巧用旋转法解几何题资料讲解
巧“旋转”,妙解题
内一点，且 # + ) * - $ + ) # ，求 证 ：
解 析 ：虽 然 题 目 中 相 等 的 元 素 集 中 在 A + * ) 和
A + # ) 中 ，但 无 法 证 明 A + * ) 和 A + # ) 全 等 ，所以需要
把条件转移之后再利用，
例3 如图5 ，菱形A # C& 中 ，' 、（分别为# C 、C& 上的
点 ，且 # # 'A (*60。，求证:A '*A (+
ALeabharlann A解 析 ：如 图 6 ，连接A C ，证 明 A A # ' ! A A C ((A S A ) 即可!
事 实 上 ，A A C ( 可 以 看 成 是 A A # ' 绕点A 逆时针旋 转60。而 成 的 ，其实旋转为我们认识全等提供了一个新 的 角 度 ，即从动态的角度来重新认识全等.观察图2 、图 4,我 们 可 以 发 现 旋 转 必 然 会 产 生 “有公共顶点的等线 段 图 形 （线 段 和 中 点 、等 腰 三 角 形 、菱 形 、正 方 形 等 ）， 反 之 ，“有公共顶点的等线段图形（线段的中点、等腰 三角 形 、菱 形 、正 方 形 等 ）中必然隐藏着旋转型全等，我 们 只 需 找 到 它 们 ，问题便随之解决.
2018年 2 月
巧 “旋转”，妙解题
! ! 东省烟台市教育科学研究院辛珍文
图形的旋转是《义务教育数学课程标准(2011年 版 )》 规 定 的 学 习 内 容 ，旋转变换在初中几何中占据非常重 要 的 地 位 ，它 贯 穿 于 三 角 形 、四 边 形 、圆等几乎所有重 要 的 几 何 内 容 之 中 ，在 近 几年的中考试题中所占的比 重 不 断 上 升 ，是 中 考 的 热 点 ，而且相关试题往往构思巧 妙 ，令人耳目一新，学生在解决这类问题时倍感困难，经 常没有头绪.本文试图从三个层次来帮助学生掌握旋转 的 特 征 ，以期帮助学生抓住旋转的规律，从而轻松解决 问题.
巧旋转 妙解题
巧旋转 妙解题河北张家口市第十九中学 贺峰数学课程标准中“空间与图形”部分指出：平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化最简捷的基本形式之一，它们不仅是探索图形的一些性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具，在这一理念的引导下，各地中考和毕业考试加大了这方面的考察力度。
现将旋转在几何中的几个方面的应用举例说明：一、 利用旋转求值例1如图1，P 是正三角形 ABC 内的一点，且P A ＝6，PB ＝8，PC＝10．若将△P AC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P 'AB ，则点P 与点P ' 之间的距离为_______，∠APB ＝______0． 解析：如图2，连接PP '，由旋转可得P A ＝P 'A ，P 'B ＝PC ，∠P AC ＝∠P 'AC ，因为三角形 ABC 为正三角形，所以∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AC＝600，所以∠P 'AP ＝600，所以△P 'AP 为正三角形，PP '＝6，在△P 'BP 中，因为PP'＝6，PB ＝8，P'B ＝10，所以△P'B 为直角三角形，此时∠P 'PB ＝900，因此∠APB ＝∠APP '＋∠P 'PB ＝600＋900＝1500。
说明：图形旋转前后，图形的大小形状并不改变，只是位置发生的变化，解决旋转求值问题题一定抓住旋转中心与旋转角将其转化为特殊三角形是解题的关键。
二、 利用旋转说理例2如图3，在网格中有一个四边形图案．(1)请你画出此图案绕点D 顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；(2)若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点A 的对应点依次为A 1、A 2、A 3，求四边形AA 1A 2A 3的面积；(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．解析：(1)如图4，正确画出图案(2) S 四边形AA 1A 2A 3＝S 四边形AB 1B 2B 3－4S △BAA 3＝(3＋5)2－4×12×3×5 ＝34故四边形似AA 1A 2A 3的面积为34． (3)结论：AB 2+BC 2=AC 2或勾股定理的文字叙述说明：本题将作图、求值、猜想等知识有机地结合在一起，让学生充分经历到了由形到数、数形结合的数学体验，通过动手操作、计算、观察、归纳、猜想结论的模式来解决问题。
巧用旋转法解几何题资料讲解
巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。
例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
解：作MC⊥CP，使MC=CP，连接PM，BM∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ）∴MB=AP=3∵PC=MC ，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MC PC =22PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2+PM 2=（22）2+12=9=BM 2∴⊿MPB 是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。
旋转变换解题的高效技巧与策略
旋转变换解题的高效技巧与策略在解决数学或几何问题时，旋转变换是一种常用且有效的技巧。
通过旋转图形或坐标系，我们可以简化问题，找到更加高效的解决方案。
本文将介绍使用旋转变换解题的一些技巧与策略，并通过一些实例来加深理解。
首先，让我们来了解旋转变换的基本原理。
旋转变换是将图形或坐标系绕某个中心点旋转一定角度的操作。
它可以改变图形的朝向、位置和形状，使问题更易于理解和解决。
一、利用旋转变换简化图形问题当我们面对一个复杂的图形问题时，可以尝试通过旋转变换将其简化。
以下是一个实例：问题：一个正方形ABCD，边长为2，要证明两条对角线相等。
解决方案：我们可以通过旋转变换将问题简化。
将正方形绕其中心点O逆时针旋转90度，得到正方形A'B'C'D'。
由于旋转不改变长度和角度，故正方形A'B'C'D'的边长也为2，且AB'与AD'相交于点E。
接下来，我们可以通过证明三角形ABE与三角形ADE全等来得到结论。
因为旋转变换不改变形状，所以两个相等的角旋转后仍然相等。
因此，我们可以得出结论：正方形ABCD的两条对角线相等。
通过利用旋转变换简化问题，我们可以更清晰地理解并解决问题。
二、利用旋转变换求解几何问题旋转变换还可以用于解决一些几何问题。
以下是一个实例：问题：一个等边三角形ABC，要证明角度BAC的大小。
解决方案：我们可以通过旋转变换求解。
将等边三角形ABC绕顶点A逆时针旋转60度，得到等边三角形ABA'。
由于旋转不改变角度大小，我们可以得知角BAA'的大小为60度。
又因为等边三角形ABA'的三条边长度相等，所以角BAA'、角BAC和角CAC'也相等。
通过旋转变换，我们可以得出结论：角BAC的大小为60度。
三、旋转变换在坐标系中的应用除了图形问题和几何问题，旋转变换还可以在坐标系中得到应用。
以下是一个实例：问题：平面上有一条线段AB，坐标分别为A(2, 4)和B(6, 8)，要求将线段绕原点顺时针旋转45度后的坐标。
巧用旋转解题例说
)))巧用旋转解题例说■ 韩敬摘要: 旋转是图形变换之一，它在解题中有着广泛的应用，本文是从等线段的视角下，利用旋转来思考，达到快速解题的目的．关键词: 等线段; 旋转; 速解题所谓旋转就是在平面内，把一个图形绕着一个定点沿顺时针或逆时针方向旋转一定的角度得到另一个 图形的变换． 旋转“前后的对应线段相等”这一特性在解题或分析问题中有着重要的作用． 当条件中或结论中出现或隐含着共顶点等线段，且不能直接解决时，我 们可用旋转法来解答，会有出奇制胜的效果．一、直接利用共顶点等线段旋转来解答 例 1 ( 2015 年江苏常州市)如图 1，在 ⊙O 的内接四边形接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判 定的应用． 速解本题的关键是将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转120° 得 △C B E ． 二、先寻找共顶点的等线段，再用旋转来解答 例2 ( 2014 年湖北武汉) 如图2，在四边形 A B C D 中，A D = 4，C D = 3，∠A B C = ∠A C B = ∠A D C = 45°， 则BD的长为 ．解析: 由 ∠A B C = ∠A C B = ∠A D C = 45°，得 A C = A B ，∠B A C = 90°，这里有共顶点等线段 A C = A B ，特殊角 ∠B A C = 90°，可考虑旋转，即把 △A B C 绕点 A 顺时针旋转90° 得△A C D '，由旋转性质得: C D ' = BD ， A D ' = A D ，∠D A D ' = ∠B A C = 90°，连接 DD '，从而得 ∠A DD ' = ∠A D 'D = 45°，所以 ∠C DD ' = ∠A DD ' + A B C D 中，A B = 3，A D = 5，∠B A D∠A D C = 90°，由勾股定理得 DD ' = 槡AD 2+ AD'2= = 60°，点 C 为BD 的中点，则 A C 4 槡2 ，C D ' = 槡CD 2+ DD'2= 槡41 ． 的长是．解析: 因为 A 、B 、C 、D 四点共圆，所以 ∠ABC + ∠D = 180°， ∠BCD = 180° － ∠BAD = 120°，图 1因为B C = C D ，所以B C = C D ，∠C A D = ∠C A B = 30°， 这里有共顶点等线段 BC = CD ，特殊角 ∠BCD = 120°，可考虑旋转，即将△A C D 绕点C 逆时针旋转120°得 △C B E ，则 ∠E = ∠C A D = 30°，∠D = ∠E B C ，B E = A D = 5，A C = C E ，从而得 ∠A B C + ∠E B C = 180°， 即 A 、B 、E 三点共线，过 C 作 CM ⊥ A E 于 M ，因为A C = C E ，所以 A M = E M = 1 × A E = 1× ( 5 + 3) = 4，在点评: 本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形 的判定与性质，勾股定理，难度较大，利用旋转方法来解答，可很快得解．图2 图3 三、挖掘共顶点等线段，用以探索解题思路 例 3 ( 2014 重庆市) 如图 3，正方形 A B C D 的边 2 2 长为6，点 O 是对角线 A C 、BD 的交点，点 E 在 C D 上，且Ｒt △A MC 中，A C = A M= 4 = 8 槡3 ． 故填: 8 槡3．D E = 2C E ，连接 B E ． 过点 C 作 C F ⊥ B E ，垂足是 F ，连 cos30° cos30° 3 3点评: 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接 O F ，则O F 的长为 ．作者简介: 韩敬( 1977 － ) ，男，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究·36·5解析: 在 B E 上截取 B G = C F ，连接 O G ，由 C F ⊥ B E ，可得 ∠E B C = ∠E C F ，因为 ∠OB C = ∠O C D = 45°，所以 ∠OB G = ∠O C F ，又 OB = O C ，可证 △OB G ≌ △O C F ，所以 O G = O F ，∠BO G = ∠C O F ，在 Ｒt △B C E 中，B C = D C = 6，D E = 2E C ，可得 E C = 2， BE = 槡BC 2+ CE 2== 2 槡10 ，由 CF ⊥ 图 4 图5 ( 2) 在图6 中，D E 与 A C B E ，易证 △B C F ∽ △B E C ，所以 B C ∶ B E = B F ∶ B C ，即6 ∶ 2 槡10 = B F ∶ 6，解得 B F = 9槡10s ，所以E F = B E － BF = 槡10 ，类似地可得 CF = 3 槡10，所以 GF = BF延长线交于点P ，BD 与D P 是否相等? 请直接写出你的结论，无需证明．分析: ( 1) 要证5－ BG = BF － CF = 5，因为 ∠BOC = ∠BOG + 5 BD =D P ，直观观察 BD 所在的三 角形只有 △ABD ，且它是钝图6∠G O C = ∠C O F + ∠G O C = ∠G O F = 90°，所以O G ⊥O F ，即在等腰直角 △O G F 中，O F 2= 1 G F 2 = 1 · 角的邻边，而 DP 所在的三角形只有△A D P ，且它是钝角的对边，因此这两个三角形 2 ( 6 槡10 ) 2，解得O F = 6 槡5 ． 故填: 6 槡5． 5 5 52 不可能全等． 于是利用所证结论 BD = DP 逆向思考， 利用旋转方法，把 △A D P 绕点 D 顺时针旋转 90°，得 △F DB ，这样就找到解题思路，即可过点 D 作 D F ⊥ A D 点评: 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角 三角形的判定以及相似三角形的判定与性质、勾股定理． 为什么要“在 B E 上截取 B G = C F ，连接 O G ”呢?理由: 由正方形 A B C D 得OB = O C ，∠BO C = 90°，因此可以考虑用旋转来找思路，即将把 △OCF 绕点 O 顺时针旋转90° 得△OB G ，此时△O G F 为等腰直角三角形，要求 O F 的长，只要求 G F 的长，而 G F = B F － B G ，于是只要求BF 与BG 的长，这可利用相似三角形求得，于是问题得解．四、根据结论中的共顶点等线段，逆向分析来探索解题思路例4 ( 2014 年黑龙江齐齐哈尔市) 在等腰直角三角形 A B C 中，∠B A C = 90°，A B = A C ，直线 M N 过点 A 且 M N ∥ B C ． 以点 B 为一锐角顶点作Ｒt △BD E ，∠BD E = 90°，且点 D 在直线 M N 上( 不与点 A 重合) ． 如图 4， D E 与 A C 交于点 P ，易证: BD = D P ． ( 无需写证明过程)( 1) 在图 5 中，D E 与 C A 延长线交于点 P ，BD = DP 是否成立? 如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由;交A B 于点 F ． 易证△A D P ≌ △F DB ，所以 BD = D P ; 可用同样的方法完成( 2) 、( 3) 问的解答． 解: ( 1) BD = DP 成立．证明: 过点 D 作 D F ⊥ M N ，交 A B 的延长线于点 F ，则△A D F 为等腰直角三角形，所以 D A = D F ． 因为∠1 + ∠A DB = 90°，∠A DB + ∠2 = 90°，所以 ∠1 = ∠2．因为∠D F B = ∠D A P = 45°，所以△BD F ≌ △P D A ，所以 BD = D P ．( 2) 答: BD = D P ．点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质． 本例是从结论入手，用旋转法逆向推理找到解题的思路，这就是作辅助线构造全等三角形的巧妙之处．通过上面的例子，可以看出: 共顶点的等线段有时在条件中直接给出( 如例 1) ，有时需要我们去寻找( 如例2、3) ，共顶点的等线段可以是条件中的( 如例2、3) ， 也可以是结论中的( 如例 4) ，若在条件中，则可顺推; 若在结论中，则可逆推．［安徽省定远县第一初级中学 ( 233200) ］·37·槡62+ 226 槡10。
利用旋转法解几何最值问题应用举例 教师版
利用旋转法解几何最值问题应用举例解析一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC 的最小值为．MN解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN 上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．解析：将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∴PA＝PA'，∠PAP'＝90°∴PP'＝PA＝2∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，此时P'B＝PP'+PB＝2+4，即P'B的最大值为2+4．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．A B M NP例6、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A ＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E 逆时针旋转60°得到EG ，连接BG 、CG ，则BG +CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．2+2解析：如图，取AB 的中点N ．连接EN ，EC ，GN ，作EH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝BD ，∵AE ＝ED ，AN ＝NB ，∴AE ＝AN ，∵∠A ＝60°，∴△AEN 是等边三角形，∴∠AEN ＝∠FEG ＝60°，∴∠AEF ＝∠NEG ，∵EA ＝EN ，EF ＝EG ，∴△AEF ≌△NEG （SAS ），∴∠ENG ＝∠A ＝60°，∵∠ANE ＝60°，∴∠GNB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G 的运动轨迹是射线NG ，易知B ，E 关于射线NG 对称， ∴GB ＝GE ，∴GB +GC ＝GE +GC ≥EC ，在Rt △DEH 中，∵∠H ＝90°，DE ＝2，∠EDH ＝60°，∴DH ＝DE ＝1，EH ＝，在Rt △ECH 中，EC ＝＝2，∴GB +GC ≥2，∴GB +GC 的最小值为2．故选：B ． 例7、如图，AB ＝6，点M 为线段AB 外一个动点，且AM ＝2，MB ＝MN ，∠BMN ＝90°，则线段AN 的最大值为 ．解析：如图，连接BN ，∵将△AMN 绕着点M 顺时针旋转90°得到△PBM ，连接AP ，则△APM 是等腰直角三角形，∴MA ＝MP ＝2，BP ＝AN ，∴PA ＝2，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值最大值＝AB +AP ＝6+2． 三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝4，BC ＝5，P 是△ABC内部的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值为 ．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,∴∠DBE+∠PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝，例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．BCDAEF解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF＝BC＝2，∴EF＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，∴DF＝BC＝×4＝2，∴AC＝DE≤DF+EF＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习1、已知x轴上一点A（1，0），B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边△ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．解析：将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△ACD，并作直线CD，延长AD交y轴于点A'．∵等边△ABC、等边△AOD，∴AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD＝60°∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC，∴∠BAO＝∠CAD在△BAO 和△CAD 中，∴△BAO ≌△CAD （SAS ），∴∠AOB ＝∠ADC ∵∠AOB ＝90° ∴∠ADC ＝90°，∴CD ⊥AD ，∴点C 随着点B 的运动形成的图形是直线CD∵∠AOA '＝90°，∠OAD ＝60°∴∠AA 'O ＝30°∴OA ＝AA ' ∴AD ＝OA ＝AA '∴点D 是AA '的中点，∵CD ⊥AD ，∴CD 是AA '的中垂线 ∴AC ＝A 'C ，∴AC +OC ＝A 'C +OC又∵点C 在直线CD 上运动，所以点O 、C 、A '三点共线时，A 'C +OC 的值最小，最小值为OA '的长． 在R △AOA '中，∠AOA '＝90°，∠OAD ＝60°，OA ＝1，O A '＝OA ＝，∴AC +OC 的最小值为．2、已知：AD ＝2，BD ＝4，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠ADB 变化时，则CD的最大值 ．解析：把△ADC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AEB ，则AE ＝AD ，BE ＝DC ，∠EAD ＝60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝DA ＝2，∠ADE ＝60°，当E 点在直线BD 上时，BE 最大，最大值为2+4＝6，∴CD 的最大值为6．3、如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是△ABC 所在平面上一点，且满足DB ＝6，DA ＝10，则CD 的最小值为E解析：将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ．则CD ＝BE ，△ADE 是等腰直角三角形，ED ＝10．∵AE 、AD 、BD 都是定值，∴当E 、B 、D 三点共线时，BE 最小，即CD 最小．此时BE 最小值为DE ﹣BD ＝10﹣5．故选：A ． 4、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝6，AB ＝5，点E 在AD 上，且AE ＝2，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．解析：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，∴EF ＝EG ，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ）∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线，∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝2，HM ⊥AD ，∴EM ＝1，MH ＝，∴线段GD 长度的最小值为，5、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG ，则 CG 的最小值为 ．C G HFM N解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动,将△EFB 绕点E 旋转45°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等腰直角三角形，点G 在垂直于HE 的直线HG 上，作CM ⊥HG ，则CM 即为CG 的最小值，作EN ⊥CM ，可知四边形HENM 为矩形，则CM ＝MN +CN ＝HE 2EC ＝3212 6、如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是A B GFA B G F H解析：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG，∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB+GC的最小值；在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.7、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD 长度的最小值为．EADB CFGEADB CF GH NM解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝2，HM⊥AD，∴EM＝1，MH＝，∴线段GD长度的最小值为，8、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝4，BP＝AN，∴PA＝4，∵AB＝8，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝8+4．9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是 ．解析：如图，将△PBF 绕点B 逆时针旋转60°得到△BFE ，作EH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝60°，∠PBF ＝60°，∵∠ABP ＝∠EBF ，∴∠EBF +∠BC ＝60°，∴∠EBC ＝120°，∵PB ＝BF ，∠PBF ＝60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB ＝PF ，∵PA ＝EF ，∴PA +PB +PC ＝CP +PF +EF ，根据两点之间线段最短可知，当E ，F ，P ，C 共线时，PA +PB +PC 的值最小，最小值＝EC 的长， 在Rt △EBH 中，∵∠EBH ＝60°，EB ＝6，∴BH ＝BE •cos60°＝3，EH ＝EB •sin60°＝3，∴CH ＝BH +CB ＝3+8＝11， ∴EC ＝＝＝2．10、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60°，在菱形ABCD 内部有一点P ，当PA+PB+PC 值最小时PB 的长为 ．B C A D P解析：将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，连接PE 、DE ，则当B 、P 、E 、D 四点共线时，PA +PB +PC 值最小，最小值为BD ．∵将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，∴△APC ≌△DEC ，∴CP ＝CE ，∠PCE ＝60°， ∴△PCE 是等边三角形，∴PE ＝CE ＝CP ，∠EPC ＝∠CEP ＝60°．∵菱形ABCD 中，∠ABP ＝∠CBP ＝∠ABC ＝30°，∴∠PCB ＝∠EPC ﹣∠CBP ＝30°，∴∠PCB ＝∠CBP ＝30°，∴BP ＝CP ，同理，DE ＝CE ，∴BP ＝PE ＝ED ．连接AC ，交BD 于点O ，则AC ⊥BD ．在Rt △BOC 中，∵∠BOC ＝90°，∠OBC ＝30°，BC ＝4， ∴BO ＝BC •cos ∠OBC ＝4×＝2，∴BD ＝2BO ＝4，∴BP ＝BD ＝． 即当PA +PB +PC 值最小时PB 的长为． 11、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，则对角线BD 长的最大值为（ ）A ．5B ．2C ．2D ．1解析：如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．则AK＝AB＝BK＝3，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS），∴DK＝BC＝2，∵DK+KB≥BD，DK＝2，KB＝AB＝3，∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝5．故选：A．12、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．解：如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，∴AC的最大值为2+2．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．解析：如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形△ABE，使得，EB＝EA，∠AEB＝90°．∵AB＝4cm，∴AE＝BE＝2，∵∠ABE＝∠DBC＝45°，∴∠ABD＝∠EBC ，∵＝＝，∴△ABD∽△EBC ，∴＝，∵AD＝3cm，∴EC ＝cm，∵AC≤AE+EC，∴AC ≤．∴AC 的最大值为cm.14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．解：如图，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．∵∠ABC＝∠AOC＝30°，∴点B在⊙O上运动，作OE⊥DA交DA的延长线于E．在Rt△AOE中，OA＝AC＝2，∠EAO ＝30°，∴OE＝OA＝1，AE＝，在Rt△ODE中，DE ＝AE +AD ＝2+，∴DO＝＝＝+，当B 、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD＝2++．第11页（共11页）。
初中数学善观察 巧旋转 妙解题学法指导
初中数学善观察巧旋转 妙解题学法指导沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。
一. 通过旋转，解答角度问题例1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。
求∠APB 的度数。
图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。
将△PAC 绕点A 逆时针旋转60°后，得到△FAB ，连接PF （如图2），则BF=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。
∴△FAP 是等边三角形，FP=PA=6。
在△PBF 中，222222BF 1068PF PB ==+=+ ∴∠BPF=90°∴∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°图2二. 通过旋转，计算线段长度问题例2. 如图3，P 是正△ABC 内一点，PA=2，32PB =，PC=4，求BC 的长。
图3解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。
将△BPA 绕点B 逆时针旋转60°，则BA 与BC 重合（如图4），BP=BM ，PA=MC ，连接MP 。
则△MBP 是正三角形，即2MC ,4PC ,32MP ===， 由222222PC 42)32(MC MP ==+=+， 故∠CMP=90°，因为PC 21MC =， 所以∠MPC=30°， 又因为∠MPB=60°， 故∠CPB=90°，得72PC PB BC 22=+=图4例3. 如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC （BC>AD ），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10。
初二学而思数学旋转在解几何题中的九种常用技巧
初二学而思数学旋转在解几何题中的九种常用技巧摘要：1.旋转的基本概念和作用2.九种常用旋转技巧概述3.旋转在解几何题中的应用实例4.总结与建议正文：随着年龄的增长和学业的深入，初二年级的学生已开始接触几何知识。
在学习过程中，旋转这一概念的应用越来越重要。
本文将为大家介绍初二学而思数学中，旋转在解几何题中的九种常用技巧，帮助大家在解题过程中事半功倍。
一、旋转的基本概念和作用旋转是指在平面内，将一个图形围绕某个点或轴进行转动。
旋转后的图形与原图形相似，但位置和方向发生了变化。
在几何题中，合理运用旋转可以简化问题，化繁为简。
二、九种常用旋转技巧概述1.旋转对称：将图形围绕某一点旋转一定角度，得到与原图形关于旋转中心对称的图形。
2.轴对称：将图形围绕某一直线轴旋转180度，得到与原图形关于轴对称的图形。
3.中心对称：将图形围绕某一点旋转180度，得到与原图形关于中心对称的图形。
4.旋转变换：将图形围绕某一点旋转一定角度，用于转化图形的形状和位置。
5.相似变换：将图形围绕某一点旋转一定角度，使得图形的形状相似，但大小和位置发生变化。
6.垂直平分线：将图形的某一边或线段旋转180度，得到与原图形垂直且平分的线段。
7.角平分线：将图形的某个角旋转180度，得到与原角平分的角。
8.平行线变换：将图形中的一条直线旋转一定角度，使得旋转后的直线与另一条直线平行。
9.切线变换：将图形的某一点作为旋转中心，使得旋转后的图形切线与原图形的切线重合。
三、旋转在解几何题中的应用实例1.题目：已知矩形ABCD，求证AB=CD。
解题思路：将矩形ABCD围绕对角线AC旋转180度，得到平行四边形ABCD"。
由于旋转后的平行四边形与原矩形相似，且对应边相等，故可证明AB=CD。
2.题目：已知等腰三角形ABC，求证∠ACB=90°。
解题思路：将等腰三角形ABC围绕顶点A旋转180度，得到等腰三角形ABC"。
10解题技巧专题巧用旋转进行计算
10解题技巧专题巧用旋转进行计算在解题过程中，有时我们可以巧用旋转来进行计算，以简化问题、加快解题速度。
下面将介绍几种巧用旋转进行计算的技巧。
1.点的旋转：对于一个点(x,y)，我们可以将其逆时针旋转θ度得到新的点(x',y')，计算方法如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这种技巧可以用来求解两点之间的距离、判断点的位置关系等问题。
2.向量的旋转：对于一个向量(x,y)，我们同样可以将其逆时针旋转θ度得到新的向量(x',y')，计算方法与点的旋转类似。
x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这种技巧可以用来求解向量的和、点积、叉积等问题。
3. 复数的旋转：对于一个复数a + bi，我们可以将其旋转θ度得到新的复数c + di，计算方法同样类似。
c = (a + bi) * cosθd = (a + bi) * sinθ这种技巧可以用来求解复数的乘法、除法等问题。
4.矩阵的旋转：对于一个二维矩阵，我们可以将其逆时针旋转θ度得到新的矩阵，计算方法如下：对于一个点(x,y)在原矩阵中的位置(i,j)，新矩阵中该点的位置为：i' = j * sinθ + i * cosθj' = j * cosθ - i * sinθ这种技巧可以用来求解矩阵的转置、乘法、快速幂等问题。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的旋转方法。
例如，在计算几何中，通过旋转可以使问题简化为求解两点之间的距离或者判断一些点是否在条直线上，从而简化问题的求解过程。
在矩阵运算中，可以通过旋转将矩阵进行转置或者快速幂运算，提高运算效率。
巧用旋转进行计算可以节省时间、简化问题，但在应用时也需要注意旋转角度的选择和计算的正确性。
在实际解题过程中，可以通过举例或者推导来验证旋转计算的正确性，避免出现错误的结果。
九年级旋转在解几何题中的十种常见技巧
证明：∵将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ ABQ， ∴AQ＝AF，∠QAF＝90°. ∵∠EAF＝45°， ∴∠QAE＝∠QAF－∠EAF＝45°，∴∠QAE＝∠FAE. 在△ AQE 和△ AFE 中，A∠QQ＝AAEF＝，∠FAE，
AE＝AE， ∴△AQE≌△AFE. ∴∠AEQ＝∠AEF， 即 EA 是∠QED 的平分线．
(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长． 解：∵四边形 ADFC 是菱形，∴DF∥AC. 又∵∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°. 由(1)得 AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°. ∴∠DAB＝90°.∴△ABD 是直角边长为 2 的等腰直角三角 形．∴BD2＝2AB2，即 BD＝2 2. 易知 DF＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2 2－2.
(2)EF2＝BE2＋DF2. 证明：易知QB＝DF，由(1)知△AQE≌△AFE， ∴QE＝EF. 由题易知∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°， ∴∠QBE＝∠ABQ＋∠ABD＝45°＋45°＝90°. ∴在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2， ∴EF2＝BE2＋DF2.
7．如图，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等 边三角形．
EAD＝30°，∴EF＝12PE＝2－ 3，∴PF＝ PE2－EF2＝2 3－3，
∴S△PCE＝12CE·PF＝12×(2 3－2)× (2 3－3)＝9－5 3.
6．【中考·日照】如图，在正方形ABCD中，E，F是对角 线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时 针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ.求证：
4 ． 【 中 考 ·临 沂 改 编 】 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 90°，AB＝BC，将一个含30°角的直角三角尺DEF 的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角尺的短直角边 为DE，长直角边为DF)，将直角三角尺DEF绕D点按 逆时针方向旋转．
初三下数学课件(沪科版)- 素养专题 运用旋转知识解决几何图形问题
解：(1)EG＝CG，且 EG⊥CG； (2)EG＝CG，且 EG⊥CG.
证明：如图，延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MG.∵∠AEM＝90°，∠EBC ＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形 BEMC 是矩形．
∴BE＝CM，∠EMC＝90°.又∵BE＝EF，∴EF＝CM，∵∠EMC＝90°， FG＝DG，∴MG＝12FD＝FG.∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD.∵EF＝ CM，∴FM＝DM.又∵∠F＝45°，FG＝DG，∠CMG＝12∠EMC＝45°.∴∠F ＝∠GMC. ∴△GFE≌△GMC(SAS)．∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC. 在 等腰 Rt△DMF 中，FG＝DG, ∴MG⊥FD，∴∠FGM＝∠FGE＋∠EGM＝ 90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°.∴EG⊥CG.
2．(随州中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的直角顶点 C 的坐标 为(1,0)，点 A 在 x 轴正半轴上，且 AC＝2.将△ABC 先绕点 C 逆时针旋转 90°，再向左平移 3 个单位，则变换后点 A 的对应点的坐标为 (－2,2) ．
3．(镇江中考)将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置(如图)，使得点 D 落在对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H，则 HD ＝ 2－1 (结果保留根号)．
(1)如图②，当 BP＝BA 时，∠EBF＝
，猜想∠QFC＝
；
(2)如图①，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以
证明．
解：(1)30° 60°； (2) 猜 想 ∠QFC ＝ 60°. 证 明 ： ∵∠BAP ＝ ∠BAE ＋ ∠EAP ＝ 60°＋ ∠EAP ， ∠EAQ＝∠QAP＋∠EAP＝60°＋∠EAP，∴∠BAP＝∠EAQ，在△ABP 和 △AEQ 中，∵AB＝AE，∠BAP＝∠EAQ，AP＝AQ，∴△ABP≌△AEQ(SAS)， ∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，又∵∠BEF＝180°－∠AEQ－∠AEB＝180°－90° －60°＝30°，∴∠QFC＝∠EBF＋∠BEF＝30°＋30°＝60°.
利用旋转解决几何问题
利用旋转解决几何问题在几何学中，旋转是一种常见的解决问题的方法。
通过将形状绕着某一点或某一轴旋转，可以得到新的形状，从而解决一些原本复杂的几何问题。
本文将通过几个例子，介绍如何利用旋转来解决几何问题。
一、旋转体的体积计算旋转体的体积计算是旋转解决几何问题的经典应用之一。
考虑一个曲线y=f(x)，如果将该曲线绕x轴旋转一周，就可以得到一个旋转体。
我们可以利用旋转体的性质来计算其体积。
例如，我们要计算曲线y=x^2在x=0到x=1之间的旋转体体积。
首先，我们将曲线绕x轴旋转，得到一个旋转体。
然后，我们将该旋转体切割成许多薄片，每个薄片的厚度为Δx。
每个薄片在x轴上的宽度为Δx，高度为f(x)。
因此，该薄片的体积可以用V=π(f(x))^2Δx来表示。
最后，将所有薄片的体积相加，即可得到旋转体的体积。
二、旋转体的表面积计算除了计算旋转体的体积，我们还可以计算旋转体的表面积。
同样，我们可以将旋转体切割成薄片，每个薄片在x轴上的宽度为Δx。
但是，不同于计算体积时使用薄片的高度f(x)，计算表面积时，我们使用薄片的周长。
例如，考虑一个曲线y=√x在x=1到x=4之间的旋转体。
我们可以将该旋转体切割成许多薄片，每个薄片的厚度为Δx。
每个薄片在x轴上的宽度为Δx，周长为2πf(x)。
因此，该薄片的表面积可以用S=2πf(x)Δx来表示。
最后，将所有薄片的表面积相加，即可得到旋转体的表面积。
三、旋转体的质心计算旋转体的质心是指旋转体的重心或质量中心，即旋转体的几何中心。
我们可以利用旋转解决几何问题的方法来计算旋转体的质心。
以曲线y=x为例，我们要计算其在x=0到x=1之间的旋转体的质心。
首先，我们将曲线绕x轴旋转，得到一个旋转体。
然后，根据物理学的原理，质心可以通过计算各个薄片的质心位置得到。
每个薄片的宽度为Δx，高度为f(x)。
根据几何学中的平均值定理，每个薄片的质心位置x可以用公式x=∫xf(x)Δx/∫f(x)Δx来表示。
专题52 巧用图形的旋转解决几何问题(解析版)
∴BF＝
＝3，
∴EF＝ BF＝3 ， ∴AF＝6 +3， ∴AE2＝AF2+EF2＝（6 +3）2+（3 ）2＝144+36 ． ∵AE＝2 BH， ∴AE2＝12BH2， ∴BH2＝12+3
如图 3﹣2 中，当 DE 在 BC 的上方时，同法可得 AF＝6 ﹣3，EF＝3 ，
∴BH2＝ ＝（
＝12﹣3 ．
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6．如图，点 P 是∠MON 内的一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B，且 OA＝OB． （1）求证：PA＝PB； （2）如图②，点 C 是射线 AM 上一点，点 D 是线段 OB 上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若 OC＝8， OD＝5．求线段 OA 的长． （3）如图③，若∠MON＝60°，将 PB 绕点 P 以每秒 2°的速度顺时针旋转，12 秒后，PA 开始绕点 P 以 每秒 10°的速度顺时针旋转，PA 旋转 270°后停止，此时 PB 也随之停止旋转．旋转过程中，PA 所在直线 与 OM 所在直线的交点记为 G，PB 所在直线与 ON 所在直线的交点记为 H．问 PB 旋转几秒时，PG＝PH？
（2）△PMN 是等腰直角三角形． 由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 利用三角形的中位线得，PN＝ BD，PM＝ CE， ∴PM＝PN， ∴△PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE，
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∴∠DPM＝∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形；
利用旋转法解几何最值问题应用举例 学生版
利用旋转法解几何最值问题应用举例解析一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．练习1、已知x轴上一点A（1，0），B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边△ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．2、已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．当∠ADB变化时，则CD的最大值．3、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝6，DA＝10，则CD的最小值为4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．5、如图，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG 的最小值为．6、如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF ＝60°，则GB+GC的最小值是ABG F7、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．A CFG8、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是．10、如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时PB的长为．BA D P11、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（）A．5B．2C．2D．112、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD ＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．。
初中数学巧旋转 妙解题学法指导学法指导
初中数学巧旋转 妙解题同学们都知道旋转具有以下特征：1. 图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2. 对应点到旋转中心的距离相等；3. 对应角、对应线段相等；4. 图形的形状和大小都不变。
利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，下面举例说明，供同学们学习时参考。
一、求线段长例1. 如图1所示，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E 在BC 上，且EF AE ,EF AE =⊥，求CF 的长。
解析：将ABE ∆以点E 为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B 旋转到点B ’处，AE 与FE 重合。
由旋转特征，知BC E 'B ⊥，所以四边形B ’ECF 为矩形所以4AB 'FB CE ===所以6BC CE 'EB CE CF ==+=+所以246CE BC CF =-=-=故CF 的长为2。
二、求角的大小例2. 如图2，D 是等腰直角三角形ABC 内一点，BC 为斜边，如果将ABD ∆绕点A 按逆时针方向旋转到'ACD ∆的位置，则∠ADD ’的度数为（ ）A. 25°B. 30°C. 35°D. 45°解析：由旋转的性质：“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角对应相等”，可知AD=AD ’，∠DAB=∠D ’AC 。
又因为∠CAB=90°，所以∠D ’AD=90°故∠ADD ’=45°故选D 。
三、探究说理例3. 如图3，任意剪一个平行四边形纸片ABCD ，利用对折的方法找到一组对应的中点E 、F ，按如图3中所示的方法过点F 剪下一个等腰三角形FDG ，按图中箭头所指的方向旋转180°。
（1）你得到的四边形ABHG 是什么形状的四边形？（2）用尺规作一条线段，使它等于线段AG 与线段BH 的和，再把它跟线段EF 的2倍作比较，你发现了什么？你能说明这个发现是正确的吗？解析：（1）因为FDG ∆绕点F 旋转180°得到FCH ∆，所以FCH FDG ≅∆所以∠D=∠FCH 。
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巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。
例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
解：作MC⊥CP，使MC=CP，连接PM，BM∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ）∴MB=AP=3∵PC=MC ，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MC PC =22PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2+PM 2=（22）2+12=9=BM 2∴⊿MPB 是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。
证明：过A 作AP ⊥AE 交BC 的垂线CP 于P ，连结PF ∵∠EAP=90°，∠EAF=45° ∴∠PAF=45°∵∠BAC=90° ∴∠BAE=∠PAC ∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB=∠ACP=45° ∴⊿ABE ≌⊿ACP （ASA ） ∴PC=AE ，，AP=AE ∴⊿AEF ≌⊿APF （SAS ） ∴EF=PF故在Rt ⊿PCF 中，PF 2=CF 2+PC 2,即EF 2=CF 2+AE 2例4，如图4，正方形ABCD 中，E ，F 分别在AD ，DC 上，且∠EBF=45°，BM ⊥EF 于M ，求证：BA=BM 分析:本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45°角，可利用相同的方法，将∠ABE 和∠CBF “化散为整”来构造全等三角形。
证明：延长FC 到N ，使CN=AE ，连结BNAPMCBANFC B∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=AC ，∠BAC=90°∵∠EBF=45°∴∠ABE+∠CBF=45°由⊿ABE ≌⊿CBN 知BE=BN ，∠CBN=∠ABE∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF 又BE=BN ，BF=BF∴⊿EBF ≌⊿NBF （SAS ）∴BM=BC ∴BM=BA例5、如图6，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°。
求证：∠ADE ＝∠ADC 。
解析：条件中有共点且相等的边AE 和AB ，可将△ADE 以点A 为中心，顺时针方向旋转∠BAE 的角度到△AFB 的位置，如图7。
这就使已知条件∠ABC ＋∠AED ＝180°和BC ＋DE ＝CD 通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。
由△ADE ≌△AFB ，得∠AED ＝∠ABF ，∠ADE ＝∠AFB ，ED ＝BF ，AF ＝AD 。
由∠ABC ＋∠AED ＝180°，得∠ABC ＋∠ABF ＝180°。
所以C 、B 、F 三点共线。
又CD ＝BC ＋DE ＝BC ＋BF ＝CF ，故∠CFD ＝∠CDF 。
由AF ＝AD ，得到∠DFA ＝∠FDA 。
∴∠ADE ＝∠AFB ＝∠CFD ＋∠DFA ＝∠CDF ＋∠FDA ＝∠ADC 。
例6、如图，P 是等边三角形ABC 内的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC 的边长。
分析：PA 、PB 、PC 比较分散，可利用旋转将PA 、PB 、PC 放在一个三角形中，为此可将△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°可得△BHC 。
解：把△BPA 绕B 点逆时针方向旋转60°得到△BHC 。
因为BP=BH ，∠PBH=60° 所以△BPH 是等边三角形所以∠BPH=60°，所以BP=PH 32 又因为HC=PA=2，PC=4 所以所以△HCP 是Rt △，所以∠CHP=90°又因为HC=2，PC=4 所以∠HPC=30°又因为∠BPH=60°，所以∠CPB=90° 在Rt △BPC 中，=12+16=28,72=BC ，那么△ABC 的边长为72。
例7、如图2，O 是等边三角形ABC 内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将△BOC 绕B 点按逆时针方向旋转60°可得△BMA 。
因为BO=BM ，∠MBO=60° 所以△BOM 是等边三角形， 所以∠1=∠2=60°又因为∠AOB=115°，所以∠MOA=55° 又因为∠AMB=∠COB=125° 所以∠AMO=65° 又因为AM=OC ，MO=BO所以△AMO 正好是以AO 、OC 、BO 为边组成的三角形， 所以∠MAO=180°－（55°+65°）=180°－120°=60°即：以线段OA 、OB 、OC 为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°。
例8、如图4，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与'CBP ∆重合，若PB=3，求'PP 的长。
分析：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与'CBP ∆重合，实际上就是把△ABP 顺时针方向旋转90°可得'CBP ∆，即=∠'PBP 90°。
解：因为,'BP BP ==∠'PBP 90°。
所以'PP 2333222'2=+=+=B P BP 。
例9、如图5，P 为正方形ABCD 内一点，且PA ：PB ：PC=1：2：3，求∠APB 的度数。
分析：PA ：PB ：PC=1：2：3，不妨设PA=1，PB=2，PC=3，而这些条件较分散，可设法把PA 、PB 、PC 相对集中起来即把△BCP 绕B 点顺时针方向旋转90°得到△BAE 。
解：因为BP=BE ，∠PBE=90°所以22222+=PE ，所以22=PE又在△APE 中，222,3AE PE PA CP AE =+==即2223)22(1=+所以∠APE=90°即∠APB=90°+45°=135° 所以∠APB=135°。
例10、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数。
解：把△CDQ 绕点C 旋转90°到△CBF 的位置，CQ=CF 。
因为AQ+AP+QP=2 又AQ+QD+AP+PB=2 所以QD+BP=QP 又DQ=BF ，所以PQ=PF 所以FCP QCP ∆≅∆ 所以∠QCP=∠FCP又因为∠QCF=90°，所以∠PCQ=45°。
由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力 从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。