函数的对称性和非对称性详解

20．（本小题满分14分）

已知函数f （x ）=21nx+ax 2 -1 （a ∈R ）

（I ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若a=l ，试解答下列两小题．

（i ）若不等式(1)(1)f x f x m ++-<对任意的0

（ii ）若x 1，x 2是两个不相等的正数，且以12()()0,f x f x +=求证：12 2.x x +>

21、已知函数（常数）.

（Ⅰ）求的单调区间；（5分）

（Ⅱ）设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线∥，求证：.（7分）21、（I）的定义域为

-----（1分）

①时，的增区间为，减区间为

②时，的增区间为，减区间为

③时，减区间为

④时，的增区间为，减区间为

-----（5分）

（II）由题意

又：

---------（7分）

（）在上为减函数

要证,只要证

-----（9分）

即, 即证

令，

在为增函数，即

即得证-----（12分）

20．（本小题满分14分）已知函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）记函数的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．

如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”，

试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由

20解：（Ⅰ）函数的定义域是. ………1分

由已知得，. ………2分

ⅰ当时, 令,解得;函数在上单调递增

ⅱ当时，①当时，即时, 令,解得或;

函数在和上单调递增

②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；

③当时，即时, 令,解得或

函数在和上单调递增。。。。。。。。。。。6分

综上所述:⑴当时,函数在上单调递增

⑵当时,函数在和上单调递增

⑶当时,函数在上单调递增；

⑷当时,函数在和上单调递增………….7分

(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.

…9分

曲线在点处的切线斜率，

依题意得：.

化简可得：，即=. ….11分

设()，上式化为：,

. 令,.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立. 所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. …..14分