第五章Bezier曲面与B样条曲面

u
线 r(u,v j )，即一条u线。
图-参数曲面
即参数v为定值的曲面 上的线。
5.3 曲面的参数表示
r(ui ,v)
v
r(u, v j )
r(ui ,vj )
rr(u,v)
u
图-参数曲面
❖ 上述两条参数曲线 r(ui ,v) 和 r(u,v j )的交点则是r(ui ,vj )。事 实上，用uui,vvj 代入式子
r(1/3,1/2)=r0+a/3+b/2
5.3 曲面的参数表示
❖ 又如下图所示，以固定方向长度为a的直线段作为母线沿
给定一条空间曲线移动生成一个柱面，其方程为：
r ( u , v ) r 1 ( u ) av ( 0 u , v 1 )
上式中 a是沿母线方向的常矢量。
a
直线段
v
u
空间曲线 r1 (u)
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 曲面的参数表示 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、B样条曲面的生成
曲线与曲面的生成与计算
❖ 曲面和曲线一样，是计算机图形学中研究的重要内容 之一，它们在实际工作中有着广泛的应用。在工程应用中， 常用的自由曲面有很多，例如：Bezier曲面、 B样条曲面、 Coons曲面等。
柱面
r(u, v)
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲面和B样条曲面
一、Bezier（贝塞尔）曲面
❖ 如前所述， Bezier曲线是一条与控制多边形顶点位置有严 格关联关系的曲线， Bezier曲线形状趋向于特征多边形的形 状，而且阶数由控制多边形顶点的个数决定。 ❖ Bezier 曲 面 是 由 Bezier 曲 线 拓 广 而 来 ， 它 也 是 以 Bernstein函数作为基函数，是由Bernstein基函数构造空间 点阵列的位置来控制的。 ❖ Bezier曲线是由特征多边形控制的； Bezier曲面则是由特 征网格顶点控制的。二者在表达式上也十分相似。
❖当 v v j 时，代入式子
r(ui ,v)
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
v
r(u,v j )
得：
r(u ,v j) [x (u ,v j)y ( ,u ,v j)z(,u ,v j)]
r(ui ,vj ) rr(u,v) 上式则是曲面上另一条参数曲
❖ 当u ui 时，代入式子r ( u ,v ) [ x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
得：r ( u i,v ) [x ( u i,v )y ( ,u i,v )z ( ,u i,v )]
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线 r(ui ,v，) 即一条v线。
值的曲面上 的线。
r ( u ,v ) [ x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( , u ,v )]
பைடு நூலகம்
也得到曲面上同一点位置矢量 r(ui ,vj ) ，即：
r ( u i,v j) [ x ( u i,v j)y ( ,u i,v j)z ( , u i,v j)]
5.3 曲面的参数表示
❖ 例如：如下图的平面片方程为：
❖ 又例如：地面则是用一组水平面截得一组等高线表示的， 这实际上是把曲面问题转化为曲线问题。这种处理办法称 为曲线网格表示法，正是利用这些曲线网格来近似地表示 自由曲面。如下所示：
❖ 因此，在产生一张曲面时，我们可以利用一系列的纵横交 错且相互平行的样条曲线来构造曲面，如下图所示。
A B
图 曲面的网格
❖ 在计算机出现之前以及在计算几何没有很好地发展之 前，对于一些工程实际中应用的复杂自由曲面，如飞机、 轮船、汽车等几何外形的描述以及地形形状的表示，传统 的处理办法是用一组或几组平行平面去截这个曲面，画出 几组截交线来表示这个曲面。
❖ 例如：船体就是用相互正交的三组平面截得的纵剖线、横 剖线和水平线表示的；
xx(u,v) 或 yy(u,v)
zz(u,v)
u0uu1 v0vv1
式u 中 ,v为 参 数
v
r(ui ,v)
r(u, v j )
❖ 三维空间任意曲面的 图形如左图所示，曲面
r(ui ,vj )
有两族参数曲线，或称 rr(u,v) 为坐标曲线，通常简称
u
u线和v线。
图-参数曲面
5.3 曲面的参数表示
❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
11 01
v
00 u
10
图 曲面片
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
5.3 曲面的参数表示
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
曲面的种类繁多，为了便于讨论，将曲面分为两类：
➢ 一类是规则曲面，如柱、锥、椭球、环、双曲面、抛物面 等，它可用参数方程解析地描述；
➢ 另一类是不规则曲面，如Coons曲面、Bezier曲面、B样条 曲面等，这是构造某种曲面的方程问题。本节我们主要讨 论Bezier曲面、B样条曲面的生成与计算。
5.3 曲面的参数表示
注：那么我们如何确定这张曲面 上任意一点的位置呢？ ➢1.若这点恰好落在某一条网格 线上，如右图中的A点，则就可 以根据这条网格线的函数表示来 计算这一点的位置（坐标）； ➢2.若这点不在任何网格线上， 如右图中的B点，则无法计算该 点的精确位置，只能用离该点最 近的一条网格线上的点来近似表 示。
❖ 对于不在网格上的点，若用离该点最近的一条网格线上 的一点来近似表示，这会使得本来精度不很高的近似曲面 在这一点的精度更低，所以用这种方法来产生曲面只能适 合一部分精度不很高的场合。我们可以把平面里自由曲线 生成方法加以推广到曲面的生成问题上，借助于曲面的解 析表达式来处理有关曲面问题。
r ( u ,v ) r 0 a b uv ( 0 u ,v 1 )
❖ 上式中矢量 r0为平面上
一点的位置矢量，a和 b
为常矢量，且a不平行
b r(1 , 1)
于b ，该平面片是由矢
v
32
量a和 b张成的四边形。
r(u, v)
Z r0
ua
O
Y
X
平面片
eg: 当u=1/3,v=1/2时对应平 面片中一点：