角平分线的性质与判定培优讲义

授课教案

教学标题 角平分线的性质

教学目标 熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。

教学重难点

重点：角平分线的性质和判定.难点：角平分线的性质和判定的综合应用.

上次作业检查 授课内容： 一．作业讲解

二．知识梳理

知识点一 角平分线的定义

知识点二 作角平分线（尺规作图，四弧一线） 知识点三 角平分线的性质

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴AP=BP. 知识点四 角平分线的判定 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上. 知识点五 角平分线的综合应用

三．典型例题

例1：如图，已知点C 为直线AB 上一点，过C 作直线CM ，使CM AB ⊥于C 。

分析：由于AB 是直线，要求作CM AB ⊥，实际上就是要作平角ACB ∠的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM.

例2：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。连接EF ，交AD 于点G 。说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。

分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。 角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断.

例3：如图，BE CF =，DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D 。求证：AD 平分BAC ∠。

O

A

B

P

分析：要证AD 平分BAC ∠，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明.

例6：如图，在ABC ∆中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，

BD DF =。求证：CF EB =。

分析：由已知条件很容易得到DC ＝DE ；要证明CF ＝EB ，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。

四．课堂练习

1.如图，D 是ABC ∆的外角ACE ∠的平分线上一点，DF AC ⊥于F ，DE BC ⊥于E ，且交BC 的延长线于E .求证：CE CF =.

2.如图，,F G 是OA 上两点，,M N 是OB 上两点，且FG MN =，PFG PMN S S ∆∆=，试问点P 是否在AOB ∠的平分线上？

3.如图，已知在ABC ∆中，BD DC =，12∠=∠.求证：AD 平分BAC ∠.

五．课后反思：

1. 性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；

2.判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”.

一、选择题：

1. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条高的交点

D. 三条角平分线的交点

2. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7B D C D =，则点D 到AB 的距离为（ ）

A. 18

B. 16

C. 14

D. 12

3. 如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）

A. 一处

B. 两处

C. 三处

D. 四处

4. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D ，若CD n =，AB m =，则ABD ∆的面积是（ ）

A.

1

3

m n B.

1

2

mn C. mn D. 2mn

5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点,,D E F 分别是垂足，且10AB cm =，8BC cm =，6CA cm =，则

点O 到三边,,AB AC BC 的距离分别等于（ ）cm

A. 2、2、2

B. 3、3、3

C. 4、4、4

D. 2、3、5

二、填空题：

6. 如图，已知,BA CA 分别是DBC ∠，ECB ∠的平分线，BD DE ⊥，CE DE ⊥，垂足分别为,D E ，则DA 与EA 有怎样的数量关系____________。

7. 已知ABC ∆中，90C ∠=，AD 平分A ∠，2AD BD CD ==，点D 到AB 的距离等于 5.6cm ，则BC 的长为___________cm 。

8. 如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，

DF BC ⊥于F ，236ABC S cm ∆=，18AB cm =，12BC cm =，则DE 的长是__________。

三、解答题：

9. 如图，AB //CD ，90B ∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠。求证：AE 平分DAB ∠。

10. 如图，已知在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=，AC 平分BAD ∠，CE AD ⊥，E 为垂足。求证：2AB AD AE +=。