湖南省株洲市二中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷
2015-2016学年湖南省株洲二中高一(上)期中数学试卷
2015-2016学年湖南省株洲二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1. 已知集合A ={x ∈N|x <6}，则下列关系式错误的是（ ） A.1.5∉A B.0∈A C.6∈A D.−1∉A2. 函数y =(1−x)12+log 3x 的定义域为（ ） A.(0, 1] B.(−∞, 1] C.[0, 1] D.(0, 1)3. 设集合U =R ，集合A ={x|x 2−2x >0}，则∁U A 等于（ ） A.{x|x ≤0或x ≥2} B.{x|x <0或x >2} C.{x|0≤x ≤2} D.{x|0<x <2}4. 设函数f(x)={1−x 2(x ≤1),x 2+x −2(x >1),则f(1f(2))的值为( )A.−2716 B.1516C.18D.895. 与函数y =10lg （x−1） 的图象相同的函数是( ) A.y =|x −1| B.y =x −1 C.y =(√x−1)2D.y =x 2−1x+16. 已知函数f(x)=2x+1x−1，其定义域是[−8, −4)，则下列说法正确的是（ ）A.f(x)有最大值53，最小值75B.f(x)有最大值53，无最小值 C.f(x)有最大值75，无最小值 D.f(x)有最大值2，最小值757. 已知0<a <b <1，则（ ）A.log a 3>log b 3B.3b <3aC.(1e)a <(1e)bD.(lg a)2<(lg b)28. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2x 2−2x +1，则f(−1)=( ) A.−3 B.3 C.−2 D.29. 若x 0是方程(12)x=x 13的解，则x 0属于区间（ ） A.(12, 23) B.(23, 1)C.(13, 12)D.(0, 13)10. 已知函数f(x)={(2a −1)x +a ，x <1,log a x ，x ≥1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(0, 12)B.[13, 12) C.(13, 14)D.(0, 14)11. 设min {a,b}={a,a ≤b b,a >b ，若函数f(x)=min {3−x, log 2x}，则f(x)<12的解集为（ ）A.(0, √2)∪(52, +∞) B.(√2, +∞)C.(0, +∞)D.(0, 2)∪(52, +∞)12. f(x)=x 2−2x ，g(x)=ax +2(a >0)，若对任意的x 1∈[−1, 2]，存在x 0∈[−1, 2]，使g(x 1)=f(x 0)，则a 的取值范围是（ ） A.[12，3]B.(0,12]C.[3, +∞)D.(0, 3]二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）已知幂函数f(x)=x α的图象过点(4, 2)，则α=________．函数f(x)=log 12(x 2−2x −3)的单调递增区间为________．设奇函数f(x)的定义域为[−5, 5]，若当x ∈[0, 5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．设a 为常数且a <0，y =f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=x +a 2x−2，若f(x)≥a 2−1对一切x ≥0都成立，则a 的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（1）计算27−13+lg 0.01−ln √e +3log 32 （2）已知x +x −1=3，求x 12+x −12x 2−x −2的值．已知集合A ={x|1≤x <6}，B ={x|2<x <9}． （1）分别求：A ∩B ，A ∪(∁R B)；（2）已知C ={x|a <x <a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．已知二次函数f(x)=ax 2+bx(a, b ∈R)，若f(1)=−1且函数f(x)的图象关于直线x =1对称． （1）求a ，b 的值；（2）若函数f(x)在[k, k +1](k ≥1)上的最大值为8，求实数k 的值．已知f(x)=log 21+x 1−x（1）判断f(x)奇偶性并证明；（2）判断f(x)单调性并用单调性定义证明；（3）若f(1x−3)+f(−13)<0，求实数x 的取值范围．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G(x)（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R(x)（万元）满足R(x)={−0.4x 2+4.2x ，(0≤x ≤5),11，(x >5),假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y =f(x)的解析式（利润=销售收入−总成本）；(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？已知函数f(x)=log 2[1+2x +a ⋅(4x +1)] （1）a =−1时，求函数f(x)定义域；（2）当x ∈(−∞, 1]时，函数f(x)有意义，求实数a 的取值范围；（3）a =−12时，函数y =f(x)的图象与y =x +b(0≤x ≤1)无交点，求实数b 的取值范围．参考答案与试题解析2015-2016学年湖南省株洲二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】判断射个初数是律聚同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】二分法求明程月近似解【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】指、对数验极式的解法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）【答案】此题暂无答案【考点】幂函明图研及年用指数的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质有于械闭数古的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算集合体系拉的参污取油问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次于数在落营间上周最值二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数验立图象钱秦质的综合应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次于数在落营间上周最值根据体际省题完择函离类型分段水正的应用函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2015-2016学年湖南省株洲二中高一(上)数学期末试卷 及解析
2015-2016学年湖南省株洲二中高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3.00分）已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A ∩（∁∪B）等于（）A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}2．（3.00分）下列命题：①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行；③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行；⑤垂直于同一直线的两直线相互平行．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（3.00分）计算21og63+log64的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．34．（3.00分）直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y+3=05．（3.00分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．D．6．（3.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°7．（3.00分）函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）8．（3.00分）函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A．（）B．（）C．（1，e） D．（e，∞）9．（3.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．10．（3.00分）若动点P（x1，y1）在曲线y=2x2+1上移动，则点P与点（0，﹣l）连线中点的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x211．（3.00分）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A．118元B．105元C．106元D．108元12．（3.00分）若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值为（）A．0 B．C．1 D．2二．填空题（每小题4分，共16分）13．（4.00分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为．（按从小到大的顺序填写）14．（4.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1两顶点的坐标为B（﹣1，2，﹣1），D1（3，﹣2，3），则此正方体的外接球的表面积等于．15．（4.00分）已知A={x|＜（）x＜3}，B={x|log2x＞0}，A∪B=．16．（4.00分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于．三．解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分，共48分）17．（6.00分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．（6.00分）已知函数f（x）=b•a x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，），B（3，）．（1）求f（x）（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求m的取值范围．19．（8.00分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．20．（8.00分）如图，PA⊥平面ABC，PA=，AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角B﹣PA﹣C的大小．21．（10.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB 平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．22．（10.00分）已知圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），直线l：y=x+m（m∈R）．（1）求b的值；（2）若直线l与圆C相切，求m的值；（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．2015-2016学年湖南省株洲二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项）1．（3.00分）已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A ∩（∁∪B）等于（）A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}【解答】解：∵全集U=|1，2，3，4，5|，B={1，2}，∴CB={3，4，5}，∪∵A={2，3，4}，∴A∩（C∪B）={3，4}，故选：C．2．（3.00分）下列命题：①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行；③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行；⑤垂直于同一直线的两直线相互平行．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：在①中，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故①错误；在②中，平行于同一直线的两平面相交或平行，故②错误；在③中，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故③错误；在④中，由面面平行的判定定理得垂直于同一直线的两平面相互平行，故④正确；在⑤中，垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故⑤错误．故选：D．3．（3.00分）计算21og63+log64的结果是（）A．log62 B．2 C．log63 D．3【解答】解：21og63+log64=log69+log64=log636=2．故选：B．4．（3.00分）直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的方程为（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y+3=0【解答】解：直线l过点P（﹣1，2），且倾斜角为45°，则直线l的斜率为k=tan45°=1，直线方程为y﹣2=1×（x+1），即x﹣y+3=0．故选：D．5．（3.00分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选：A．6．（3.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，故选：B．7．（3.00分）函数f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（）A．f（﹣2）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）C．f（1）＞f（0）＞f（﹣2）D．f（1）＞f（﹣2）＞f（0）【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∵f（﹣2）=2，且2＞1＞0∴f（2）＞f（1）＞f（0）即f（﹣2）＞f（1）＞f（0）∵f（﹣1）=f（1）∴f（﹣2）＞f（﹣1）＞f（0）故选：B．8．（3.00分）函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A．（）B．（）C．（1，e） D．（e，∞）【解答】解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，，f（1）=e＞0故满足条件的区间为（0，）故选：A．9．（3.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（1+2）×1=，高h=1，故棱锥的体积V==，故选：C．10．（3.00分）若动点P（x1，y1）在曲线y=2x2+1上移动，则点P与点（0，﹣l）连线中点的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2【解答】解：设点P与点（0，﹣1）的中点M的坐标为（x，y）∴即x1=2x，y1=2y+1①∵点P在曲线y=2x2+1上移动，∴②将①代入②，得2y+1=（2x）2+1即y=4x2故选：B．11．（3.00分）某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（）A．118元B．105元C．106元D．108元【解答】解：设进价是x元，则（1+10%）x=132×0.9，解得x=108．则这件衬衣的进价是108元．故选：D．12．（3.00分）若函数f（x）=1+是奇函数，则m的值为（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：f（﹣x）=1++1，因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即+1=﹣（1+），2==m，即m=2，故选：D．二．填空题（每小题4分，共16分）13．（4.00分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为log0.76＜0.76＜60.7．（按从小到大的顺序填写）【解答】解：∵0.76∈（0，1）；60.7＞1；log0.76＜0所以：log0.76＜0.76＜60.7故答案为：log0.76＜0.76＜60.714．（4.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1两顶点的坐标为B（﹣1，2，﹣1），D1（3，﹣2，3），则此正方体的外接球的表面积等于48π．【解答】解：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1两顶点的坐标为B（﹣1，2，﹣1），D1（3，﹣2，3），所以球的直径为：BD1==4，所以球的半径是2，球的表面积：4π•12=48π故答案为：48π．15．（4.00分）已知A={x|＜（）x＜3}，B={x|log2x＞0}，A∪B=（﹣1，+∞）．【解答】解：A={x|＜（）x＜3}=（﹣1，2），B={x|log2x＞0}=（1，+∞），∴A∪B=（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）．16．（4.00分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于﹣．【解答】解：由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：即则圆心O到直线l的距离直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=∴===令则当S△AOB有最大值为此时，∴又∵﹣1＜k＜0∴三．解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分，共48分）17．（6.00分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：（1）设C（m，n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4，3）．（2）设B（a，b），则，解得．∴B（﹣1，﹣3）．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．18．（6.00分）已知函数f（x）=b•a x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，），B（3，）．（1）求f（x）（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=b•a x（其中a、b为常数，a＞0，a≠1）的图象过点，A（1，），B（3，）．∴，解得，则f（x）=•（）x．（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈[1，+∞）时恒成立，则（）x+（）x﹣m=2x+3x﹣m，∴m≤2x+3x，∵y=2x+3x在[1，+∞）上为增函数，∴最小值为5，∴m≤5．19．（8.00分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1）．（2）f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）=log a（1﹣x）（x+3）==，∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴≥log a4，即f（x）min=log a4；由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴a==．20．（8.00分）如图，PA⊥平面ABC，PA=，AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求二面角B﹣PA﹣C的大小．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．在△ABC中，AB=1，BC=3，AC=2，∴AB2+BC2=AC2．∴AB⊥BC．又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．解：（2）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC．∴∠BAC为二面角BPAC的平面角．∵sin∠BAC==，∴∠BAC=60°，即二面角BPAC的大小为60°．21．（10.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB 平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．【解答】解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH=在Rt△BHC中，tan∠CBH=，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为．22．（10.00分）已知圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），直线l：y=x+m（m∈R）．（1）求b的值；（2）若直线l与圆C相切，求m的值；（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．【解答】解：（1）由题，圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），则（﹣2++2）2+（0﹣b）2=3（b＞0），…（2分）解得：b=1…（4分）（2）因为直线l与圆C相切，所以圆心C（﹣2，1）到直线l的距离等于圆C的半径即：=…（6分）解得：m=3±…（7分）（3）设M（x1，y1）、N（x2，y2），由直线代入圆的方程，消去y得：2x2+2（m+1）x+m2﹣2m+2=0，…（8分）所以x1+x2=﹣（m+1），x1x2=，因为OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0，所以2x1x2+m（x1+x2）+m2=0所以m2﹣3m+2=0，解得：m=1，或m=2 …（13分）检验可知：它们满足△＞0，故所求m的值为1或2…（14分）。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
湖南省株洲市第二中学14—15学年上学期高一期末数学试题(附答案)
湖南省株洲市第二中学14—15学年上学期高一期末数学试题一、选择题（40分）1．sin(690)-︒的值为（ ）A B ．12- C ．12 D ．2．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U C A B ⋂等于（ ）A.{}23，B.{}145，，C.{}45，D.{}15，3．若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则()()f f e =（ ）（其中e 为自然对数的底数）A ．1B ．2C ．eD ．54．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）．A ．()f x =()g x x =B ．()f x x =,()2x g x x =C ．()f x =()g xD ．()1f x x =+, ()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩5．关于空间两条直线a 、b 与平面α，下列命题正确的是A ．若//,a b b α⊂，则//a αB ．若//,a b αα⊂，则//a bC ．//,//a b αα，则//a bD ．若,,a b αα⊥⊥则//a b6．在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P -关于XOY 面对称的点的坐标是A ．(1,3,5)--B ．(1,3,5)-C ．(1,3,5)D ．(1,3,5)--7．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 （ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．已知两点(2,3)M -、(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．344k -≤≤B ．34k ≥或4k ≤-C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤ 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.1B.2C.31 D.34 10．圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值A．4 B1 C．6- D二、填空题（20分）11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2x f x =，则(2)f -= ． 12．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，则这个平面图形的面积为 ．13．已知扇形的周长是8cm ，圆心角为2 rad ，则扇形的弧长为cm ．14．已知无论k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必经过一定点，则该定点坐标为 ．15．我们称满足下面条件的函数)(x f y =为“ζ函数”：存在一条与函数)(x f y =的图象正视图 侧视图 俯视图 第9题图有两个不同交点（设为),(),,(2211y x Q y x P ）的直线，)(x f y =在221x x x +=处的切线与此直线平行.下列函数： ①xy 1= ②)0(2>=x x y ③21x y -= ④x y ln =, 其中为“ζ函数”的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）三、解答题（共6个大题，合计40分）16．（6分）设集合{}|280A x R x =∈-=，{}22|2(1)+0B x R x m x m =∈-+= （1）若4m =,求A B ⋃;（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．17．（6分）已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x+的值； （2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.18（7分）如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC19．（6分）已知ABC 的三个顶点的坐标为(1,1),(3,2),(5,4)A B C ．（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．20．（7分）已知点()1,3M ，直线:40l ax y -+=及圆0142:22=+--+y x y x C ．(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为32，求a 的值．21．（8分）已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈．（1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明；（2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．18．60°.19．（1）2140x y +-=（2）12720．（1）圆的切线方程为3=x 或0543=--y x ；（2）43-=a ； 21．（1）奇函数，（2）11a -≤≤，(3) 918t <<解析：（1）函数()y f x =为奇函数． 当0a =时，()||2f x x x x =+，x R ∈，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=- ∴函数()y f x =为奇函数；（2）22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-； 当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数；（3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根；②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴111(2)4t a a<<++．设11()(2)4h a a a=++，∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<，又可证11()(2)4h a a a=++在(1,2]上单调增 ∴max 9()8h a =∴918t <<； 12分 ③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，。
【百强校】2015-2016学年湖南株洲二中高一上学期期末语文试卷(带解析)
试卷第1页，共9页绝密★启用前【百强校】2015-2016学年湖南株洲二中高一上学期期末语文试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：104分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、下面选项中对有关文化常识解读有误的一项是（ ）A ．古人幼时命名，成年（男子20）取字。
自称称名，如项羽自称为“籍”；尊称别人称字，即出入礼貌和尊敬对平辈或尊辈称字，如称屈平为屈原。
B ．古代帝王的自谦词有孤、寡、不谷；“朕”，秦以前不论尊卑，人人皆可自称“朕”，如《离骚》中“回朕车以复路兮”，秦始皇时起专用作皇帝自称。
C ．我国古代纪年、纪月、纪时，皆有特别方法及称谓。
有年号纪年法，如“永和九年”；有干支纪年法，如“癸丑”“壬戌”等。
朔、望、晦，分别指每月的月初、月中、月末的那一天；古人把一夜分为五个时辰，称为五更或五鼓，“寂寂人定初”指的是19-21点。
D ．古人座次有尊卑之分，帝面南，臣面北；宾东向，主西向；官位以右为上，坐车一般以左为上。
2、下列各句中，没有语病的一句是（ ）试卷第2页，共9页A ．我们不能否认浅阅读的作用，移动互联网技术至少使得有人低头看书了，现在我们应当树立多层次的阅读观，倡导自由阅读，广泛阅读。
B ．进人高中之后，部分学生借口以学业负担过重、学习压力过大为名，成天沉溺于题海之中，几乎放弃了必要的课外阅读。
C ．2015年11月30日《芈月传》在北京卫视首播当日CSM34的平均收视率高达1．97%以上，排名同时段全国第一名，观众构成中，25-34岁的年轻观众占比最高。
D ．在充满现代生活气息的今天，春节民俗依然活跃在全球华人中间，它已是华人世界最具代表性的文化符号，也是促进民族文化认同的节日。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是 （ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为 （ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范 （ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是 （ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是 （ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 （ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为 （ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 （ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称； 其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求 （1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分） 解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分） 解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分） 解： （1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分） 解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。
株洲二中高三数学上学期期末试题文科附解析
株洲二中2015届高三数学上学期期末试题（文科附解析）株洲二中2015届高三数学上学期期末试题（文科附解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（）A．D．（﹣1，0]2．（5分）质检部门对某超市56种食用油（分别编号为1～56）进行抽样检查，用系统抽样的方法抽取了4种食用油，已知7号，35号被抽取到，那么另两种被抽取到的食用油编号是（）A．22号与49号B．21号与49号C．28号与42号D．21号与50号3．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，5．（5分）等差数列的前n项和为Sn，若a2+a5+a8=15，a2+a4+a6=12，则S8的值是（）A．21B．24C．36D．76．（5分）下列命题说法错误的是（）A．若“p∧q”为真命题，则p，q均为真命题B．若命题p：∃x∈R，x2≥0，则￢p：∀x∈R，x2＜0C．“x＞2”是“x≥0”的充分不必要条件D．“x=”是“sinx=”的必要不充分条件7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的正视图面积为（）A．2+3πB．2+C．4+D．4+π8．（5分）如图，若输入两个不同的正数，经程序运行后输出的数相同，则称这两个数为“协同数”，那么下面所给的四组数中属于“协同数”的一组是（）A．6，64B．8，16C．16，256D．30，5129．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．410．（5分）如图所示，正方形ABCD边长为2，圆D的半径为1，E是圆D上任意一点，则的最小值为（）A．1+2B．﹣1﹣2C．1﹣D．1﹣2二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应点在第象限．12．（5分）已知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），曲线C的参数方程为，若曲线C关于直线l对称，则a=．13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x ﹣3y的最大值为．14．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点A（3，m）（m＞0），若A到焦点F的距离为4，则以A为圆心与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为．15．（5分）对于定义域和值域均为的函数f（x），设f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n∈N*），若xo满足fn（x0）=x0，则xo称为f（x）的n阶周期点．（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），则f（x）的2阶周期点的值为；（2）若f（x）=，则f（x）的2阶周期点的个数是．三、简答题（本大题共6小题，共75分，简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（A）=2，b=1，且△ABC的面积为，求边a的值．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成角的大小．18．（12分）2014年9月4日国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，其中指出：文理将不分科；总成绩由同一2015届高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试成绩组成；外语科目提供两次考试机会；计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据2015届高考高校要求和自身特长，在其余六科中自主选择．某社区N名居民接受了当地电视台对《意见》看法的采访，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分5组：，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表：区间人数25ab（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的前3组中采用分层抽样的方法选取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？再从这6人中随机选取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．19．（13分）已知数列中，a1=，且an+1=an，正项数列的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）设cn=anbn，且数列的前n项和为Tn，求证：．20．（13分）已知点M（，2）是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，MF2垂直于x轴，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）动直线l：x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与直线A2Q交于点S，当直线l变化时，点S是否在一条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=bx，a，b∈R，h（x）=f（x）﹣g（x）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）当a＞0，且a为常数时，若函数p（x）=x对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，试用a表示出b的取值范围．湖南省株洲二中2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（）A．D．（﹣1，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即N=，∵M=（﹣1，1），∴M∩N=8．（5分）如图，若输入两个不同的正数，经程序运行后输出的数相同，则称这两个数为“协同数”，那么下面所给的四组数中属于“协同数”的一组是（）A．6，64B．8，16C．16，256D．30，512考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序，可得程序框图的功能是求分段函数y=的值，依次代入各个选项中的数值即可判断．解答：解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是求分段函数y=的值，当x=8时，8＜10，有y=28=256当x=16时，10＜16＜30，有y=162=256故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序，正确得到序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．解答：解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C点评：本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．10．（5分）如图所示，正方形ABCD边长为2，圆D的半径为1，E是圆D上任意一点，则的最小值为（）A．1+2B．﹣1﹣2C．1﹣D．1﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，利用向量的数量积运算、三角函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示，A（0，﹣2），C（2，0），设E（cosθ，sinθ），θ∈专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：复数z==﹣3﹣i，则复数z在复平面内所对应点（﹣3，﹣1）在第三象限．故答案为：三．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．12．（5分）已知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），曲线C的参数方程为，若曲线C关于直线l对称，则a=﹣1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，讲给定的直线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化为普通方程，然后，根据直线关于圆的对称，得到该直线必过圆的圆心，建立等式，求解即可．解答：解：∵直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=a（a∈R），∴它的直角坐标方程为：x﹣y﹣a=0，曲线C的参数方程为，它的普通方程为：（x+1）2+y2=1，∵曲线C关于直线l对称，故该直线必过圆心（﹣1，0），代入，直线的直角坐标方程，得到﹣1﹣0﹣a=0，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程和直角坐标方程的互化，圆的参数方程和普通方程互化等知识，圆关于直线的对称问题等知识，属于中档题．13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x ﹣3y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（﹣2，﹣2）．将A（﹣2，﹣2）代入目标函数z=x﹣3y，得z=﹣2﹣3×（﹣2）=4．∴目标函数z=x﹣3y的最大值是4．故答案为：4点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点A（3，m）（m＞0），若A到焦点F的距离为4，则以A为圆心与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为（x﹣3）2+（y ﹣2）2=16．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意可得3﹣（﹣）=4，求得p=2，可得抛物线C：y2=4x．把点A（3，m）代入抛物线的方程，求得m 的值，可得圆心和半径，从而得到所求的圆的标准方程．解答：解：由题意结合抛物线的定义可得A到准线的距离为4，∴3﹣（﹣）=4，求得p=2，∴抛物线C：y2=4x．点A（3，m）代入抛物线C：y2=4x，结合m＞0，可得m=2．再根据题意可得圆的半径为4，故所求的圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16，故答案为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．点评：本题主要考查抛物线的定义和标准方程的应用，求圆的标准方程的方法，求出m的值，是解题的关键，属于中档题．15．（5分）对于定义域和值域均为的函数f（x），设f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，fn（x）=f（fn﹣1（x））（n∈N*），若xo满足fn（x0）=x0，则xo称为f（x）的n阶周期点．（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），则f（x）的2阶周期点的值为0；（2）若f（x）=，则f（x）的2阶周期点的个数是4．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）若f（x）=2x，则f2（x）=4x，令f2（x0）=x0，可得f（x）的2阶周期点的值；（2）根据f（x）=，分0≤2x≤，即0≤x≤时，当＜2x≤1，即＜x≤时，＜x≤1时，讨论f（x）的2阶周期点的个数，最后综合讨论结果可得答案．解答：解：（1）∵f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=4x，令f2（x）=x，解得：x=0．（2）当0≤2x≤，即0≤x≤时，f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=4x，令f2（x）=x，解得x=0，当＜2x≤1，即＜x≤时，f2（x）=f（f1（x））=f（2x）=2﹣2（2x）=2﹣4x，令f2（x）=x，解得x=，故0≤x≤时，f（x）的2阶周期点有两个，同理＜x≤1时，f（x）的2阶周期点也有两个，故f（x）的2阶周期点共有4个．故答案为：0，4点评：本题考查的知识点是分段函数，其中正确理解f （x）的n阶周期点的定义，是解答的关键．三、简答题（本大题共6小题，共75分，简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（A）=2，b=1，且△ABC的面积为，求边a的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理．专题：常规题型；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：第（Ⅰ）问求函数的单调区间，要先把函数化成标准形式，即化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式；第（Ⅱ）问根据f（A）=2求出角A，然后根据△ABC的面积为，结合余弦定理求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1令﹣，k∈Z解得，kπ﹣，k∈Z∴f（x）的递增区间为（k∈Z）（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+）+1=2，得A=S△ABC=∴c=4，由余弦定理得a2=1+42﹣2×1×4×cos∴a=．点评：本题考查了求函数的单调区间，关键是化成标准形式；还考查了解三角形，注意根据条件选择适当的面积公式及正余弦定理．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为4，求DE与平面PAC所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）四边形ABCD为菱形，从而AC⊥BD，证明PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可证明PC⊥BD；（2）证明∠EDO就是DE与平面PAC所成的角，即可求得结论．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD；（2）解：由底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，知BD=2，∴VP﹣ABCD=ACBDPA=4，可得PA=2，由（1）知BD⊥平面PAC，∴DE在平面PAC的射影为OE，∴∠EDO就是DE与平面P所AC成的角，∵E是PC的中点，∴OE=PA=，∴在Rt△DOE中，tan∠EDO=，∴∠EDO=30°即DE与平面PAC所成的角为30°．点评：本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）2014年9月4日国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，其中指出：文理将不分科；总成绩由同一2015届高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试成绩组成；外语科目提供两次考试机会；计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据2015届高考高校要求和自身特长，在其余六科中自主选择．某社区N名居民接受了当地电视台对《意见》看法的采访，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分5组：，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表：区间人数25ab（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的前3组中采用分层抽样的方法选取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？再从这6人中随机选取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，知频数比等于高之比，由此可得a、b、N的值；（2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，分别计算总个数与恰有1人在第3组的个数，根据古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由题可知，25=0.02×5×N，显然N=250，a=25，b=0.08×5×250=100．（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能．其中2人年龄恰有1人在第3组的有：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共8种可能，所以P=．故恰有1人在第3组的概率为．点评：本题考查频率分布直方图及古典概型的概率计算，解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义．19．（13分）已知数列中，a1=，且an+1=an，正项数列的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）设cn=anbn，且数列的前n项和为Tn，求证：．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得数列是首项为，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出数列和的通项公式．（2）由cn=anbn==（n﹣）×（）n，利用错位相减法能证明．解答：（1）解：∵数列中，a1=，且an+1=an，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴an=（）n．∵正项数列的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，2是bn+2和bn的等比中项，∴4Sn=bn（bn+2）=，①，②，n≥2，①﹣②，得4bn=+2bn﹣2bn﹣1，n≥2∴（bn+bn﹣1）（bn﹣bn﹣1﹣2）=0，∵bn＞0，∴bn﹣bn﹣1=2，又，解得b1=1，∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（2）证明：∵cn=anbn==（n﹣）×（）n，∴Tn=+…+（n﹣）×，①+，②①﹣②，得：==﹣（n﹣）×=，∴Tn=﹣，∵0＜≤=，∴．点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．20．（13分）已知点M（，2）是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，MF2垂直于x轴，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）动直线l：x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与直线A2Q交于点S，当直线l变化时，点S是否在一条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M（，2），可得∴+=1，求出a2=9，b2=a2﹣c2=6，从而可得椭圆C的方程；（2）利用特殊位置猜想结论，再进行一般性的证明．将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理可以证明．解答：解：（1）∵过右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C在第一象限的交点为M（，2）．∴c=，b2=a2﹣c2=a2﹣3．∵点M（，2在椭圆上，∴+=1，∴3a2﹣9+4a2=a4﹣3a2∴a4﹣10a2+9=0，∴（a2﹣9）（a2﹣1）=0，∴a2=9或a2=1＜c2（舍去）．∴b2=a2﹣c2=6．∴椭圆C的方程为+=1；（2）当l⊥x轴时，P（1，），Q（1，﹣），又A1（﹣3，0），A2（3，0）A1P的方程：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），联立解得S（9，4）．当l过椭圆的上顶点时，y=﹣x，P（0，），Q（，﹣）A1P的方程：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），联立解得S（9，4）．若定直线存在，则方程应是x=9．下面给予证明．把x=my+1代入椭圆方程，整理得（2m2+3）y2+4my﹣16=0，△＞0成立，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．A1P：y=（x+3），A2Q的方程：y=（x﹣3），当x=9时，纵坐标y应相等，=，须=，须2y1（my2﹣2）=y2（my1+4），须my1y2=4（y1+y2）∵y1+y2=，y1y2=．∴m=4成立．综上，定直线方程为x=9．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查探究性问题，解题的关键是利用特殊位置猜想结论，再进行证明．21．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，g（x）=bx，a，b∈R，h（x）=f（x）﹣g（x）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）当a＞0，且a为常数时，若函数p（x）=x对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，试用a表示出b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=代入f（x）的解析式并求出定义域，求出函数的导数化简后求出单调区间，从而可求出函数的极值；（2）先由题意求出h（x），将不等式化简后构造函数k （x）=p（x）+x，根据恒成立和函数的单调性定义转化为：k′（x）≥0在（2）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=ax2﹣lnx﹣bx，∴函数p（x）=x=x（ax2﹣bx）=ax3﹣bx2，∵对任意的x1＞x2≥4，＞﹣1恒成立，∴p（x1）﹣p（x2）＞﹣x1+x2对任意的x1＞x2≥4恒成立，则p（x1）+x1＞p（x2）+x2对任意的x1＞x2≥4恒成立，设k（x）=p（x）+x=ax3﹣bx2+x，则k（x）在[4，+∞）上单调递增，∴k′（x）=ax2﹣2bx+1≥0在[4，+∞）上恒成立，∴2bx≤ax2+1，则（），构造函数F（x）=（a＞0），x∈[4，+∞），∴F′（x）=a﹣=，由F′（x）=0得，x=或﹣（舍去），①当时，即，则在[4，+∞）上有F′（x）＞0，∴函数F（x）在[4，+∞）上单调递增，∴函数F（x）的最小值是F（4）=，则=；②当时，即，则在[4，）上F′（x）＜0，在（，+∞）上有F′（x）＞0，∴函数F（x）在[4，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴函数F（x）的最小值是F（）=2，则=，综上可得，当时，b≤；当时，．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，构造函数法解决不等式问题，以及分类讨论思想、转化思想，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
【精品】2015-2016年湖南省株洲二中高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2015-2016学年湖南省株洲二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共13小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数i﹣i2在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是（）A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜43．（3分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x4．（3分）若f（x）=2sinθ﹣cosx，则f′（α）等于（）A．sinαB．cosαC．2sinα﹣cosαD．﹣3cosα5．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）①Z1，Z2不能比较大小；②Z1，Z2是虚数；③虚数不能比较大小．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①6．（3分）若，，与的夹角为60°，则k的值为（）A．0或﹣2B．0或2C．﹣2D．27．（3分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．48．（3分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（3分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（1）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（1）C．f（﹣3）+f（3）≤2f（1）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（1）10．（3分）的展开式中x2的系数为（）A．﹣1792B．1792C．﹣448D．44811．（3分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上（）A．k2+1B．（k+1）2C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）212．（3分）已知抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．13．（3分）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2（x∈R），g（x）=（x ＜0），h（x）=2elnx．有下列命题：①F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增；②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2x﹣e．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.14．（4分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是．15．（4分）曲线y=cosx在[0，]上与x轴所围成的平面图形的面积为．16．（4分）已知等差数列{a n}中，有成立．类似地，在等比数列{b n}中，有成立．17．（4分）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2016段、黄“电子狗”爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是．三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（6分）已知函数f（x）=ax3+（a+1）x2+27（a+2）x+b的图象关于原点成中心对称，求f（x）在区间[﹣4，5]上的最值．19．（6分）已知5名学生和2名教师站在一排照相，求：（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？（2）两名教师不相邻的概率为多少？20．（8分）已知数列{a n}的前n项和为S n且满足S n+a n=2n．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．21．（8分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的正弦值．22．（10分）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M 与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求|OR|+|OS|的最小值．23．（10分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（1）设x＞0，讨论曲线y=与直线y=m公共点的个数；（2）设函数h（x）满足x2h′（x）+2xh（x）=，h（2）=，试比较h（e）与的大小．（e2=7.389）2015-2016学年湖南省株洲二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数i﹣i2在复平面内表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数i﹣i2=1+i，则复数i﹣i2在复平面内对应的点的坐标：（1，1），位于第一象限．故选：A．2．（3分）设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是（）A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4【解答】解：由x＞π⇒x＞3，而反之不成立，因此x＞π的一个必要不充分条件是x＞3．故选：A．3．（3分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．4．（3分）若f（x）=2sinθ﹣cosx，则f′（α）等于（）A．sinαB．cosαC．2sinα﹣cosαD．﹣3cosα【解答】解：f′（x）=sinx，则f′（α）=sinα，故选：A．5．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）①Z1，Z2不能比较大小；②Z1，Z2是虚数；③虚数不能比较大小．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【解答】解；由三段论的格式知：大前提为③虚数不能比较大小，小前提为②z1，z2是虚数，结论：①z1，z2不能比较大小；故三段论的顺序是③②①．故选：D．6．（3分）若，，与的夹角为60°，则k的值为（）A．0或﹣2B．0或2C．﹣2D．2【解答】解：=，=，=2﹣1+k=1+k．∵与的夹角为60°，∴cos60°===，解得k=2．故选：D．7．（3分）已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．8．（3分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．9．（3分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（1）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（1）C．f（﹣3）+f（3）≤2f（1）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（1）【解答】解：∵（x﹣1）f′（x）≤0，∴x＞1时，f′（x）≤0；x＜1时，f′（x）≥0，∴f（x）在（1，+∞）为减函数；在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（3）≤f（1）f（﹣3）≤f（1）∴f（﹣3）+f（3）≤2f（1），故选：C．10．（3分）的展开式中x2的系数为（）A．﹣1792B．1792C．﹣448D．448=•（﹣1）r•28﹣r•x8﹣2r，【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1令8﹣2r=2，求得r=3，可得展开式中x2的系数为﹣25•=﹣1792，故选：A．11．（3分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上（）A．k2+1B．（k+1）2C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：D．12．（3分）已知抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点且与椭圆交于A、B 两点，∴椭圆的左焦点F（﹣1，0），∴c=1，∵O为坐标原点，△AOB的面积为，∴，∴，整理，得2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2，或a=﹣（舍），∴e==．故选：C．13．（3分）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b 为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2（x∈R），g（x）=（x ＜0），h（x）=2elnx．有下列命题：①F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增；②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2x﹣e．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣，∴x∈（﹣，0），F′（x）=2x+＞0，∴F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增，故①对；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y=kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又≤kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b ≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k⇒﹣4≤k≤0，同理⇒﹣4≤b≤0，故②对，③错；④函数f（x）和h（x）的图象在x=处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣），即y=kx﹣k+e，由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，则△≤0，只有k=2，此时直线方程为：y=2x﹣e，下面证明h（x）≤2x﹣e，令G（x）=2x﹣e﹣h（x）=2x﹣e﹣2elnx，G′（x）=，当x=时，G′（x）=0，当0＜x＜时G′（x）＜0，当x＞时G′（x）＞0，则当x=时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值．所以G（x）=2x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2x﹣e，故④正确．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.14．（4分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是a、b都不能被2整除．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，故答案为：a、b都不能被2整除．15．（4分）曲线y=cosx在[0，]上与x轴所围成的平面图形的面积为1．【解答】解：曲线y=cosx在[0，]上与x轴所围成的平面图形的面积为cosxdx=sinx=sin﹣sin0=1，故答案为：1．16．（4分）已知等差数列{a n}中，有成立．类似地，在等比数列{b n}中，有成立．【解答】解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：．故答案为：．17．（4分）某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2016段、黄“电子狗”爬完2015段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是1．【解答】解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黄“电子狗”爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，也是过6段后又回到起点．所以黑“电子狗”爬完2016段后实质是到达点A，黄“电子狗”爬完2015段后到达第三段的终点D．此时的距离为|AD|=1．故答案为：1三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（6分）已知函数f（x）=ax3+（a+1）x2+27（a+2）x+b的图象关于原点成中心对称，求f（x）在区间[﹣4，5]上的最值．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，所以，f（0）=b=0，且a+1=0，解得a=﹣1，b=0，于是f（x）=﹣x3+27x，f′（x）=﹣3x2+27=﹣3（x+3）（x﹣3），∴当x∈（﹣3，3）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣4，﹣3）和（3，5）时，f′（x）＜0．又∵函数f（x）在[﹣4，5]上连续．∴f（x）在（﹣3，3）上是单调递增函数，在（﹣4，﹣3）和（3，5）上是单调递减函数，而f（﹣4）=﹣44，f（﹣3）=﹣54，f（3）=54，f（4）=44，∴f（x）的最大值是54，f（x）的最小值是﹣54．19．（6分）已知5名学生和2名教师站在一排照相，求：（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？（2）两名教师不相邻的概率为多少？（1）先排教师有A22种方法，再排学生有A55种方法，故共有A22A55=240【解答】解：种；（2）采用“插空法”，先排4名学生，有A55种方法；再把2个教师插入5个学生形成的6个空中，方法有A62种．根据分步计数原理，所有满足条件的排法共有A55A62种，5名学生和2名教师站在一排照相任意排，有A77种，故两名教师不相邻的概率为=．20．（8分）已知数列{a n}的前n项和为S n且满足S n+a n=2n．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【解答】解：（1）a1=，a2=，a3=，…．猜测a n=2﹣．（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+a k+1+a k+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k∴2k+1﹣a k+2a k+1=2（k+1）+1=2k+3，∴2a k+1=2+2﹣，a k+1=2﹣，即当n=k+1时，命题成立．（11分）根据①②得n∈N+时，a n=2﹣都成立．21．（8分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E﹣AF﹣C的正弦值．【解答】（1）证明：由AC=AB=BC，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．（5分）（2）解：因为AH⊥PD，由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，此时tan∠EHA===，因此AH=，∵AD=2，∴∠ADH=45°，则PA=2．∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD，过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES则∠ESO是二面角E﹣AF﹣C的平面角在Rt△AOE中，EO=AE•sin 30°=，AO=AE•cos 30°=，又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO•sin 45°=，又SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值为．（12分）22．（10分）如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M 与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求|OR|+|OS|的最小值．【解答】解：（1）依题意，得a=2，e==，∴c=，b==1；故椭圆C的方程为+y2=1．（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）则直线MP的方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得x R=，同理：x S=，故x R x S=（**）又点M与点P在椭圆上，故x02=4（1﹣y02），x12=4（1﹣y12），代入（**）式，得：x R x S===4所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4，|OR|+|OS|≥2=4，当且仅当|OR|=|OS|=2，取得等号．则|OR|+|OS|的最小值为4．23．（10分）已知函数f（x）=e x，x∈R．（1）设x＞0，讨论曲线y=与直线y=m公共点的个数；（2）设函数h（x）满足x2h′（x）+2xh（x）=，h（2）=，试比较h（e）与的大小．（e2=7.389）【解答】解：（1）当x＞0，m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）的公共点个数即方程f（x）=mx2根的个数．由f（x）=mx2⇒m=，令v（x）=⇒v′（x）=，则v（x）在（0，2）上单调递减，这时v（x）∈（v（2），+∞）；v（x）在（2，+∞）上单调递增，这时v（x）∈（v（2），+∞），v（2）=．v（2）是y=v（x）的极小值，也是最小值．（5分）所以对曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数，讨论如下：当m∈（0，）时，有0个公共点；当m=时，有1个公共点；当m∈（，+∞）时有2个公共点；（8分）（2）令F（x）=x2h（x），则F′（x）=x2h′（x）+2xh=，所以h=，故h′===，令G（x）=e x﹣2F（x），则G′（x）=e x﹣2F′（x）=e x﹣2•=显然，当0＜x＜2时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；当x＞2时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；所以，在（0，+∞）范围内，G（x）在x=2处取得最小值G（2）=0．即x＞0时，e x﹣2F（x）≥0．故在（0，+∞）内，h′（x）≥0，所以h（x）在（0，+∞）单调递增，又因为h（2）==＞，h（2）＜h（e）所以h（e）＞．（14分）。
2015-2016年湖南省株洲二中高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2015-2016学年湖南省株洲二中高二（上）期末数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合M={x|﹣1＜x＜4}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，1）C．（﹣2，4）D．[﹣1，1] 2．（3分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）A．12πB．14πC．16πD．20π3．（3分）已知α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点的值为（）A．B．C．D．4．（3分）已知命题P：∀x∈R，3x2+1＞0，则￢p为（）A．∀x∈R，3x2+1≤0B．∃x∈R，3x2+1≤0C．∃x∈R，3x2+1＜0D．∀x∈R，3x2+1＜05．（3分）设z=+i，则|z|为（）A．1+2i B．1C．D．6．（3分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．f（x）=x2+1C．D．y=2x7．（3分）设x∈R，则“x2＞4”是“x＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）执行如图的程序框图，如果x，t输入的值均为2，输出的S=（）A．5B．6C．7D．89．（3分）已知圆，圆C2：（x+1）2+（y+4）2=25，圆C1与圆C2的位置关系为（）A．外切B．相离C．相交D．内切10．（3分）矩形ABCD中，AB=4，BC=2，M为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取到的点P到M的距离大于2的概率为（）A．B．C．D．11．（3分）若直线y=x+b与曲线y=﹣有公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣2﹣2，﹣2]B．[﹣2﹣，0]C．[﹣2﹣2，0]D．[﹣1，﹣2]12．（3分）g（x）的定义域为R，且满足g（x）+xg′（x）﹣g′（x）＜0，则y=g （x）的零点个数为（）A．1B．0C．2D．0或2二．填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为．14．（3分）函数f（x）=x3+x+1的图象在点（1，3）处的切线方程为．15．（3分）f（x）=cosx+sinx的最大值为．16．（3分）已知F是双曲线C：=1的右焦点，P是C的左支上一点，A （0，）．则△APF的周长的最小值为．三．解答题：（本大题共6小题，共52分）17．（8分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，现随机抽取这两个小组过去研发新产品15次的成绩如下：（1）试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．18．（8分）已知△ABC的三内角为A、B、C，且其对边分别为a、b、c，若cosAcosC ﹣sinAsinC=．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．19．（8分）如图四棱锥E﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AB=2，AE=2，求AE与平面BED所成角的大小．20．（8分）已知各项都为正数的等比数列数列{a n}，a3=8，a5=32．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求T n．21．（10分）（1）求函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x，x∈[﹣4，4]的最值（2）求函数的极值．22．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它过点（0，1），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的左焦点F作直线l交椭圆C于G，H两点，交y轴于点M，若，=n，判断m+n是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是请说明理由．2015-2016学年湖南省株洲二中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合M={x|﹣1＜x＜4}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，1）C．（﹣2，4）D．[﹣1，1]【解答】解：集合M={x|﹣1＜x＜4}=（﹣1，4），N={x|﹣2＜x＜1}=（﹣2，1），则M∩N=（﹣1，1），故选：B．2．（3分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为（）A．12πB．14πC．16πD．20π【解答】解：综合正视图，侧视图和俯视图可以判断出这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径2，高为4，那么圆柱体的体积是：π×2×2×4=16π，故选：C．3．（3分）已知α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合又终边过点，此点到原点的距离为1∴故选：D．4．（3分）已知命题P：∀x∈R，3x2+1＞0，则￢p为（）A．∀x∈R，3x2+1≤0B．∃x∈R，3x2+1≤0C．∃x∈R，3x2+1＜0D．∀x∈R，3x2+1＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x∈R，3x2+1＞0，则￢p为∃x∈R，3x2+1≤0．故选：B．5．（3分）设z=+i，则|z|为（）A．1+2i B．1C．D．【解答】解：∵z=+i=，∴|z|=．故选：D．6．（3分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．f（x）=x2+1C．D．y=2x【解答】解：是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．f（x）=x2+1是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件．是奇函数，在区间（0，+∞）上不单调，不满足条件．y=2x是非奇非偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件．故选：A．7．（3分）设x∈R，则“x2＞4”是“x＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2＞4，则x＞2或x＜﹣2，则“x2＞4”是“x＞2”的必要不充分条件，故选：B．8．（3分）执行如图的程序框图，如果x，t输入的值均为2，输出的S=（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：模拟执行程序，可得x=2，t=2，M=1，S=3，k=1满足条件k≤t，M=2，S=5，k=2满足条件k≤t，M=2，S=7，k=3不满足条件k≤t，退出循环，输出S的值为7．故选：C．9．（3分）已知圆，圆C2：（x+1）2+（y+4）2=25，圆C1与圆C2的位置关系为（）A．外切B．相离C．相交D．内切【解答】解：由于这两个圆的圆心距d=C1C2==3，显然5﹣3＜d＜5+3，即两圆的圆心距大于半径之差而小于半径之和，故两圆相交，故选：C．10．（3分）矩形ABCD中，AB=4，BC=2，M为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取到的点P到M的距离大于2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：若取到的点P到M的距离大于2，则P位于阴影部分，则矩形的面积S=4×2=8，半圆的面积S==2π，则阴影部分的面积S=8﹣2π，则对应的概率P==，故选：D．11．（3分）若直线y=x+b与曲线y=﹣有公共点，则b的取值范围是（）A．[﹣2﹣2，﹣2]B．[﹣2﹣，0]C．[﹣2﹣2，0]D．[﹣1，﹣2]【解答】解：∵方程可化为：当直线经过点A（0，0）时，此时直线与曲线有公共点，代入直线方程可得0=0+b，解得b=0．当直线与曲线相切时，直线与曲线有公共点，由点的直线距离公式可得．由图可知，应取．因此当时，直线y=x+b与曲线有公共点．故选：B．12．（3分）g（x）的定义域为R，且满足g（x）+xg′（x）﹣g′（x）＜0，则y=g （x）的零点个数为（）A．1B．0C．2D．0或2【解答】解：令f（x）=（x﹣1）g（x）=xg（x）﹣g（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x）﹣g′（x）＜0，∴f（x）是减函数．∵f（1）=0，∴当x＜1时，f（x）=（x﹣1）g（x）＞0，∴g（x）＜0；当x＞1时，f（x）=（x﹣1）g（x）＜0，∴g（x）＜0；∵g（x）+xg′（x）﹣g′（x）＜0，∴g（1）+g′（1）﹣g′（1）＜0，即g（1）＜0．综上，g（x）＜0，∴g（x）无零点．故选：B．二．填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：，由，解得A（2，2），由z=x+2y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点A，直线的截距最大，此时z最大，此时z=6，故答案为：6．14．（3分）函数f（x）=x3+x+1的图象在点（1，3）处的切线方程为4x﹣y﹣1=0．【解答】解：y′=3x2+1，y′|x=1=3+1=4，即函数y=x3+x+1在点（1，3）处的切线斜率是4，所以切线方程为：y﹣3=4（x﹣1），即4x﹣y﹣1=0．故答案为：4x﹣y﹣1=0．15．（3分）f（x）=cosx+sinx的最大值为．【解答】解：f（x）=cosx+sinx=sin（x+）．f（x）=cosx+sinx的最大值为．故答案为：．16．（3分）已知F是双曲线C：=1的右焦点，P是C的左支上一点，A （0，）．则△APF的周长的最小值为20．【解答】解：∵F是双曲线C：=1的右焦点，∴a=4，b=3，c=5，F（5，0 ），左焦点为H（﹣5，0），由双曲线的定义可得|PF|﹣|PH|=2a=8，|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=8+=8+6=14，∵|AF|==6，∴当且仅当A，P，H共线时，△PAF周长取得最小值为14+6=20．故答案为：20．三．解答题：（本大题共6小题，共52分）17．（8分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，现随机抽取这两个小组过去研发新产品15次的成绩如下：（1）试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．【解答】解：（1）==，=（9×1）=，=[（1﹣）2×10+（0﹣）2×5]=，=[（1﹣）2×9+（0﹣）2×6]=，∵＞，＜，∴甲的研发水平好．（2）由已知得甲组研发成功的概率p1==，乙组研发成功的概率p2==，∴企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，估算恰有一组研发成功有概率p==．18．（8分）已知△ABC的三内角为A、B、C，且其对边分别为a、b、c，若cosAcosC ﹣sinAsinC=．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为，求a，c．【解答】解：（1）∵cosAcosC﹣sinAsinC=，∴cos（A+C）=，∴cosB=﹣，∵B∈（0°，180°），∴B=120°．（2）由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入=a2+c2﹣2accos120°，化为：a2+c2+ac=12，又=，化为ac=4，联立解得a=c=2．19．（8分）如图四棱锥E﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AB=2，AE=2，求AE与平面BED所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BED；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，AE与平面BED所成角为∠AEG．∵∠ABC=120°，AB=2，∴AG=，∴sin∠AEG=，∴∠AEG=60°．20．（8分）已知各项都为正数的等比数列数列{a n}，a3=8，a5=32．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，a3=8，a5=32.8q2=32，解得q=2，可得a3=q2a1，a1=2，∴由．（2）b n=log2a n=log22n=n，c n===，T n==1，可得：．21．（10分）（1）求函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x，x∈[﹣4，4]的最值（2）求函数的极值．【解答】解：（1）f（x）=x3﹣3x2﹣9x，f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x2﹣2x﹣3）=3（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，∴f（x）在[﹣4，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，4]递增，而f（﹣4）=﹣76，f（﹣1）=5，f（3）=﹣27，f（4）=﹣30，∴f（x）min=f（﹣4）=﹣76，f（x）max=f（﹣1）=5，（2），定义域是（0，+∞），g′（x）=x+4﹣=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴．22．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它过点（0，1），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的左焦点F作直线l交椭圆C于G，H两点，交y轴于点M，若，=n，判断m+n是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它过点（0，1），离心率为，∴，解得a=，b=1，c=2，∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（2）由（1）得椭圆C的右焦点F（2，0），设G（x1，y1），H（x2，y2），M（0，y0），由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+2），代入方程+y2=1，得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．又=（x1，y1﹣y0），=（x2，y2﹣y0），=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2）．，∴m=，n=，∴m+n=+=，=，∴m+n=10．。
湖南省株洲市第二中学14—15学年下学期高一第一次月考数学试题(附答案)
株洲市二中2015年上学期高一第一次月考数学试题分值：150分 时量：120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知角α的终边经过点(4,3)P --，则αsin 的值为（ ） A ．53-B ．54- C ．53 D ．432．设平面向量a (1,0)=-，b (0,2)=，则32+等于（ ） A ．)3,6(B ．)6,2(-C ．)1,2(D ．)2,7(3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )．4．下列给出的命题正确的是( )A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．相等的向量必是共线向量5．若函数y ＝sin ()x ＋φ()0≤φ≤π是R 上的偶函数，则φ的值可以是( ) A ．0 B ． π4 C ． π2D ．π6．已知向量a ，b 满足3a =，23b =，且()a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影是（ ）A ．3B ．2 C ．3- D ．2- 7．将函数()()32sin 2--=θx x f 的图象F 按向量a = )3,6(π，平移得到图象F '，若F '的一条对称轴是直线4π=x ，则θ的一个可能取值是（ ） A ．6π-B ．3π-C ．2π D ．3π8．已知1a =，2b =，且()21b a b ⋅+=，则a 与b 夹角的余弦值是（ ）A ．13-B ．3C ．4- D ．13 9. 如图所示，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y （0,>∈ωR x ）的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM PN 0⋅=，则ω的值为 ( )A ．8B.4π C. 8πD ．410、已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·b x ＋1在x ∈R 上有极值，则向量a 、b 的夹角θ的取值范围是( )． A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎝⎛⎦⎤π6，π2D.⎝⎛⎦⎤π6，π二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．请把答案直接填在答题卡相应的位置上．11. )4sin()4cos(ππ---的值是________．12．在圆中，等于半径长的弦长所对的圆心角的弧度数是______.13．已知平面上三点A 、B 、C 满足|A B |6=，|BC|8=，|AC|10=，则AB AC AC BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值等于 .14．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.15、如下图，两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若AD AB kAC =λ+，则k λ+= ．三、解答题 ：本大题共6个小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R)．（1）若a ⊥b ，求x 的值；（2）若a ∥b ，求|a －b |.17．（本小题满分12分）已知sin α是方程25x 7x 60--=的根，α是第三象限角， （1）分别求sin ,cos ,tan ααα的值；（2）求233sin()cos()22tan ()sin()cos()22ππ-α--α⋅π-αππα+-α 的值．18．（本小题满分12分） 已知定义在]2,6[ππ-∈x 上的函数f (x)sin(2x)=π-. （1）求)(x f 的最小正周期与单调递增区间；（2）若方程a x f =)(只有一解，求实数a 的取值范围．19、（本小题满分13分）已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. （1）若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；（2）若AC →·BC →＝－1，求22sin 2sin cos 1tan ++αααα的值．20．（本小题满分13分）某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t(0t24)≤≤(小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某天各时的浪高数据：（1（2）依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？21．（本小题满分13分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点,B P在单位圆上，且(B,∠=AOBα（1）求4cos3sin5cos3sin-+αααα的值；（2）设2(),63∠=≤≤=+AOP OQ OA OP ππθθ，四边形OAQP 的面积为S ，2()(1)1=⋅--f OA OQ θ，求()f θ的最值及此时θ的值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知角α的终边经过点(4,3)P --，则αsin 的值为（ A ） A ．53-B ．54- C ．53 D ．432．设平面向量a (1,0)=-，b (0,2)=，则b a 32+等于（ B ） A ．)3,6(B ．)6,2(-C ．)1,2(D ．)2,7(3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( D )．4．下列给出的命题正确的是( D )A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．平面内的单位向量有且仅有一个C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量D ．相等的向量必是共线向量5．若函数y ＝sin ()x ＋φ()0≤φ≤π是R 上的偶函数，则φ的值可以是( C ) A ．0 B ． π4 C ． π2D ．π6．已知向量a ，b 满足3a =，23b =，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影是（ C ）A ．3BC ．3-D ． 7．将函数()()32sin 2--=θx x f 的图象F 按向量a = )3,6(π，平移得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线4π=x ,则θ的一个可能取值是（ B ）A ．6π-B ．3π-C ．2π D ．3π 8．已知1a =，2b =，且()21b a b ⋅+=，则a 与b 夹角的余弦值是（ C ）A ．13-B ．3C ．4- D ．13 9. 如图所示，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y （0,>∈ωR x ）的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM PN 0⋅=，则ω的值为 ( B )A ．8B.4π C. 8πD ．410、已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·b x ＋1在x ∈R 上有极值，则向量a 、b 的夹角θ的取值范围是( D )． A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎝⎛⎦⎤π6，π2D.⎝⎛⎦⎤π6，π二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．请把答案直接填在答题卡相应的位置上． 11. )4sin()4cos(ππ---的值是________．2 12．在圆中，等于半径长的弦长所对的圆心角的弧度数是______.3π13．已知平面上三点A 、B 、C 满足|A B |6=，|BC|8=，|AC|10=，则⋅+⋅+⋅的值等于 . 10014．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.89215、如下图，两块全等的等腰直角三角形拼在一起，若AD AB kAC =λ+， 则k λ+= ．解：过点D 做连接BF ，设AC=1，则DF =,三、解答题 ：本大题共6个小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R)． （1）若a ⊥b ，求x 的值； （2）若a ∥b ，求|a －b |.解:（1）若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. …………6分 （2）若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. …………8分当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝2 5. 综上，可知|a －b |＝2或25.…………12分17．（本小题满分12分）已知sin α是方程25x 7x 60--=的根，α是第三象限角，（1）分别求sin ,cos ,tan ααα的值； （2）求233sin()cos()22tan ()sin()cos()22ππ-α--α⋅π-αππα+-α 的值．解：（1）方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，3tan 4α=……………6分（2）sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π＋π2－αsin αcos α·tan 2α=－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin αcos α·tan 2α＝－cos αsin αsin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－⎝⎛⎭⎫－352⎝⎛⎭⎫－452＝－916.……………12分 18．（本小题满分12分）已知定义在]2,6[ππ-∈x 上的函数f (x)sin(2x)=π-.（1）求)(x f 的最小正周期与单调递增区间；（2）若方程a x f =)(只有一解，求实数a 的取值范围．解：（1）化简得x x f 2sin )(= ……………1分 最小正周期为T =π……………3分 其递增区间满足ππππk x k 22222+≤≤+-，Z k ∈………①…………5分又定义域为ππππ≤≤-⇒-∈x x 23]2,6[…………② 由①②知递增区间应满足：46223ππππ≤≤-⇒≤≤-x x故所求递增区间为]4,6[ππ-…………6分（2）在同一坐标系中作出x X y 2sin sin ==与a y =的图象，方程只有一解⇔两函数图象只能有一个交点， 所以a 的取值范围是：}1{)0,23[ -∈a ………12分 19、（本小题满分13分）已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.（1）若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；（2）若AC →·BC →＝－1，求22sin 2sin cos 1tan ++αααα的值．解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC →2＝(cos a －3)2＋sin 2α＝10－6cos α，BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. …………4分 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴α＝5π4.…………6分 (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①…………8分又22sin 2sin cos 1tan ++αααα＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α. …………10分由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.…………12分∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.…………13分20．（本小题满分13分）某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24) (小时)的函数，记作y ＝f (t )，下表是某天各时的浪高数据：(1) (2)依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？ 解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下：依据散点图，可以选用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (米)与t 时间(小时)的函数关系．从表中数据和散点图可知，A ＝1.5－0.52＝12，T ＝12，所以2πω＝12，得ω＝π6.又h ＝1.5＋0.52＝1，于是y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋1.由图可知，点(0,1.5)是“五点法”中的第二点，即π6×0＋φ＝π2，得φ＝π2，从而y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π2＋1，即y ＝12cos π6t ＋1. ……………6分 (2)由题意可知，当y ≥1时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，所以12cos π6t ＋1≥1，……8分 即cos π6t ≥0，所以2k π－π2≤π6t ≤2k π＋π2(k ∈Z)，即12k －3≤t ≤12k ＋3(t ∈Z)．……10分 而0≤t ≤24，所以0≤t ≤3或9≤t ≤15或21≤t ≤24. ……………12分故一天内的上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即上午9时至下午15时．……………13分21．（本小题满分13分）如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点,B P在单位圆上，且()55-B ,∠=AOB α （1）求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值； （2）设2(),63∠=≤≤=+AOP OQ OA OP ππθθ，四边形OAQP 的面积为S，2()(1)1=⋅--f OA OQ θ，求()f θ的最值及此时θ的值．解：（1）依题tan 2==-α，…………2分 4cos 3sin 43tan 43(2)105cos 3sin 53tan 53(2)---⨯-∴===-+++⨯-αααααα …………6分（2）由已知点P 的坐标为(cos ,sin )P θθ，又,=+=OQ OA OP OA OP ，∴四边形OAQP 为菱形∴2sin ∆==OAP S S θ ∵，∴∴∴……………10分……………13分。
2015-2016学年湖南省株洲十八中高一(上)期末数学试卷(必修2)(解析版)
2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）期末数学试卷（必修2）一．选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）半径为3的球的表面积为（）A．3πB．9πC．12πD．36π2．（4分）如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．πD．3．（4分）直线4x﹣2y+5＝0的斜率是（）A．2B．﹣2C．5D．﹣54．（4分）已知直线l过点（0，7），且与直线y＝﹣4x+2平行，则直线l的方程为（）A．y＝﹣4x﹣7B．y＝4x﹣7C．y＝﹣4x+7D．y＝4x+75．（4分）下列命题中正确的是（）A．若一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直B．若一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行C．若一条直线垂直一个平面，则过这条直线的所有平面都与这个平面垂直D．若一条直线与两条直线都垂直，则这两条直线互相平行6．（4分）已知点A（1，1），B（3，3），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．y＝﹣x+4B．y＝x C．y＝x+4D．y＝﹣x7．（4分）圆心为（1，﹣2），半径为4的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣1）2+（y+2）2＝16C．（x+1）2+（y﹣2）2＝4D．（x﹣1）2+（y+2）2＝48．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角9．（4分）下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，正确的是（）A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β且α⊥β，则l∥αD．α∩β＝m且l∥m，则l∥α10．（4分）圆x2+y2﹣2x＝0的圆心到直线y＝x+1的距离是（）A．1B．2C．D．二．填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，﹣1），B（4，3，﹣1），则A、B两点之间的距离是．12．（4分）经过点A（0，3），且与直线y＝﹣x+2垂直的直线方程是．13．（4分）若直线x+y+m＝0与圆x2+y2＝m相切，则m为．14．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，△AB1D1面积为，三棱锥A﹣A1B1D1的体积为．15．（4分）已知直线l：x+ay﹣1＝0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝．三．解答题（共4小题，每小题10分，共40分）16．（10分）已知两直线l1：3x+y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0相交于一点P，（1）求交点P的坐标．（2）若直线l过点P且与直线l1垂直，求直线l的方程．17．（10分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC＝3，BD＝4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．18．（10分）已知点O（0，0），A（4，0），B（0，3）为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在的直线的方程．19．（10分）已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线L：x ﹣y+1＝0上，求圆C的标准方程．四、附加题（共50分）20．（12分）已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为，求圆C的方程．21．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；（2）写出函数f（x）的解析式和值域．22．（12分）计算下列各式的值：（1）（2）．23．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：P A⊥BD（Ⅱ）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）期末数学试卷（必修2）参考答案与试题解析一．选择题（每小题4分，共40分）1．【解答】解：∵球的半径r＝3，∴球的表面积S＝4π×32＝36π，故选：D．2．【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个圆柱，∵几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，∴圆柱的底面直径和母线长均为1，故圆柱的底面周长为：π，故圆柱的侧面面积为：π×1＝π，故选：C．3．【解答】解：直线4x﹣2y+5＝0的斜率是＝2，故选：A．4．【解答】解：设过P与直线l平行的直线方程是y＝﹣4x+m，把点P（0，7）代入可解得m＝7，故所求的直线方程是y＝﹣4x+7．故选：C．5．【解答】解：A．若一条直线垂直平面内的两条相交直线，才能得到这条直线和这个平面垂直，∴该选项错误；B．若平面外一条直线平行平面内的一条直线，才能得到这条直线和这个平面平行，∴该选项错误；C．根据面面垂直的判定定理知该命题正确，∴该选项正确；D．该命题需加上条件，“在同一平面内”，否则这两直线不一定平行，∴该命题错误．故选：C．6．【解答】解：∵点A（1，1），B（3，3），∴AB的中点C（2，2），k AB＝＝1，∴线段AB的垂直平分线的斜率k＝﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y﹣2＝﹣（x﹣2），整理，得：y＝﹣x+4．故选：A．7．【解答】解：圆心为（1，﹣2），半径为4的圆的方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝16，故选：B．8．【解答】解：由题意画出如下图形：A．因为AD∥A1D1，所以∠C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而∠C1A1D1＝45°，所以A错；B．因为D1C1∥CD，利平行公理4可以知道：AB∥CD∥C1D1，所以B错；C．因为DC∥AB．所以∠C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D．因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形△B1CA 中，∠B1CA＝60°，所以D正确．故选：D．9．【解答】解：对于A，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以A错；对于B，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；B正确对于C，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以C错对于D，若l∥m，且α∩β＝m，则l∥α或l⊂α，所以D错故选：B．10．【解答】解：先把圆的方程化为标准方程：（x﹣1）2+y2＝1，∴圆心坐标为（1，0），∴圆心到直线y＝x+1的距离，故选：D．二．填空题（每小题4分，共20分）11．【解答】解：∵点A（1，0，﹣1），B（4，3，﹣1），∴A、B两点之间的距离d＝＝3，故答案为：3．12．【解答】解：设与直线y＝﹣x+2垂直的直线方程为y＝x+m，把点A（0，3）代入可得：3＝0+m，解得m＝3．∴要求的直线方程为：y＝x+3．故答案为：y＝x+3．13．【解答】解：∵圆x2+y2＝m的圆心为原点，半径r＝∴若直线x+y+m＝0与圆x2+y2＝m相切，得圆心到直线的距离d＝＝解之得m＝2（舍去0）故答案为：214．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，∴△AB1D1是边长为＝2的等边三角形，∴△AB1D1面积S＝＝．＝＝＝．故答案为：，．15．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0得，（x﹣2）2+（y﹣1）2 ＝4，所以C（2，1）为圆心、半径为2，由题意可得，直线l：x+ay﹣1＝0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1＝0，得a＝﹣1，则点A（﹣4，﹣1），即|AC|＝＝，所以切线的长|AB|＝＝＝6，故答案为：6．三．解答题（共4小题，每小题10分，共40分）16．【解答】解：（1）联立，解得P（﹣1，2）．（2）∵直线l与直线l1垂直，∴可设直线l的方程为：x﹣3y+m＝0，把点P代入可得：﹣1﹣3×2+m＝0，解得m＝7．∴直线l的方程为：x﹣3y+7＝0．17．【解答】解：（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．（2）∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，∴∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝4，∵BC⊥BD，∴S△BCD＝＝6．∴三棱锥A﹣BCD的体积V＝＝8．18．【解答】解：对角线AB所在直线的方程为：+＝1，即3x+4y﹣12＝0．∵对角线AB的中点M（2，），∴另一条对角线所在的直线方程为y＝x，因此矩形的两条对角线所在直线的方程分别为：3x+4y﹣12＝0，y＝x．19．【解答】解：∵圆心在直线x﹣y+1＝0上，∴设圆心坐标为C（a，a+1），根据点A（1，1）和B（2，﹣2）在圆上，可得＝，解之得a＝﹣3∴圆心坐标为C（﹣3，﹣2），半径r＝5因此，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2＝25．四、附加题（共50分）20．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|，则圆心到直线y＝x的距离d＝＝|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2＝r2﹣d2，即9t2﹣2t2＝7，解得：t＝±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9或（x+3）2+（y+1）2＝9．21．【解答】解：（1）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如有图：所以f（x）的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．（2）设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝x2﹣2x，因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），所以x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，故f（x）的解析式为值域为{y|y≥﹣1}22．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+＝﹣1﹣+＝．（2）原式＝+lg（25×4）+2＝＝．23．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面P AD．故P A⊥BD．（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD＝1，则BD＝，PB＝2．根据DE•PB＝PD•BD，得DE＝，即棱锥D﹣PBC的高为．。
2015-2016年湖南省株洲十八中高一上学期期末数学试卷(理科)与答案Word版
2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）下列各角中，与50°终边相同的是（）A．﹣40°B．130°C．230° D．410°2．（5.00分）同时投掷两枚币一次，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上”B．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”C．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”D．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”3．（5.00分）若点P（x，y）是120°角终边上异于原点的一点，则的值为（）A．B．C．D．4．（5.00分）某单位老、中、青人数之比依次为2：3：5．现采用分层抽样方法从中抽出一个容量为n的样本，若样本中中年人人数为12，则此样本的容量n 为（）A．20 B．30 C．40 D．805．（5.00分）已知，，且∥，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣126．（5.00分）化简得（）A．B．C．D．7．（5.00分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．cos215°﹣sin215°C．2sin215°﹣1 D．sin215°+cos215°8．（5.00分）在△ABC中，已知c2=a2+b2﹣ab，则角C为（）A．B．C． D．或9．（5.00分）A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B 两点得弦AB，则弦AB的长度大于半径长度的概率为（）A．B．C．D．10．（5.00分）若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°11．（5.00分）执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为（）A．﹣2 B．16 C．﹣2或8 D．﹣2或1612．（5.00分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）是定义域为R的奇函数，且当x=2时，f（x）取得最大值2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （100）=（）A．2+2B．2﹣2C．2±2D．0二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5.00分）已知cosα=，则cos2α=．14．（5.00分）把“二进制”数1011001化为“十进制”数是．15．（5.00分）函数与函数y=2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是．16．（5.00分）在△ABC中，边a，b的长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，C=120°，则边c=．三、计算题：（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数，x∈R．（1）写出函数f（x）的周期；（2）将函数f（x）图象上的所有的点向左平行移动个单位，得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式，并判断函数g（x）的奇偶性．18．（12.00分）已知cos（α+）=﹣，α∈（0，），（1）求cosα的值；（2）求的值．19．（12.00分）已知向量，，cos2x），函数．（1）若f（x）=0，求锐角x的值；（2）当函数f（x）取得最大值时，求向量与的夹角θ．20．（12.00分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求n的值；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．21．（12.00分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．22．（12.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan （+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）下列各角中，与50°终边相同的是（）A．﹣40°B．130°C．230° D．410°【解答】解：50°的终边是以x非负半轴为起点，逆时针旋转50°，落在第一象限．对于A：﹣40°以x非负半轴为起点，顺时针旋转40°，落在第四象限．∴A不对．对于B：130°以x非负半轴为起点，逆时针旋转130°，落在第二象限．∴B不对．对于C：230°以x非负半轴为起点，逆时针旋转230°，落在第三象限．∴C不对．对于D：410°的终边是以x非负半轴为起点，逆时针旋转410°，落在第一象限．终边与50°相同，故选：D．2．（5.00分）同时投掷两枚币一次，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上”B．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”C．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”D．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”【解答】解：同时投掷两枚币一次，在A中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好一枚正面向上，一枚反面向上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B不是互斥事件；在C中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D中，当两枚硬碰硬币同时反面向上时，“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，故D不是互斥事件．故选：C．3．（5.00分）若点P（x，y）是120°角终边上异于原点的一点，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：角α的终边为点P（x，y），α=120°，在第二象限，∴∵tan120°=．则故选：B．4．（5.00分）某单位老、中、青人数之比依次为2：3：5．现采用分层抽样方法从中抽出一个容量为n的样本，若样本中中年人人数为12，则此样本的容量n 为（）A．20 B．30 C．40 D．80【解答】解：∵某单位老、中、青人数之比依次为2：3：5．若样本中中年人人数为12，∴样本容量是×12=40故选：C．5．（5.00分）已知，，且∥，则x的值为（）A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12【解答】解：∵∥，4x﹣（﹣2）×6=0，解得x=﹣3．故选：B．6．（5.00分）化简得（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣（+）=﹣=，故选：D．7．（5.00分）下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15°B．cos215°﹣sin215°C．2sin215°﹣1 D．sin215°+cos215°【解答】解：∵．故选：B．8．（5.00分）在△ABC中，已知c2=a2+b2﹣ab，则角C为（）A．B．C． D．或【解答】解：由c2=a2+b2﹣ab，根据余弦定理得cosC==，又C∈（0，180°），∴∠C=．故选：B．9．（5.00分）A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B 两点得弦AB，则弦AB的长度大于半径长度的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示的圆O中，点B位于优弧上时满足题意，结合几何概型计算公式可得，满足题意的概率值为：．故选：B．10．（5.00分）若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设与的夹角为θ，则0≤θ≤π，∵，∴=0．再由=（）•=+=1+1×2×cosθ=0，可得cosθ=﹣，∴θ=，即θ=120°，故选：C．11．（5.00分）执行如图所示的程序框图，若输出的S为4，则输入的x应为（）A．﹣2 B．16 C．﹣2或8 D．﹣2或16【解答】解；由程序框图知：算法的功能是求S=的值，当x≤1时，输出的S=4⇒2﹣x=4⇒x=﹣2；当x＞1时，输出的S=4⇒log2x=4⇒x=16．故选：D．12．（5.00分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）是定义域为R的奇函数，且当x=2时，f（x）取得最大值2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （100）=（）A．2+2B．2﹣2C．2±2D．0【解答】解：由于f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）是定义域为R的奇函数，∴φ=0，f（x）=Asinωx．由于当x=2时，f（x）取得最大值2，故A=2，sin2ω=1，∴2ω=2kπ+，k∈Z，即ω=kπ+，k∈Z．故可取ω=，此时，f（x）=sin x，故函数f（x）的周期为=8．求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=+2++0﹣﹣2﹣+0=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=12×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+2．故选：A．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5.00分）已知cosα=，则cos2α=．【解答】解：∵cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=．故答案为：14．（5.00分）把“二进制”数1011001化为“十进制”数是87．=1+1×23+1×24+1×26=87．【解答】解：1011001（2）故答案为：87．15．（5.00分）函数与函数y=2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是．【解答】解：根据正弦函数的对称性可得，曲线从到x=与x轴围成的面积与从到x=与x轴围成的面积相等，把x轴下方的阴影部分补到x轴上方∴函数y=2sin3x的图象与函数y=2的图象围成一个封闭图形可转化为以2及为边长的矩形所求的面积S=故答案为：16．（5.00分）在△ABC中，边a，b的长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，C=120°，则边c=．【解答】解：∵由题意，a，b的长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴a+b=5，ab=6．∴由余弦定理得：cosC====﹣，∴c=．故答案为：．三、计算题：（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数，x∈R．（1）写出函数f（x）的周期；（2）将函数f（x）图象上的所有的点向左平行移动个单位，得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式，并判断函数g（x）的奇偶性．【解答】解：（1）周期为2π；（3分）（2）根据平移规律得：g（x）=2sinx，（5分）∵g（﹣x）=2sin（﹣x）=﹣2sinx，∴g（﹣x）=﹣g（x），所以g（x）为奇函数．（6分）18．（12.00分）已知cos（α+）=﹣，α∈（0，），（1）求cosα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）cosα=cos（α+）=cos（α+）+sin（α+）=+=．（2）=sin2α﹣sinαcosα+cos2α=1﹣sinαcosα=1﹣=1﹣．19．（12.00分）已知向量，，cos2x），函数．（1）若f（x）=0，求锐角x的值；（2）当函数f（x）取得最大值时，求向量与的夹角θ．【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），令f（x）=0可得2x﹣=kπ，∴x=+，k∈Z．∵x是锐角，∴x=．（2）由（1）可知f（x）的最大值为2，即=2，又||=2，||=1，∴cosθ==1．∴θ=0．20．（12.00分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求n的值；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得：（0.012+0.018+x+0.024+0.016）×10=1，解得x=0.03．（Ⅱ）∵成绩在[50，60）的学生人数为6，由频率分布直方图得成绩在[50，60）的学生所占频率为：0.012×10=0.12，∴n==50．（Ⅲ）根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率：p=1﹣（0.012+0.018）×10=0.7．21．（12.00分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x +≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1．…（13分）22．（12.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan （+A）=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由tan （+A）=2．可得tanA=，所以==．（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，由sinC=sin（A+B）=sin（A +），可得sinC=．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．设△ABC 的面积为S ，则S=absinC=9．。
湖南省株洲市茶陵二中2015-2016学年高一上学期期末数学试卷 含解析
2015-2016学年湖南省株洲市茶陵二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知集合U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1,2｝，则∁U A=（）A．{0}B．{1}C．{0，1｝D．{﹣1,0,1}2．点(2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是(）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=x2﹣1 B．y=x3C．y=log2x D．y=﹣3x+24．圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心坐标是（）A．（﹣2，4）B．（2,﹣4）C．(﹣1,2）D．（1，﹣2）5．幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（)A．B．64 C． D．6．过点M（﹣2,m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（)A．1 B．4 C．1或3 D．1或47．设f（x）=3x+3x﹣8,用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2)内近似解的过程中得f（1)＜0，f(1。
5）＞0，f（1.25)＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1。
25) B．(1。
25，1。
5）C．（1。
5，2）D．不能确定8．三个数a=3，b=(）3,c=log3的大小顺序为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．函数f（x）=ln（x2+1)的图象大致是()A． B．C．D．10．已知f（x）=，则等于（）A．﹣2 B．4 C．2 D．﹣4二、填空题（每小题4分，共20分）11．函数y=的定义域是______．12．直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为______．13．使不等式23x﹣1﹣2＞0成立的x的取值范围______（用集合表示）14．函数y=2｜x｜﹣x﹣2的零点个数为______．15．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为______．三、解答题（每小题8分，共40分)16．已知集合A={x|﹣2≤x≤5｝，B=｛x｜m+1≤x≤2m﹣1｝．（1）当m=3时，求集合A∩B；（2)若B⊆A,求实数m的取值范围．17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．（1）求AB边所在的直线方程；（2）求AB边的高所在直线方程．18．计算：（1）4x（﹣3x y)÷(6x y）；(2）log312﹣log32．19．已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M(1，）．(1）求圆C的方程；（2）若直线l经过点M（1，)且与圆C相切,求直线l 的方程．（3）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y﹣4=0的距离的最大值．20．已知函数f(x)=是奇函数．（1)求实数a的值；（2）证明y=f（x）在区间（1，+∞)上单调递减；（3）解不等式f（x2﹣x+2）＜f（4）．2015-2016学年湖南省株洲市茶陵二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题4分，共40分）1．已知集合U={﹣1，0，1，2},A={﹣1，2},则∁U A=()A．{0｝ B．{1}C．{0,1}D．｛﹣1，0，1｝【考点】补集及其运算．【分析】直接利用补集的概念进行运算．【解答】解:集合U=｛﹣1,0，1，2},A={﹣1，2}，则∁U A=｛0，1}，故选:C．2．点（2,1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（）A．B．C．D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离d==．故选A．3．下列函数中,在区间（0，+∞）上是减函数的是()A．y=x2﹣1 B．y=x3C．y=log2x D．y=﹣3x+2【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】在解答时,可以结合选项逐一进行排查，排查时充分考虑所给函数的特性：对数函数、一次函数、幂函数函数、还有二次函数，问题即可获得解答．【解答】解：对于选项A，是开口向上的二次函数，对称轴为y轴，在区间（0，+∞）上为增函数，故不正确；对于选项B，幂函数y=x3在区间（﹣∞，+∞）上为增函数,则y=x3在区间（0，+∞）上为增函数，故不正确；对于选项C，对数函数y=log2x的底数大于1，则函数在区间(0，+∞）上为增函数,故不正确；对于选项D，一次函数y=﹣3x+2的一次项系数小于0，则函数y=﹣3x+2在区间（0,+∞）上为减函数，故正确；故选D．4．圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心坐标是（）A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（﹣1,2）D．（1,﹣2）【考点】圆的标准方程．【分析】利用配方法把圆的方程变为圆的标准式方程，直接得到圆心坐标．【解答】解：把圆的方程化为标准式得:(x﹣1）2+（y+2）2=9，可得圆心坐标为（1，﹣2）故选D5．幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（）A．B．64 C． D．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】先设出幂函数解析式，再通过经过点（4，），解得参数a的值，从而求得其解析式,再代入8求值．【解答】解：设幂函数为：y=xα∵幂函数的图象经过点（4,），∴=4α∴α=﹣∴∴f（8)==故选A．6．过点M（﹣2,m)、N（m，4）的直线的斜率等于1,则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【考点】直线的斜率．【分析】根据斜率k=，直接求出m 的值．【解答】解:过点M（﹣2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于1，所以k===1解得m=1故选A7．设f（x)=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f(1）＜0,f（1。
湖南省株洲二中2015-2016学年高一上学期12月月考数学试卷 含解析
2015—2016学年湖南省株洲二中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=｛1，2，3，4，5,6｝，A=｛1,2，5｝,B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{2，6} B．{1,5｝C．｛1,6} D．｛5,6}2．=（）A．9 B．10 C．11 D．123．l1，l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2,l3共点⇒l1，l2，l3共面4．设则a,b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1直线AD1与平面A1C1的夹角为（）A．30°B．45°C．90°D．60°6．设f(x）=，x∈R，那么f（x）是(）A．奇函数且在（0,+∞)上是增函数B．偶函数且在（0，+∞)上是增函数C．奇函数且在（0,+∞)上是减函数D．偶函数且在（0，+∞）上是减函数7．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A．πB．2πC．4πD．8π8．函数在区间上有零点,则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣3 B．C．D．9．函数y=的单调递增区间是（）A．B．C．D．10．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，+∞)上是增函数，若实数a满足f（log2a）+f(log0.5a）≤2f（1）,则a的最小值是（）A．B．1 C．D．211．设函数表示不超过x的最大整数，则函数y=［f（x）］的值域是（）A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{﹣1，1｝D．{1，1}12．内恒成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分。
2015-2016学年高一第一学期期末考试数学试题 Word版含答案
2015-2016学年高一第一学期期末考试数学试题 Word版含答案2014-2015学年度高一第一学期期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分）1.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩(N-B)=（）A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}2.在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+AC，则实数m的值为()A.1/3B.1/2C.2/3D.3/23.已知f(x)=log2x,x>1x+1,x≤1若f(x)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（）A.[0,2]B.[1,2]C.[-1,0]D.[-1,2]4.已知函数y=sin(ωx+φ)，ω>0,φ<π/2的部分图象如图所示，则（）图略A.ω=1，φ=π/6B.ω=2，φ=-π/6C.ω=1，φ=-π/6D.ω=2，φ=π/65.如果函数f(x)上存在两个不同点A、B关于原点对称，则称A、B两点为一对友好点，记作A,B。
规定A,B和B,A是同一对，已知f(x)=cosx,x≥0lgx,x<0则函数f(x)上共存在友好点（）A.1对B.3对C.5对D.7对6.已知方程sin2x+cosx+k=0有解，则实数k的取值范围为（）A.-1≤k≤5/4B.-5/4≤k≤1C.-1≤k≤1D.-5/4≤k≤-1二、填空题11.已知O为坐标原点，点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)，且π/2<α<π。
若|OA+OC|=7，则OB与OC的夹角为______。
12.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在第三象限,与圆心在原点的单位圆交于点P(cosα,-sinα)，则tanα=________。
13.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间(0,a/2)上恒有f(x)>1，则实数a的取值范围是________。
【英语】湖南省株洲市第二中学2015-2016学年高一上学期期末考试
株洲市二中2015年下学期高一年级期末考试试卷英语试题第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题l分，满分5分）请听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What do we know about the woma n’s sister?A. She’s pretty.B. She’s tall.C. She has black hair.2. How many times has the woman been to Asia?A. Twice.B. Three times.C. Four times.3. When does the woman usually get up on weekends?A. At 6:00 am.B. At 6:30 am.C. At 7:00 am.4. What sports does the man play?A. Football.B. Basketball.C. Tennis.5. Where is the bus stop?A. Across from the drugstore.B. Beside the hotel.C. Behind the drugstore.第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）请听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. Which city is the man’s birth place?A. Boston.B. New York.C. Los Angeles.7. What is the man now?A. A student.B. An actor.C. A lawyer.请听第7段材料，回答第8、9题。
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株洲市二中2015年下学期高一年级期末考试试卷数学试卷一. 选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，那么)(B C A U ⋂等于（）A ．{}2B ．{}5 C ．{}34，D ．{}2345，，， 2. 下列命题：①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行； ③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行； ⑤垂直于同一直线的两直线相互平行. 其中正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 3. 计算662log 3log 4+的结果是（）A ．log 62B ．2C ．log 63D ．3 4. 直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝05. 如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( )A ．－3B ．－6C ．32D ．236. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H，，，分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF与GH 所成的角大小等于（ ） A ．45B ．60C ．90D ．1207.函数f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A ．f （﹣2）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣2）＞f （﹣1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣2） D ．f （1）＞f （﹣2）＞f （0）8. 函数()ln x f x x e =+的零点所在的区间是（）A ．（）B ．（） C ．（1，e ）D ．（e ，∞）9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A F DGE 1BH1C1D 1AA ．1B ．C ．D ．10. 若动点(, )P x y 在曲线221y x =+上移动，则P 与点(0,-1 )Q 连线中点的轨迹方程为（ ） A ．22y x = B ．24 y x = C ．26y x = D ． 28y x =11. 某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）A ．108元 B. 105元 C. 106元 D. 118元 12. 若函数()11x mf x e =+-是奇函数,则实数m 的值是（）A ．0B ．21C ．1D ．2二．填空题（每小题4分，共16 分） 13．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为____________ .（按从小到大的顺序填写） 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -两顶点的坐标为)1,2,1(--B ，)3,2,3(1-D ，则此正方体的外接球的的表面积等于 ． 15. 已知，B ={x |log 2x ＞0} A ∪B =16. 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于三．解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分， 共48分）17. 已知⊿ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0，求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.18．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a 、b 为常数，a >0，a ≠1)的图象过点，A (1，16)，B (3，124)．(1) 求f (x )(2) 若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈[1，＋∞)时恒成立，求m 的取值范围．19. 已知函数()()()log 1log 3a a f x x x =-++，其中01a <<.（1）求函数f (x )的定义域：（2）若函数f (x )的最小值为-4，求a 的值。
20. 如图,P A ⊥平面ABC , , AB =1, , AC =2.（1）求证: BC ⊥平面P AB ; （2）求二面角B-P A-C 的大小.21. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，.（1）证明：P A ∥平面BDE ； （2）证明：AC ⊥平面PBD ；（3）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.22. 已知圆22:(2)()3C x y b ++-=(0)b >过点(2-+, 直线():l y x m m R =+∈．（1）求b 的值；（2）若直线l 与圆C 相切，求m 的值； （3）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥（O 为原点），求实数m 的值．高一期末考试数学试卷答案一．选择题：1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 二．13.60.70.7log 60.76<< 14.48π15.（﹣1，+∞） 16.k ＝－33. 三17.(1)111,2,12AC BH AC BHk k k k ∙=-∴=-=-=-∴直线AC 的方程为()125,y x -=--整理得2110x y +-=，由2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩得43x y =⎧⎨=⎩∴顶点C 的坐标为（4,3）（2）设顶点B 的坐标为(),a b ，点B 在中线CM 上，250a b ∴--= （1）线段AB 的中点M 坐标为51,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，点M 在中线CM 上 5125022a b ++∴--=，即210a b --= （2）由（1）（2）得1,3ab =-=-即B 点的坐标为()1,3--直线BC 为343314y x --=----，即为6590x y --= 其它求法也可18.(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝16b ·a 3＝124，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝13，∴f (x )＝13×(12)x.(2)(1a )x ＋(1b )x －m ＝2x ＋3x －m ，∴m ≤2x ＋3x ，∵y ＝2x ＋3x 在[1，＋∞)上为增函数，∴最小值为5，∴m ≤5.19.（1）定义域为()3,1-（2）由已知得()()()log 13a f x x x =-+即()()2log 14a f x x ⎡⎤=-++⎣⎦()3,1x∈-且01a<<，1x∴=-时，有log44a=-1256a=20.(1)证明:∵P A⊥平面ABC,BC平面ABC,∴P A⊥BC.在△ABC中,AB=1,BC=3,AC=2,∴AB2+BC2=AC2.∴AB⊥BC.又P A∩AB=A,∴BC⊥平面P AB.(2)解:∵P A⊥平面ABC,∴P A⊥AB,P A⊥AC.∴∠BAC为二面角B P AC的平面角.∵,∴∠BAC=60°,即二面角B P AC的大小为60°.21.1）证明：连接AC，设AC∩BD＝H，连接EH，在△ADC中，∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，∴H为AC的中点．又E为PC的中点，∴EH∥P A，又HE平面BDE ，，∴P A∥平面BDE.（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC，由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD．（3）解：由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，∴∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD＝CD＝1，，可知DH＝CH ＝，.在Rt△BHC 中，.即直线BC与平面PBD 所成的角的正切值为.22.（1）由题知：22(22)(0)3b-+++-=(0)b>，解得：1b=（2）方法一：因为直线l与圆C相切，所以圆心C （-2,1）到直线l 的距离等于圆C解得：3m =±方法二：由224220x y x y y x m⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得：()22221220x m x m m +++-+= 因为直线l与圆C 相切，所以()()22418220m m m ∆=+--+=解得：3m=±（3）设()11,M x y ，()22,N x y ，由圆的方程知120,0x x ≠≠由224220x y x y y x m⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得： ()22221220x m x m m +++-+=()()()22122124182201222m m m x x m m m x x ⎧⎪∆=+--+>⎪⎪+=-+⎨⎪-+⎪=⎪⎩ ……………………………9分 OM ON ⊥∴ 11111OM ON y yk k x x ==-， 即12120x x y y +=∴()()()21212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=∴ ()22222102m m m m m -+-++= 2320m m -+=解得： 1m =，或2m =检验可知：它们满足0∆>，故所求m 的值为1m =，或2m =。