结构力学 第9章矩阵位移法

结构力学
9.5 非结点荷载的等效化
计算步骤： 1. 在局部坐标系下计算单元的等效载荷 2. 将固端力转换到结构(整体)坐标系
3. 等效结点载荷FP
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9.6 计算步骤和算例
矩阵位移法的基本步骤如下： (1)整理原始数据，对结点位移进行整体编码，得到单元定位向量等。 直接的结点载荷按它对应的结点位移编码，直接计入整体结点载荷向量 F中。
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9.3 单元刚度方程和单元刚度矩阵
1. 单元局部坐标系
结构中每个杆件的位置、方向各不相同，为了便于讨论杆 件本身杆端力与杆端位移间的关系，对每个单元分别建立单元 局部坐标系。 在局部坐标系下，可表示出杆端力分量分别为轴向力、横向力、 弯矩，杆端位移分量分别对应轴向位移、横向位移、转角位移。
3.结点位移整体编码
对结构整体建立坐标系oxyz，则每个结点都有确定的位置坐标。
下标I表示结点编号，上标T表示矩阵转置。
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对结构所有的结点位移，统一用矢量Δ表示，称为结构整体位 移，简称结构位移或整体位移。Δ中各分量的顺序首先是结点 编号，然后是每个点本身的x,y,z顺序，即
对应结点载荷用矢量F表示，它的排序与位移排序相同
对所有结点的各位移分量进行了统一的编号，称为结点位移的整 体编码。
结构力学 4.单元杆端位移局部编码
每个单元有两个杆端，分别称为1、2端，单元的状态由杆端 位移决定，所以定义单元位移由杆端位移构成
上标e为单元编号，对一般单元，每个杆端同样有3个方向的位移 分量，uei,vei,θei，于是单元有6个杆端位移分量
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(3)对称性：总刚度系数由单元刚度系数叠加构成，单元刚度系 数本身有对称性，由定位向量确定的位置也是对称位置。由反力 互等定理同样可验证。 (4)稀疏性；一般情况下，总刚度矩阵中有很多的“0”元素。这 是因为当结点、杆件很多时，会有很多结点间没有杆件相连，当 使结构仅在其中一个结点产生位移，而其他所有位移为“0”时 ，这些不相关的结点上就不需要施加任何结点力。在编码合理的 情况下，总刚度矩阵的非“0”元素可集中分布在主对角线两侧 一定宽度的带状区域内，利用这个特性，可节省很多计算资源。
，得到结点位移向量△。 ，绘内力图或作其他分析。
(5)求解总刚度方程
(6)用式(9-34)计算各单元的杆端内力
4.单元的坐标转换矩阵
由于杆件在复杂结构中的方向并非完全相同，所以各杆的杆端 力、杆端位移在整体坐标系下方向不一定相同，必须将它们统 一后才可讨论位移的连续和力的平衡。
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简写成
式中T称为单元坐标转换矩阵。
5. 整体坐标系下的单元刚度矩阵
整体坐标系下单元杆端力与杆端位移间的关系—刚度方程：
简写为 其中Ke称为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
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【例9.3】试求图9.2(a)所示连续梁的整体刚度矩阵。 解： 给出单元、结点、结点位移编号如图 9.2(b)所示，各单元的定位向量分别为 各单元的单元刚度矩阵分别为：
图9.2
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把单元刚度矩阵依次定位叠加于总刚度矩阵： 计入单元①的中间结果
计入单元②的中间结果
计入单元③的最后结果
显然，它的刚度方程展开式，与位移法的典型方程相同。
向量中的六个元素的序号1到6，是在每个单元中各自编码，单元 之间不相关，所以称为单元杆端位移分量的局部编码。
5.定位向量
把每个单元的两个杆端与相应结点对应连接就可搭成原结构， 连接后，单元杆端将取得与相应结点相同的位移，即每一个杆端 位移分量，都等于与它对应的结点位移分量。对一个单元，在杆 端位移分量的位置上，写出对应的结点位移的整体编码，形成的 向量，就称为单元的定位向量。
2. 局部坐标系下的单元刚度方程和单元刚度矩阵
单元刚度方程，指单元杆端力与杆端位移之间的关系。
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局部坐标系下的单元刚度方程
可简记为
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局部坐标系下的单元刚度矩阵
结构力学 3.单元刚度矩阵的性质
(1)单元刚度系数的意义。 中的元素称为单元刚度矩阵的系 数，代表单元杆端位移与其所引起的杆端力的关系，数值上等 于单位杆端位移引起的杆端力的大小。通常用下标i，j分别表 示元素在矩阵中所处的行、列号。 (2)单元刚度系数仅与单元的横截面积A、惯性矩I、弹性模量E 和长度l有关。 (3) 是对称矩阵，它的对称性指其元素有关系： (4) 即| 是奇异矩阵， 是奇异矩阵指其行列式的值等于零， |=0。
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(2)单元分析，先形成局部坐标系中的单元刚度矩阵
再形成整体坐标系中的单元刚度矩阵Ke，用式(9-24)。
，用式(9-10)。
(3)整体分析，依定位向量，将单元刚度矩阵“对号入座”集成总刚度 矩阵K。 (4)计算非结点载荷引起的单元固端力 ，用式(9-33)进行坐标转换
并改符号得
，也依定位向量叠加计入结点载荷向量F。
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9.4 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵
上式称为结构的整体刚度方程，其中K称为结构的整体刚度 矩阵。 总体刚度矩阵是一个方阵，其阶数与结构结点位移分量总 数相同。它的分量是由单元刚度矩阵的系数叠加构成的。叠加 规律是：单元刚度矩阵的元素，按照它所处的局部行和列号， 对应单元的定位向量，在总刚度矩阵中落到新的行和列上。 总刚度矩阵的特点： (1)刚度矩阵的系数是物理量，由结构本身的长度、截面尺寸、 材料性质、连接方式等决定，与载荷、变形等量无关。 (2)总刚度系数kij表示结构沿第j个整体结点位移方向产生单位 位移Δj=1，其他所有结点位移等于0时，在第i结点位移方向所 需要施加的力(与传统位移法相同)。
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9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
概 述 结构离散化及位移、力的表示与编码 单元刚度方程和单元刚度矩阵 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵 非结点荷载的等效化 计算步骤和算例
结构力学
9.1 概
述
由于计算机应用的发展和普及，以传统结构力学方 法作为理论基础，以矩阵表示作为表达形式，以电算逻 辑作为分析顺序的矩阵分析方法，成为当今结构分析的 重要方法。 矩阵位移法是有限单元法的雏形，因此有时也称为 杆件结构的有限元法。其要点是：为了确定结点位移与 载荷的关系，先把整体结构拆开，然后再将这些单元和 结点按实际情况集合成整体。 在矩阵位移法中，单元分析的任务是归纳典型单元 模型，建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵；整体分 析的主要任务是寻求由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵 的规律，建立整体位移法方程，从而求出解答。
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9.2 结构离散化及位移、力的表示与编码
1. 单元划分
划分单元的条件：内部没有载荷的等截面直杆。 单元与单元或支承的连接点称为结点。习惯上用①、②、③等 表示单元序号，1、2、3等表示结点序号，例如图9.1所示的桁 架和刚架结构的划分。
图9.1
结构力学 2.位移、力的正方向规定
为了统一(如力的正、负号可直接代入平衡方程等)，在矩阵 位移法中，对于所有的外力、结点位移、杆端力、杆端位移等矢 量，规定坐标系的正方向为它们的正方向。 本章采用左手坐标系，用oxy表示结构平面，z轴为截面惯性轴方 向。转角位移、力矩、弯矩以顺时针方向为正(即左手螺旋轴与z 相同为正。