完全平方数及应用(一)

【例 2】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是
的平方．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】2000 年，祖冲之杯
【解析】 1234567654321 11111112 ，1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 7 2 ，
【解析】略
【答案】不是． A 444 22 1 11 假设 A 是某个自然数的平方，则1 11 也应是某个自然数的平方，并且
2008个4
2008个1
2008个1
是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，而
1 11 1 1 110 不是 4 的倍数，与假设矛盾．所以 A 不是某个自然数的平方．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】略
【答案】 A 4444 22 1111 ．如果 A 是某个自然数的平方，则1111 也应是某个自然数的平方，
2002个4
2002 个1
2002个1
并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以 4 的余数是 1 知，奇数的平方减 1 应是 4 的倍数，
1002个2
1002个1 1002个0
1002个1
=1111 ×（10000 -1）
1002个1
1002个0
=1111 ×（ 9999 ）
1002个1
1002个9
=1111 ×（1111 ×3×3）= A2
1002个1
1002个1
所以，A＝ 33 33 .
1002个3
【答案】 33 33
1002个3
n个4
n-1个8
n-1个6
解得 n=167，所以 444488889 = 666672 。所以存在这样的数，是 444488889
167个4 166个8
166个6
167个4 166个8
【答案】（1） 6666 72 ,（2） 444488889 = 666672
2003个6
167个4 166个8
166个6
5，6，9，而 2，3，7，8 不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为 3，中间二项之和 的个位数为 0，后面二项中每项都有因子 2 和 5，个位数一定是 0，因此，这个 0 算式得数的个位数 是 3，不可能是某个数的平方． 【答案】不是
【例 9】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方．各位数字互不相同且各位数字的平方和等于 49 的四位 数共有________个．
四位完全平方数是 372＝1369 时，另两个平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位一
样只能是 2，还剩下 7,8，而 784 恰好为 282．所以，其中的四位完全平方数最小是 1369．
【答案】 1369
【例 11】 称能表示成 1+2+3+…+K 的形式的自然数为三角数，有一个四位数 N，它既是三角数，又是完全
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】2009 年，学而思杯，5 年级，第 10 题 【解析】 49 1 4 9 25 ，1, 2,3,5 全排列共有 24 个。
【答案】 24
【例 10】用 1～9 这 9 个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方
2004个4 2003个8
n个 4
n-1个8
寻找规律：当 n=1 时，有 49 72 ；
当 n=2 时，有 4489 672 ；
当 n=3 时，有 444889 6672 ……
于是，类推有 444488889 = 6666 72
2004个4 2003个8
2003个6
方法二：下面给出严格计算：
444488889 = 4444 0000 + 8888 +1；
3.重点公式回顾：平方差公式： a2 b2 (a b)(a b)
例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断
【例 1】 已知：1234567654321×49 是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝112 ；
所求的数最小是 4 位数．考察 1111，1444……可以知道1444 38 38 ，所以满足条件的最小正整数 是1444 ． 【答案】1444
【例 5】 A 是由 2002 个“4”组成的多位数，即 4444 ，A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B； 2002个4
如果不是，请说明理由．
【例 7】 ① 444488889 A2 ，求 A 为多少? 2004个4 2003个8
②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为 2005？
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】① 本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：
注意到有 444488889 可以看成 444488889 ，其中 n＝2004；
数．那么，其中的四位完全平方数最小是
．
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】2010 年，迎春杯，高年级，复试，11 题
【解析】四位完全平方数≥1234＞352＝1225，所以至少是 362＝1296．当四位完全平方数是 1296 时，另两个
平方数的个位只能分别为 4,5，个位为 5 的平方数的十位只能是 2，但数字 2 在 1296 中已经使用．当
这 个 完 全 平 方 数 是 12! 的 约 数 ， 那 么 最 大 可 以 为 210 34 52 ， 所 以 n 最 小 为
12! 210 34 52 3 7 11 231 。
（法 2）12! 除以 n 得到一个完全平方数，12! 的质因数分解式中 3 、 7 、11的幂次是奇数，所以 n 的
2004个4 2003个8
2004个4 2004个0
2004个8
则 4444 0000 + 8888 +1＝1111 ×（4×10000 +8）+1
2004个4 2004个0
2004个8
2004个1
2004个0
＝1111 ×［4×（ 9999 +1）+8］+1
2004个1
2004个9
＝1111 ×［4×（ 9999 ）+12］+1
平方数，N=
。
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】2007 年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第 14 题
【解析】N=k×(1+k)/2=m^2，4 位数的话 2000<=k×(k+1)<20000, 45<=k<=140，k=2n n*(2n+1)=N。 n 与 2n+1
12321 ＝ 1112 ； 1234321 ＝ 11112 …… ， 于 是 ， 我 们 归 纳 为 1234…n…4321= (1111)2 ， 所 以 ， n个1
1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积 为 7777777 的平方． 【答案】7777777
2.性质
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数 自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因
数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且 p2n1 | N ，则 p2n | N ． 性质4：完全平方数的个位是6 它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．
2004个1
2004个9
＝ (1111)2 ×36+12×1111 +1
2004个1
2004个1
＝ (1111)2 ×36+2×（6×1111 ）+1
2004个1
2004个1
＝ (66666 1)2 (66667)2
2004个6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2003 个6
② 由①知 444488889 ＝ 666672 ，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令 12n+1=2005
2008个1
2007个1
【例 6】 计算1111 － 2222 =A×A，求 A．
2004个1
1002个2
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】此题的显著特征是式子都含有1111 ，从而找出突破口.
n个1
1111 － 2222 =1111 0000 －1111
2004个1
模块二、平方数特征
（1） 平方数的尾数特征
【例 8】 下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 ，这个算式的得数 能否是某个数的平方？
【考点】平方数特征之平方数的尾数特征 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是 0，1，4，
3.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定 不是完全平方数。 2.一个完全平方数被 3 除的余数是 0 或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69， 89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为 6 时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是 完全平方数；个位数字为 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
而1111 1 11110 不是 4 的倍数，矛盾，所以 A 不是某个自然数的平方．
2002个1
2001个1
【巩固】 A 是由 2008 个“4”组成的多位数，即 444 ， A 是不是某个自然数 B 的平方？如果是，写出 B ；如 2008个4
果不是，请说明理由．
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答
最小值是 3 7 11 231 。
【答案】 231
【例 4】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小的正整数． 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】平方数的末尾只能是 0，1，4，5，6，9，因为 111，444，555，666，999 都不是完全平方数，所以
互质 ，所以要均为平方数。平方数末尾 149650。满足要求的是 4950。 23<=n<=70 发现没有：k=2n-1，
n×(2n-1)=N 同上，满足要求是 1650 找到 25 所以 k=49， N=1225， m=35。
原式 (1111111 7)2 77777772 ．
【答案】7777777
【例 3】 已知自然数 n 满足：12! 除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是
。
【考点】完全平方数计算及判断 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】2008 年，学而思杯，6 年级，第 9 题
【解析】（法 1）先将12 ！分解质因数：12! 210 35 52 7 11 ，由于12! 除以 n 得到一个完全平方数，那么
5-4-4.完全平方数及应用（一）
教学目标
1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数 p 整除完全平方数 a2 ，则 p 能被 a 整除。