顷，那么原计划完成一期工程需要___________个月，实际完成___________公顷。

2、课本例题：一首轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，将水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v 千米/时，填空：

轮船顺流速度为___________千米/时，逆流航行速度为___________千米/时，顺溜航行100千米所用时间为___________小时，逆流航行60千米所用时间为___________小时。

完成上面的填空后，根据“两次航行所用时间相等”这一等量关系，可以得到方程

v v -=+206020100 ①

1、v +20100 与 v -2060

是整式？还是分式？

2、 它们为什么是分式？

方程①的分母中含有未知数v ，像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程。我们以前学习的分式方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中。

（四）、讲解新课：

1、分式方程的意义：（对比讲解整式方程的意义）

2、判断下列各式哪些是分式方程？

（1）、x+y=1 （2）、3

z -y 252x =+ （3）、2-x 1 （4）、5x 3-y + （5）、1x 1x =+ （6）、5237

x x +=- 3、可化为一元一次方程的分式方程解法讨论：

举例：（1）、解方程1）、x x -=+206020100

2）、 2510512-=-x x ②

解：1）、原分式方程中各分母的最简公分母是（20+x ）（20-x ）

因此给方程两边同乘（20+x ）（20-x ），得

100（20-x ）=60（20+x ）

解得

x=5

检验：将x=5代入1）中，左边=4=右边，因此x=5是分式方程1）的解。 由上可知，江水的流速为5千米/时。

归纳：解分式方程1）的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。

2）、讨论：方法相同，为什么一个是方程的解，一个却不是？

原因：方程两边同乘以最简公分母（含未知数的式子），如1）中（20+v ）（20-v ）,2)中（x+5）（x-5）。由等式的基本性质，两边只能同时乘以不为零的数，故（20+v ）（20-v ）≠0，即v ≠±20。由（x+5）（x-5）≠0可以得知x ≠±5时，整式方程才同解，即整式方程的解使整式方程成立，也能使分式方程成立，两个条件缺一不可，否则，原分式方程无解。如2），只有x=5时。整式方程成立，但分式方程无解，即原分式方程不可能成立，即无解。

原因分析：如2）中， 2510512-=-x x

通分得到)5)(5(10)5)(5(5-+=

-++x x x x x

同分母分式值相等的条件知：

⎰-+=+)5)(5(05x x x =0

解之得x=5和x ≠±5

所以：两个条件不可能同时成立，即原分式方程左边不可能等于右边。 并且：检验方法：将整式方程的解代入最简公分母中，最简公分母为0，无解，不为0，它是原分式方程的解。

（3）、归纳解分式方程的步骤（三步）：

第一步，找出分式方程的最简公分母；

第二步，通分，解出得数；

第三步，检验分式的根。

（4）、范例讲解：x x 332=-

解：原分式方程中各分母的最简公分母是x(x-3)

因此给方程两边同乘x(x-3),得

2x=3(x-3)

解之得x=9

（五）、课外练习：1、P29解方程；

2、P32 1、5）、6）。

（六）、小结：分式方程及其解法

（七）、作业：P32 1、1）—4）

（八）、板书设计：小黑板

（九）、作业问题记录：略

（十）、教学反思：

分式是有理式的一个重要组成部分。在整式的概念、变形、四则运算及因式分解的基础上，进一步学习分式，它既是对整式的运用和巩固，也是对整式的延伸。分式的学习则需要类比分数的概念性质、运算法则等知识来完成。

在这一章的教学中，我首先从实际问题出发，类比分数，引出分式的概念；其次类比分数的基本性质和四则运算，学习相应分式的基本性质和四则运算；再次学习可化为一元一次方程的分式方程的求解；最后引入整数指数幂，把分式与负整数指数幂的互化有机地联系起来，同时又把科学记数法推广到绝对值小于1的数的表示。

结合学生的学习反馈，我认为在教学中应注意以下几个问题：

1、类比分数的概念性质，如分母不为零、零除以任何不为零的数都得零、一个数除以它本身都得1（零除外）、分子分母同号为正、异号为负等，可以帮助学生正确理解当分式中字母取何值时，分式有意义、分式无意义、分式值为零、分式值为1、分式值为正、分式值为负。

2、在进行分式的运算时，要强调运算顺序，要让学生体会到在运算的过程中，凡遇多项式要先因式分解再约分或通分，最后结果必须化为最简分式或整式。

3、在将分式方程化为整式方程求解的过程中，要渗透“转化思想”，要让学生知道可能产生增根，从而使学生认识到检验的目的和必要性。

4、学生容易出现提取负号后，括号里面各项不全变号的错误；容易将分式方程去分母的方法挪用到分式计算中去，出现随意去分母的错误等。