湖南省株洲市二中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

株洲市二中2015年下学期高一年级期末考试试卷
数学试卷
一. 选择题（每小题3分，共36分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，那么)(B C A U ⋂等于（
）
A ．
{}2
B ．
{}5 C ．{}34，
D ．
{}2345，
，， 2. 下列命题：
①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行； ③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行； ⑤垂直于同一直线的两直线相互平行. 其中正确的有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个 3. 计算66
2log 3log 4+的结果是（
）
A ．log 62
B ．2
C ．log 63
D ．3 4. 直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x －y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
5. 如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－6
C ．32
D ．2
3
6. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H
，，，
分别为
1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF
与GH 所成的角大小等于（ ） A ．45
B ．60
C ．90
D ．120
7.函数f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞
）上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A ．f （﹣2）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣2）＞f （﹣1）＞f （0） C ．f （
1）＞f （0）＞f （﹣2） D ．f （1）＞f （﹣2）＞f （0）
8. 函数
()ln x f x x e =+的零点所在的区间是（
）
A ．（）
B ．（
） C ．（1，e ）
D ．（e ，∞）
9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A F D
G
E 1B
H
1C
1D 1A
A ．1
B ．
C ．
D ．
10. 若动点(, )P x y 在曲线
221y x =+上移动，
则P 与点(0,-1 )Q 连线中点的轨迹方程为（ ） A ．
22y x = B ．24 y x = C ．26y x = D ． 28y x =
11. 某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具
的进货价是（ ）
A ．108元 B. 105元 C. 106元 D. 118元 12. 若函数
()11x m
f x e =+
-是奇函数,则实数m 的值是（
）
A ．0
B ．2
1
C ．1
D ．2
二．填空题（每小题4分，共16 分） 13．三个数6
0.70.70.7
6log 6，，的大小关系为____________ .
（按从小到大的顺序填写） 14. 已知正方体1111ABCD A B C D -
两顶点的坐标为)1,2,1(--B ，)3,2,3(1-D ，则此正方体
的外接球的的表面积等于 ． 15. 已知
，B ={x |log 2x ＞0} A ∪B =
16. 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB
的面积取最大值时，直线l 的斜率等于
三．解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分， 共48分）
17. 已知⊿ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为2x -y -5=0,
AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0，求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.
18．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a 、b 为常数，a >0，a ≠1)的图象过点，A (1，16)，B (3，124)．
(1) 求f (x )
(2) 若不等式(1a )x ＋(1
b )x －m ≥0在x ∈[1，＋∞)时恒成立，求m 的取值范围．
19. 已知函数
()()()log 1log 3a a f x x x =-++，其中01a <<.
（1）求函数f (x )的定义域：
（2）若函数f (x )的最小值为-4，求a 的值。

20. 如图,P A ⊥平面ABC , , AB =1, , AC =2.
（1）求证: BC ⊥平面P AB ; （2）求二面角B-P A-C 的大小.
21. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，且DB 平分∠ADC ，
E 为PC 的中点，AD ＝CD ＝1，.
（1）证明：P A ∥平面BDE ； （2）证明：AC ⊥平面PBD ；
（3）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值.
22. 已知圆2
2:(2)()3C x y b ++-=(0)b >过点(2-+, 直线():l y x m m R =+∈．
（1）求b 的值；
（2）若直线l 与圆C 相切，求m 的值； （3）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥（O 为原点）
，求实数m 的值．
高一期末考试数学试卷答案
一．选择题：1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 二．13.60.70.7
log 60.76<< 14.48π
15.（﹣1，+∞） 16.k ＝－33
. 三17.(1)
11
1,2,12AC BH AC BH
k k k k ∙=-∴=-
=-
=-
∴直线AC 的方程为()125,y x -=--
整理得2110x y +-=，由2110250x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4
3x y =⎧⎨=⎩
∴顶点C 的坐标为（4,3）
（2）设顶点B 的坐标为
(),a b ，点B 在中线CM 上，250a b ∴--= （1）
线段AB 的中点M 坐标为
51,22a b ++⎛⎫
⎪⎝⎭，点M 在中线CM 上 51
2
5022a b ++∴--=，即210a b --= （2）
由（1）（2）得1,3a
b =-=-即B 点的坐标为()1,3--
直线BC 为34
33
14y x --=
----，即为6590x y --= 其它求法也可
18.
(1)由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
ab ＝16
b ·a 3＝124
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1
2b ＝13
，∴f (x )＝13×(12
)x
.
(2)(1a )x ＋(1
b )x －m ＝2x ＋3x －m ，∴m ≤2x ＋3x ，∵y ＝2x ＋3x 在[1，＋∞)上为增函数，∴最小值为5，∴m ≤5.
19.（1）定义域为
()3,1-
（2）由已知得
()()()
log 13a f x x x =-+
即()()2
log 14a f x x ⎡⎤
=-++⎣⎦
()
3,1
x∈-
且01
a
<<，
1
x
∴=-时，有log44
a
=-
1
256
a=
20.(1)证明:∵P A⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴P A⊥BC.
在△ABC中,AB=1,BC=3,AC=2,∴AB2+BC2=AC2.∴AB⊥BC.又P A∩AB=A,
∴BC⊥平面P AB.
(2)解:∵P A⊥平面ABC,∴P A⊥AB,P A⊥AC.∴∠BAC为二面角B P AC的平面角.
∵,∴∠BAC=60°,即二面角B P AC的大小为60°.
21.1）证明：连接AC，设AC∩BD＝H，连接EH，
在△ADC中，∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，
∴H为AC的中点．
又E为PC的中点，∴EH∥P A，又HE平面BDE ，，
∴P A∥平面BDE.
（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC，由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD．
（3）解：由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，∴∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD＝CD＝1，，
可知DH＝CH ＝，.
在Rt△BHC 中，.即直线BC与平面PBD 所成的角的正切值为.
22.（1）由题知
：22
(22)(0)3
b
-+++-=(0)
b>，解得：1
b=
（2）方法一：因为直线l与圆C相切，
所以圆心C （-2,1）到直线l 的距离等于圆C
解得：3m =±
方法二：由224220
x y x y y x m
⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得：
()22221220x m x m m +++-+= 因为
直线
l
与圆C 相切，所以
()()2
2418220m m m ∆=+--+=
解得：3m
=±
（3）设()11,M x y ，()22,N x y ，由圆的方程知120,0x x ≠≠
由224220x y x y y x m
⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得： ()22221220x m x m m +++-+=
()()()2
2122
124182201222m m m x x m m m x x ⎧⎪∆=+--+>⎪⎪
+=-+⎨⎪-+⎪=⎪⎩ ……………………………9分 OM ON ⊥
∴ 1111
1OM ON y y
k k x x ==-， 即12120x x y y +=
∴
()()()21212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=
∴ ()2222
2
102m m m m m -+-++= 2
320m m -+=
解得： 1m =，或2m =
检验可知：它们满足0∆>，故所求m 的值为1m =，或2m =。