完全平方数及应用(一)
《完全平方公式(1)》参考课件
《完全平方公式(1)》参考 课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方 便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公 式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行 计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的 形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解 为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。
完全平方公式
如何用完全平方公式解决实际问题，比如计算房间面积、计算价格等。
用完全平方公式解决实际问题
完全平方公式的证明
解答
用完全平方公式计算代数式的值
验证完全平方公式
用完全平方公式解决实际问题
THANKS
感谢观看
公式表述
$a^2$：一个数的平方是指这个数与自己的平方的乘积。例如，$5^2 = 5 \times 5 = 25$。
平方的含义
$(a \pm b)^2$：一个数的完全平方是指这个数与另一个数的平方和它们两倍的乘积的乘积。例如，$(3 \pm 2)^2 = 3^2 \pm 2 \times 3 \times 2 + 2^2 = 9 \pm 12 + 4 = 13 \pm 12$。
差的平方等于平方的差
公式
$(ab)^2 = a^2b^2$
解释
两个数的乘积的平方等于每个数的平方与另一个数的乘积。
积的乘方等于乘方的积
03
完全平方公式的应用
完全平方公式可以用来简化代数式，将复杂的表达式化为简单的形式。
简化代数式
在解一元二次方程时，完全平方公式可以用来求解方程的根。
解方程
在代数中的应用
完全平方的含义
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$：可以用图形表示完全平方公式。首先画一个矩形，长为$a$，宽为$b$。将矩形分割成两个正方形和四个矩形。两个正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，四个矩形的面积分别为两个$ab$。将这些面积相加得到$(a \pm b)^2$。
公式的图形表示
02
完全平方公式的性质
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
(一)完全平方数的性质
(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,40 0,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20(5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3? k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
完全平方公式和平方差公式有哪些
完全平方公式和平方差公式有哪些完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，它们在解决一些与平方数相关的问题时发挥着重要的作用。
下面将详细介绍完全平方公式和平方差公式的定义和应用。
一、完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式转化为一个完全平方式表示的公式。
二次多项式可以写成\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，a和b可以是任意实数。
完全平方公式通过将二次多项式写成一个完全平方式的形式，可以方便地进行运算和化简。
完全平方公式的应用十分广泛，特别是在因式分解与整式运算、解二次方程、求函数的最值等方面，其作用不可忽视。
二、平方差公式平方差公式是指将两个数的平方差表示为一个因式的形式的公式。
平方差公式有两种常见形式：1. \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)其中，a和b可以是任意实数。
平方差公式可以应用于因式分解、整式运算等问题的解答。
2. \(a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)\)其中，a和b表示实数，i为虚数单位。
当b不为0时，该公式可以应用于复数运算，如复数的乘法和除法。
当b为0时，该公式可以用于判定一个实数是否为一个复数的平方。
平方差公式的广泛应用使得解决与平方数相关的问题变得更加简便。
总结：完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，它们在解决与平方数相关的问题时发挥着重要作用。
完全平方公式将二次多项式转化为完全平方式，便于运算和化简；平方差公式通过将平方差表示为因式的形式，方便因式分解、整式运算和复数运算等问题的解答。
这些公式的应用广泛，对于学习和应用数学都至关重要。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的公式来解决与平方数相关的问题。
熟练掌握完全平方公式和平方差公式的定义、应用和证明，将会极大地提高我们在数学领域的能力和解题技巧。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地理解和运用这些公式，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。
小学奥数教程：完全平方数及应用(一)全国通用(含答案)
1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。
一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
完全平方数和平方根的计算
完全平方数和平方根的计算完全平方数，即一个数的平方等于另一个整数的情况。
例如，4是完全平方数，因为2的平方等于4。
平方根，则是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
在日常生活和数学中，计算完全平方数和平方根的值非常常见。
本文将介绍一些常见的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、计算完全平方数的方法1. 直接计算法：通过对给定的数进行平方运算，判断结果是否是另一个整数。
例如，判断16是否是完全平方数，我们可以计算4²=16，所以16是完全平方数。
2. 累加法：这是一种更为高效的判断方法。
我们可以从1开始，每次将该数加上连续的奇数（即1、3、5...），并判断累加的结果是否等于给定的数。
如果等于，则该数是完全平方数；如果超过给定的数，则不是完全平方数。
例如，判断36是否是完全平方数，我们可以进行如下计算：1 + 3 = 4 (不等于36)4 +5 = 9 (不等于36)9 + 7 = 16 (不等于36)16 + 9 = 25 (不等于36)25 + 11 = 36 (等于36)因此，36是完全平方数。
3. 公式法：对于一个数n，如果它是完全平方数，那么它可以表示为一个整数x的平方，即n = x²。
我们可以通过求平方根的方法得到x 的值，从而判断是否是完全平方数。
例如，判断100是否是完全平方数，我们可以计算√100 = 10，因此100是完全平方数。
二、计算平方根的方法1. 试探法：通过尝试不同的数值来逼近给定数的平方根。
例如，为了计算√16，我们可以从1开始尝试，直到找到一个数x，使得x²≈16。
可以发现4²=16，因此√16 = 4。
2. 牛顿迭代法：这是一种更为精确的计算平方根的方法。
首先，我们猜测一个初始的平方根近似值x₀，然后通过不断迭代计算来逼近实际的平方根值。
具体步骤如下：a) 计算 x₁ = (x₀ + n / x₀) / 2b) 重复上述计算直到 xₙ 与 xₙ₋₁的差值足够小（通常小于给定的精度要求）例如，我们要计算√16，可以选择一个初始值x₀=4，然后进行如下迭代计算：x₁ = (4 + 16 / 4) / 2 = 6x₂ = (6 + 16 / 6) / 2 = 4.6667x₃ = (4.6667 + 16 / 4.6667) / 2 ≈ 4.5826...迭代若干次后，当计算结果足够接近实际平方根值时，我们可以得到近似的平方根。
完全平方公式及各种典型问题ok课件
完全平方公式的解题思路与方法总结
完全平方公式的解题思路主要是通过 将一个二次多项式转化为两个一次多 项式的乘积，然后利用这两个一次多 项式的值来解决原问题。
VS
在解题方法上，需要注意因式分解、 配方、运算等技巧的运用，同时还要 注意公式的适用范围和限制条件。
问题，如建筑、工程等领域的问题。
03 完全平方公式的典型例题
完全平方公式的简单应用
总结词
完全平方公式是数学中常用的公式之一，它可以用于解决各种与平方有关的问 题。
详细描述
完全平方公式可以表示为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，它通常用于计算平方和、 两数和的平方以及两数差的平方。例如，(2+3)^2=25，(2-3)^2=1，(2+3)(23)=-5等。
完全平方公式的变形应用
总结词
完全平方公式不仅可以用于简单的计算，还可以通过变形应用于解决更复杂的问 题。
详细描述
完全平方公式的变形包括(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2， a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab等。这些变形可以用于解决与平方和、 两数和的平方以及两数差的平方相关的问题。
需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领 域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用， 在几何、三角等领域也有广泛的应用。例如，
在解决几何问题时，完全平方公式可以用于 计算面积、周长等；在解决代数问题时，完 全平方公式可以用于因式分解、化简等。此 外，完全平方公式还可以用于解决一些实际
完全平方公式
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与完全平方公式相关的定理
勾股定理
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
均值不等式
对于任意实数a和b，都有(a+b)^2/4≥ab，当且仅当a=b时等号成立。
与完全平方公式相关的数学问题
利用完全平方公式计算某些数的平方
例如，对于一个正整数n，如何利用完全平方公式计算n^2的值。
利用完全平方公式解决几何问题
详细描述
我们先假设存在一个非完全平方数$n$，那么一定存 在一个整数$k$使得$n=k^2+1$。那么我们可以将这 个非完全平方数表示为两个整数的平方和： $(k+1)^2+1=(k^2+1)+2k+1=(k^2+1)+(k+1)^2$ 。但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设了 $n$是一个非完全平方数，因此它不能表示为两个整 数的平方和
《完全平方公式》
xx年xx月xx日
目录
• 完全平方公式概述 • 完全平方公式的证明 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识
01
完全平方公式概述
什么是完全平方公式
完全平方公式定义
完全平方公式是一个数学表达式，它表示一个数的平方等于 另外两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。
公式形式
a^2 = (a-b)^2 + 2ab 或 a^2 = (a+b)^2 - 2ab
完全平方公式的重要性
数学基础
完全平方公式是初中数学的基础内容，是进行二次根式运算、解一元二次方 程和判断整式乘除运算结果的重要依据。
完全平方公式的综合应用习题及答案
完全平方公式的综合应用（习题）➢ 例题示范例1：已知12x x -=，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】① 观察题目特征（已知两数之差与两数之积11x x⋅=，所求为两数的平方与），判断此类题目为“知二求二”问题；② “x ”即为公式中的a ，“1x”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．【过程书写】例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=．根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-．➢ 巩固练习1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a+的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________．6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值．➢ 思考小结1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题：若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值． 解：设210-x =a ，x -200=b ，则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=，由222()2a b a ab b +=++得，即22(210)(200)x x -+-的值为508．根据以上材料，请解答下题：若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=，则(2015)(2013)x x --=______．【参考答案】➢ 例题示范例1．解：12x x -=∵例2：1-3 ➢ 巩固练习1. 913 2. 517 3. 7 474. ±6 ±245. 5 24x - -4 8x -8x 4x6. 87. 4a =时取得最小值，最小值为-2 8. 最小值为3➢ 思考小结1. 不相等，相差2()4a b -2. 2 014。
五年级数学完全平方数的性质和应用
完全平方数的性质和应用课前预习数字不重复的平方数观察只含两位数字的完全平方数：16＝42 25＝52 36＝62 49＝72 64＝82 81＝92 其中每个平方数都是两位数字互不相同。
含有三位数字的完全平方数，情况就不一样了。
例如： 100＝102 121＝112 144＝122这些平方数都已包含重复数字。
不过，也有许多三位平方数的各位数字互不相同，例如： 169＝132 196＝142 256＝162 62＝5252 含有四位数的完全平方数，包含重复数字的现象更为普遍。
1444＝382 不含重复数字的四位平方数也很多，例如1024＝322 2401＝492 1369＝372 1936＝442如果一个平方数有九位数字，每位数字各不相同，并且不含数字0，那么在这个数中，从1到9全都出现，全只出现一次。
其中最小的是：139854276＝118262，最大的是：923187456＝303842知识框架完全平方数常用性质1.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．不可能是2，3，7，8。
性质2：在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
性质3：自然数N 为完全平方数自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次.性质4：若质数p 整除完全平方数，则p 能被整除。
2.一些重要的推论（1）任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
（2）一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
（3）自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
⇔⇔2a a（4）完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
（5）完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
小学数学《完全平方数的性质及其应用》ppt
规律小结 (1)个位数为2，3，7，8的整数 一定不是完全平方数
（2）完全平方数的个位数只能是0，1，4， 5，6，9
(3)解这方面问题一定要有耐心，解题 完后一定要把求得的数代入条件中检验 一下，保证它的正确性
结束赠语
新的数学方法和概念 往往比解决数学问题本身 更重要
但89是质数，它的正因子只能是1和89 得出b+a=89,b-a=1,于是解得
b=45 b=45代入(2)中得所求的自
然数等于1994 答：这个数为1994
【例2】从200到1800的自然数中有奇数 个约数的数有多少个？
思路点拨：这一题的主要关键是要学 会转化题意，有奇数个约数的数它是完全 平方数，所以该题就是要我们求出从200 到1800中有多少个完全平方数。
x+44=n2(2)（m,n为自然 数）,(2)-(1)可得n2-m2=89， （m+n）（m-n）=89
但89是质数，它的正因子 只能是1和89，于是解得n=45代 入(2)中得所求的自然数等于1981
【解】设这个自然数为x，根据题意我们就可以知道 x-45=m2(1) x+44=n2(2)（m,n为自然数） (2)-(1)可得n2-m2=89 （n+m）（n-m）=89
【解】设22n+5=N2，其中n，N为自然数， 可知为奇数
N2-16=11（2n-1），(N+4)(M-4)=11 （2n-1）
所以11│N-4或11│N+4 N=（2k-1）×11+4，N=22k-5或N=22k-15 （k=1，2，3，......） 经过试数可得，这些自然数为1369，2061， 3481，53296561，9025
小试身手
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数在数学中，完全平方数是指可以表示成某个整数的平方的数字。
简单来说，完全平方数是一个整数乘以自己得到的结果。
例如，4、9、16和25都是完全平方数，因为它们分别是2、3、4和5的平方。
完全平方数的特点完全平方数具有一些独特的特点：1.所有正整数的平方根都是无限循环的小数。
不完全平方数的平方根是无限不循环的小数。
2.完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6和9。
如果一个数字的个位数不是这些数字中的任何一个，那么它就不是完全平方数。
3.完全平方数可以通过对一个整数的平方根进行取整来判断。
如果一个整数的平方根是一个整数，那么它就是完全平方数。
完全平方数的判断方法确定一个数字是否是完全平方数有多种方法：1. 数字求平方根的整数部分这是最简单的方法之一。
如果一个数字的平方根的整数部分等于原始数字，那么它就是完全平方数。
例如：import mathdef is_perfect_square(num):sqrt = int(math.sqrt(num))return sqrt * sqrt == numprint(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False2. 利用完全平方数的规律完全平方数的规律是，完全平方数是连续奇数之和，也可以表示为从1开始的连续奇数的和。
例如：def is_perfect_square(num):i =1while num >0:num -= ii +=2return num ==0print(is_perfect_square(16)) # 输出 Trueprint(is_perfect_square(27)) # 输出 False这种方法的思想是，我们从1开始不断地减去连续的奇数，直到结果为0。
如果最终结果为0，那么原始数字就是完全平方数。
3. 二分查找我们可以利用二分查找的思路来判断一个数字是否为完全平方数。
完全平方公式及其应用
完全平方公式及其应用一、公式及其变形1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2）公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22()()4a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=-3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++二、题型题型一、完全平方公式的应用例1、计算（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k =题型三、公式的逆用1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2．5．代数式xy －x 2－41y 2等于（ ）2题型四、配方思想1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____.2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______.3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy+=_______.5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ．6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？题型五、完全平方公式的变形技巧1、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
完全平方公式1
完全平方公式(一)教学目标1 使学生理解和掌握完全平方公式，并能利用公式进行计算；2 培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运算能力；3 渗透数形结合思想教学重点和难点重点：公式的熟记及应用难点：对公式特征的理解(如对公式中积的一次系数的理解)课堂教学过程设计一、引导学生得出完全平方公式1 多项式的乘法法则是什么?2 计算：(1)(a+b)(a+b)； (2)(a-b)(a-b)学生计算结束后教师板书：(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2＝a2-2ab+b2，并指出，这两个公式就是我们今天要研究的完全平方公式二、引导学生剖析完全平方公式1 引导学生用语言叙述公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或者减去)它们的积的2倍2 引导学生构造公式的直观模型，加强对公式的理解在左图中，大正方形面积是(a+b)2，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a2，b2，长方形面积是ab，所以有等式(a+b)2＝a2+2ab+b2；在右图中，大正方形的面积是a2，两个小正方形的面积分别是(a-b)2，b2，两个相等的长方形面积都是(a-b)·b，于是有a2＝(a-b)2+2(a-b)·b+b2，即(a-b)2＝a2-2(a-b)·b-b2＝a2-2ab+b23 引导学生进一步总结公式的结构特点(1)(1)公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数的2倍 (可记住口诀：“首平方，末平方，首末两倍中间放 ”)两个完全平方公式的右边的三项中，仅有中间一项的符号相反(+2ab与-2ab)，其余两项完全相同(2)(2)(2)完全平方公式与平方差公式都是由多项式相乘后化简得到的，但结构特征是不同的 如果在公式(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab中，取a＝b＝y，那么公式变为和的平方公式(x+y)2＝x2+2xy+y2；取a＝b＝-y，那么公式变为差的平方公式(x-y)2＝x2-2xy+y2；取a＝x，b＝-y，那么公式变为平方差公式(x+y)(x-y)＝x2-y2 由此可见，运用“换元”法，可以从某些公式中推出新的公式，公式(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab是完全平方公式及平方差公式的一般形式(3)公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式三、应用举例变式练习例1 运用完全平方公式计算：(1)(x+2y)2； (2)(2x-3y)2解：(1)(x+2y)2＝x2+2·x·2y+(2y)2＝x2+4xy+4y2(2)(2x-3y)2＝(2x)2-2·(2x)(3y)+(3y)2＝4x2-12xy+9y2例1 由师生共同解答，教师板演，并指出运用公式，首先一定要弄清楚题目中的哪个数(或式)是a，哪个数(或式)是b(1)(4a 2-b 2)2； (2)(y+21)2解：(1)(4a 2-b 2)2＝()2-2()()+()2 (记清公式是计算的基础)＝(4a 2)2-2(4a 2)(b 2)+(b 2)2 (代准数式)＝16a 4-8a 2b 2+b 4； (准确计算) (2)(y+21)2＝(y)2+2·(y)·(21)+(21)2＝y 2+y+41例2 由学生板演，根据学生板演情况，再指出运用公式的要点(见例2(1))课堂练习运用完全平方公式计算：(1)(a+6)2； (2)(4+x)2； (3)(x-7)2； (4)(8-y)2；(5)(3a+b)2； (6)(4x+3y)2； (7)(-2x+5y)2； (8)(-a-b)2； (9)(21x-3y)2； (10)(43x-32y)2四、小结1 回顾完全平方公式以及特点2 公式中的字母的含义3 在应用完全平方公式时，是用“和”还是用“差”，应具体对待，灵活运用 实质上，“和”可化为“差”，“差”可化为和 请同学们思考：如何由公式(a+b)2＝a 2+2ab+b 2得到公式(a-b)2＝a 2-2ab+b 2?五、作业1 运用完全平方公式计算：(1)(6a+5b)2； (2)(4x-3y)2； (3)(-2m-1)2；(4)(5a-b 2)2； (5)(41m-2n)2； (6)(1 5a-32b)2；(7)(4x+0 5)2； (8)(1 2p+0 8)22 找出下列各式错误多处，并改正：(1)(5x 2-32y 2)2＝25x 4-94y 4； (2)(2x+y)2＝4x 2+2xy+y 2； (3)(a-21b)2＝a 2-ab+21b 2； (4)(0 2x 2+7y)2＝0 04x 4+2 8xy+49y 2课堂教学设计说明如何使学生记牢公式呢?我们注意了以下两点1 既讲“法”，又讲“理”在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆 我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视 在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正2 讲联系、讲对比、讲特点对于类似的内容学生容易混淆，比如在本节出现的(a+b)2＝a2+b2的错误，其原因是把完全平方公式和“旧”知识(ab)2＝a2b2及分配律弄混，排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新的知识的特点 所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点我们认为，乘法公式的教学，应讲究“公式结构特征”的介绍 为了说明特征，有时又要讲规律、讲联系 知识间的联系即存在于客观世界，又表现为教师的主观发现 多角度地阐述同一事物对初学者总是有益的。
完全平方公式的变形及运用
教学实践新课程NEW CURRICULUM完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式，灵活运用这些公式，可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
完全平方公式（a+b ）2=a 2+2a b +b 2①（a-b ）2=a 2-2a b +b2②{思想方法：1.a 和b 可以是数，可以是式子；2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a 或b ，再运用公式；3.注意运用变形公式。
变形一：将公式①变形为a 2+b 2=（a+b ）2-2a b或ab =（a +b ）2-（a 2+b 2）2，将公式②变形为a 2+b 2=（a-b ）2+2a b或ab =（a 2+b 2）-（a -b ）22。
将（a +b ）2（或a +b ），a 2+b 2，ab 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①及其变形公式可以直接求得第三个整体的值；同理，将（a-b ）2（或a-b ），a 2+b 2，ab 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。
例1.已知a +b =3，ab =2，求a 2+b 2的值。
解：∵a +b =3，ab =2∴a 2+b 2=（a+b ）2-2ab =32-2×2=5变形二：由①+②得（a+b ）2+（a-b ）2=2（a 2+b 2），可变形为a 2+b 2=（a 2+b 2）+（a -b ）22。
将a+b ，a 2+b 2，a-b 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①+②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。
例2.已知a+b=3，a-b=2，求a 2+b 2的值。
解：∵a+b=3，a-b=2∴a 2+b 2=（a +b ）2+（a -b ）22=32+222=132变形三：由①-②得（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，可变形为（a+b ）2=（a-b ）2+4ab 。
将a+b ，ab ，a-b 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①-②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。
完全平方公式和平方差公式综合应用
完全平方公式和平方差公式综合应用对于任意实数a和b，有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
平方差公式如下：对于任意实数a和b，有(a-b)² = a² - 2ab + b²。
一、应用问题1：求解方程2x²+8x+8=0。
解析：我们可以将方程进行变形，以便使用完全平方公式。
首先，将方程两边同时减去8，得到：2x²+8x=-8再将方程两边同时除以2，得到：x²+4x=-4观察到该方程中，系数b等于4，我们可以看到b的两倍是4*2=8、因此，我们可以使用完全平方公式。
根据完全平方公式，我们知道这个方程可以写成：(x+2)²=-4+4=0由此可得x+2=±√0x=-2±√0由于根号0等于0，所以x=-2为方程的唯一实数解。
二、应用问题2：求证正整数(n+1)³-n³-1是一个完全平方数。
解析：我们需要证明的是(n+1)³-n³-1是一个完全平方数，即证明存在一个整数x，使得：(n+1)³-n³-1=x²通过平方差公式，我们可以简化上式为：(n+1)³-n³-1=(3n²+3n+1)=(n+1)²因此，我们可以看出，(3n²+3n+1)是一个完全平方数。
三、应用问题3：Rectangle1的长是Square1的边长的2倍，它们的面积相差180平方米。
如果将Square1的边长减少2米，而Rectangle1的长增加5米，则两个图形的面积相等。
求Rectangle1和Square1的边长。
解析：设Square1的边长为x，则Rectangle1的长为2x。
根据题意，可列方程：(2x)^2-x^2=180（相差180平方米）(2x-2)^2=(x+5)^2（面积相等）通过求解上述方程组，我们可以得到Square1的边长为10米，Rectangle1的长为20米。
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【解析】略
【答案】不是． A 444 22 1 11 假设 A 是某个自然数的平方，则1 11 也应是某个自然数的平方，并且
2008个4
2008个1
2008个1
是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，而
1 11 1 1 110 不是 4 的倍数，与假设矛盾．所以 A 不是某个自然数的平方．
平方数，N=
。
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】2007 年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第 14 题
【解析】N=k×(1+k)/2=m^2，4 位数的话 2000<=k×(k+1)<20000, 45<=k<=140，k=2n n*(2n+1)=N。 n 与 2n+1
四位完全平方数是 372＝1369 时，另两个平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位一
样只能是 2，还剩下 7,8，而 784 恰好为 282．所以，其中的四位完全平方数最小是 1369．
【答案】 1369
【例 11】 称能表示成 1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数 N，它既是三角数，又是完全
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数 自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因
数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 p2n1 | N ，则 p2n | N ． 性质4：完全平方数的个位是6 它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
1002个2
1002个1 1002个0
1002个1
=1111 ×（10000 -1）
1002个1
1002个0
=1111 ×（ 9999 ）
1002个1
1002个9
=1111 ×（1111 ×3×3）= A2
1002个1
1002个1
所以，A＝ 33 33 .
1002个3
【答案】 33 33
1002个3
【例 7】 ① 444488889 A2 ，求 A 为多少? 2004个4 2003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为 2005？
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
注意到有 444488889 可以看成 444488889 ，其中 n＝2004；
3.重点公式回顾：平方差公式： a2 b2 (a b)(a b)
例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断
【例 1】 已知：1234567654321×49 是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝112 ；
5-4-4.完全平方数及应用（一）
教学目标
1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 a2 ，则 p 能被 a 整除。
2008个1
2007个1
【例 6】 计算1111 － 2222 =A×A，求 A．
2004个1
1002个2
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】此题的显著特征是式子都含有1111 ，从而找出突破口.
n个1
1111 － 2222 =1111 0000 －1111
2004个1
n个4
n-1个8
n-1个6
解得 n=167，所以 444488889 = 666672 。所以存在这样的数，是 444488889
167个4 166个8
166个6
167个4 166个8
【答案】（1） 6666 72 ,（2） 444488889 = 666672
2003个6
167个4 166个8
19
＝ (1111)2 ×36+12×1111 +1
2004个1
2004个1
＝ (1111)2 ×36+2×（6×1111 ）+1
2004个1
2004个1
＝ (66666 1)2 (66667)2
2004个6
2003 个6
② 由①知 444488889 ＝ 666672 ，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令 12n+1=2005
所求的数最小是 4 位数．考察 1111，1444……可以知道1444 38 38 ，所以满足条件的最小正整数 是1444 ． 【答案】1444
【例 5】 A 是由 2002 个“4”组成的多位数，即 4444 ，A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B； 2002个4
如果不是，请说明理由．
2004个4 2003个8
n个 4
n-1个8
寻找规律：当 n=1 时，有 49 72 ；
当 n=2 时，有 4489 672 ；
当 n=3 时，有 444889 6672 ……
于是，类推有 444488889 = 6666 72
2004个4 2003个8
2003个6
方法二：下面给出严格计算：
444488889 = 4444 0000 + 8888 +1；
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】2009 年，学而思杯，5 年级，第 10 题 【解析】 49 1 4 9 25 ，1, 2,3,5 全排列共有 24 个。
【答案】 24
【例 10】用 1～9 这 9 个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】略
【答案】 A 4444 22 1111 ．如果 A 是某个自然数的平方，则1111 也应是某个自然数的平方，
2002个4
2002 个1
2002个1
并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，
这 个 完 全 平 方 数 是 12! 的 约 数 ， 那 么 最 大 可 以 为 210 34 52 ， 所 以 n 最 小 为
12! 210 34 52 3 7 11 231 。
（法 2）12! 除以 n 得到一个完全平方数，12! 的质因数分解式中 3 、 7 、11的幂次是奇数，所以 n 的
5，6，9，而 2，3，7，8 不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为 3，中间二项之和 的个位数为 0，后面二项中每项都有因子 2 和 5，个位数一定是 0，因此，这个 0 算式得数的个位数 是 3，不可能是某个数的平方． 【答案】不是
【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于 49 的四位 数共有________个．
原式 (1111111 7)2 77777772 ．
【答案】7777777
【例 3】 已知自然数 n 满足：12! 除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是
。
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】2008 年，学而思杯，6 年级，第 9 题
【解析】（法 1）先将12 ！分解质因数：12! 210 35 52 7 11 ，由于12! 除以 n 得到一个完全平方数，那么
互质 ，所以要均为平方数。平方数末尾 149650。满足要求的是 4950。 23<=n<=70 发现没有：k=2n-1，
n×(2n-1)=N 同上，满足要求是 1650 找到 25 所以 k=49， N=1225， m=35。
【例 2】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是
的平方．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】2000 年，祖冲之杯
【解析】 1234567654321 11111112 ，1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 7 2 ，
最小值是 3 7 11 231 。
【答案】 231
【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小的正整数． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】平方数的末尾只能是 0，1，4，5，6，9，因为 111，444，555，666，999 都不是完全平方数，所以
12321 ＝ 1112 ； 1234321 ＝ 11112 …… ， 于 是 ， 我 们 归 纳 为 1234…n…4321= (1111)2 ， 所 以 ， n个1
1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积 为 7777777 的平方． 【答案】7777777