力偶与力偶系
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
力偶
不计梁和支杆的自重，求 A 和 B 端的约束力。
M
A
B
l
D
汽 车 机 械 基 础
45
3
2
1
动脑又动笔
选梁AB为研究对象 解：
M
A
B
FA = FB 列平衡方程： ∑M = 0 ，
l
D
45
A
FA
45o
M
B
M－ FA l cos45o = 0 FA = FB= √2M / l
汽 车 机 械 基 础
FB
汽 车 机 械 基 础
3
力偶与力偶系
汽 车 机 械 基 础
2
1
3
2
1
一、力偶的概念
在工程实践中常见物体受两个大小相等、
方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物
体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向 盘等。
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
一、力偶的概念
定义：
两个大小相等，方向相反，且不共 线的平行力组成的力系称为力偶。 力偶的表示法 书面表示（F，F/）
d1
F 2
d2
F
F 1
F d = F1 d 1 = F2 d 2 = M
F 2
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
力偶的作用面可任意平移
M
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
三、力偶的性质
结论： 只要保持力偶矩矢量不变，不会 改变力偶对刚体的作用效应。 力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩矢 量 M。
汽 车 机 械 基 础
正 负
汽 车 机 械 基 础
M
A
B
l
D
汽 车 机 械 基 础
45
3
2
1
动脑又动笔
选梁AB为研究对象 解：
M
A
B
FA = FB 列平衡方程： ∑M = 0 ，
l
D
45
A
FA
45o
M
B
M－ FA l cos45o = 0 FA = FB= √2M / l
汽 车 机 械 基 础
FB
汽 车 机 械 基 础
3
力偶与力偶系
汽 车 机 械 基 础
2
1
3
2
1
一、力偶的概念
在工程实践中常见物体受两个大小相等、
方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物
体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向 盘等。
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
一、力偶的概念
定义：
两个大小相等，方向相反，且不共 线的平行力组成的力系称为力偶。 力偶的表示法 书面表示（F，F/）
d1
F 2
d2
F
F 1
F d = F1 d 1 = F2 d 2 = M
F 2
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
力偶的作用面可任意平移
M
M
汽 车 机 械 基 础
3
2
1
三、力偶的性质
结论： 只要保持力偶矩矢量不变，不会 改变力偶对刚体的作用效应。 力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩矢 量 M。
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正 负
汽 车 机 械 基 础
工程力学第2节 力偶和力偶系
合力偶矩
M2 FP2 d
FP1 FP2 2
• 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和
M M1 M 2 M n M i
i 1
n
平面力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩等于 零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。 平面力偶系平衡 的充分必要条件
Mi 0
i 1
n
例2-6 如图所示，在箱盖上要钻五个孔。现估计 各孔的切削力偶矩为 M1 = M2 = – 15Nm ，M3 = M4 = – 25Nm。 M5 = – 100Nm。当用多轴钻床同时加工这 5个孔时，问工件受到的总切削力偶矩 M 是多少？ 解 因 5 个力偶处于 同一个平面，所以它 们的合力矩等于各力 偶矩的代数和，即
注意
力偶是特殊的力系，具有它自己的特性。
力偶的合力矢为零，力偶对物体不产生移 动效应，只产生转动效应。
• 力偶矩：力偶中一个力的大小和力偶臂的乘积。
M F d
• “±”规定：以逆时针转向为正，顺时针转向为负。 力偶矩的单位：牛顿· 米（N· m）表示。 1）两个在同一平面内的力偶，如果力偶矩 结论 相等，则两个力偶彼此等效。 2）力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改 变它对物体的作用效果。 3）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以同 时改变力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物 体的作用。
一、力偶的概念及等效
• 力偶：把大小相等、方向相反并且不共线的两个平 行力称为，记作 ( F ， F ) 。
一、力偶的概念及等效 • 力偶：把大小相等、方向相 反并且不共线的两个平行力 称为，记作 ( F，F ) 。 • 力偶作用面：力偶中两个力 所决定的平面。 • 力偶臂：两个力作用线之间的垂直距离，以 d 表示。
M2 FP2 d
FP1 FP2 2
• 平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和
M M1 M 2 M n M i
i 1
n
平面力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩等于 零，即力偶系中各力偶矩的代数和等于零 。 平面力偶系平衡 的充分必要条件
Mi 0
i 1
n
例2-6 如图所示，在箱盖上要钻五个孔。现估计 各孔的切削力偶矩为 M1 = M2 = – 15Nm ，M3 = M4 = – 25Nm。 M5 = – 100Nm。当用多轴钻床同时加工这 5个孔时，问工件受到的总切削力偶矩 M 是多少？ 解 因 5 个力偶处于 同一个平面，所以它 们的合力矩等于各力 偶矩的代数和，即
注意
力偶是特殊的力系，具有它自己的特性。
力偶的合力矢为零，力偶对物体不产生移 动效应，只产生转动效应。
• 力偶矩：力偶中一个力的大小和力偶臂的乘积。
M F d
• “±”规定：以逆时针转向为正，顺时针转向为负。 力偶矩的单位：牛顿· 米（N· m）表示。 1）两个在同一平面内的力偶，如果力偶矩 结论 相等，则两个力偶彼此等效。 2）力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改 变它对物体的作用效果。 3）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以同 时改变力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物 体的作用。
一、力偶的概念及等效
• 力偶：把大小相等、方向相反并且不共线的两个平 行力称为，记作 ( F ， F ) 。
一、力偶的概念及等效 • 力偶：把大小相等、方向相 反并且不共线的两个平行力 称为，记作 ( F，F ) 。 • 力偶作用面：力偶中两个力 所决定的平面。 • 力偶臂：两个力作用线之间的垂直距离，以 d 表示。
力偶与力偶系
平面力 平面力 偶 的 特 点
平面力偶矩可视为代数量，即 平面力偶矩可视为代数量，
M = ±Fd
其中正负号表示力偶的转向：一 般以逆时针转向为正，反之为负。
同平面内力偶的等效定理 定理： 在同平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
这就是同平面内力偶等效的条件。
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变， 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可 在作用面内任意移动， 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不 变。
关于力偶性质的推论
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F´
F F´
只要保持力偶矩矢量不变， 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可 在作用面内任意移动， 在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不 变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 保持力偶矩矢量不变， 力偶臂大小，其作用效果不变。 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
力偶系及其合成
同平面内的力偶，由力偶性质 的推论，可同时改变其臂长，使其 臂长相等，并将它们在平面内转移， 使力的作用线重合，然后相加形成 新的力偶，这就是合力偶。
力偶与力偶系例题 例题 1
受力分析: 受力分析:
1. AB杆为二力杆; 杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B 二处分别受有一 个方向虽然未知、 个方向虽然未知、 但可以判断出的 力.
力偶与力偶系例题 例题 1 讨 论
怎样确定B、C二处的约束力
第三章 力偶系
(2)再将Q, F合成R， Q', F'合成R'， 得到新力偶(R, R'),
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点，则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2， 总能将其等效为两个共力臂的力偶：
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩：
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩： M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系，对O点 的合力矩为：
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向：
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR
QA RF
F' R'
B Q'
(3)将R, R'分别移到A', B'点，则(R, R')与原力偶等效
(4)最后将力偶(R, R')的力臂调整到与原力偶相等
19
§3-5、力偶系的合成
设作用于刚体上的任意两个力偶M1，M2， 总能将其等效为两个共力臂的力偶：
z
Fz
力 F 对 z 轴之矩：
M z (F ) xFy yFx
F
Fy
k Fx z
ij
x
y
x
y
Fx
Fxy
力 F 对 x 轴与 y 轴之矩： M x (F ) yFz zFy
M y (F ) zFx xFz
10
问题：力对轴之矩与力对轴上一点之矩有什么关系？
z
力对轴之矩 M x (F ) yFz zFy M O M Oz
力偶(F, F’ )是特殊的力系，对O点 的合力矩为：
F ' F
F
B rBA
A d
F’
rB
rA
O
MO MO(F) MO(F')
rA F rB F '
rA F rB (F )
(rA rB ) F rBA F
M
M = Fd
B rBA
F’
力偶矩矢
F A
注：力偶矩矢垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点 无关。
合力偶的方向：
cos(MR, i)
Mx MR
cos(MR, j)
My MR
第3章 力偶系 (1)
M ox i M oy j M oz k
静力学
第3章 力偶系
四、合力矩定理
若作用在刚体上的力系存在合力 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则有： M O ( FR ) M O (Fi )
i 1
n
z
F1
F2
z
F2
rn
Fn
y
FR
rR
O
r2 O
y
n
rR
Fn
x
r1
F1
F
M O ( F ) M O ( F ' ) F ( x d ) F 'x
F d
B A d
x
O
F'
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
静力学
第3章 力偶系
§3-3 力偶的等效条件和性质 力偶的三要素
（1）力偶矩的大小； （2）力偶的转向； （3）力偶的方位。 一、力偶等效条件
rBA
F
A
静力学
第3章 力偶系
力偶矩
F x
d O F
其转动效应——力对点之矩，即用力偶中的两个力 对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。
M ( F , F ' ) Fd 或 M Fd
+ —
静力学
第3章 力偶系
力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与 矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。
•作用于刚体上的两个力偶等效的条件是它们的力偶矩矢相等。 在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相 等，而且转向相同，则此两力偶等效。 例如：方向盘
FP
C
F'
B FP '
工程力学第三章 力 偶 系
§3-5 力偶系的合成 对于任意一个力偶系，可以将力偶矩矢移到一个汇交点， 再按照矢量合成的方法将矢量合成为一个合矢量，这个合矢 量就是力偶系的合力偶。而且有：
MR = M1+ M2+ + Mn = ∑M
对于平面力偶系，力偶只有顺时针和逆时针两种转向，所 以力偶可以看成代数量规定:逆时针为正、顺时会为负。 所以平面力偶系的合力偶
MR = M1+ M2+ …+ Mn = ∑M
§3-6 力偶系的平衡条件 对于任意一个力偶系，它的平衡条件是合力偶矩矢为零。
即：MR = ∑M = 0
M1x+ M2x+ + Mnx = ∑Mx = 0 M1y+ M2y+ + Mny = ∑My = 0 M1z+ M2z+ + MnZ = ∑Mz = 0
二、空间中力对点之矩 M0（F）= r × F
§3-2力对轴之矩 一、力对轴之矩的概念
1、定义：对力使它所作用的物体绕轴转动效果的度量。 它是一个代数量。
2、特例：力与轴平行： MZ（F）=0 力与轴相交： MZ（F）=0
力与轴在同一平面内时力对轴之矩为零。 3、合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一 轴之矩的代数和。
§3-4 力偶的等效条件和性质 一、力偶的等效条件（41页） 两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。 二、力偶的性质 1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 2、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平 面，而不改变对刚体的作用效果。
=
=
=
3、在保持力偶的转向和力偶矩的大小不变的条件下， 可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变 力偶对刚体的作用。
第三章 力偶系
M M
M（+）
M M M
（-）
注意:力偶的转向与力偶矢方向的区别与关联! M
§3-5 力偶系的合成(简化)
设作用于刚体上的两个力偶M1, M2：
M1 F1, F1'
F1
M2 F2, F2'
Q F F1 F2
F2
F ' F1' F2'
MR F, F '
F
M F1' F ' 1
MR M1 M2 ... Mn M
M1Fn
F1 o
Fn’ F2
＝ M1
F1’
F2’
§3-5 力偶系的合成(简化)
合力偶矩矢：
z
MR M1 M2 ... Mn M
将上述矢量式对坐标轴投影得：
M Rx M1x M2x ... Mnx M x M Ry M1y M2 y ... Mny M y M Rz M1z M2z ... Mnz M z
二个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。
M1
M2
B rBA
F1'
A
M1 rBA F1
F1
M1 M2
D
rDC
F2
F2'
C
M 2 rDC F2
0.4m
60N
0.4m
60N
40N 0.6m
M=24N.m
§3-4 力偶的等效条件和性质 二、力偶的性质
性质一： 力偶不能与一个力等效(即力偶无合力)，因 此也不能与一个力平衡。
MO MO (F1) MO (F2 ) 力对点之矩矢服从矢量的合成法则 对空间力系(F1, F2, …, Fn)，有：
MO MO (F1) MO (F2 ) ... MO (Fn )
力偶系
工程力学
第三章 力偶系
பைடு நூலகம்
工程力学
第三章 力偶系
河南理工大学土木工程学院
工程力学
第三章 力偶系
第一章
力偶系
§3-1 力偶的概念和工程实例 §3-2 力对点之矩矢及其基本性质 §3-3 力偶系及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
河南理工大学土木工程学院
工程力学
第三章 力偶系
§3-1 力偶系概念及工程实例
rB
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
河南理工大学土木工程学院
工程力学 2、力偶转动效应三要素
第三章 力偶系
力偶矩大小
力偶矩矢长度 力偶 矩矢 三要素
力偶 转动 效应 三要素
转向
力偶矩矢指向
作用面方位
力偶矩矢法线
河南理工大学土木工程学院
工程力学 3、力偶的解析表示式 选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：
y
M o ( F ) xFy yFz
z
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工程力学 （3）力对点之矩矢的基本性质
第三章 力偶系
作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动 效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于 二力分别对该点矩矢的矢量和，即：
M O M O ( F1 ) M O ( F2 )
1、平面中力对点之矩 力对点之矩（力矩）是为了描述 刚体运动中的转动效应。 力F对刚体产生的绕平面上O点 A
h
B F
的转动效应取决于：
转动效应的强度：Fh； 转动的方向：顺时针或逆时针。
O
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工程力学
第三章 力偶系
第三章 力偶系
பைடு நூலகம்
工程力学
第三章 力偶系
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工程力学
第三章 力偶系
第一章
力偶系
§3-1 力偶的概念和工程实例 §3-2 力对点之矩矢及其基本性质 §3-3 力偶系及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
河南理工大学土木工程学院
工程力学
第三章 力偶系
§3-1 力偶系概念及工程实例
rB
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
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工程力学 2、力偶转动效应三要素
第三章 力偶系
力偶矩大小
力偶矩矢长度 力偶 矩矢 三要素
力偶 转动 效应 三要素
转向
力偶矩矢指向
作用面方位
力偶矩矢法线
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工程力学 3、力偶的解析表示式 选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：
y
M o ( F ) xFy yFz
z
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工程力学 （3）力对点之矩矢的基本性质
第三章 力偶系
作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动 效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于 二力分别对该点矩矢的矢量和，即：
M O M O ( F1 ) M O ( F2 )
1、平面中力对点之矩 力对点之矩（力矩）是为了描述 刚体运动中的转动效应。 力F对刚体产生的绕平面上O点 A
h
B F
的转动效应取决于：
转动效应的强度：Fh； 转动的方向：顺时针或逆时针。
O
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工程力学
第三章 力偶系
ch2力矩、力偶、力系的简化
力对点之矩与力对轴之矩的关系
MO (F )
= ( yFz - zFy )i + ( zFx - xFz ) j + ( xFy - yFx )k
= [ M O ( F )]x i + [ M O ( F )] y j + [ M O ( F )] y k
M x ( F ) = -zFy + yFz
F z = F ⋅ cos γ = F ⋅ sin θ
与平面情形类似
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
Fy F F x cosα = ,cos β = ,cosγ = z F F F
Fz Fy Fx
Fx = Fx , Fy = Fy , Fz = Fz
Fx = Fx i , Fy = Fy j,Fz = Fz k F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy j + Fz k
②投影法（解析法） 投影法（解析法） 建立坐标系如图所示， 建立坐标系如图所示， 三个力在坐标轴上的投影分 别为
F1 x = 0
F2 x = 4kN
F1 y = −3kN
F2 y = 0
F3 x = 5cos 30o = 4.33kN
F3 y = 5sin 30o = 2.5kN
合力F 合力 R 在坐标轴上的投影为
= [MO (F )]x i +[MO (F )]y j +[MO (F )]z k
力矩矢的合成
力对点之矩矢服从矢量合成法则。 力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产 矢量合成法则 生的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。 一个矩矢度量 生的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。
第3章(力偶系)
MO (F ) 与矩心的选择有关，为定位矢量
2. 力对点之矩矢的解析表达式
MO ( F ) r F
xi yj zk (Fx i Fy j Fz k ) （ ） i j k x y z Fx Fy Fz ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k [ MO (F )]x i [ MO (F )]y j [ MO (F )]z k
FA FA
OA O1 A sin 30o
解得： M 2 4 M1
作业 P46 3-1 c 3-2 3-5 3-8
二、力对坐标轴 之矩的解析表达式
M x (F ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) zFy yFz M y (F ) M y ( Fz ) M y (Fx ) xFz zFx Mz (F ) Mz (Fx ) Mz (Fy ) yFx xFy
M Rz M z = M 2 M3 cos30 48.5 N.m
合力偶矩矢MR的大小和方向余弦分别为：
2 2 2 M R M Rx M Ry M Rz 7.22 202 48.52 52.95 N.m
cos( M R cos( M R cos( M R
M , i)
解：各杆受力图如图，由几何关系可得FA 、FC 垂直于AC 。建立平衡方程 M FA a 2 b 2 0 M 0: 解得：
FA M a 2 b2
FB FC FC FA M a 2 b2
例：图示机构，套筒A 穿过摆杆 O1B ，用销子连接在曲柄OA 上，已知长为 a ，其上作用有力偶 M1 。在图示位置β=30o ，机 械能维持平衡。不计各杆自重及摩擦，试求在摆杆 O1B 上所加力 偶的力偶矩 M2 。
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
工程力学5 力偶及平面力偶系的合成
M 60° 30°
0.25m
数值为正，M使物体顺时针转动，计算时数值为负。
M1=P1d1=200 ×1=200(N·M) M2=P结2d果2=为60正0 数×，0.2代5/表si最n3后0°合=成300(N·M)
M3=-M的=合-1力00偶(N为·M逆) 时针，即：物
P2
P1
则合力体偶最M后合为将：逆时针转动。
即： M i 0
平面力偶系的平衡条件有何作用呢？
例题2：如图所示，梁AB受荷载作用。M=10kN·m，P=P’=5kN，
不计梁自重，求支座A、B的反力。
解：取AB为研究对象。作用在梁
P
M 上的力有：M、P和P’形成的力
A
B
偶，以及支座A和B的反力形成的
P'
力偶。由于梁处于平衡状态，因
此，整个体系力偶矩之和为零。
力偶三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面。
10KN 2m
5KN
20KN
1m
M=20KN ·m
10KN
5KN
20KN
3.平面力偶系的合成
10KN 5KN
2m
20KN
10KN
5KN
1m 20KN
在物体的某一平面内同时作用有两个或两个以上的力偶时， 这些力偶就称为平面力偶系。
（1）平面力偶系的合成
1m
M合=M1+M2+M3
=200+300-100=400(N·M)
3.平面力偶系的合成
（2）平面力偶系的平衡条件
平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则 力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态； 反之，当合力偶不等于零时，物体必有转动效应而不平衡。平面力 偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。
力偶系
A rBA rA rB F d B rA
rB
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
2、力偶转动效应三要素
力偶矩大小
力偶矩矢长度 力偶 矩矢 三要素
力偶 转动 效应 三要素
转向
力偶矩矢指向
作用面方位
力偶矩矢法线
3、力偶的解析表示式 选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：
C
C
FC FA FB FC
M a b
2 2
FA
A
FB
B
例题 3-3 各构件不计自重，在构件BC上作用一力偶矩为 M的力偶。试求支座A的约束力。 解：1）以BC构件为研究对象，画出分离体及其受力图。 根据力偶平衡条件，列平衡方程 ：
M 0,
M FC l 0
M2
FD
D
例题 3-2 图示机构在图示位置处于平衡。 已知，a:b=c:a,不计杆重，求A，B两点的约束力。 解：1）画受力图，BC为二力杆。 2）列平衡方程： a b c
M
A
C B
M 0,
M FA a 2 b 2 0
FA M a 2 b2
M
FC FC
工程力学
•第三章 力偶系
第一章
力偶系
§3-1 力偶的概念和工程实例 §3-2 力对点之矩矢及其基本性质 §3-3 力偶系及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
§3-1 力偶系概念及工程实例
一、工程实例
日常生活中经常遇到力偶， 比如：用手拧钥匙、汽车司机双
手转动驾驶盘等。 力偶的概念:作用于刚体上大小
( yFx zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力偶与平面力偶系—力对点之矩(建筑力学)
建筑力学课件课件
任务一 力对点之矩的认知
能力目标： 能正确应用力矩。
知识目标： 掌握力矩的定义、性质和应用。
一、力矩的产生
力对物体作用可以产生移动和转动两种效应。 力对物体可以产生移动效应——取决于力的大小、方向
转动效应——取决于力矩的大小、转向
二、力矩的定义
力F 与点O到力F 的作用线的距离d的乘积，叫做力F 对O点的矩，简称力矩。
力对点之矩
定义
性质
③互为平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零； ④ 作用于物体上的力可以对物体上或物体外的任意的点取矩。
四、练习 计算力F对O点的矩。
根据力对点之矩的定义 ①作O点到力F 的垂直距离，求出d的长度
d l • sin
②因为力F的作用线绕作用点O逆时针转动，所
以，产生的力矩为正，即
M F • L • sini
MO (F) F 能省略；
②d为O点到力F 作用线的垂直距离，称为力臂；
③力矩是标量，是有方向的，根据规定，力绕矩 心逆时针转动产生的力矩为正，反正，为负； ④力矩的单位： N • m
三、力矩的性质 ① 力对任意一点之矩，不会因为该力沿作用线移动而改变； ② 力的作用线如果通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个梨其大小不为零，而它对某点 之矩为零，那么，该力的作用线必通过该点；
任务一 力对点之矩的认知
能力目标： 能正确应用力矩。
知识目标： 掌握力矩的定义、性质和应用。
一、力矩的产生
力对物体作用可以产生移动和转动两种效应。 力对物体可以产生移动效应——取决于力的大小、方向
转动效应——取决于力矩的大小、转向
二、力矩的定义
力F 与点O到力F 的作用线的距离d的乘积，叫做力F 对O点的矩，简称力矩。
力对点之矩
定义
性质
③互为平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零； ④ 作用于物体上的力可以对物体上或物体外的任意的点取矩。
四、练习 计算力F对O点的矩。
根据力对点之矩的定义 ①作O点到力F 的垂直距离，求出d的长度
d l • sin
②因为力F的作用线绕作用点O逆时针转动，所
以，产生的力矩为正，即
M F • L • sini
MO (F) F 能省略；
②d为O点到力F 作用线的垂直距离，称为力臂；
③力矩是标量，是有方向的，根据规定，力绕矩 心逆时针转动产生的力矩为正，反正，为负； ④力矩的单位： N • m
三、力矩的性质 ① 力对任意一点之矩，不会因为该力沿作用线移动而改变； ② 力的作用线如果通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个梨其大小不为零，而它对某点 之矩为零，那么，该力的作用线必通过该点；
3力矩力偶力偶系
1-7 如图示在△ ABC 平面内作用力偶（ F ， F ）， 其中力 F 位于 BC 边上， F 作用于 A 点。已知 OA ＝ a ， OB ＝ b ， OC ＝ c ，试求此力偶之力偶矩及其在三个 坐标轴上的投影。 答：
m( F , F ) m y ( F , F ) F b c
求： 合力及合力作用线位置。
解： 由合力矩定理
P h q dx x
0 l l
0
x2 q dx l
2 h l 3
例
已知：F , l , a,
M x F , M y F , M z F 求：
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos
2 2
(bci acj abk );
m x ( F , F ) Fab b2 c2
Fbc b c
2 2
;
Fac b2 c2
;
m z ( F , F )
M y M iy M 2 80N m
轴上的投影
。
例 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N· m。 求：工件所受合力偶矩在 解：
M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
轴上的投影
。
例： 已知 M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ; 求：平衡时的 M及铰链 O，B处的约束力。 2 解：取轮,由力偶只能由力偶 平衡的性质,画受力图。
M 0
解得
M1 FA r sin 0
FO FA 8kN
例： 已知 M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ; 求：平衡时的 M及铰链 O，B处的约束力。 2 解： 取杆BC，画受力图。
静力学03.第三章 力偶系
此也不能与一个力平衡;
性质二、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平 行平面，而不改变对刚体的作用效果，力偶矩 矢是自由矢量; 性质三、保持力偶转向和力偶矩的大小（力与力偶臂的
乘积）不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以
改变，而不改变对刚体的作用效果。
§3.4
力偶的等效条件和性质
力偶不能合成一个力, 或用一个力来等效替换; 力偶也 不能用一个力来平衡。因此, 力和力偶是静力学中两个基 本要素 力偶对物体的作用效应是引起物体的转动 力偶矩: 力偶的两个力对其作用面内某点的矩的代数和 MO(F , F') = MO(F )+MO(F') =F· aO－F'· bO =F (aO－bO) =F d F
空间力系中，力 F 对刚体产生的绕某点 O 的转动效应 取决于三个要素: (1)转动效应的强度 Fh；
(2)转动轴的方位，即力的作用线和矩心 O 所决定的平面的 法线方位； (3)转向，即: 使刚体绕轴转动的方向。
§3.1 力对点之矩矢
这三个要素可以用一个矢量来表示： 矢量的模等于力与力臂的乘积Fh 矢量的方位就是转轴的方位 矢量的指向根据右手规则由力F绕轴转动的方向确定。 力对点之矩矢，表示为MO(F)，过矩心O的定位矢量。
ΣMx= 0， ΣMy= 0 ， ΣMz= 0;
力偶系平衡条件的应用。
FR
l 0
q ( x )d x
l 0
q0
x l
dx
1 2
q0l
求合力作用线位置。设合力FR 的作用线距A端的距离 为h，在微段dx上的作用力对点A的矩为-(qxdx)x，全部分 布载荷对点A的矩为
l 0
理论力学-力偶系PPT课件
力偶系在物理实验中的应用
扭摆实验
扭摆实验是一种用于研究力矩和角动量守恒的经典实验。在实验 中，通过测量不同质量的物体在相同力矩作用下的转动周期，可 以验证力矩与转动惯量的关系，从而进一步理解力偶系的概念。
扭摆实验中，力偶系的作用是提供稳定的力矩，使得物体能够进 行稳定的摆动。通过调整力矩的大小，可以观察到摆动周期的变 化，从而验证力矩对转动惯量的影响。
车辆动力学中的力偶系
总结词
影响车辆性能的关键因素
详细描述
在车辆动力学中，力偶系对车辆的性 能产生重要影响。例如，在汽车悬挂 系统和转向系统中，力偶系的设计直 接关系到车辆的操控性能、行驶稳定 性以及乘坐舒适性。
04
力偶系与刚体平衡
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件是合外力为零，即所有外力的矢量 和为零。
06
力偶系理论的发展与展望
力偶系理论的现代发展
计算机技术的引入
利用计算机进行数值模拟和计算，提高了力偶系理 论的计算效率和精度。
非线性力偶系的研究
随着对非线性现象的深入了解，非线性力偶系的研 究逐渐成为热点。
多物理场耦合的力偶系研究
考虑多个物理场之间的相互作用，研究多物理场耦 合下的力偶系特性。
03
力偶系在工程中的应用
机械系统中的力偶系
总结词
重要组成部分
详细描述
在机械系统中，力偶系是实现各种运 动和操作的关键因素。例如，在齿轮 传动、链传动等机械系统中，力偶系 的作用是实现扭矩的传递和转换。
建筑结构中的力偶系
总结词
稳定性与安全性的保障
详细描述
在建筑结构中，力偶系是维持结构稳定性和安全性的重要因 素。通过合理设计梁、柱等结构件的力偶系，可以确保建筑 在承受各种载荷时仍能保持稳定。
扭摆实验
扭摆实验是一种用于研究力矩和角动量守恒的经典实验。在实验 中，通过测量不同质量的物体在相同力矩作用下的转动周期，可 以验证力矩与转动惯量的关系，从而进一步理解力偶系的概念。
扭摆实验中，力偶系的作用是提供稳定的力矩，使得物体能够进 行稳定的摆动。通过调整力矩的大小，可以观察到摆动周期的变 化，从而验证力矩对转动惯量的影响。
车辆动力学中的力偶系
总结词
影响车辆性能的关键因素
详细描述
在车辆动力学中，力偶系对车辆的性 能产生重要影响。例如，在汽车悬挂 系统和转向系统中，力偶系的设计直 接关系到车辆的操控性能、行驶稳定 性以及乘坐舒适性。
04
力偶系与刚体平衡
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件是合外力为零，即所有外力的矢量 和为零。
06
力偶系理论的发展与展望
力偶系理论的现代发展
计算机技术的引入
利用计算机进行数值模拟和计算，提高了力偶系理 论的计算效率和精度。
非线性力偶系的研究
随着对非线性现象的深入了解，非线性力偶系的研 究逐渐成为热点。
多物理场耦合的力偶系研究
考虑多个物理场之间的相互作用，研究多物理场耦 合下的力偶系特性。
03
力偶系在工程中的应用
机械系统中的力偶系
总结词
重要组成部分
详细描述
在机械系统中，力偶系是实现各种运 动和操作的关键因素。例如，在齿轮 传动、链传动等机械系统中，力偶系 的作用是实现扭矩的传递和转换。
建筑结构中的力偶系
总结词
稳定性与安全性的保障
详细描述
在建筑结构中，力偶系是维持结构稳定性和安全性的重要因 素。通过合理设计梁、柱等结构件的力偶系，可以确保建筑 在承受各种载荷时仍能保持稳定。
工程力学力偶和平面力偶系
力偶臂
力偶和平面力偶系
1）力偶矩的大小
力偶对物体作用 效果的决定因素
2）力偶在作用平面
内的转向
影响力偶作用效果的因素与距心的位置无关
力偶和平面力偶系
2.力偶的等效条件
同平面内的力偶等效条件：力偶距大小相等，力偶转向相同
力偶和平面力偶系
由此可得出以下两个重要推论
（1）只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶就可以 在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用效 果。
复习
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
一、力偶的概念和性质
1.力偶与力偶矩
力偶：由大小相等、方向相反且不共线的 两个平行力组成 力偶的作用面：两力作用线所决定的平面 力偶臂：力作用线间的垂直距离
力偶和平面力偶系
力偶距：力与力偶臂的乘积 M=F· d 方向：逆时针为正，顺时针为负
2.力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须 用力偶来平衡。 3.力偶对物体的作用效应取决于力偶的三要素，而与矩 心位置无关。
n
4.平面力偶系的平衡方程 Mi 0 i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
作业
在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻4个等直径的孔， 每个钻头的力偶矩M1= M2= M3= M4=15N·m，求工件的总切削力偶 矩和A、B端水平约束力。
力偶对于作用面内任一点之矩为一常量并等于其力偶矩。
力偶和平面力偶系
二、平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
在物体上同时作用有两个或两个以上的力偶时，这些力偶组 成力偶系。在同一个平面内的力偶系叫作平面力偶系。
n
M Mi i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
1）力偶矩的大小
力偶对物体作用 效果的决定因素
2）力偶在作用平面
内的转向
影响力偶作用效果的因素与距心的位置无关
力偶和平面力偶系
2.力偶的等效条件
同平面内的力偶等效条件：力偶距大小相等，力偶转向相同
力偶和平面力偶系
由此可得出以下两个重要推论
（1）只要不改变力偶矩的大小和力偶的转向，力偶就可以 在它的作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的作用效 果。
复习
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
力偶和平面力偶系
一、力偶的概念和性质
1.力偶与力偶矩
力偶：由大小相等、方向相反且不共线的 两个平行力组成 力偶的作用面：两力作用线所决定的平面 力偶臂：力作用线间的垂直距离
力偶和平面力偶系
力偶距：力与力偶臂的乘积 M=F· d 方向：逆时针为正，顺时针为负
2.力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须 用力偶来平衡。 3.力偶对物体的作用效应取决于力偶的三要素，而与矩 心位置无关。
n
4.平面力偶系的平衡方程 Mi 0 i 1, 2,..., n i 1
力偶和平面力偶系
作业
在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻4个等直径的孔， 每个钻头的力偶矩M1= M2= M3= M4=15N·m，求工件的总切削力偶 矩和A、B端水平约束力。
力偶对于作用面内任一点之矩为一常量并等于其力偶矩。
力偶和平面力偶系
二、平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
在物体上同时作用有两个或两个以上的力偶时，这些力偶组 成力偶系。在同一个平面内的力偶系叫作平面力偶系。
n
M Mi i 1, 2,..., n i 1
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O1
=( rA - rB ) F
= rBA F
其方向亦可由 右手定则确定。
力偶的特点
特点一 :力偶无合力,即主矢FR=0. 特点二 :力偶对刚体的运动效应只
与力偶矩矢量有关.
平面力 偶 的 特 点
特点一 :力偶无合力,即主矢FR=0. 特点二 :力偶对刚体的运动效应只
与力偶矩的大小和力偶在 作用面内的转向有关.
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作 用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F
F´
F/2
F´/ 2
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 , 力偶可在与其作用面平行的平面内移动。
力偶与力偶系
力偶的定义
F1
r1
r2
rBA
F2
力 偶 : 大小
相等,方向相反,不共 线的两个力所组成 的力系.
力偶实例
力偶实例
F1
F2
力偶矩矢量
力偶对O点之矩 等于这个力系中 的两个力对该点 之矩之和
力偶矩矢量
MO = MO(F) + MO(F´)
= rAF + rBF´
= rAF - rB F
平面力 偶 的 特 点
平面力偶矩可视为代数量，即
MFd
其中正负号表示力偶的转向：一 般以逆时针转向为正，反之为负。
同平面内力偶的等效定理 定理：
在同平面内的两个力偶，如果 力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
这就是同平面内力偶等效的条件。
关于力偶性质的推论
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作 用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
力偶与力偶系例题 例题 1
讨论
怎样确定B、C二处的约束力
平面力偶系的平衡条件为n源自Mi 0i1力偶与力偶系例题
例题 1
已知: 结构受力如图
所示,图中M, r均为 已知,且l=2r.
试: 画出AB和BDC杆
的受力图; 求A,C二处的约
束力.
力偶与力偶系例题
例题 1
受力分析:
1. AB杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B
二处分别受有一 个方向虽然未知、 但可以判断出的 力.
力偶系及其合成
同平面内的力偶，由力偶性质 的推论，可同时改变其臂长，使其 臂长相等，并将它们在平面内转移， 使力的作用线重合，然后相加形成 新的力偶，这就是合力偶。
力偶系及其合成
平面力偶系合成的结果 :
仍然是一个力偶，其力偶矩等于原力偶系中所 有力偶矩之代数和。即
n
M= M
i=1
i
力偶系的平衡