湖北省黄冈市黄冈中学八年级上学期期末考试数学试题

湖北省黄冈市黄冈中学2012-2013学年八年级上学期期末考试数学试题
时间：120分钟 满分：120分
一、填空题（每小题3分，共24分）
1、若23x
=，25y
=，则2x y -的值为 . 2、已知1x y +=，则
2211
22
x xy y ++= . 3、当x = 时，分式24
2
x x -+的值为0.
4、0.000007245用科学记数法表示为 （保留三个有效数字）.
5、已知一次函数3y mx m =+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围为 .
6、若反比例函数1
k y x
+=
的图象有两点()11,x y ，()22,x y ，且当120x x <<时，12y y >，则k 的取值范围为 .
7、如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边 长都是
1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花____________秒钟. 8、已知ABC ∆中，23AB =，2AC =，BC 边上的高3AD =，则
ACB ∠= 度.
二、选择题（每小题3分，共24分）
9、在代数式213+x ，a
5，y x 2
6，y +53，32b a +，5232c ab ，24x y +中，分式有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
10、已知多项式2
x bx c ++分解因式为(3)(1)x x -+，则,b c 的值为（ ）
A.3,1b c ==-
B.2,3b c ==-
C.2,3b c =-=-
D.3,2b c =-=- 11、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家
赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方 形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正 方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那
么2)(b a +的值为（ ）
A ．13
B ．19
C ．25
D ．169 12、若()2
931a k a +-+是完全平方式，则k 的值是（ ）
A.3
B.9
C.9-或3
D.9或3- 13、下列函数中，自变量x 的取值范围是2x ≥的是（ ）
y
O
A
B A ．2y x =
-．2
y x =
- C ．2y x =+．()0
22y x x =++-14、一次函数y kx b =+（k ,b 是常数，0k ≡）的图象如图所
示，则不等式0kx b +>的解集是（ ）
A ．2x >-
B ．0x >
C ．2x <-
D ．0x <
15、如图，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点
B 是双曲线()3
0y x x
=
>上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐 增大时，OAB △的面积将会（ ）
A ．逐渐增大
B ．不变
C ．逐渐减小
D ．先增大后减小 16、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且
3PA =,4PB =,5PC =,以BC 为边在ABC ∆外作
BQC BPA ∆≅∆，连接PQ ，则以下结论错误的是（ ）
A ．BPQ ∆是等边三角形
B ．PCQ ∆是直角三角形
C ．150APB ︒
∠= D ．135APC ︒
∠=
三、解答题（共72分）
17、计算题（每小题4分，共8分） （1）()2
3
2
2a a
a
---÷- （2）)
2
2
125292-⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
18、解分式方程（每小题4分，共8分） （1）224124x x x -+=+- （2）105
22112x x x
+=--
19、（6分）先化简，再求值：2121
(1)1a a a a
++-+，其中21a =-.
y kx b =+
2
2-
B
A
E
D 20、（6分）Rt ABC ∆中90B ︒
∠=，13AC =，5BC =，将BC 折叠到CA
边上得到CE ，折痕CD ，求ACD ∆的面积.
21、（8分）如图，在直角坐标系中，点A 是反比例函数1k
y x
=
的图象上一点，AB x ⊥轴的 正半轴于B 点，C 是OB 的中点；一次函数2y ax b =+的图象经过A 、C 两点，并交y 轴于点()02D -，，若4AOD S =△．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请写出在y 轴的右侧，当12y y >
x 的取值范围．
22、（7分）某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m 的污水排放管道，为了尽量减少
施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
23、（8分）一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小长方形得到一个“E ”
图案如图1所示．小长方形的的相邻两边长()x cm 与()y cm 之间的函数关系如图2所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？ （3）如果小长方形中x 满足612x ≤≤， 求其相邻边长的范围.
24、（9分）如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方320
千米的B 处，以每小时40 千米的速度向北偏东60︒
的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响
的区域．问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？如果 会受到影响，求出A 城遭受这次台风影响持续的时间.
25、（12分）如图①所示，直线l ：5y kx k =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，试确定直线l 的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，连接OQ ，过A 、B 两点分别作
AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若3BN =，7MN =，求AM 的长；
（3）当k 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边在第一、第二象限作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连EF 交y 轴于P 点，问当点B 在y 轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
湖北省黄冈市黄冈中学2012-2013学年八年级上学期期末考试数学试题
参考答案及解析
一、填空题 1、
35
2、
12 解析：21()2
x y =+原式． 3、2 4、7.25×10
－6
5、m ＜3且m ≠0 解析：30,
0.
m m ->⎧⎨≠⎩ 6、k ＜－1
7、2.5
解析：①若沿前面侧面爬，则如图：
AB =
②若沿底面侧面爬，则如图：
5,529AB ==<5÷2=2.5s ．
8、60或120
解析：如图①，
当AD 在△ABC 内时，∵AD 为高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵
AC=2，AD = ∴在Rt
△ACB 中，1
1,2
CD CD AC =
=∴=
,∴∠CAD=30°， ∴∠ACB=90°－∠CAD=60°．如图②，当AD 在△ABC 外时，由①知，∠ACD=60°，∴∠ACB=180°－∠ACD=120°． 9、B 10、C
11、C 解析：①根据经验，a=2，b=3；
A
B
A
B
A
C D D
C B
A
图①
图②
②由题可得，a 2＋b 2=13，b －a=1，∴（a ＋b ）2=2（a 2＋b 2）－（b －a ）2=25． 12、D 解析：由原式=（3a ±1）2=9a 2±6a ＋1，∴k －3=±6． 13、D
14、A
15、C 解析：1
2
||OB B A S O y A ∆⋅=
． 16、D
三、解答题
17、解：（1）原式=－a 3－2÷a －4=－a ÷a －
4=－a 5 （2）原式=－4－1＋4＋3=2 18、解：（1）两边同乘x 2－4，得（x －2）2＋4=x 2－4，解得x=3．
检验：当x=3时，x 2－4≠0，∴x=3是原方程的根． （3）两边同乘2x －1，得10x －5=2（2x －1），解得12x =，检验：当12x =时，2x －1=0，1
2
x ∴=不是原方程的根，∴原方程无解．
19、解：2
11(1)11a a a a
a
+-+=
=++原式
，
当1a =时，11=+=原式． 20、解：由翻折知，△CBD ≌△CED ，∴∠CED=∠B=90°，CE=BC=5，DE=BD ，
∴∠AED=90°．设DE=BD=x ，∵AC=13，∴AE=8．∴在Rt △ABC 中，12AB ， ∴AD=12－x ．在Rt △ADE 中，AD 2=DE 2＋AE 2．∴（12－x ）2=x 2＋82 解得103x =
，即103DE =，111065132233ACD S AC DE ∆∴==⨯⨯=，即△ACD 的面积为653
． 21、解：（1）如图，∵AB ⊥x 轴，∴∠ABC=∠DOC=90°．∵C 是OB 中点，∴OC=BC ．
在△ABC 与△DOC 中，,
,21,ABC DOC CB CO ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ABC ≌△DO C ．∴AB=O D ．
∵D （0，－2），∴OD=2．∴AB=2．∵S △AOD =4，即1
42
OD OB =，∴OB=4． ∵点A 在第一象限，∴A （4，2）．∵点A （4，2）在双曲线1k
y x
=上，故k=4×2=8．
18y x ∴=．1
22
OC OB ==，∴C （2，0）
． ∵A （4，2），C （2，0）在直线y 2=ax ＋b 上，42,20.a b a b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得 1.
2.
a b =⎧⎨=-⎩
∴y 2=x －2．综上，反比例函数解析式为18
y x
=；一次函数解析式为y 2=x －2． （2）由图象知，0＜x ＜4．
22、解：设原计划每天铺设x m 管道，则实际每天铺设5(125%)4
x x +=， 故
30003000
3054
x x -=，解得x=20．经检验，x=20是原方程的解，且符合题意， 5
254
x ∴=，∴实际每天铺设25m 长管道． 23、解：（1）如图，可设(0)k y k x =≠，则把（10，2）代入得k=10×2=20，20
y x
∴=．
即y 与x 间的函数关系式为20
(0)y x x
=
>． （2）由（1）知，小长方形的面积为20，故“E ”图案的面积为162． 162－20×2=216cm 2． （3）
20y x =
，20x y ∴=．∵6≤x ≤12，20612y ∴≤
≤，y ＞0，510
33
y ∴≤≤ 故其相邻边长的范围为
51033
y ≤≤． 24、解：A 城会受到影响，理由如下：如图，过点A 作AC ⊥BF 于C ，则∠ACB=90°
由图知，∠1=90°－60°=30°，AB=320．
1
1602002
AC AB ∴=
=<，∴会受到影响． 以A 为圆心，以200km 长为半径画弧交BF 于D 、E 两点， 连结AD 、AE ，则AD=AE=200．
故台风中心从D 移动到E 的过程中，A 城市将受到影响． ∵在Rt △ACD 中，22120CD AD AC =
-=，
∴DE=2CD=240．∵240÷40=6，∴A 城遭受这次台风影响持续时间为6小时． 25、解：（1）由题知，k ≠0．把x=0代入y=kx ＋5k 中，得y=5k ；把y=0代入y=kx ＋5k 中，得x=－5．∴A （－5，0），B （0，5k ），∵点B 在y 轴正半轴上，∴5k ＞0．即OA=5，OB=5k ． ∵OA=OB ，∴k=1．∴直线l 的解析式为y=x ＋5．
（2）法1：由（1）知，k=1，∴OA=5，OB=5．∵BN ⊥OQ ，AM ⊥OQ ，∴∠AMO=BNO=90°． ∵BN=3，∴在Rt △BON 中，224ON OB BN =-=． ∵MN=7，∴OM=3．∴在Rt △AMO 中，224AM AO OM =
-=．
法2：由（1）知，OA=O B ．∵AM ⊥OQ ，BN ⊥OQ ，∴∠AMO=BNO=90°，∴∠3＋∠2=90°． ∵∠AOB=90°，∴∠1＋∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△AOM ≌△OBN （AAS ）． ∴AM=ON ，OM=BN=3．∵MN=7∴AM=ON=4 （3）PB 长为定值．
法1：如图，过点E 作EC ⊥y 轴于C ，则∵△ABE 为等腰直角三角形 ∴AB=BE ，∠ABE=90°．由（2）法2易证，△AOB ≌△BCE （AAS ），∴BC=OA=5，CE=O B ． ∵△OBF 为等腰直角三角形，∴OB=BF ，∠OBF=90°．∴BF=CE ，∠PBF=∠PCE=90°． ∵∠1=∠2，∴△PBF ≌△PCE （AAS ），1522PC PB BC ∴==
=，即PB 长为5
2
． 法二：由△AOB ≌△BCE ，可求E （－5k ，5k ＋5）．∵F （5k ，5k ），
5555
(5).(0,5),5..22222
EF x y k P k OP k PB OP OB k ∴=-
+++∴=+∴=-=即。