数列极限的概念

其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注
①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个 动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,

就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
lim
n
xn
a

0,
NN,
当nN时,
有|xna|
|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。
若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N
放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限
例 2 证明
lim n2 a2 1 n n
证明 | xn 1 |
n2 a2 1 n
1

2
n

1
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
❖数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近
于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收
敛a,
记为
lim
n
xn
a
.
例如 nlnlimimnnnn1111,,
3n 2
lim
3
n n 2 4
适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取 N 时要保证n＞n。
. 例4.证明 lim 1 0 （K为正实数）
n n k
证：由于 1 0 1
nk
nk
所以对任意ε＞0，取N=
便有 1 0
nk

1

ห้องสมุดไป่ตู้

1 k

,

当 n＞N时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 .
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
A3表示圆内接正24边形面积,
,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
第二章 数列极限
§2.1 数列极限的概念 §2.2 收敛数列的性质 §2.3 数列极限存在的条件
§2.1 数列极限的概念
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法
一、概念的引入
引 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 例 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通
过ε的相对固定性来实现）。
③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。 重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的， 且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须 注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。 用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，
1
lim 0
n n
k
例5
设xn

C(C为常数),
证明 lim n
xn

C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn

C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
lim
3
n n 2 4
分析，要使 3n2 3 12 12 （为简化，限定 n 3
n2 4
n2 4 n
只要 n 12

证.
0, 取
N

max12
,
3
当
n
>N
时有
3n 2 n2 4
3

12 n2 4

12 n

由定义
lim
n
xn

a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近; 2.N与任意给定的正数有关.


N定义 :
lim
n
xn

a

0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
.
例例11. 证明 lim n(1)n1 1 .
证证证证明明明明
n
因因因为为为 000,,,
n NNN
[[[111]]]NNN,,,
当当当 nnnNNN时时时,,,
有有有
|xn1| |
n(1)n1 n
1|
1 n

际背景.我们的祖 先很早就对数列
进行了研究，早在战国时期就有了
极限的概念
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
（c11(k)） 其长度组成的数列为

1; 2
第二天截下的杖长总和为 X 2

1 2

1 22
;

第n天截下的杖长总和为 X n

1 2
1 22


1 2n ;
Xn

1
1 2n
1
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 , , xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
{n (1)n1 } n
3, 3 3, , 3 3 3 ,
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
三、数列的极限
数列极限来自实践，它有丰富的实
•极限定义的简记形式
lim
n
xn
a

0,
NN,
当nN时,
有|xna|
.
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn, 不等式 xn a 都成立,那末就称常数a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn收敛于a ,记为
当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小.
当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意
小的正数.
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先
给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常
数a.
下页
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
2
a
a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定
的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
xn
A
A
A
● ●●
目的：
lim
n
列的项, xn称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8, ,2n , ; {2n }
1 , 1 , 1 , 248
1 , 2n
,
;
{
1 2n
}
1,1,1, ,(1)n1 , ;
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
{(1)n1}
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
例7
设xn

0,且 lim n
xn

a

0,
求证 lim n
xn
a.
证
任给 0,

lim
n
xn

a,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
故 lim n
n(
a2 n2 a2 n)
1 a2 nn
故 0
(若 n a2 则 a2 1) n
N

max1
,[a
2
]
则当n ＞N时，有
n2 a2 1 1 a2
n
nn
1
n
lim n2 a2 1 n n
例3. 证明
3n 2
xn

A
0, 要找到一个
自然数N使得n N时，有
A xn A
●
●
● ●
● ●
n>N
n
xn
越来越小，N越来越大！
A
A
A
n
N
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn 1

n (1)n1 1 n
都成立，
而对 | x1 a | | xN a |
则不要求它们一定成立
数列极限的几何意义
0,N , 使得 N 项以后的所有项
xN 1, xN 2 , xN 3 ,
都落在a点的ε邻域 (a ,a )内
因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
xn
a.
xn a xn a
xn a a
1 a

由上面数列极限的证明可总结出数列
极限证明的步骤：
1 化简 an a
2 适当放大 的形式
an a ，通常放大成
an a
定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给
ε＞0标志着“要多小”的要求，用n ＞N表示n充分 大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数 N，30，不等式|xn－a|＜ε（n ＞N）
②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是 ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意
求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。
在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε
n ＞N
④定义中的不等式|xn－a|＜ ε（n ＞N）是指下面
一串不等式
| xN 1 a | | xN 2 a | | xN 3 a |
,
所以 lim n(1)n1 1 .
分 析 n:
n
|xn1|
|
n

(1)n1 n
1|
1 n
.
对对于于>>00,,要要使使|x|xnn11||,,
只只要要11 ,,
nn
即即nn11.. 下页
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式
数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xna |<
总成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收
敛于a, 记为
lim
n
xn
a
或
xna
(n).
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
或说数列{xn}是发散的,
习惯上也说
lim
n
xn
不存在.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.

xn
1

(1)n1
1 n

1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn

1

1 100
,
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1

1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
例6 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
nnlliimm2211nn 00, , nlimnlimnn(n(1n)1n)n11 1.1.
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn

1
(1)n1 n
无限接近于1.