结构力学 第9章矩阵位移法
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结构力学课后习题解答：9矩阵位移法习题解答.docx
第9章矩阵位移法习题解答习题9.1是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。
（）（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。
（）（3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。
（）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。
（）（5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。
（）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。
（）【解】（1）正确。
（2）错误。
位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。
（3）错误。
不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。
（4）正确。
（5）错误。
结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。
（6）错误。
二者只产生相同的结点位移。
习题9.2填空题（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的,其二是分析，其三是分析。
（2）已知某单元的定位向量为[3 5 6 7 8 9]七则单元刚度系数炫应叠加到结构刚度矩阵的元素中去。
（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是。
（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成矩阵和_________________ 列阵。
（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为4=[. V2 ft]T=[0.8 0.3 0.5]T,单元①的始、末端结点码为3、2,单元定位向量为尸＞=[0 0 0 3 4 5]T ,设单元与x轴之间的夹角为a =买，则2 尹＞ =O（6 ）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为F e =[7.5 -48 -70.9 -7.5 48 -121.09]T ,则该单元的轴力心=kN。
【解】（1）离散化，单元，整体；（2）灯8；（3）结点位移相等；（4）结构刚度，综合结点荷载；（5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]。
（6）-7.5o离、空的值以及K ⑴中元素妍、愚、姒的值。
【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。
结构力学 第九章 矩阵位移法-董
0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
e u1 e v1 1 u2 v 2 2
矩阵表示： a11
a 21 an1 a12 a1n x1 b1 a22 a2 n x2 b2 an 2 ann xn bn
第九章
主要内容
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 §9-8 §9-9 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 等效结点荷载 计算步骤及算例 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 桁架及组合结构的整体分析
基本要求：
即 aij a ji
b2 b4 d2 d4
8. 矩阵分块
A B C D
A、B、C、D
均为子矩阵
9、逆矩阵 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB =C
则
B=A 1 C
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。 一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：
A A 1 = A 1 A =I
方阵：
a11 a12 a1n a a22 a2 n aij 21 n n an1 an 2 ann a11 0 a22 0 ann a11 0 a a22 21 an1 an 2 ann
4i 2i 6i l 6i l
2i 4i 6i l 6i l
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(矩阵位移法)【圣才出品】
第9章 矩阵位移法9.1 复习笔记一、矩阵位移法的基本思路矩阵位移法又称为杆件结构的有限元法。
分析的两个基本步骤：（1）单元分析；（2）整体分析。
单元分析：建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵。
整体分析：将单元合成整体，按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立位移基本方程。
二、单元刚度矩阵（局部坐标系）进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。
单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力的一组方程，可以用“”表示，由位移求力称为“正问题”。
相应的由力求位移称为“反问题”。
正问题的解是唯一的确定的，但是反问题则可能无解，如果有解也非唯一解。
当外部荷载为不平衡力系时，反问题无解；当外荷载为平衡力系时，反问题有解但是因为杆件除本身变形外还可有任意刚体位移，此时反问题的解不唯一。
本书暂不考虑反问题的求解。
1．一般单元图9-1所示为平面刚架中的一个等截面直杆单元.单元的两个端点采用局部编码1和2，由端点1到端点2的方向规定为杆轴的正方向，在图中用箭头标明。
F →∆e图9-1图中采用坐标系，其中轴与杆轴重合。
这坐标系称为单元坐标系或者局部坐标系。
字母、的上面都画了一横，作为局部坐标系的标志。
推导单元刚度方程时，有以下几点需要注意：重新规定正负号规则、讨论杆件单元的一般情况、采用矩阵表示形式。
在局部坐标系中，图9-2所示的位移、力分量方向为正方向。
图9-2杆件性质：长度l ，截面面积A ，截面惯性矩I ，弹性模量E ；杆端位移u 、v 、θ。
根据杆端位移可以推导出下面两组刚度方程：（9-1）x y x x y（9-2）将上述六个刚度方程列成矩阵形式：（9-3）其中就是局部坐标系下单元刚度矩阵，即为（9-4）2．单元刚度矩阵的性质 （1）单元刚度系数的意义e e ek F∆=eK代表单元杆端第j 个位移分量等于1时所引起的第i 个杆端力分量。
（2）是对称矩阵，即。
（3）一般单元的是奇异矩阵，即，因此不存在逆矩阵。
结构力学矩阵位移法
k的单位转角引起的j端弯矩用
k jk 表示，k端弯矩用 k kk 表示，放在劲度矩阵第二列；
k(1)k(2)k(3) k kk jjj
k kk jk k 2 4ii
2i 4i
21
K1是 1 1自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K1
1.位移法作结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图 矩阵位移法将结点位移引起的杆端力放在单元劲度 矩阵中。
2.位移法从结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图中取出结点作为脱离体，由脱离体的力平衡条件 求得附加约束反力，即整体劲度系数。
矩阵位移法由单元劲度矩阵集合成整体劲度矩阵。
10
位移法和矩阵位移法求自由项系数的方法有何不同？
11
背：位移法矩阵位移法整体结点位移正负号规定？
整体结点位移，矩阵位移法中与整体坐标方向一 致为正。位移法中角位移顺钟向为正，线位移无 规定。
12
第二专题： 只有转角未知量的连续梁的矩阵位移法
13
用位移法和矩阵位移法求图示连续梁的杆端弯矩
FP1 FP FP2 2FP ql FP
14
背：位移法和矩阵位移法的基本系-结点转角处附加刚臂
K21kk(2j) 2i
23
K12是2自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K12的形成
矩阵位移法：与1和2自由度都 有关的单元单元只有(2)单 元，1自由度对应(2)单元的 j端，2自由度对应(2)单元 的k端，故：
K12k(j2k) 2i
24
K22是2自由度发生单2自 位由 转度 角引 在起的刚
5
背：为什么矩阵位移法比位移法可能有更多的独立的 结点线位移作为基本未知量?
k jk 表示，k端弯矩用 k kk 表示，放在劲度矩阵第二列；
k(1)k(2)k(3) k kk jjj
k kk jk k 2 4ii
2i 4i
21
K1是 1 1自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K1
1.位移法作结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图 矩阵位移法将结点位移引起的杆端力放在单元劲度 矩阵中。
2.位移法从结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力） 图中取出结点作为脱离体，由脱离体的力平衡条件 求得附加约束反力，即整体劲度系数。
矩阵位移法由单元劲度矩阵集合成整体劲度矩阵。
10
位移法和矩阵位移法求自由项系数的方法有何不同？
11
背：位移法矩阵位移法整体结点位移正负号规定？
整体结点位移，矩阵位移法中与整体坐标方向一 致为正。位移法中角位移顺钟向为正，线位移无 规定。
12
第二专题： 只有转角未知量的连续梁的矩阵位移法
13
用位移法和矩阵位移法求图示连续梁的杆端弯矩
FP1 FP FP2 2FP ql FP
14
背：位移法和矩阵位移法的基本系-结点转角处附加刚臂
K21kk(2j) 2i
23
K12是2自由度发生单1自 位由 转度 角引 在起的刚
位移法用结点的平衡
K12的形成
矩阵位移法：与1和2自由度都 有关的单元单元只有(2)单 元，1自由度对应(2)单元的 j端，2自由度对应(2)单元 的k端，故：
K12k(j2k) 2i
24
K22是2自由度发生单2自 位由 转度 角引 在起的刚
5
背：为什么矩阵位移法比位移法可能有更多的独立的 结点线位移作为基本未知量?
结构力学 矩阵位移法课件
3
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)
土木工程专业系列教材—结构力学
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矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
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确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
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x y (2) x
(1)
(2)
工程力学-结构力学课件-9矩阵位移法
1 基本思路 与手算一样
结构离散化，单元分析，整体分析
1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。 2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。
单元 分析
整体 分析
任务
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
1
F1e
e 1
l, A, E e
e 2
2
F2e
单元杆端力和单元杆端位移的方向与局部坐标系一致为正。
F
e
FF12ee
----单元杆端力
F1e
1
e 1Leabharlann e12ee
----单元杆端位移
l, A, E e
F1e F2
EA/l EA/l
13 2
1(1,2)
57 6
3(5,6)
10 13 10(19，20)
11
9
12
14 15
16
17 9(17，18)
结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等
整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。
坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系.
曲杆结构:以直代曲.
6
5（13,14,15） 6（16,17,18）
i
j
i
e
i
Mi
Fxi
i
Fyi
j
x
j j
Fxj
Mj
Fyi
e [i i i j j j ]eT
y
----单元杆端位移
结构离散化，单元分析，整体分析
1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。 2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。
单元 分析
整体 分析
任务
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
1
F1e
e 1
l, A, E e
e 2
2
F2e
单元杆端力和单元杆端位移的方向与局部坐标系一致为正。
F
e
FF12ee
----单元杆端力
F1e
1
e 1Leabharlann e12ee
----单元杆端位移
l, A, E e
F1e F2
EA/l EA/l
13 2
1(1,2)
57 6
3(5,6)
10 13 10(19，20)
11
9
12
14 15
16
17 9(17，18)
结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等
整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。
坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系.
曲杆结构:以直代曲.
6
5（13,14,15） 6（16,17,18）
i
j
i
e
i
Mi
Fxi
i
Fyi
j
x
j j
Fxj
Mj
Fyi
e [i i i j j j ]eT
y
----单元杆端位移
结构力学应用-矩阵位移法
3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加 定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载 （7-1）局部坐标系单元固端力 （7-2）整体坐标系单元固端力 （7-3）单元等效结点荷载。 单元等效结点荷载。
等效原则： 等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。 两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架 计算机计算――程序化） 程序化） （计算机计算 程序化
1. 编码、整理原始数据 编码、
（1）整体与局部坐标系 ） （2）结点位移编码 ） 单元编码 （3）原始数据： ）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量 、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。 引入支承条件
2、铰结点处理： 铰结点处理： 铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码（统一单元，程序简单） 分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同 基本原理与位移法相同 矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识 矩阵： （1）矩阵：A 方阵： 方阵： 阶方阵A相应的行列式 （2）行列式：n阶方阵 相应的行列式 ）行列式： 阶方阵 相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵 （3）矩阵运算 相等：加减：数乘： 相等：加减：数乘： l aik 乘法： 乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =
结构力学 第九章 矩阵位移法-董 - 副本
2
Cx Cx
2
2
C xC y
C xC y 2 C y EA C xC y l 2 Cy
K
(2)
0 .75 0 .433 0 .75 0 .433
0 .433 0 .25 0 .433 0 .25
0 .75 0 .433 0 .75 0 .433
[例]
形成连续梁的整体刚度矩阵
（0） 1 （1）
2
（2）
3
（3）
4
（4）
5
（5）
i1
1 2
i2
3
i3
4
i4
5
i5
6
解：1）编号及建立坐标
2）单元刚度矩阵
（连续梁每个结点只一个位移）
0
4 i1 [k ] 2 i1
①
1
定位向量 ②
1
4 i2 [k ] 2 i2
2
定位向量
(2) 整体坐标系中的单元 刚 度矩阵 单元①： 0 , T I
0
k
(1)
k
1 0 0 0 0 0
(1)
90 0 , 单元②：
0 1 0 T 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
e
k （6×6）；
e
转换成整体坐标系 k
e
；
（5）把单元定位向量标在整体坐标系的单元刚度矩阵边上， 并划去已知支座位移等于零的行和列； （6）按照定位向量号，“对号入座”集合成整体刚度矩阵。
例 求整体刚度矩阵[K]。已知各杆刚度系数为 5 4 2 ： EA 6.6 10 kN , EI 1.2 10 kN .m 。
Cx Cx
2
2
C xC y
C xC y 2 C y EA C xC y l 2 Cy
K
(2)
0 .75 0 .433 0 .75 0 .433
0 .433 0 .25 0 .433 0 .25
0 .75 0 .433 0 .75 0 .433
[例]
形成连续梁的整体刚度矩阵
（0） 1 （1）
2
（2）
3
（3）
4
（4）
5
（5）
i1
1 2
i2
3
i3
4
i4
5
i5
6
解：1）编号及建立坐标
2）单元刚度矩阵
（连续梁每个结点只一个位移）
0
4 i1 [k ] 2 i1
①
1
定位向量 ②
1
4 i2 [k ] 2 i2
2
定位向量
(2) 整体坐标系中的单元 刚 度矩阵 单元①： 0 , T I
0
k
(1)
k
1 0 0 0 0 0
(1)
90 0 , 单元②：
0 1 0 T 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
e
k （6×6）；
e
转换成整体坐标系 k
e
；
（5）把单元定位向量标在整体坐标系的单元刚度矩阵边上， 并划去已知支座位移等于零的行和列； （6）按照定位向量号，“对号入座”集合成整体刚度矩阵。
例 求整体刚度矩阵[K]。已知各杆刚度系数为 5 4 2 ： EA 6.6 10 kN , EI 1.2 10 kN .m 。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
实践应用
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
《结构力学课件》矩 阵 位 移 法
将（17—21）及（17—25） T F 式代入上式得： e
K
T
e
T e
e
F
T
K
T e
e 另 [T]T[ K ] [I]=[K]e 则 用结分点块式表示为：
{F}e=[K]e{}e
e Fi e F j e Kii e K ji e e Kij i e Ke jj j
• 注：1） F , 为结构坐标的杆端力和杆端位移。 • 2） Kij e 表示单元e 的j端三个位移分别产生单位位移时在i 端各力 • 分量分别产生的力。 • 3） Kii , Kij , K ji , K jj 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
e e
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• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
• 已知上例支承条件 1 =0，连同已获得的[K]，以及各结点 荷载值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i 1 0 2i1 4i1 4i 2 2i 2 0 0 2i 2 2 4i 2 3 M1 M 2 0
｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子 计算机为工具的结构分析方法。 有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形 成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式； 整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照 刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方 程，从而求解。 直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵 位移法的核心内容。
第九节矩阵位移法
(2 =1)
0
6EI l2 2EI l
0
6EI
l2 4EI
l
e
…（9-4）
F e k ee
…（9-5）
即为一般单元的刚度方程。其中 k e 称为局部坐标系中的单
元刚度矩阵。
2、一般单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数 kij ，其物理
意义表示由于单位杆端位移引起的杆端力。
( v1e
v2e
)
Fye1
6EI l2
(1e
2e )
12EI l3
( v1e
v2e )
Fye2
6EI l2
(1e
e 2
)
12 l
EI
3
( v1e
v2e
)
Fx1 M1
1
v1
Fy1
u1
…（9-2）
e
1
M2
Fx2
2 Fy2
v2
u2
2
式(9-1) 、(9-2)即为局部坐标系下平面刚架一般单元的单元刚度方
ke T Tk eT
F e kee
即为单元e在整体坐标中的单元刚度方程 其中 k e为整体坐标系的单元刚度矩阵，和 k e 同阶，且具有类似的性质。
§9-4 结构的整体刚度矩阵
作用在结构上的荷载与结构的结点位移， 也存在一一对应的关系，即为结构的整体刚 度方程。结构的整体刚度方程反映了结点荷 载和结构位移之间的关系，其实质就是位移 法的基本方程。求解方法一种是传统位移法， 另一种是直接刚度法。
l
Fxe1
EA l
u1e
EA l
u2e
第9章矩阵位移法
方程后求出原结构的结点位移和内力，称该过程为整体分析。 上述一分一合，先拆后搭的过程中，是将复杂结构的计算
问题转化为简单单元的分析及集合问题。而由单元刚度矩阵直 接形成结构刚度矩阵是矩阵位移法的核心内容。
水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组
第9章 矩 阵 位 移 法
§9.1 概 述
第9章
矩 阵 位 移 法
§ 9.1 概
述
§9.2 局部坐标系下的单元刚度矩阵
§9.3 整体坐标系下的单元刚度矩阵 §9.4 用矩阵位移法解连续梁 §9.5 用矩阵位移法解平面刚架 §9.6 用矩阵位移法解平面桁架和组合结构
第9章 矩 阵 位 移 法
§9.1 概 述
二、矩阵位移法基本思路
2、用矩阵形式解该题 位移法方程：
4i11+2i12=M1 2i11+(4i1+4i2)2+2i23 =M2 2i22+4i23= M3
1
M1
i1
1
M2
i2
②
3
M3
①
单元① 刚度矩阵
2
2
3
整体 刚度矩阵
1 M 1 2 M 2 3 M 3
3、矩阵位移法 ——杆件结构的有限单元法 它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于 它易于实现计算过程程序化，本章只对矩阵位移法进行讨论。
水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组
第9章 矩 阵 位 移 法
§9.1 概 述
二、矩阵位移法基本思路
1、用位移法解该题 未知量：1、2、3
如图所示，xOy为整体坐标系， 按右手定则确定，1、2、3、4称 为整体码。 y x o y为局部坐标系，按右手 定则确定， 1 、 2 称为局部码。 通常原点O放在结点 1上， x 轴与 单元轴线重合，正方向由 1 指向 2 。
《结构力学》第9章矩阵位移法.
结构力学 李元美 主编 张代理 陈登智 副主编
结构力学
第1章 结构的计算简图 第2章 平面体系的几何组成 第3章 静定结构的受力分析 第4章 静定结构的位移计算 第5章 力法 第6章 位移法 第7章 力矩分配法 第8章 影响线 第9章 矩阵位移法 第10章 结构动力计算基础
结构力学
9.1 概 述 9.2 结构离散化及位移、力的表示与编码 9.3 单元刚度方程和单元刚度矩阵 9.4 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵 9.5 非结点荷载的等效化 9.6 计算步骤和算例
2. 局部坐标系下的单元刚度方程和单元刚度矩阵
单元刚度方程，指单元杆端力与杆端位移之间的关系。
结构力学
局部坐标系下的单元刚度方程
可简记为
结构力学
局部坐标系下的单元刚度矩阵
结构力学
3.单元刚度矩阵的性质
(1)单元刚度系数的意义。 中的元素称为单元刚度矩阵的系 数，代表单元杆端位移与其所引起的杆端力的关系，数值上等 于单位杆端位移引起的杆端力的大小。通常用下标i，j分别表 示元素在矩阵中所处的行、列号。 (2)单元刚度系数仅与单元的横截面积A、惯性矩I、弹性模量E 和长度l有关。 (3) 是对称矩阵，它的对称性指其元素有关系：
图9.1
结构力学
2.位移、力的正方向规定
为了统一(如力的正、负号可直接代入平衡方程等)，在矩阵 位移法中，对于所有的外力、结点位移、杆端力、杆端位移等矢 量，规定坐标系的正方向为它们的正方向。 本章采用左手坐标系，用oxy表示结构平面，z轴为截面惯性轴方 向。转角位移、力矩、弯矩以顺时针方向为正(即左手螺旋轴与z 相同为正。
结构力学
9.3 单元刚度方程和单元刚度矩阵
1. 单元局部坐标系
结构中每个杆件的位置、方向各不相同，为了便于讨论杆 件本身杆端力与杆端位移间的关系，对每个单元分别建立单元 局部坐标系。 在局部坐标系下，可表示出杆端力分量分别为轴向力、横向力、 弯矩，杆端位移分量分别对应轴向位移、横向位移、转角位移。
结构力学
第1章 结构的计算简图 第2章 平面体系的几何组成 第3章 静定结构的受力分析 第4章 静定结构的位移计算 第5章 力法 第6章 位移法 第7章 力矩分配法 第8章 影响线 第9章 矩阵位移法 第10章 结构动力计算基础
结构力学
9.1 概 述 9.2 结构离散化及位移、力的表示与编码 9.3 单元刚度方程和单元刚度矩阵 9.4 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵 9.5 非结点荷载的等效化 9.6 计算步骤和算例
2. 局部坐标系下的单元刚度方程和单元刚度矩阵
单元刚度方程，指单元杆端力与杆端位移之间的关系。
结构力学
局部坐标系下的单元刚度方程
可简记为
结构力学
局部坐标系下的单元刚度矩阵
结构力学
3.单元刚度矩阵的性质
(1)单元刚度系数的意义。 中的元素称为单元刚度矩阵的系 数，代表单元杆端位移与其所引起的杆端力的关系，数值上等 于单位杆端位移引起的杆端力的大小。通常用下标i，j分别表 示元素在矩阵中所处的行、列号。 (2)单元刚度系数仅与单元的横截面积A、惯性矩I、弹性模量E 和长度l有关。 (3) 是对称矩阵，它的对称性指其元素有关系：
图9.1
结构力学
2.位移、力的正方向规定
为了统一(如力的正、负号可直接代入平衡方程等)，在矩阵 位移法中，对于所有的外力、结点位移、杆端力、杆端位移等矢 量，规定坐标系的正方向为它们的正方向。 本章采用左手坐标系，用oxy表示结构平面，z轴为截面惯性轴方 向。转角位移、力矩、弯矩以顺时针方向为正(即左手螺旋轴与z 相同为正。
结构力学
9.3 单元刚度方程和单元刚度矩阵
1. 单元局部坐标系
结构中每个杆件的位置、方向各不相同，为了便于讨论杆 件本身杆端力与杆端位移间的关系，对每个单元分别建立单元 局部坐标系。 在局部坐标系下，可表示出杆端力分量分别为轴向力、横向力、 弯矩，杆端位移分量分别对应轴向位移、横向位移、转角位移。
结构力学-矩阵位移法
Fxe1, Fye1, u1e , v2e , Fxe2 , Fye2 , u2e , v2e
以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正 方向一致为正，相反为负。
M1e，M 2e，1e，2e，M1e，M 2e，1e ,2e
以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为 正，逆时针方向为负。
10
3. 单元坐标转换矩阵
③
4
④
7
⑤
⑥
1
36
曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。
进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号 的差值最小。
4
三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换
1．坐标系
结构整体分析 —整体坐标系xy
x
2
②
4
y
①③
④
单元分析—局部坐标系 x y 1
3
单元始端指向末端的方向就
是 x 轴的正方向
1
x
坐标轴遵循右手法则，即
Fx1e
M
e 1
1
M
e 1
e
y
x
2
y
x
单元杆端力
x
2
②
4
y
①③
④
1
3
y v1e 1
1
u1e
u1e
v1e
1e
1e
e
y
x
2
x
2
单元杆端位移
7
Fxe1 Fye1
uv11ee
F
e
MFxe12e
e
u12ee
Fye2
v2e
M
e 2
e 2
Fxe1 Fye1
uv11ee
点，单元与单元、单元与支座均通
以上杆端力和杆端线位移与相应的坐标轴正 方向一致为正，相反为负。
M1e，M 2e，1e，2e，M1e，M 2e，1e ,2e
以上杆端力矩和杆端转角均以顺时针方向为 正，逆时针方向为负。
10
3. 单元坐标转换矩阵
③
4
④
7
⑤
⑥
1
36
曲杆可用多段直杆近似代替(以直代曲)。
进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号 的差值最小。
4
三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换
1．坐标系
结构整体分析 —整体坐标系xy
x
2
②
4
y
①③
④
单元分析—局部坐标系 x y 1
3
单元始端指向末端的方向就
是 x 轴的正方向
1
x
坐标轴遵循右手法则，即
Fx1e
M
e 1
1
M
e 1
e
y
x
2
y
x
单元杆端力
x
2
②
4
y
①③
④
1
3
y v1e 1
1
u1e
u1e
v1e
1e
1e
e
y
x
2
x
2
单元杆端位移
7
Fxe1 Fye1
uv11ee
F
e
MFxe12e
e
u12ee
Fye2
v2e
M
e 2
e 2
Fxe1 Fye1
uv11ee
点，单元与单元、单元与支座均通
结构力学教学课件09矩阵位移法ppt
所在行、列的副元素以及同行 的未知结点荷载改为0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
结构力学 矩阵位移法
§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
一.一般单元的刚度方程和刚度矩阵
1.单元两端采用局部编码1、2
1
e
2.六个杆端位移组成杆端位移列向量。
v1
1
u1
EAI L
3.六个杆端力组成杆端力列向量。
y
2
2 vu22 x
e
1
2
e
u1 v1
e
3
1
F1
e
F2
e
F x1 Fy1
单元刚度矩阵中的每个元素都代表单元
杆端单位位移引起的杆端力称之为单元
刚度系数。其中
k
表示第j个杆端单位位移
ij
引起的第i个杆端力。
⑵单元刚度矩阵为对称矩阵。 kij k ji
⑶一般单元刚度矩阵为奇异矩阵 k e 0
三、特殊单元刚度方程和刚度矩阵
⑴连续梁中的受弯杆件单元 ⑵桁架结构中杆件单元
⑴连续梁中的受弯杆件单元
忽略轴变时单元的刚度矩阵
12EI
l3 6EI
k
e
l2
12E
l3 6EI
I
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI
l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2
12EI
l3 6EI l2
6EI
e
l2 2EI
l
6EI l2
4EI
l
§9-3节 单元刚度矩阵(整体坐标系)
一、单元坐标转换矩阵
⑶根据所选基本未知量的不同，结构矩阵分析 包括：
§9-1节 位移法概述
矩阵力法
结构矩阵分析
一般刚度法
矩阵位移法
直接刚度法
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对所有结点的各位移分量进行了统一的编号，称为结点位移的整 体编码。
结构力学 4.单元杆端位移局部编码
每个单元有两个杆端，分别称为1、2端，单元的状态由杆端 位移决定，所以定义单元位移由杆端位移构成
上标e为单元编号，对一般单元，每个杆端同样有3个方向的位移 分量，uei,vei,θei，于是单元有6个杆端位移分量
结构力学
9.3 单元刚度方程和单元刚度矩阵
1. 单元局部坐标系
结构中每个杆件的位置、方向各不相同，为了便于讨论杆 件本身杆端力与杆端位移间的关系，对每个单元分别建立单元 局部坐标系。 在局部坐标系下，可表示出杆端力分量分别为轴向力、横向力、 弯矩，杆端位移分量分别对应轴向位移、横向位移、转角位移。
向量中的六个元素的序号1到6，是在每个单元中各自编码，单元 之间不相关，所以称为单元杆端位移分量的局部编码。
5.定位向量
把每个单元的两个杆端与相应结点对应连接就可搭成原结构， 连接后，单元杆端将取得与相应结点相同的位移，即每一个杆端 位移分量，都等于与它对应的结点位移分量。对一个单元，在杆 端位移分量的位置上，写出对应的结点位移的整体编码，形成的 向量，就称为单元的定位向量。
结构力学
9.4 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵
上式称为结构的整体刚度方程，其中K称为结构的整体刚度 矩阵。 总体刚度矩阵是一个方阵，其阶数与结构结点位移分量总 数相同。它的分量是由单元刚度矩阵的系数叠加构成的。叠加 规律是：单元刚度矩阵的元素，按照它所处的局部行和列号， 对应单元的定位向量，在总刚度矩阵中落到新的行和列上。 总刚度矩阵的特点： (1)刚度矩阵的系数是物理量，由结构本身的长度、截面尺寸、 材料性质、连接方式等决定，与载荷、变形等量无关。 (2)总刚度系数kij表示结构沿第j个整体结点位移方向产生单位 位移Δj=1，其他所有结点位移等于0时，在第i结点位移方向所 需要施加的力(与传统位移法相同)。
结构力学
9.2 结构离散化及位移、力的表示与编码
1. 单元划分
划分单元的条件：内部没有载荷的等截面直杆。 单元与单元或支承的连接点称为结点。习惯上用①、②、③等 表示单元序号，1、2、3等表示结点序号，例如图9.1所示的桁 架和刚架结构的划分。
图9.1
结构力学 2.位移、力的正方向规定
为了统一(如力的正、负号可直接代入平衡方程等)，在矩阵 位移法中，对于所有的外力、结点位移、杆端力、杆端位移等矢 量，规定坐标系的正方向为它们的正方向。 本章采用左手坐标系，用oxy表示结构平面，z轴为截面惯性轴方 向。转角位移、力矩、弯矩以顺时针方向为正(即左手螺旋轴与z 相同为正。
结构力学
(3)对称性：总刚度系数由单元刚度系数叠加构成，单元刚度系 数本身有对称性，由定位向量确定的位置也是对称位置。由反力 互等定理同样可验证。 (4)稀疏性；一般情况下，总刚度矩阵中有很多的“0”元素。这 是因为当结点、杆件很多时，会有很多结点间没有杆件相连，当 使结构仅在其中一个结点产生位移，而其他所有位移为“0”时 ，这些不相关的结点上就不需要施加任何结点力。在编码合理的 情况下，总刚度矩阵的非“0”元素可集中分布在主对角线两侧 一定宽度的带状区域内，利用这个特性，可节省很多计算资源。
，得到结点位移向量△。 ，绘内力图或作其他分析。
(5)求解总刚度方程
(6)用式(9-34)计算各单元的杆端内力
(2)单元分析，先形成局部坐标系中的单元刚度矩阵
再形成整体坐标系中的单元刚度矩阵Ke，用式(9-24)。
，用式(9-10)。
(3)整体分析，依定位向量，将单元刚度矩阵“对号入座”集成总刚度 矩阵K。 (4)计算非结点载荷引起的单元固端力 ，用式(9-33)进行坐标转换
并改符号得
，也依定位向量叠加计入结点载荷向量F。
2. 局部坐标系下的单元刚度方程和单元刚度矩阵
单元刚度方程，指方程
可简记为
结构力学
局部坐标系下的单元刚度矩阵
结构力学 3.单元刚度矩阵的性质
(1)单元刚度系数的意义。 中的元素称为单元刚度矩阵的系 数，代表单元杆端位移与其所引起的杆端力的关系，数值上等 于单位杆端位移引起的杆端力的大小。通常用下标i，j分别表 示元素在矩阵中所处的行、列号。 (2)单元刚度系数仅与单元的横截面积A、惯性矩I、弹性模量E 和长度l有关。 (3) 是对称矩阵，它的对称性指其元素有关系： (4) 即| 是奇异矩阵， 是奇异矩阵指其行列式的值等于零， |=0。
4.单元的坐标转换矩阵
由于杆件在复杂结构中的方向并非完全相同，所以各杆的杆端 力、杆端位移在整体坐标系下方向不一定相同，必须将它们统 一后才可讨论位移的连续和力的平衡。
结构力学
简写成
式中T称为单元坐标转换矩阵。
5. 整体坐标系下的单元刚度矩阵
整体坐标系下单元杆端力与杆端位移间的关系—刚度方程：
简写为 其中Ke称为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
结构力学
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
概 述 结构离散化及位移、力的表示与编码 单元刚度方程和单元刚度矩阵 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵 非结点荷载的等效化 计算步骤和算例
结构力学
9.1 概
述
由于计算机应用的发展和普及，以传统结构力学方 法作为理论基础，以矩阵表示作为表达形式，以电算逻 辑作为分析顺序的矩阵分析方法，成为当今结构分析的 重要方法。 矩阵位移法是有限单元法的雏形，因此有时也称为 杆件结构的有限元法。其要点是：为了确定结点位移与 载荷的关系，先把整体结构拆开，然后再将这些单元和 结点按实际情况集合成整体。 在矩阵位移法中，单元分析的任务是归纳典型单元 模型，建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵；整体分 析的主要任务是寻求由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵 的规律，建立整体位移法方程，从而求出解答。
结构力学
【例9.3】试求图9.2(a)所示连续梁的整体刚度矩阵。 解： 给出单元、结点、结点位移编号如图 9.2(b)所示，各单元的定位向量分别为 各单元的单元刚度矩阵分别为：
图9.2
结构力学
把单元刚度矩阵依次定位叠加于总刚度矩阵： 计入单元①的中间结果
计入单元②的中间结果
计入单元③的最后结果
显然，它的刚度方程展开式，与位移法的典型方程相同。
结构力学
9.5 非结点荷载的等效化
计算步骤： 1. 在局部坐标系下计算单元的等效载荷 2. 将固端力转换到结构(整体)坐标系
3. 等效结点载荷FP
结构力学
9.6 计算步骤和算例
矩阵位移法的基本步骤如下： (1)整理原始数据，对结点位移进行整体编码，得到单元定位向量等。 直接的结点载荷按它对应的结点位移编码，直接计入整体结点载荷向量 F中。
3.结点位移整体编码
对结构整体建立坐标系oxyz，则每个结点都有确定的位置坐标。
下标I表示结点编号，上标T表示矩阵转置。
结构力学
对结构所有的结点位移，统一用矢量Δ表示，称为结构整体位 移，简称结构位移或整体位移。Δ中各分量的顺序首先是结点 编号，然后是每个点本身的x,y,z顺序，即
对应结点载荷用矢量F表示，它的排序与位移排序相同