系统辨识在自适应控制中的应用

第八章 系统辨识在自适应控制中的应用-自校正调节器（ Self-Tuning Requlator 简称 STR ）

§8 —1 最小方差控制器 ( Minimal Variance Control 简称 MVC )

1. 考虑 CARMA 过程

A(z -1) ⋅y(k) = z -d B(z -1) ⋅u(k)+λ C (z -1) ⋅ε(k) 式（8-1-1）

{ ε(k) } 为 N (0,1) 白噪声，滞后量 d ≥ 1 。

A(z - 1) = 1+ a 1z - 1 +…+ a n z - n

B(z - 1) = b 0+b 1z - 1 +…+ b n z - n （b 0 ≠ 0）

C(z - 1) = 1+ c 1z - 1 +…+ c n z - n

设A 、B 、C 均为稳定多项式(过程稳定且逆稳定)。

有：

式（8-1-2）

2. 将C /A 分解成两部分

令：

式（8-1-3）

其中：F(z - 1) 为d 项的商多项式

C

A F z G A d =+-. )

()()

()()()

()(1111k z A z C k u z A z B z k y d ελ-----+=

F(z - 1) = 1+ f 1z - 1 +…+ f d -1 z - d+1 ( d 项 )

G (z - 1) 为余数多项式，有n 项

G(z - 1) = g 0+g 1z - 1 +…+ g n -1 z - n+1 ( n 项 )

例：A = 1-1.7 z - 1+0.7 z - 2 ; C = 1+1.5 z - 1+0.9 z - 2 ；d=2 ; n=2

3. 证明以下多项式恒等式成立

式（8 -1- 4）

证明：

式（8-1-3）

将左右同 ⨯ A

同 ÷ C

同 ÷ A

同 ⨯ B

4． 向前d 步最优预报 y * ( k+d ∣k )

由式（8-1-2）向前移d 步，有：

B F

C B A z G C d .(.)=--1 C

A F z G

A A F C z G A F C z G

C F C A z G

C B F

C B A z G

C d d d

d d =+⋅⋅=-⋅⋅=-⋅=-⋅⋅=-⋅-----1111()()

y k z B z A z u k C z A z k d ()()

()()()

()()=+-----1111λε

考虑到式（8-1-3），有：

式（8 -1- 5）

由过程式（8-1-1）有：

带入上式右项有

将式（8 -1- 4）

代入上式，有： 式（8 -1- 6）

其中 λ F ⋅ ε(k+d) 项由ε(k+d)、ε(k+d-1)、..、ε(k+1)，共计d 项组成，均为未来的干扰作用项，与前两项统计无关。

用y * ( k+d ∣k ) 表示k 时刻向前d 步的最优预报（最小方差预报），y k d B A u k F k d G A

k ()()()()+=+++λελε λε()()()k C A y k z B C u k d =-⋅- y k d B A u k G A A C y k z G A B C u k F k d G C y k B A z B G C A u k F k d d d ()()()()()()()()+=+⋅-⋅⎡⎣⎢⎤⎦

⎥++=+-⋅⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥++--λελε

B F

C B A z G C

d .(.)=--1 )()()()(d k F k u C

F B k y C

G d k y +⋅⋅+⋅+=+ελ

即：

E [ y(k+d)- y * ( k+d ∣k ) ] 2 ≤ E [ y(k+d)- y ( k+d ∣k ) ] 2

由式（8 -1- 6）有：

则k 时刻向前d 步的最优预报为：

式（8 -1- 7）

5． 最小方差控制率（MVC ）

令 y r 为输出设定值，要求k 时刻的控制量u(k)使得：

将y * ( k+d ∣k ) = y r 代入式（8 -1- 7）得出MVC 为：

[]2

2222

)]([)()()()()()()()()(d k F E k d k y k u C BF k y C G E k d k y d k F k u C BF k y C G E k d k y d k y E +⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+⋅++==+-+ελελ)()()(k u C F B k y C G k d k y ⋅+=+*[]*==-+)()(2m in

)(k u k u r y d k y E

式（8 -1- 8）

若y r = 0 ，则：

式（8 -1- 9）

存在零极点对消，要求B 为逆稳定

7． MVC 的调节误差与方差

定义调节误差为 y (k+d) = y (k+d) - y r

F B k y

G y C k u r

⋅⋅-⋅=*)()()()(k y F B G

k u ⋅⋅-=*

由式（8 -1- 6）

将MVC 控制率式（8 -1- 8）

代入上式得出： y (k+d) = y r + λ F ε (k+d)

则：y (k+d) = y (k+d) - y r = λ F ε (k+d) 式（8 -1- 10）

调节误差的方差为：

E y 2 (k+d) = E[ y (k+d) - y r ] 2 = λ2 E [

F ε (k+d)] 2

= λ2 (1+f 12+f 22+…+f d-12 ) 式（8 -1- 11） 因为 F(z - 1) = 1+ f 1z - 1 +…+ f d -1 z - d+1 (共 d 项 )

可见：d 愈大调节误差的方差也愈大。

8． 举例 A y(k) = z -d Bu(k)+λ C ε(k)

A = 1-1.7 z - 1+0.7 z - 2 ;

B = 1+ 0.5z - 1 ;

C = 1+1.5 z - 1+0.9 z - 2 ；d=2 ; n=2

由长除法得：F = 1+ 3.2 z - 1 ; G = 5.64- 2.24 z - 1

MVC 率，当y r = 0时：

)

()()()(d k F k u C F

B k y

C G

d k y +⋅⋅+⋅+=+ελC B k y G y C k u r ⋅⋅-⋅=*)

()(=

++--=-=---*)()2.31)(5.01(24.264.5)()(111

k y z z z

k y BF G k u