最小二乘法与曲线拟合演示文稿
曲线拟合的最小二乘法实验
Lab04．曲线拟合的最小二乘法实验【实验目的和要求】1．让学生体验曲线拟合的最小二乘法，加深对曲线拟合的最小二乘法的理解；2．掌握函数ployfit和函数lsqcurvefit功能和使用方法，分别用这两个函数进行多项式拟合和非多项式拟合。
【实验内容】1．在Matlab命令窗口，用help命令查询函数polyfit和函数lsqcurvefit 功能和使用方法。
2．用多项式y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0，1)均匀分布随机数，或用randn产生N(0，1)均匀分布随机数)，然后对xi和添加了随机干扰的yi用Matlab提供的函数ployfit用3次多项式拟合，将结果与原系数比较。
再作2或4次多项式拟合，分析所得结果。
3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。
对于下面的一组t，v数据，用Matlab提供的函数lsqcurvefit确定V0和τ。
t(秒) 0.5 1 2 3 4 5 7 9v(伏) 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 【实验仪器与软件】1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年月日问题及算法分析：1、利用help命令，在MATLAB中查找polyfit和lsqcurvefit函数的用法。
2、在一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)上，对yi上添加随机干扰，运用多项式拟合函数，对数据进行拟合（分别用2次，3次，4次拟合），分析拟合的效果。
3、根据t和V的关系画散点图，再根据给定的函数运用最小二乘拟合函数，确定其相应参数。
第一题：（1）>> help polyfitPOLYFIT Fit polynomial to data.P = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) ofdegree N that fits the data Y best in a least-squares sense. P is arow vector of length N+1 containing the polynomial coefficients indescending powers, P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).[P,S] = POLYFIT(X,Y,N) returns the polynomial coefficients P and astructure S for use with POLYVAL to obtain error estimates forpredictions. S contains fields for the triangular factor (R) from a QRdecomposition of the Vandermonde matrix of X, the degrees of freedom(df), and the norm of the residuals (normr). If the data Y are random,an estimate of the covariance matrix of P is(Rinv*Rinv')*normr^2/df,where Rinv is the inverse of R.[P,S,MU] = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial inXHAT = (X-MU(1))/MU(2) where MU(1) = MEAN(X) and MU(2) = STD(X). Thiscentering and scaling transformation improves the numerical propertiesof both the polynomial and the fitting algorithm.Warning messages result if N is >= length(X), if X has repeated, ornearly repeated, points, or if X might need centering and scaling.Class support for inputs X,Y:float: double, singleSee also poly, polyval, roots.Reference page in Help browserdoc polyfit>>（2）>> help lsqcurvefitLSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.LSQCURVEFIT attempts to solve problems of the form:min sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2} where X, XDATA, YDATA and the valuesX returned by FUN can be vectors ormatrices.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA) starts at X0 and finds coefficients Xto best fit the nonlinear functions in FUN to the data YDATA (in theleast-squares sense). FUN accepts inputs X and XDATA and returns avector (or matrix) of function values F, where F is the same size asYDATA, evaluated at X and XDATA. NOTE: FUN should returnFUN(X,XDATA)and not the sum-of-squares sum((FUN(X,XDATA)-YDATA).^2).((FUN(X,XDATA)-YDATA) is squared and summed implicitly in thealgorithm.)X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB) defines a set of lower andupper bounds on the design variables, X, so that the solution is in therange LB <= X <= UB. Use empty matrices for LB and UB if no boundsexist. Set LB(i) = -Inf if X(i) is unbounded below; set UB(i) = Inf ifX(i) is unbounded above.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS) minimizes with thedefault parameters replaced by values in the structure OPTIONS, anargument created with the OPTIMSET function. See OPTIMSET for details.Used options are Display, TolX, TolFun, DerivativeCheck, Diagnostics,FunValCheck, Jacobian, JacobMult, JacobPattern, LineSearchType,LevenbergMarquardt, MaxFunEvals, MaxIter, DiffMinChange andDiffMaxChange, LargeScale, MaxPCGIter, PrecondBandWidth, TolPCG,OutputFcn, and TypicalX. Use the Jacobian option to specify that FUNalso returns a second output argument J that is the Jacobian matrix atthe point X. If FUN returns a vector F of m components when X has length n, then J is an m-by-n matrix where J(i,j) is the partialderivative of F(i) with respect to x(j). (Note that the Jacobian J isthe transpose of the gradient of F.)[X,RESNORM]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returns the valueof thesquared 2-norm of the residual at X: sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2}.[X,RESNORM,RESIDUAL]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,...) returns the value of residual,FUN(X,XDATA)-YDATA, at the solution X.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returnsan EXITFLAG that describes the exit condition of LSQCURVEFIT. Possiblevalues of EXITFLAG and the corresponding exit conditions are1 LSQCURVEFIT converged to a solution X.2 Change in X smaller than the specified tolerance.3 Change in the residual smaller than the specified tolerance.4 Magnitude of search direction smaller than the specified tolerance.0 Maximum number of function evaluations or of iterations reached.-1 Algorithm terminated by the output function.-2 Bounds are inconsistent.-4 Line search cannot sufficiently decrease the residual alongthecurrent search direction.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA ,...)returns a structure OUTPUT with the number of iterations taken inOUTPUT.iterations, the number of function evaluations inOUTPUT.funcCount,the algorithm used in OUTPUT.algorithm, the number of CG iterations (ifused) in OUTPUT.cgiterations, the first-order optimality (if used)inOUTPUT.firstorderopt, and the exit message in OUTPUT.message.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDAT A,YDATA,...)returns the set of Lagrangian multipliers, LAMBDA, at the solution:LAMBDA.lower for LB and LAMBDA.upper for UB.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA,JACOBIAN]=LSQCURVEFIT(FU N,X0,XDATA,YDATA,...)returns the Jacobian of FUN at X.ExamplesFUN can be specified using @:xdata = [5;4;6]; % example xdataydata = 3*sin([5;4;6])+6; % example ydatax = lsqcurvefit(@myfun, [2 7], xdata, ydata)where myfun is a MATLAB function such as:function F = myfun(x,xdata)F = x(1)*sin(xdata)+x(2);FUN can also be an anonymous function:x = lsqcurvefit(@(x,xdata) x(1)*sin(xdata)+x(2),[2 7],xdata,ydata)If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capture theproblem-dependent parameters. Suppose you want to solve the curve-fittingproblem given in the function myfun, which is parameterized by its secondargument c. Here myfun is an M-file function such asfunction F = myfun(x,xdata,c)F = x(1)*exp(c*xdata)+x(2);To solve the curve-fitting problem for a specific value of c, first assignthe value to c. Then create a two-argument anonymous function that capturesthat value of c and calls myfun with three arguments. Finally, pass thisanonymous function to LSQCURVEFIT:xdata = [3; 1; 4]; % example xdataydata = 6*exp(-1.5*xdata)+3; % example ydatac = -1.5; % define parameterx = lsqcurvefit(@(x,xdata) myfun(x,xdata,c),[5;1],xdata,ydata) See also optimset, lsqnonlin, fsolve, @, inline.Reference page in Help browserdoc lsqcurvefit>>第二题：1 三次线性拟合clear allx=0:0.5:5;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,3);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =1.0121 -6.1033 5.1933 -2.4782② 二次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,2);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =23.9982 -232.0179 367.9756③ 四次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for j=1:length(y)y1(j)=y1(j)+rand;enda=polyfit(x,y1,4);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =-0.0001 1.0038 -6.0561 5.2890 -2.8249 >>第三题：1 拟合曲线为：f(x)=定义函数：function f=fun(a,x)f=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);主程序：clear allclcx=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];y=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];a0=[1 1 1];a=lsqcurvefit('fun',a0,x,y);y1=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);plot(x,y,'r*',x,y1,'b')V1=a(2)tei=1/a(3)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.。
最小二乘法的曲线拟合
最小二乘法的曲线拟合曲线拟合是在给定一组离散数据的情况下，通过一个函数来逼近这些数据的过程。
最小二乘法是一种常用的拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的曲线拟合。
在进行最小二乘法的曲线拟合之前，我们首先需要明确拟合的目标函数形式。
根据实际问题的不同，可以选择线性拟合函数、多项式拟合函数或者其他非线性拟合函数。
然后，我们通过求解最小二乘问题的优化方程，来得到拟合函数的系数。
最小二乘法的核心思想是将拟合问题转化为一个优化问题。
我们需要定义一个损失函数，用来衡量观测值与拟合值之间的差异。
常见的损失函数有平方损失函数、绝对损失函数等。
在最小二乘法中，我们选择平方损失函数，因为它能够更好地反映误差的大小。
具体来说，我们假设待拟合的数据点为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，拟合函数为f(x)。
则拟合问题可表示为以下优化方程：min Σ(yi-f(xi))^2通过求解优化方程，即求解拟合函数的系数，我们可以得到最佳的曲线拟合。
最小二乘法的优势在于它能够考虑所有观测值的误差，并且具有较好的稳定性和可靠性。
在实际应用中，最小二乘法的曲线拟合被广泛应用于各个领域。
例如，在物理学中，可以利用最小二乘法来分析实验数据，拟合出与实际曲线相符合的函数。
在经济学中，最小二乘法可以用来估计经济模型中的参数。
在工程领域，最小二乘法可以用于信号处理、图像处理等方面。
总而言之，最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的误差平方和，来确定最佳的拟合函数。
它具有简单、稳定、可靠的特点，在各个领域都有广泛的应用。
最小二乘法PPT课件
模型2（幂函数模型）
线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够 想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式 取对数，得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数， 问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的 Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。
67.5
135
146.1(5) 144.8(5) 144.7(6) 145.8(5)
75
145
145.0(6) 145.0(3) 145.0(5) 145.0(6)
42.5
162.5 151.3(1) 152.2(1) 153.5(1) 152.1(1)
体重 抓举成绩 (公斤) (公斤)
Austin( 幂函数)
经典公式
O’ Carroll
Vorobyev
52
105
138.2(7) 134.0(8) 139.7(8) 138.8(7)
56
117.5 146.3(4) 142.8(6) 145.7(4) 146.6(4)
60
125
147.8(3) 145.0(3) 146.2(3) 147.7(3)
和挺举。52 表中给出了1到09 1977年底为14止1 九个
重量级的56世界纪录。120.5
151
60
130
161.5
显然，运动67员.5 体重越大，他1能41举.5 起的重量也越1大80，但举重
成绩和运动75员体重到底是怎1样57关.5 系的，不同量1级95运动员的 成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理 因素等等众82多.5 相关因素共同1作70用的结果，要建20立7.精5 确的模
曲线拟合最小二乘法ppt课件
这里
1( x), ,l ( x)
是线性无关函数系，
为待定常数.
i (i 1, 2, , l)
9
在例1中，设函数
1( x) 1, 2( x) x, 3( x) x2
误 n,
我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
m
2 i
m
[s * ( xi )
f ( xi )]2
i0
i0
m
min
s( x)
[s(
i0
xi
)
f ( xi )]2.
11
（1）直线拟合
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m ,分布大致为一
条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通
的方法称为曲线拟称合为“，残f(差x)”
1
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x) y=f(x)
插值
2
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又 不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性, 使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种 方法度量达到最小。
解得 a0 0.562302 , a1 0.772282
由 a0 ln a 得 a ea0 e0.562302 1.754708,
23
由a1 b 得 b a1 0.772282
于是得到拟合指数函数为 y 1.754708 e0.772282x
（4）超定方程组的最小二乘解
最小二乘法一阶线性拟合二阶曲线拟合的C语言程序实现
一、最小二乘法原理与计算方法
对于 m 组测量数据，选取
( x) a0 a1 x a2 x 2
二、1 阶 2 阶拟合功能子函数和计算表达式
通过分析以上系数计算式中各项计算式，写出全部需要用到的子函数：
通过对照系数表达式里各个项的计算表达，写入主函数进行拟合计算。设定输入的数据格式为（x[ i ]，y[ i ]） ，用 户输入数据的个数为 c，计算表达式程序代码如下： 1 阶直线拟合：
2 阶曲线拟合：
三、主函数代码
四、用 MATLAB 验证程序的运行结果
第一组：选择 y=x+1 进行线性拟合检验，可见 2 阶拟合对于线性关系，二次项系数为 0
第二组：选择 y=x^2+1入部分的设计参考了[物理实验计算器.
Zhouzb .
zhouzb889＠]的部分代码，在此表示感谢。
m n i
当 n=1 时，为 1 阶拟合，又称直线拟合，即系数矩阵是一个 2*2 的矩阵，通过线性方程的求解运 算，求得线性回归方程的系数表达式为：
当 n=2 时，为 2 阶曲线拟合，所得到的系数矩阵是一个 3*3 的矩阵【用 aij（i，j=1,2，……）的 形式表达】 ，通过线性方程的求解运算，求得线性回归方程的系数表达式为：
智能仪器设计作业——最小二乘法——高世浩 1223150078
x
i 1 m
m
i
x
i 1
2 i
x
i 1
m
n 1 i
m x yi 0 i 1 i 1 m m n 1 x x y i 1 i i i 1 i 1 m m n xin yi xi2 n i 1 i 1
标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数(DOC)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（DOC）标准曲线的最小二乘法拟合和相关系数（合肥工业大学控释药物研究室尹情胜） 1 目的用最小二乘法拟合一组变量（，， i＝1-n）之间的线性方程（y＝ax+b），表示两变量间的函数关系；（开创者：德国数学家高斯）一组数据（，， i＝1-n）中，两变量之间的相关性用相关系数（R）来表示。
（开创者：英国统计学家卡尔皮尔逊） 2 最小二乘法原理用最小二乘法拟合线性方程时，其目标是使拟合值（）与实测值（）差值的平方和（Q）最小。
式（1） 3 拟合方程的计算公式与推导当 Q 最小时，；得到式（2）、式（3）：式（2）式（3）由式（3）和式（4），得出式（4）和式（5）：式（4）式（5）式（4）乘以 n，式（5）乘以，两式相减并整理得斜率 a：斜率（k＝xy／ xx， n*积和-和积）式（6）截距 b 的计算公式为公式（5），也即：截距 b＝（y-x）／ n，差平均差）式（7） 4 相关系1 / 4数的意义与计算公式相关系数（相关系数的平方称为判定系数）是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数（也称积差相关系数）是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
相关系数 rxy取值在-1 到 1 之间。
rxy = 0 时，称 x,y 不相关； | rxy | = 1 时，称 x,y 完全相关，此时， x,y 之间具有线性函数关系； | rxy | 1 时， X 的变动引起 Y 的部分变动，rxy的绝对值越大， x 的变动引起 y 的变动就越大， |rxy | 0.8 时称为高度相关，当 0.5 | rxy|0.8 时称为显著相关，当 0.3| rxy |0.5 时，成为低度相关，当 | rxy | 0.3 时，称为无相关。
曲线拟合的最小二乘法
一、曲线拟合是什么？曲线拟合也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。
设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。
这时没必要取φ(xi) = yi, 而要使i=φ(xi)yi 总体上尽可能地小。
这种构造近似函数的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。
如下为一个曲线拟合示意图。
清楚什么是曲线拟合之后，我们还需要了解一个概念——残差。
曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到总体上尽可能地小。
若令（1-1）则为残向量（残差）。
“使（1-1）尽可能地小”有不同的准则（1）残差最大值最小（2）残差绝对值和最小（绝对值的计算比较麻烦）（3）残差平方和最小（即最小二乘原则。
计算比较方便，对异常值非常敏感，并且得到的估计量具有优良特性。
）二、最小二乘法是什么？个人粗俗理解：按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
百度百科：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
三、求解最小二乘法（包含数学推导过程）我们以最简单的线性模型来解释最小二乘法。
什么是线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。
回归分析中，n个自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为一/多元线性回归分析。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。
都对应于xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然N<m 时，参数不能确定。
y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆 动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。
为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。
曲线拟合的最小二乘法matlab举例
曲线拟合的最小二乘法学院：光电信息学院 姓名：赵海峰 学号：200820501001一、曲线拟合的最小二乘法原理：由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线)(...)()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=称为曲线拟合的最小二乘法。
若记),()()(),(0i k i j mi i k j x x x ϕϕωϕϕ∑==k i k i mi i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0ϕωϕ上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j noj j k -=∑=ϕϕ这个方程成为法方程，可写成距阵形式d Ga =其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a ==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),()(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 。
它的平方误差为：.)]()([)(||||2022i i mi i x f x S x -=∑=ωδ二、数值实例：下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。
下面应用Matlab编程对上述数据进行最小二乘拟合三、Matlab程序代码：x=[1:1:30];y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合%a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合%b1=polyval(a1,x)b2=polyval(a2,x)b3=polyval(a3,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和%r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%hold onplot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像%hold onplot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像%四、数值结果：不同次数多项式拟和误差平方和为：r1 = 67.6659r2 = 20.1060r3 = 3.7952r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。
曲线拟合的最小二乘法原理及实现
曲线拟合的最小二乘法原理及实现
最小二乘法是一种用于拟合数据的常用方法，特别是在需要找到一条曲线或函数来最好地描述数据时。
它的基本思想是找到一条最适合数据的曲线，使得数据点与曲线之间的偏差最小。
具体来说，最小二乘法的原理是在给定一些数据点的情况下，通过最小化每个数据点到一条曲线或函数之间的垂直距离或水平距离来找到最适合这些数据的曲线或函数。
在实际应用中，可以使用最小二乘法来拟合各种类型的曲线，如线性、二次、三次、指数等。
下面是最小二乘法的基本步骤：
1.收集数据并确定要拟合的函数类型。
2.确定函数中的待定系数，例如线性函数中的截距和斜率，二次
函数中的二次项系数、一次项系数和截距等。
3.计算每个数据点到拟合曲线的垂直距离或水平距离。
4.通过最小化距离平方和来确定待定系数，例如线性函数中可以
使用公式(b-x)² + (c-y)² = 最小值，其中b和c是待定的截距和斜率。
5.求解方程组来确定待定系数，例如在线性函数中可以使用公式
b = ∑xiyi / ∑xi，
c = ∑xi² / ∑xi来计算截距和斜率。
6.使用确定的函数系数来绘制拟合曲线。
需要注意的是，最小二乘法可能不适用于所有类型的数据，并且可能需要使用其他曲线拟合方法来获得更好的结果。
在实际应用中，还需要考虑数据的准确性和可靠性，以及选择最适合数据类型的拟合方法。
最小二乘法与曲线拟合市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
y a0 a1 x a2 x 2
由法方程组（5.46）, n=6, 经计算得
6
6
6
6
6
6
6
xi 15, xi2 55, xi3 225, xi4 797, yi 14, xi yi 30, xi2 yi 122
令 y ln y, a0 ln a, a1 b
得 y a0 a1x
则就得到线性模型
则正规方程组为
6a0
6
a1
i 1
xi
6
ln
i 1
yi
6
6
6
a0
i 1
xi
a1
i 1
xi2
i 1
xi ln
yi
其中
6
6
xi 7.5
xi2 13.75
i 1
i1
6
6
ln yi 2.043302
于是得到拟合指数函数为
y 1.754708e0.772282x
有些非线性拟合曲线可以经过适当旳变量替换转化为线性曲线，从而用线性
拟合进行处理，对于一个实际旳曲线拟合问题，一般先按观察值在直角坐标平 面上描出散点图，看一看散点旳分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近旳 曲线拟合方程。再经过适当旳变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出 后再还原为原变量所表达旳曲线拟合方程。
3
4
5
16 30 52
1 1 1 4
A 1
9
1 16
1 25
2 9
b
16
30
52
由 AT Ax AT b 可得
最小二乘法曲线拟合实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除最小二乘法曲线拟合实验报告篇一：实验3曲线拟合的最小二乘法实验三曲线拟合的最小二乘法1、实验目的：在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。
这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。
充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上，通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。
2、实验要求:1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；3、实验内容：1)给定数据如下：x：0.15，0.4，0.6，1.01，1.5，2.2，2.4，2.7，2.9，3.5，3.8，4.4，4.6，5.1，6.6，7.6；y：4.4964，5.1284，5.6931，6.2884，7.0989，7.5507，7.5106，8.0756，7.8708，8.2403，8.5303，8.7394，8.9981，9.1450，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。
2)已知一组数据：x：0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1y：-0.447，1.978，3.28，6.16，7.08，7.34，7.66，9.56，9.48，9.30，11.2；试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。
4、题目：曲线拟合的最小二乘法5、原理：从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小.。
最小二乘法一阶线性拟合二阶曲线拟合的C语言程序实现
当 n=1 时，为 1 阶拟合，又称直线拟合，即系数矩阵是一个 2*2 的矩阵，通过线性方程的求解运 算，求得线性回归方程的系数表达式为：
当 n=2 时，为 2 阶曲线拟合，所得到的系数矩阵是一个 3*3 的矩阵【用 aij（i，j=1,2，……）的 形式表达】 ，通过线性方程的求解运算，求得线性回归方程的系数表达式为：
一、最小二乘法原理与计算方法
对于 m 组测量数据，选取
( x) a0 a1 x a2 x 2
an x n 进行 n 阶拟合，按
照残差平方和最小原则，对各个待二乘的法方程为 运算式如下，求解这个线性方程组就可以得出各个系数的值。
二、1 阶 2 阶拟合功能子函数和计算表达式
通过分析以上系数计算式中各项计算式，写出全部需要用到的子函数：
通过对照系数表达式里各个项的计算表达，写入主函数进行拟合计算。设定输入的数据格式为（x[ i ]，y[ i ]） ，用 户输入数据的个数为 c，计算表达式程序代码如下： 1 阶直线拟合：
2 阶曲线拟合：
三、主函数代码
四、用 MATLAB 验证程序的运行结果
第一组：选择 y=x+1 进行线性拟合检验，可见 2 阶拟合对于线性关系，二次项系数为 0
第二组：选择 y=x^2+1 进行 2 阶曲线拟合检验
第三组：进行常规数据组检验
数据输入部分的设计参考了[物理实验计算器.
Zhouzb .
zhouzb889＠]的部分代码，在此表示感谢。
m 1 i 1 m xi i 1 m x n i i 1
x
i 1 m
m
i
x
i 1
2 i
x
i 1
最小二乘法曲线数据拟合
最小二乘法曲线数据拟合
首先，最小二乘法的基本原理是通过最小化拟合曲线与实际数
据之间的误差平方和来确定最佳拟合曲线的参数。
这意味着拟合曲
线的参数将被调整，以使拟合曲线上的点与实际数据点的残差之和
最小化。
其次，最小二乘法可以用于拟合各种类型的曲线，例如线性曲线、多项式曲线、指数曲线等。
对于线性曲线拟合，最小二乘法可
以得到最佳拟合直线的斜率和截距；对于多项式曲线拟合，最小二
乘法可以确定最佳拟合多项式的系数；对于指数曲线拟合，最小二
乘法可以找到最佳拟合曲线的底数和指数。
此外，最小二乘法还可以通过添加约束条件来进行拟合。
例如，可以通过添加正则化项来控制拟合曲线的复杂度，以避免过拟合问题。
常见的正则化方法包括岭回归和Lasso回归。
在实际应用中，最小二乘法曲线数据拟合可以用于许多领域，
如经济学、统计学、物理学等。
它可以用于分析趋势、预测未来值、估计参数等。
例如，在经济学中，最小二乘法可以用于拟合经济模型，以评估不同因素对经济指标的影响。
最后，最小二乘法的计算通常可以通过数值方法来实现，例如
使用最小二乘法的矩阵形式求解线性方程组，或者使用迭代算法来
拟合非线性曲线。
总结起来，最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，通过最小
化拟合曲线与实际数据之间的误差平方和来确定最佳拟合曲线的参数。
它可以适用于各种类型的曲线拟合，并可以通过添加约束条件
来进行拟合。
在实际应用中，最小二乘法可以用于分析趋势、预测
未来值、估计参数等。
最小二乘法的计算可以通过数值方法来实现。
c++ 最小二乘法拟合三次曲线
很高兴接到你的委托，让我来为你撰写一篇关于C++最小二乘法拟合三次曲线的文章。
这是一个非常有趣和具有挑战性的主题，我将按照你的要求，以深度和广度兼具的方式来进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章。
C++作为一种高级编程语言，广泛应用于科学计算和工程领域。
而最小二乘法则是一种常用的数学方法，用于拟合数据点，并找到最符合这些数据点的曲线方程。
在C++中，结合最小二乘法进行三次曲线拟合，可以帮助我们更好地理解数据之间的关系，从而进行更准确的预测和分析。
让我们来了解一下最小二乘法的基本原理。
最小二乘法是一种通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来确定曲线参数的方法。
在三次曲线拟合中，我们需要找到一个三次多项式方程，使得该方程与数据点的残差平方和最小。
在C++中，我们可以利用数值计算库如Eigen或者使用第三方库如GSL来实现最小二乘法的计算，从而得到拟合的三次曲线方程。
让我们来探讨C++中如何实现最小二乘法拟合三次曲线的具体步骤。
我们需要准备好需要拟合的数据点，这些数据点可以来自于实验测量、观测数据等。
我们需要定义一个三次多项式的模型函数，并初始化该函数的参数。
我们可以利用最小二乘法的公式，计算出最优的参数值，从而得到拟合的三次曲线方程。
我们可以通过绘图库如Matplotlib或者gnuplot来将拟合的曲线与原始数据点进行可视化比较，以验证拟合效果的好坏。
在完成了以上步骤后，我们可以对C++最小二乘法拟合三次曲线的实现进行总结和回顾。
通过本文的介绍，我们不仅深入了解了最小二乘法的原理和C++中的实现方法，还学会了如何利用C++进行数据拟合和分析。
在实际应用中，我们可以将这些知识运用到科学研究、工程设计和数据分析等领域，从而更好地理解数据的特性，并进行更精准的预测和分析。
我想共享一下我对C++最小二乘法拟合三次曲线的个人观点和理解。
作为一名编程人员，我认为掌握最小二乘法和C++编程技能是非常重要的，因为这可以帮助我们更好地处理和分析实际数据，从而做出更为准确的决策。
曲线拟合 最小二乘法
曲线拟合的线性最小二乘法拟合是已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
线性最小二乘法曲线拟合问题的提法是，已知一组（二维）数据，即平面上的n 个点(,),i i x y 1,2,,i n =⋅⋅⋅，i x 互不相同，寻求一个函数（曲线）()y f x =，使()f x 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的最好。
线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本思路是，令1122()()()(),m m f x a r x a r x a r x =++⋅⋅⋅+其中：()k r x 是事先选定的一组线性无关的函数；k a 是待定系数(1,2,,;k m =⋅⋅⋅)m n <。
拟合准则是使(1,2,,)i y i n =⋅⋅⋅与()i f x 的距离i δ的平方和最小，称为最小二乘准则。
1.系数k a 的确定 记[]221211(,,,)()nnm i i i i i J a a a f x y δ====-∑∑为求12,,,m a a a ⋅⋅⋅使J 达到最小，只需利用极值的必要条件0jJa ∂=∂(1,2,,)j m =⋅⋅⋅，得到关于12,,,m a a a ⋅⋅⋅的线性方程组11()[()]0,1,2,,n mjik kiii k r x a r x y j m ==-==∑∑，即111[()()](),1,2,,.m n nkjikijiik i i a r x r x r x y j m =====∑∑∑ （1.1）记1111()()()()m n m n n mr x r x R r x r x ⨯⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ [][]TT1212,,,,,,,m n A a a a Y y y y =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅方程（1.1）可表为T T .R RA R Y = （1.2） 当{}12(),(),,()m r x r x r x ⋅⋅⋅线性无关时，R 列满秩，T R R 可逆，于是方程组（1.2）有唯一解()1TT .A R R R Y -=2.函数()k r x 的选取面对一组数据(,),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅，用线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的也是关键的一步是恰当地选取12(),(),,()m r x r x r x ⋅⋅⋅。
基于最小二乘法的曲线拟合
权 开波
摘
贾
宁
杜 培 寿
要 ：本 文介 绍 曲 线 拟合 法 的 基 本 原 理 ，利 用 用最 小二 乘 法 分 别 确 定 线 性 曲 线 、 多项 式 、指 数 曲 线 的 函 数 模 型 ，并 对 模 型 的 各 个 参
数 进 行 求 解 。 并 用 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ编 制 程 序 ，对 样 本数 据 进 行 指 数 拟 合 与仿 真 。 关 键 词 ： 曲线 拟 合 ；最 小 二 乘 法 ；ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ ；仿 真
ａ ｏ ； ｘ ＋ａ ｌ ｉ ； 。 ｘ ・ ’
由函数组 ｛ ｌ
２ ．３指数 拟 合
＋ａ ｎ ｉ ； ．
。 Ｙ 。 ｘ
， … ） 的线性无关性可证明 ，方程组存在 唯一 的
解，且解所对应的多项式必定是已给数据组的最小二乘法 １ ３ 次拟合多项式。
如果数 据组 （ …Ｙ） ， ｉ：ｌ ， ２， ３… ｍ的分布近似指数曲线 ，则拟合 时可用指数函数 ｙ＝ａ・ ｅ 。先将曲线方程线性化 ，两边取 对数得 ： ｌ ｎ ｙ ＝ｌ ｎ ｂ＋ｏ （ １ ），分 别 命 ｙ ：ｌ ｎ ｙ ， Ａ ＝ｌ ｎ ｂ，则 方 程 （ １ ） 可写 成 Ｙ ＝Ａ＋ 口 ，再 用 最小 二乘 法 按 直 线 拟 合 的 原 理 求 出 Ａ，进 而 ｂ＝ ｅ 可 求 。
３ ．ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ仿 真
曲线 拟合问题是指 ：通过 观察 和测量 得到 一组离 散数 据 序列 （ ， Ｙ ） ， ｉ＝１ ， ２ ， ３… ｍ， 当所得到数据是 比较准确 时，那 么，构造拟合 函数 （ ）逼近客观存在的函数 Ｙ，使得 （ ）和 Ｙ的误差或距离最小 。 常用曲线拟合 标准有 以下 三种 ： ①各点误差绝对值 （ １ 范数 ）的和最小 ，即 ：
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§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一、矛盾方程组的定义
设线性方程组
或写为 其矩阵形式为
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2
aN1x1 aN 2 x2 aNn xn bN
n
aij x j bi ( j 1,2,, N )
i1 N i 1
ai 2 ain
2 AT
A
N
ai2n
i 1
由引理2知，当rankA=n时，矩阵M是对称正定阵， M满足引理1的条件（2），故由引理1知，二次函数 Q存在极小值。
又因方程组（*）式有唯一解，故Q存在的极小值就
是最小值，线性方程组（*）式的解就是最小值点。
证毕 Remark1：线性方程组（*）式称为正则方程组。 Remark2：该定理说明，只要矛盾方程组的系数矩
引理2：设非齐次线性方程组
Ax
的b 系数矩阵
A=(aij)N×n，若rankA=n，则
((12))矩n阶阵线AT性A是方对程称组正AT 定Ax矩 阵有AT；唯b 一的解。
证设明齐：次（线1性）方矩程阵组ATAA显x 然0是对称矩阵。
因因为 此( Ar，xa)n对T k( A于Ax=任)n，意x故T的( A齐xT A次)0x方，程有0 组Ax有唯0，一从零而解。
xk P0
2 f
x12
P0
2 f x1x2 P0
2 f
x1xn
P0
M
2 f
x2x1
P0
2 f x22 P0
2 f
x2xn
P0
2 f
2 f
2 f
xnx1 P0 xnx2 P0
xn2 P0
是正（负）定矩阵，则f(a1,a2,…,an)是n元实函 数f(x1,x2,…,xn)的极小（大）值。
j 1
Ax b
当方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等时， 方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于
rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（N>n用最小二乘法求解矛盾方程组
1.最小二乘原则
由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而
寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。
值点。
问题：二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)是否存在最小值？
若最小值存在，如何求出该最小值点？
2.最小二乘解的存在唯一性
引理1：设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an)
的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如
果 (1) (2)矩阵
f
0
(k 1,2,, n)
i 1
i1 j 1
达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。
按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn的一
组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。 符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。
把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn的二次函数， 记为Q＝f(x1,x2,…,xn)，因此，求矛盾方程组的最 小二乘解就是求二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)的最小
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值 多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本 趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合 问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
故矩阵ATA是对称正定矩阵。 (从2而)因线为性矩方阵程A组TAAT是A正x 定A矩有T b阵唯，一故的r解an。k(ATA证)=毕n，
引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组
Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有
定理：设矛盾方程组的唯系一数解矩。阵的秩为n，则二次
函数
j 1
j 1
n a1 j x j b1
j1
n
2 a1k
a2k
aNk
a2 j x j
j 1
b2
n
aNj x j
bN
j1
2a1k
a2k
a
Nk
(
Ax
b)
Q
故
x1
Q
x2
Q
2
AT
(
Ax
b)
2(
AT
Ax
AT
b)
xn
令
Q 0
(k 1,2,, n)
n
令
i aij x j bi
(i 1,2,, N )
称i为偏差。 j1
工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组，
实际中需要寻N求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的
绝对值之和 尽i 可能地小。为了便于分析 i 1
计算和应用，常采用使偏差的平方和
2
Q
N
2 i
N
n
aij x j bi
最小二乘法与曲线拟合演示文 稿
优选最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很 好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有 一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点， 势必使插值结果更加不准确。
aNk aNt )
N
2 aikait i 1
(k,t 1,2,, n)
故
N
ai21
M
2
i 1 N
ai1ai
i 1
2
N
i 1
ai1ain
N
ai1ai2
i 1
N
ai22
i 1
N
ai2ain
i 1
N
ai1ai3
i 1 N
ai2ai3
i 1
N
ai3ain
i 1
N
ai1ain
即
ATxAk x
AT b
（*）
因为rankA=n，故由引理2知，上式有唯一解。设
解为x1=a1, x2=a2,…, xn=an，记为点P0(a1,a2,…,an)，
即二元函数Q存在点P0，使xQk
1的条件（1）。
P0
0
(k 。1,2故, 满,n足) 引理
因为
2Q xk xt
2(a1k a1t
a2k a2t
Q f (x1, x2 ,, xn ) N n aij x j bi 2
i1 j 1
一定存在最小值。
证明：因为Q是x1,x2,…,xn的二次函数，故Q不仅是
连续函数，且有连续的一阶及二阶偏导数。
因为
Q
xk
n
2a1k ( a1 j x j
j 1
b1)
n
n
2a2k ( a2 j x j b2 ) 2aNk ( aNj x j bN )
阵A的秩rankA=n，则
（1）矛盾方程组的最小二乘解存在；
（2）正则方程组有唯一解，此解就是矛盾方程组的 最小二乘解。