第五章Bezier曲面与B样条曲面
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（2）通过控制点即顶点直观而方便地调整曲线的形状， （3）仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
三 贝塞尔曲线举例 曲线仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
四 贝塞尔曲线的性质：
1 该曲线由一组多边形折线的多个顶点唯一地定义出来。
多边形折线又称特征多边形，顶点又称为控制点。
2 在多边折线的各个顶点中，只有第1点和最后1点在曲线上。
1 n!
nk j0
(1)
j
j (t n k j)n (0 t 1, k 0,1, n)
n1
P’(0) B2
2 例：n=3,m=1,
B1
P’(1)
表示有5个顶点， 能画出两段3次曲线
B02
B3
B0
P’’(0) P’’(1)
B4
3 n次B样条曲线
连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。
j 0
j (t 2 j)2 1 (t 1)2
3
2
F1,2 (t)
1 2
(2t
2
2t
1)
t F2,2 (t)
1 2
2
因此，二次 B 样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式：
Pi (t) F0,2 (t)Pi F1,2 (t)Pi1 F2,2 (t)Pi2
b样条
2)网格离散法．该法的基本思想是先将曲面离散为 由小平面片组成的网格，当网格足够细密时，可以 认为已经非常接近真实曲面．对分别表示不同曲面 的两张网格，利用平面片求交法求得交线，并以此 交线近似代表曲面间的交线．该法原理简明，便于 实现，适用范围广，任意参数曲面均可利用该方法 求交．但为获得精确的交线，则必须生成非常细密 的网格，这将导致占用内存多、计算花费大．因此， 实际工作中很少单一使用网格法，通常将其与其他 方法结合使用．
20:06
一张参数曲面有两个参数，两张曲面共有四 个参数变量． 三参数迭代法时，两曲面的四个参数中只有 三个参数参与迭代过程，而保持另—个参数 固定不变．这实际上就是计算不变参数的等 参数线与另一张曲面的交点． 采用四参数迭代过程时，两张曲面片的四各 参数都参与迭代过程，四者都有可能改变
20:06
曲面求交中的迭代法
为求得精确的交点，Newton—Raphon迭代法得到 了广泛应用．该法的优点为 1)计算精度高、速度快．在初值选择比较合理的情 况下，一般仅需迭代二至三次，就可以使交点的精 度从百分之几提高至万分之几甚至百万分之一的数 量级． 2)适用范围比较广．只要能获得曲面的几何位置、 切矢、法矢等信息，不论什么类型的曲面都可以使 用迭代法．其缺点是时初值的要求较严格，初值选 择不当．可能导致迭代不收敛，也就无法得到精确 的交点．
20:06
4)迭代法．迭代法本身并不能构成一个独立的求 交方法．与所有不动点迭代法一样，应用迭代法求 交线之前，首先必须给出交点的初始估计值，而交 点的初始估计值必须通过其他求交方法得到．因此， 迭代求交常同其它求交方法结合使用，作为交点精 化的一种手段．迭代法的主要过程是根据初始估计 点的几何性质(如坐标位置、切矢、法矢、曲率等) 运用Newton方拄得到一个较原估计点更接近于目 标点(即精确交点)的估计点．如此反复进行，直到 求得的交点满足所要求的精度．该法的优点是在初 值比较好时其收敛速度非常快，而且能应用于任意 参数曲面包括Coons曲面和等距面等，因此应用非 常广泛．其主要缺点是对初值的要求比较苛刘，初 值选择不当有可能导致迭代不收敛
Bezier曲线B样条曲线
是一种特殊情况
Y
0 X
5.1 曲线的参数表 示
• 向量P与时间t有关: P=P(t),就是说P是时 间t的函数。用坐标表示为 :
• 若把参数t 换成一个普通意义的参数u， 则曲线的参数形式为:
• 例如:
是一条空
• 间曲线的参数形式。
• 注: 这是一条以点(0,1,3)为起点，
(3,2,5)为终点的线段
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
• 3）三次Bezier曲线 • 当n=3时为三次Bezier曲线，此时P(t)为三
次多项式，有四个控制点，由于三次Bezier 曲线是用3根折线定义的3阶曲线，则有:
用矩阵表示为:
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
5.2 Bezier、B样条曲线的生成
且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最
后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处
的切线方向。 Bezier曲线通常由特征多边形
的n+1个顶点定义一个n次多项式，即给定空
间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，
n），则Bezier参数曲线上各点坐标的参数方
程其式中参(插数t的值取值公范式围为)[是 0,1]: ,i是有序集0~n中的一个整数值，表示 顶点顺序号。
但从计算机图形学和计算几何的角度来看, 还
是使用参数表示较好, 因为采用参数方法表示
曲线和曲面, 可以将其形状从特定坐标系的依
附性中解脱出来, 很容易借助计算机得以实现。
• 一个动点的u轨1 迹可以用位置向量P来描述，
如• 注下:图这所里示讨: 论的动点轨u2 迹是
Z
u
在三维空间中所表示的 曲线, 平面轨迹曲线只
是一个Bezier曲线特征多边形顶点的
(整理)Catia--曲面设计.
第一章曲面设计概要1、曲面造型的数学概念：（1）、贝塞尔（Bezier）曲线与曲面：法国雷诺的Bezier在1962年提出的，是三次曲线的形成原理。
这是由四个位置矢量Q0、Q1、Q2、Q3定义的曲线。
通常将Q0，Q1，…，Qn组成的多边形折线称为Bezier控制多边形，多边形的第一条折线与最后一条折线代表曲线起点和终点的切线方向，其他折线用于定义曲线的阶次与形状。
（2）、B样条曲线与曲面：与Bezier曲线不同的是权函数不采用伯恩斯坦基函数，而采用B样条基函数。
（3）、非均匀有利B样条（NURBS）曲线与曲面：NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写。
Non-Uniform（非统一）指一个控制顶点的影响力的范围能够改变。
当创建一个不规则曲面的时候，这一点非常有用。
同样，统一的曲线和曲面在透视投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说，这是一个严重的缺陷。
Rational（有理）指每个NURBS物体都可以用数学表达式来定义。
B-Spline（B样条）指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内差值替换。
（4）NURBS曲面的特性及曲面连续性定义：NURBS曲面的特性：NURBS用数学方法来描述形体，采用解析几何图形，曲线或曲面上任何一点都有其对应的坐标（x,y,z），据有高度的精确性。
曲面G1与G2连续性定义：Gn表示两个几何对象间的实际连续程度。
●G0：两个对象相连或两个对象的位置是连续的。
●G1：两个对象光滑连接，一阶微分连续，或者是相切连续的。
●G2：两个对象光滑连接，二阶微分连续，或者两个对象的曲率是连续的。
●G3：两个对象光滑连接，三阶微分连续。
●Gn的连续性是独立于表示（参数化）的。
2、检查曲面光滑的方法：①、对构造的曲面进行渲染处理，可通过透视、透明度和多重光源等处理手段产生高清晰度的、逼真的彩色图像，再根据处理后的图像光亮度的分布规律来判断出曲面的光滑度。
B样条曲线----曲线曲面
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线 •
相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
•
角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。
• 贝塞尔曲面表达式如下：
n m
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v)
i=0 j=0
0≤u,v≤1
• 贝塞尔曲面中应用最广泛的是双3次贝塞尔曲面， 它由给出的4*4个网格点唯一决定.
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
一般称 Pij为 P(u , v) 的控制顶点，把由 Pi 0 , Pi1 , , Pim (i 0,1, , n) 和 P0 j , P , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 1j , 称为 P(u , v) 的控制网格，记为{Pij } ,如图9.15所示。
赤峰学院计算机系 计算机图形学 08-09第二学期
在以上表达式中： Fk,n( t )为n次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
1 nk j j n Fk ,n (t ) (1) Cn1 (t n k j ) n! j 0
n! C 式中： ０≤t ≤ 1 r ! ( n r )! k = 0, 1, 2, …, n
Q1
Q0
P0
Q2
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四 角点共线的方法。 Q5 Q1 Q2 P0 P2 P3
计算机图形学实验4-----Hermite-Bezier-B样条三种曲线的绘制
实验四 Hermite Bezier Ｂ样条三种曲线的绘制一、实验目的了解和学习Hermite、Bezier、Ｂ样条三种曲线算法掌握基于 Win32、Visual C++环境MFC绘制图形配置过程制过程编程实现Hermite、Bezier、Ｂ样条三种曲线的绘制二、实验原理三次参数曲线1.曲线段可以用端点、切向量和曲线段之间的连续性等约束条件来定义2.两个端点和两端点处的切向量定义Hermite曲线；3.两个端点和另外两个控制端点切向量的点定义的Bezier曲线；4.由四个控制顶点定义的样条曲线。
三、实验关键代码void CDrawYTQXView::Hermite() //绘制Hermite三次插值样条{int a[4][4] ={{2,-2,1,1},{-3,3,-2,-1},{0,0,1,0},{1,0,0,0}};//Mh 矩阵系数int b[4][2];//边界点for(int i=0;i<4;i++){b[0][0]=p1[i][0];b[0][1]=p1[i][1];//起点的坐标b[1][0]=p1[i+1][0];b[1][1]=p1[i+1][1];//终点的坐标b[2][0]=p2[i][0];b[2][1]=p2[i][1];//起点的导数b[3][0]=p2[i+1][0];b[3][1]=p2[i+1][1];//终点的导数Caculate(a,b);CClientDC dc(this);CPen MyPen,*pOldPen;MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));pOldPen=dc.SelectObject(&MyPen);dc.MoveTo(p1[i][0],p1[i][1]);for(double t=0.0;t<=1;t+=1.0/400){int x=ROUND(pow(t,3)*result[0][0]+pow(t,2)*result[1][0]+ t*result[2][0]+result[3][0]);int y=ROUND(pow(t,3)*result[0][1]+pow(t,2)*result[1][1]+ t*result[2][1]+result[3][1]);dc.LineTo(x,y);}dc.SelectObject(pOldPen);MyPen.DeleteObject();}}void CDrawYTQXView::Caculate(int a[4][4],int b[4][2])//矩阵相乘{int i,j,k;for(i=0;i<4;i++)for(j=0;j<2;j++)result[i][j]=0; //矩阵清零for(i=0;i<2;i++)for(j=0;j<4;j++)for(k=0;k<4;k++)result[j][i]+=a[j][k]*b[k][i];}void CDrawYTQXView::DrawBezier()//绘制Bezier曲线{CClientDC dc(this);double x,y;int rate=400,n;n=CtrlPoint-1;for(double t=0;t<=1;t+=1.0/rate){x=0;y=0;for(int i=0;i<=n;i++){x+=pt[i].x*Cnk(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);y+=pt[i].y*Cnk(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);}dc.SetPixel(ROUND(x),ROUND(y),RGB(0,0,255)); //曲线颜色}}double CDrawYTQXView::Cnk(const int &n, const int &i)//Bernstein 第一项{return double(Factorial(n)/(Factorial(i)*Factorial(n-i)));}int CDrawYTQXView::Factorial(int m)//阶乘函数{int f=1;for(int i=1;i<=m;i++)f*=i;return f;}void CDrawYTQXView::DrawB3_curves() //绘制B样条曲线{CClientDC dc(this);int i,rate=10,m;long lx,ly;m=CtrlPoint-(3+1);double F03,F13,F23,F33;lx=ROUND((pt[0].x+4.0*pt[1].x+pt[2].x)/6.0); //t＝0的起点x坐标ly=ROUND((pt[0].y+4.0*pt[1].y+pt[2].y)/6.0);//t＝0的起点y坐标dc.MoveTo(lx,ly);CPen MyPen2,*pOldPen2;MyPen2.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(0,0,255)); //颜色设置pOldPen2=dc.SelectObject(&MyPen2);for(i=1;i<m+2;i++) //m+1段三次样条曲线{for(double t=0;t<=1;t+=1.0/rate){F03=(-t*t*t+3*t*t-3*t+1)/6;//计算F0,3(t)F13=(3*t*t*t-6*t*t+4)/6;//计算F1,3(t)F23=(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1)/6;//计算F2,3(t)F33=t*t*t/6;//计算B3,3(t)lx=ROUND(pt[i-1].x*F03+pt[i].x*F13+pt[i+1].x*F23+pt[i+2].x*F33 );ly=ROUND(pt[i-1].y*F03+pt[i].y*F13+pt[i+1].y*F23+pt[i+2].y*F33 );dc.LineTo(lx,ly);}}dc.SelectObject(pOldPen2);MyPen2.DeleteObject();}void CDrawYTQXView::DrawCharPolygon()//绘制控制多边形{CClientDC dc(this);CPen MyPen,*pOldPen;MyPen.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(0,0,0)); //控制多边形pOldPen=dc.SelectObject(&MyPen);for(int i=0;i<CtrlPoint;i++){if(i==0){dc.MoveTo(pt[i]);dc.Ellipse(pt[i].x-2,pt[i].y-2,pt[i].x+2,pt[i].y+2);}else{dc.LineTo(pt[i]);dc.Ellipse(pt[i].x-2,pt[i].y-2,pt[i].x+2,pt[i].y+2);}}dc.SelectObject(pOldPen);MyPen.DeleteObject();}void CDrawYTQXView::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point)//获得屏幕控制点坐标{// TODO: Add your message handler code here and/or call default CView::OnLButtonDown(nFlags, point);if(Flag){pt[CtrlPoint].x=point.x;pt[CtrlPoint].y=point.y;if(CtrlPoint<N_MAX_POINT)CtrlPoint++;elseFlag=false;DrawCharPolygon();}else DrawCharPolygon1();}void CDrawYTQXView::OnRButtonDown(UINT nFlags, CPoint point)//调用绘制函数{// TODO: Add your message handler code here and/or call default Flag=false;if(Sign==0)Hermite();if(Sign==1)DrawBezier();if(Sign==2)DrawB3_curves();CView::OnRButtonDown(nFlags, point);}四、实验结果1、绘制Hermite曲线2、绘制Bezier曲线3. 绘制B样条曲线五、心得体会通过实验进一步学习和了解MFC的菜单的实现及其响应函数的实现，并设置鼠标的左键激活绘制多边形，右键激活绘制Hermite、Bezier、B样条三种曲线。
5Bezier曲线与曲面2-CAD
第八讲第5章Bézier曲线和曲面张汉茹航宇学院本章内容提要5.1 Bézier曲线的定义5.2 Bézier曲线的几何性质5.3 Bézier曲线的几何作图法5.4 Bézier曲线的改进和使用5.5 Bézier曲线的合成5.6 Bézier曲面是伯恩斯坦基函数和控制顶点的位置矢量的线性组合，是采用逼近的方式来构造曲线的。
∑()() (01)ni i ,n i=0r u =P B u u≤≤P 0P P 2P 3讨论——上次课的延续和本次课的引言1.Bézier 曲线,()(1),0,1,...,i in ii n nB uC u u i n-=-=1) 曲线的起点和终点通过控制多边形的首末顶点;2) 曲线在起点和终点处分别同特征多边形的第一和最后一条边相切;3) 曲线在端点处的二阶导数只与相临的3个顶点有关。
P02. Bézier曲线端点性质有:5.3 Bézier 曲线的几何作图法1ii i+1()= (1-)+i =0,1,2,,n -1P u u P uP 110010010()= (1-)+()= +(-)i =0P u u P uP P u P u P P 则当i ＝０时有：当特征多边形顶点(P i , i=0,1,2, …,n)给定时,为求出曲线上的任意一点，Bézier 给出了一种几何作图方法。
这种作图法给Bézier 曲线的生成提供了一个形象的几何解释。
对于u ∈[0,1]，给定参数值u ，在特征多边形的每条边上找一个分割点，使分割后的两段线段的比值为u :(1-u ),对于以P i 和P i+1为端点的第i+1条边，分点P i 1(u)的位置矢量为P 0P 1P 2P 3P 00P 10P 20P 30P 01P 11P 21P 02P 12分割过程：分割递推算法：P i j =(1-u )P i j-1+u P i+1j-1 P i 0=P ij=1,2, …,n; i=0,1, …,n -jP 0P 2P 1P 3P 11P 01P 21P 03=r (1/3)P 02P 12u =1/3下图为当u=1/3时，对应的曲线上的点的几何作图法：r(1/3)r(0)r(1)5次Bézier曲线的分割过程：Bézier曲线的离散生成Bézier曲线的收敛性：对控制多边形的分割产生的多边形序列一致收敛于r≤≤()(01)u uBézier 曲线是采用逼近而不是插值的方式来构造曲线,不用考虑切矢和扭矢。
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
离散点拟合曲线,Bezier,B样条
§2 贝塞尔曲线
n次Bezier曲线参数矢量方程的一般形式：
xi 其中：Pi（i=0 ,1 , … , n）为n+1个平面离散点，P i y ; i n ! i i i ( n i ) B ( t ) C t ( 1 t ) ， Cn i , n n
i!(n i)!
P2
P1
P3
P2
P1
P3
P4
P5
两条曲线段在连接点P3处，并非光滑，需对该点进行 光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？ 给出2个一般标准：
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同的 切线），或者说一阶导数连续，即 pj 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 1连续。 2. C 2连续 在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即 ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p 及 j j j j
b样条曲面
B样条曲面的算法生成及研究本文由天空乐园大学生旅游网整理分享摘要本文主要介绍B样条曲面的性质、算法、以及应用，让我们对B样条曲面有一个全面的了解。
Ｂ样条曲面不仅在保留了Bézier曲面的优点的同时克服了由于整体表示带来的不具有局部性质的特点，而且成功地解决了样条函数的局部控制问题，轻而易举地在参数连续性上解决了贝奇尔方法的连接问题，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。
B样条曲面中均匀双三次B样条曲面又是各种B 样条曲面中应用最多的一种之一，它避免了B 样条递推定义的繁琐算法，只要给出的空间型值点大致均匀，即可生成空间任何形状的曲面。
而非均匀有理B样条曲面( NU RBS ) 是曲面构造的常用工具, 是目前工业界曲面曲线表示的数学标准。
B-样条曲面是一种特殊NU RBS , 在实际应用中是首选形式。
在本文中我们主要介绍了均匀双三次B样条曲面。
关键词：B样条曲面非均匀B样条曲面双三次均匀B样条曲面 B样条基函数1 引言计算机运用技术的不断发展使得CAD/CAM技术日益提高和完善,为实现工业生产过程自动化展示了光明的前景。
目前,利用程序系统对某一产品实现机辅设计和数控加工的自动化过程已经开始。
然而在实际生产中,数控机床的使用还很不普遍,大部分数控机床仍靠手工编程来实现单一加工。
这除了数控设备价格昂贵之外,控制程序系统的设计难度较大也是重要原因之一。
譬如,对数控铣削加工控制程序系统的设计,尤其是在数控铣床上加工任意形状曲面的程序系统设计,目前还处于探讨摸索之中。
随着汽车、船舶、航空工业的发展，对于工业产品的形状描述也就提出了越来越高的要求。
工业产品的形状大致可以分为两类：一类是仅有初等解析曲面，例如平面、圆柱面、圆锥面、球面以及它们组合而成的规则曲面；另一类是不能由任何解析表达的自由型曲面。
汽车、船舶、飞机的外部零件基本上都是自由曲面。
而自由曲面不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解决的问题。
第五章Bezier曲面与B样条曲面
❖ 性质3：端点的切平面 ➢ 由计算可知，三角
P00
P10
P01、P0m
P1m
P0,m
、
1
Pnm Pn1,m Pn,m1、
和Pn0 Pn1,0 Pn,1、 中打上斜线的三角形）
P30 P20 P31
所在的平面分别在点
P00、P0m、Pn0和Pnm与 曲面P(u, v)相切。
图 Bezier曲面端点的切平面和边界
P10
Pn0
P01 P11
P0m B0,m (v)
P1m
B1,m
(v
)
Pn1
Pnm
Bm
,m
(v
)
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
15
（2） Bezier曲面的性质
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
❖ Bezier曲面有类似于Bezier曲线的性质。
的交点则是r(ui , v j )。事
r(u, v) [ x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
也得到曲面上同一点位置矢量 r(ui , v j ) ，即：
r(ui , v j ) [ x(ui , v j ), y(ui , v j ), z(ui , v j )]
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
7
5.3 曲面的参数表示
❖ 当u ui 时，代入式子r(u, v) [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
得：
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线
，即一条v线。
值的曲面上 的线。
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖当 v v j 时，代入式子 r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
贝塞尔曲线和B样条曲线
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
新-第5章之一-三维图形生成和变换技术-1
计 机图 机图
学
(i=0 如果用一系列直线段将相邻的点 Pi0，Pi1…Pim(i=0，1…n) n) 和 P0j，P1j…Pnj(j=0，l，…m)—一连接起来组成一张空间网格 (j=0 一连接起来组成一张空间网格 称这张网络为m 次曲面特征网格，如图所示。 ，称这张网络为m×n次曲面特征网格，如图所示。 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P( Bezier曲线情况 类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了P(u,v)的大致形 是对特征网格的逼近。 状；P(u,v)是对特征网格的逼近。 p33 p03 p13 p23 3*3次的特 3*3次的特 征曲面网格 p02 p32 p12 p22 p01 p31 p11 p
计 机图 机图
学
第五章
三维图形生成和变换技术
5.1 第五章 三维图形的概念 三维图形生成和变换技术 5.1在计算机图形学中最重要的部分还是三维图形生 三维图形的概念 成与变换， 不仅人们对它感兴趣， 成与变换 ， 不仅人们对它感兴趣 ， 而且在实际应用中 5.2 自由曲面的生成 更加广泛。 更加广泛 。 三维图形生成比起二维图形生成要复杂得 5.3 三维图形变换 多 ， 其根本原因在于我们的图形输入设备和输出设备 5.4 三维图形剪裁和消隐技术 基本上都是二维的， 基本上都是二维的 ， 用这些二维的图形设备去表现空
r (u, v ) = r1 u) + av （
式中a是沿母线方向的常矢量。 式中a是沿母线方向的常矢量。
(o <= u, v <= 1)
图5.4 柱面
计 机图 机图 学
Bezier(贝塞尔 贝塞尔） 二、Bezier(贝塞尔）曲面
B样条曲线与曲面共11页
四、B 样条曲线与曲面Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。
1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。
Ｂ样条曲线的数学表达式为：∑=+⋅=nk n k ki n i u N Pu P 0,,)()(在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。
如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。
其表达式为：∑-=+--+⋅⋅-=kn j nj n j n k j k n u C n u N 01,)()1(!1)(式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B 样条曲线1一次均匀B 样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为：[]10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-u n i u u P i i i P P＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边形。
2二次均匀B 样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量i P （i=0，1，…，n ）定义n －1段二次（k ＝0,1,2， n=2）均匀B 样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i （u ）（i=1，…，n －1），其定义表达为：[]10 ;1,...,1 011022121 121)(112≤≤-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-u n i u u u P i i i i P P P＝ !21（1 － 2 u ＋ u 2）P i －1 ＋ !21（1 ＋ 2 u － 2u 2）P i ＋ !21u 2 P i ＋1＝ N 0，2（u ）P i －1 ＋ N 1，2（u ）P i ＋ N 2，2（u ）P i ＋1 端点位置矢量：)(5.0)0(1i i i P P P +=-，)(5.0)1(1++=i i i P P P ，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i 和P i P i+1的中点。
B样条曲线曲面
p02 ?
p12
??M
T B
W
T
?? p2 ?w???
?? p20 p21 p22 ??
。
简记为
S
yz
?u,
w??
UM
B
PM
T B
W
T
2．均匀双三次B样条曲面
? ? 已知曲面的控制点 pij (i, j ? 0,1,2,3，) 参数u,w且 u, w ? 0,1 ,
构造双三次B样条曲面的步骤同上述。
⑴沿w(或u)向构造均匀二次B样条曲线，即有：
? 1 ? 2 1?? p00 ?
? p00 ?
? ? P0 (w) ? w2 w 1 ??? 2
2
0????
p01
? ?
?
WM
B
? ?
p 01
? ?
?? 1 1 0???? p02 ??
?? p02 ??
经转置后
? ? ? ? p0 w ? p00
p 01
? ? ? 1 (t ? 3)3 ? 4(t ? 2)3 ? 6(t ? 1)3 ? 4(t)3 6 1
= 6 (–t3 + 3t2 – 3t + 1)
? F1,3 (t) ?
1 3!
2 j? 0
(? 1)
j
C
j 4
(t
?
3
?
1?
j)3
? ? ?
1 6
C
0 4
(t
?
2) 3
?
C
1 4
(t
?
1) 3
?
? 2t 2 ? 2t ? 1 Pi?1 ?
1 2
t
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❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
11 01
v
00 u
10
图 曲面片
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
5.3 曲面的参数表示
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
r ( u ,v ) [ x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( , u ,v )]
也得到曲面上同一点位置矢量 r(ui ,vj ) ，即：
r ( u i,v j) [ x ( u i,v j)y ( ,u i,v j)z ( , u i,v j)]
5.3 曲面的参数表示
❖ 例如：如下图的平面片方程为：
r ( u ,v ) r 0 a b uv ( 0 u ,v 1 )
❖ 上式中矢量 r0为平面上
一点的位置矢量，a和 b
为常矢量，且a不平行
b r(1 , 1)
于b ，该平面片是由矢
v
32
量a和 b张成的四边形。
r(u, v)
Z r0
ua
O
Y
X
平面片
eg: 当u=1/3,v=1/2时对应平 面片中一点：
u
线 r(u,v j )，即一条u线。
图-参数曲面
即参数v为定值的曲面 上的线。
5.3 曲面的参数表示
r(ui ,v)
v
r(u, v j )
r(ui ,vj )
rr(u,v)
u
图-参数曲面
❖ 上述两条参数曲线 r(ui ,v) 和 r(u,v j )的交点则是r(ui ,vj )。事 实上，用uui,vvj 代入式子
❖ 当u ui 时，代入式子r ( u ,v ) [ x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
得：r ( u i,v ) [x ( u i,v )y ( ,u i,v )z ( ,u i,v )]
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线 r(ui ,v，) 即一条v线。
值的曲面上 的线。
xx(u,v) 或 yy(u,v)
zz(u,v)
u0uu1 v0vv1
式u 中 ,v为 参 数
v
r(ui ,v)
r(u, v j )
❖ 三维空间任意曲面的 图形如左图示，曲面
r(ui ,vj )
有两族参数曲线，或称 rr(u,v) 为坐标曲线，通常简称
u
u线和v线。
图-参数曲面
5.3 曲面的参数表示
r(1/3,1/2)=r0+a/3+b/2
5.3 曲面的参数表示
❖ 又如下图所示，以固定方向长度为a的直线段作为母线沿
给定一条空间曲线移动生成一个柱面，其方程为：
r ( u , v ) r 1 ( u ) av ( 0 u , v 1 )
上式中 a是沿母线方向的常矢量。
a
直线段
v
u
空间曲线 r1 (u)
曲面的种类繁多，为了便于讨论，将曲面分为两类：
➢ 一类是规则曲面，如柱、锥、椭球、环、双曲面、抛物面 等，它可用参数方程解析地描述；
➢ 另一类是不规则曲面，如Coons曲面、Bezier曲面、B样条 曲面等，这是构造某种曲面的方程问题。本节我们主要讨 论Bezier曲面、B样条曲面的生成与计算。
5.3 曲面的参数表示
注：那么我们如何确定这张曲面 上任意一点的位置呢？ ➢1.若这点恰好落在某一条网格 线上，如右图中的A点，则就可 以根据这条网格线的函数表示来 计算这一点的位置（坐标）； ➢2.若这点不在任何网格线上， 如右图中的B点，则无法计算该 点的精确位置，只能用离该点最 近的一条网格线上的点来近似表 示。
❖ 对于不在网格上的点，若用离该点最近的一条网格线上 的一点来近似表示，这会使得本来精度不很高的近似曲面 在这一点的精度更低，所以用这种方法来产生曲面只能适 合一部分精度不很高的场合。我们可以把平面里自由曲线 生成方法加以推广到曲面的生成问题上，借助于曲面的解 析表达式来处理有关曲面问题。
❖ 又例如：地面则是用一组水平面截得一组等高线表示的， 这实际上是把曲面问题转化为曲线问题。这种处理办法称 为曲线网格表示法，正是利用这些曲线网格来近似地表示 自由曲面。如下所示：
❖ 因此，在产生一张曲面时，我们可以利用一系列的纵横交 错且相互平行的样条曲线来构造曲面，如下图所示。
A B
图 曲面的网格
❖当 v v j 时，代入式子
r(ui ,v)
r ( u ,v ) [x ( u ,v )y ( ,u ,v )z ( ,u ,v )]
v
r(u,v j )
得：
r(u ,v j) [x (u ,v j)y ( ,u ,v j)z(,u ,v j)]
r(ui ,vj ) rr(u,v) 上式则是曲面上另一条参数曲
❖ 在计算机出现之前以及在计算几何没有很好地发展之 前，对于一些工程实际中应用的复杂自由曲面，如飞机、 轮船、汽车等几何外形的描述以及地形形状的表示，传统 的处理办法是用一组或几组平行平面去截这个曲面，画出 几组截交线来表示这个曲面。
❖ 例如：船体就是用相互正交的三组平面截得的纵剖线、横 剖线和水平线表示的；
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 曲面的参数表示 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、B样条曲面的生成
曲线与曲面的生成与计算
❖ 曲面和曲线一样，是计算机图形学中研究的重要内容 之一，它们在实际工作中有着广泛的应用。在工程应用中， 常用的自由曲面有很多，例如：Bezier曲面、 B样条曲面、 Coons曲面等。
柱面
r(u, v)
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲面和B样条曲面
一、Bezier（贝塞尔）曲面
❖ 如前所述， Bezier曲线是一条与控制多边形顶点位置有严 格关联关系的曲线， Bezier曲线形状趋向于特征多边形的形 状，而且阶数由控制多边形顶点的个数决定。 ❖ Bezier 曲 面 是 由 Bezier 曲 线 拓 广 而 来 ， 它 也 是 以 Bernstein函数作为基函数，是由Bernstein基函数构造空间 点阵列的位置来控制的。 ❖ Bezier曲线是由特征多边形控制的； Bezier曲面则是由特 征网格顶点控制的。二者在表达式上也十分相似。