解正定线性方程组的CG方法
用共轭梯度法解最小二乘问题
用共轭梯度法求解最小二乘问题摘要 本文先讨论了求解对称正定线性方程组的共轭梯度法.然后对系数矩阵列满秩的线性方程组运用正则化方法将其转化为对称正定线性方程组后再运用实用共轭梯度法进行求解，最后举例并通过Matlab 程序实现其结果.关键词 共轭梯度法；正则化方法；最小二乘问题；Krylov 子空间1 引言在实际的科学与工程问题中，常常将问题归结为一个线性方程组的求解问题，而求解线性方程组的数值解法大体上可分为直接法和迭代法两大类.直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法.因此，直接法又称为精确法.迭代法则是采取逐次逼近的方法，亦即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列,其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不到精确解.当线性方程组的系数矩阵为对称正定矩阵时，我们常用共轭梯度法（或简称CG 法）求解，目前有关的方法与理论已经相当成熟，并且已成为求解大型稀疏线性方程组最受欢迎的一类方法.2 最小二乘问题定义1[1] 给定矩阵m n A R ⨯∈，A 列满秩及向量m b R ∈，确定nx R ∈使得()()2222min min n ny Ry Rb Ax r x r y Ay b ∈∈-===-. 该为问题称为最小二乘问题，简记为LS （Least Squares ）问题，其中()r x 称为残向量.最小二乘问题的解x 又可称为线性方程组Ax b =，m n A R ⨯∈的最小二乘解，即x 在残向量()r x b Ax =-的2范数最小的意义下满足线性方程组 Ax b =，m n A R ⨯∈.3 共轭梯度法考虑线性方程组Ax b =的求解问题，其中A 是给定的n 阶对称正定矩阵，b 是给定的n 维向量，x 是待求解的n 维向量.为此,定义二次泛函()2T T x x Ax b x ϕ=-.定理1[1]设A 对称正定,求方程组Ax b =的解，等价于求二次泛函()x ϕ的极小点. 定理1表明，求解线性方程组问题就转化为求二次泛函()x ϕ的极小点问题.求解二次函数极小值问题，通常好像盲人下山那样，先给定一个初始向量0x ，确定一个下山方向0p ，沿着经过点0x 而方向为0p 的直线00x x p α=+找一个点1000x x p α=+，使得对所有实数α有()()00000x p x p ϕαϕα+≤+，即在这条直线上1x 使()x ϕ达到极小.然后从1x 出发，再确定一个下山的方向1p ，沿着直 线11x x p α=+再跨出一步，即找到1α使得()x ϕ在2111x x p α=+达到极小：()()11111x p x p ϕαϕα+≤+.重复此步骤，得到一串012,,,ααα 和 012,,,p p p ，称k p 为搜索方向，k α为步长.一般情况下，先在k x 点找下山方向k p ，再在直线k k x x p α=+上确定步长k α使()(),k k k k k x p x p ϕαϕα+≤+最后求出1k k k k x x p α+=+.然而对不同的搜索方向和步长，得到各种不同的算法.由此，先考虑如何确定k α.设从k x 出发，已经选定下山方向k p .令()()k k f x p αϕα=+()()()2TT k k k k k k x p A x p b x p ααα=++-+()22TT k k k k k p Ap r p x ααϕ=-+，其中k k r b Ap =-.由一元函数极值存在的必要条件有()220TT k k k k f p Ap r p αα'=-=所确定的α即为所求步长k α，即T k kk Tk kr p p Ap α=. 步长确定后，即可算出1k k k k x x p α+=+.此时，只要0Tk k r p ≠，就有()()()()1k k k k k k x x x p x ϕϕϕαϕ+-=+-()2220T kk TTk k k k k kT k kr p p Ap r p p Ap αα=-=-<即()()1k k x x ϕϕ+<.再考虑如何确定下山方向k p .易知负梯度方向是()x ϕ减小最快的方向，但简单分析就会发现负梯度方向只是局部最佳的下山方向，而从整体来看并非最佳.故采用新的方法寻求更好的下山方向——共轭梯度法.定义2[2]若n 维非零向量,x y 满足0T x Ay =其中A 为n 阶对称正定矩阵，则称x 与y 是相互共轭（A -共轭）的. 下面给出共轭梯度法的具体计算过程:给定初始向量0x ，第一步仍选用负梯度方向为下山方向，即00p r =，于是有00010001000,,T T r r x x p r b Ax p Ap αα==+=-.对以后各步，例如第k+1步（k ≥1）,下山方向不再取k r ，而是在过点由向量k r 和1k p -所张成的二维平面21{|,,}k k k x x x r p R πξηξη-==++∈内找出使函数ϕ下降最快的方向作为新的下山方向k p .考虑ϕ在2π上的限制：()1,()k k k x r p ψξηϕξη-=++11()()Tk k k k k k x r p A x r p ξηξη--=++++12()Tk k k b x r p ξη--++.计算ψ关于,ξη的偏导得：()()11112,2,T T T k k k k k k T Tk k k k r Ar r Ap r r r Ap p Ap ψξηξψξηη----∂=+-∂∂=+∂其中最后一式用到了10Tk k r p -=，这可由k r 的定义直接验证.令0ψψξη∂∂==∂∂， 即知ϕ在2π内有唯一的极小值点001k k k x x r p ξη-=++，其中0ξ和0η满足00101011,0.T T T k k k k k k T Tkk k k r Ar r Ap r r r Ap p Ap ξηξη----⎧+=⎨+=⎩ 由于0k r ≠必有00ξ≠，所以可取()0101k k k k p x x r p ηξξ-=-=+作为新的下山方向.显然，这是在平面2π内可得的最佳下山方向.令010k ηβξ-=，则可得 1111.T k k k T k k r Ap p Ap β----=-注：这样确定的k p 满足10Tk k p Ap -=，即k p 与1k p -是相互共轭的.总结上面的讨论，可得如下的计算公式：T k kk Tk kr p p Ap α= ， 1k k k k x x p α+=+， 11k k r b Ax ++=-， 1T k kk Tk kr Ap p Ap β+=-， 11k k k k p r p β++=+. 在实际计算中，常将上述公式进一步简化，从而得到一个形式上更为简单而且对称的计算公式.首先来简化1k r +的计算公式：11()k k k k k k k k r b Ax b A x p r Ap αα++=-=-+=-.因为k Ap 在计算k α是已经求出，所以计算1k r +时可以不必将1k x +代入方程计算，而是从递推关系1k k k r b Ap α+=-得到.再来简化k α和k β的计算公式.此处需要用到关系式1110,T T T k k k k k k r r r p r p +-+=== 1,2,k =.从而可导出1111,T T k k k kr r r α+++=-，()111T TTk k k k k k k kkp Ap p r r p r αα+=-=()1111T T k k k k k k kkr r p r r βαα--=+=.由此可得,T k k k T k k r r p Ap α=， 11.T k k k T k kr r r r β++=.从而有求解对称正定方程组的共轭梯度法算法如下：0x =初值00r b Ax =-；0k =while 0k r ≠1k k =+if 1k = 00p r =else21122T Tk k k k k r r r r β-----= 1122k k k k p r p β----=+ end11111T Tk k k k k r r p Ap α-----= 111k k k k x x p α---=+ 111k k k k r r Ap α---=-endk x x =注：该算法每迭代一次仅需要使用系数矩阵A 做一次矩阵向量积运算. 定理2 [1]由共轭梯度法得到的向量组{}i r 和{}i p 具有如下基本性质：（1）0Ti j p r =， 0;i j k ≤<≤ （2）0Ti j r r =， i j ≠，0,;i j k ≤≤ （3）0Ti j p Ap =， i j ≠，0,;i j k ≤≤ （4）000{,,}{,,}(,,1)k k span r r span p p A r k κ==+，其中0000(,,1){,,,}k A r k span r Ar A r κ+=，通常称之为Krylov 子空间.下面给出共轭梯度法全局最优性定理：定理3[1]用共轭梯度法计算得到的近似解k x 满足()(){}00min :(,,)k x x x x A r k ϕϕκ=∈+或{}**00min :(,,)k AAx x x x x x A r k κ-=-∈+，其中Ax=，*x 是方程组Ax b =的解，0(,,)A r k κ是由所定义的Krylov 子空间.定理2表明，向量组0,,k r r 和0,,k p p 分别是Krylov 子空间0(,,1)A r k κ+的正交基和共轭正交基.由此可知，共轭梯度法最多n 步便可得到方程组的解*x .因此，理论上来讲，共轭梯度法是直接法.然而实际使用时，由于误差的出现，使k r 之间的正交性很快损失，以致于其有限步终止性已不再成立.此外，在实际应用共轭梯度法时，由于一般n 很大，以至于迭代()O n 次所耗费的计算时间就已经使用户无法接受了.因此，实际上将共轭梯度法作为一种迭代法使用，而且通常是k r 是否已经很小及迭代次数是否已经达到最大允许的迭代次数max k 来终止迭代.从而得到解对称正定线性方程组的实用共轭梯度法，其算法如下：x =初值0;k =;r b Ax =-T r r ρ=while)()max2band k kε><1k k =+if 1k =p r = else;p r p βρρβ==+ end;;TAp p x x p ωαρωα===+ ;;Tr r r r αωρρρ=-== end算法中，系数矩阵A 的作用仅仅是用来由已知向量p 产生向量Ap ω=，这不仅可以充分利用A 的稀疏性，而且对某些提供矩阵A 较为困难而由已知向量p 产生向量Ap ω=又十分方便的应用问题有益.4 共轭梯度法求解最小二乘问题的正则化方程组（法方程组）定理4[1] 当A 列满秩时，求最小二乘问题的解等价于解T TA Ax A b =.应用共轭梯度法于对称正定方程组T T A Ax A b =来求方程组Ax b =，m nA R ⨯∈()m n ≥且A 列满秩的最小二乘解，即为Krylov 子空间法中的正则化方法.由A 列满秩有T A A 对称正定，则方程组T T A Ax A b =，m nA R ⨯∈()m n ≥存在唯一解.下面给出其实用共轭梯度法的详细算法且算法中不出现计算TA A 情形:x =初值0;;;;T T k b A b m Ax r b A m ====-while)()max2band k kε><1k k =+if 1k =p r = else;p r p βρρβ==+end;;;T Tn Ap A n p x x p ωαρωα====+ ;;Tr r r r αωρρρ=-==end注：算法中采用了两次矩阵向量积来避免出现计算T A A 情形.算例编写实用共轭梯度法的Matlab 程序求解方程组TTA Ax A b =，其中11112231A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦, 1234b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 先建立conjgrad.m 文件，内容如下:function [x]=conjgrad(A,b,x) A=[1 -1;-1 1;2 -2;-3 1]; b=[1;2;3;4]; x=rand(2,1); k=0;b=A'*b;m=A*x; r=b-A'*m; T=r'*r;While norm(r)>1e-10*norm(b) k=k+1; if k==1 p=r;else B=T/t; p=r+B*p;endn=A*p;w=A'*n; a=T/(p'*w); x=x+a*p; r=r-a*w; t=T; T=r'*r; end然后运行后得 ans =-2.4167 -3.2500即有方程组的数值解 2.41673.2500x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.而其精确解可由如下方法求得: 111123111591121229731T A A -⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，11123271121314T A b ⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 则有121597971x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 解得122912134x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即方程精确解为*2912134x ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，故可验证通过Matlab 程序求得的数值解2.41673.2500x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦满足精度要求.5 总结本文首先给出最小二乘问题的定义，随后从盲人下山法开始讨论了共轭梯度法的具体推导过程及其相关性质与算法.继而重点给出正则化方法的实用共轭梯度算法并举例进行检验.最后，需要说明虽然正则化方法是求一般线性方程组Ax b =，m nA R⨯∈()m n ≥且A 列满秩的最小二乘解的一种方法且简单易行，但是也有许多不足之处，如m n >时一般无解；TA A 形成时运算量大，A 中某些信息会丢失；当A 病态时其收敛性速度由于222()()T A A A κκ=很大变得非常之慢等，故为了避免正则化方法的缺点，还可运用残量极小化方法或残量正交化方法等更好的方法来解决此类问题.参考文献[1] 徐树方，高立，张平文.数值线性代数[M].北京：北京大学出版社，2000.139--151. [2] 施光燕，董加礼.最优化方法[M].北京：高等教育出版社，1999.47--52.。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种求解方法1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
该方法的基本思想是通过对方程组进行一系列简化操作，使得方程组的解易于求得。
首先将方程组表示为增广矩阵，然后通过一系列的行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形，最后通过回代求解出方程组的解。
2.列主元高斯消元法列主元高斯消元法是在高斯消元法的基础上进行改进的方法。
在该方法中，每次选取主元时不再仅仅选择当前列的第一个非零元素，而是从当前列中选取绝对值最大的元素作为主元。
通过选取列主元，可以避免数值稳定性问题，提高计算精度。
3.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的方法。
首先进行列主元高斯消元法得到行阶梯形矩阵，然后对行阶梯形矩阵进行进一步的操作，得到L和U。
最后通过回代求解出方程组的解。
4.追赶法（三角分解法）追赶法也称为三角分解法，适用于系数矩阵是对角占优的三对角矩阵的线性方程组。
追赶法是一种直接求解法，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过简单的代数运算即可求得方程组的解。
5.雅可比迭代法雅可比迭代法是一种迭代法，适用于对称正定矩阵的线性方程组。
该方法的基本思想是通过不断迭代求解出方程组的解。
首先将方程组表示为x=Bx+f的形式，然后通过迭代计算不断逼近x的解。
6.高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，使用已经更新的解来计算新的解。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
7.松弛因子迭代法松弛因子迭代法是一种对高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，通过引入松弛因子来调节新解与旧解之间的关系。
可以通过选择合适的松弛因子来加快迭代速度。
以上是一些常用的线性方程组求解方法，不同的方法适用于不同类型的线性方程组。
在实际应用中，根据问题的特点和要求选择合适的求解方法可以提高计算的效率和精度。
线性方程组求解方法
线性方程组求解方法a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b其中，a1、a2、a3、..、an为已知常数，b为已知常数或未知数，x1、x2、x3、..、xn为未知数。
求解线性方程组的方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。
1.直接代入法：直接代入法是最简单的求解线性方程组的方法之一、对于一个线性方程组，选择一个方程，解出一个未知数，然后将该解代入其他方程中，依次求解出其他未知数，最后验证是否满足所有方程。
2.消元法：消元法是求解线性方程组的一种常用方法，它通过对方程进行变换，将方程组简化为较简单的等价方程组。
可以分为高斯消元法和高斯-约当消元法两种。
-高斯消元法：高斯消元法是将线性方程组转化为上三角形方程组的一种方法，具体步骤如下：(1)将方程组排列成增广矩阵的形式；(2)选择一个方程，将其系数除以该方程的首个非零系数，以确保方程组的首个系数为1；(3)用该方程的倍数加到其他方程上，将其他方程的首个系数变为0；(4)重复上述步骤，直到得到上三角形方程组；(5)通过回代求解未知数的值。
-高斯-约当消元法：高斯-约当消元法是扩展了高斯消元法，可以将线性方程组转化为最简形式的一种方法，具体步骤如下：(1)将方程组排列成增广矩阵的形式；(2)取矩阵的第一个元素为主元，在主元所在的列中找到绝对值最大的元素，将其移动到主元的位置；(3)利用主元的倍数加到其他行，使得主元所在列的其他元素都变为0；(4)重复上述步骤，直到找到主元；(5)利用回代求解未知数的值。
3.矩阵法：矩阵法是利用矩阵来求解线性方程组的一种方法。
线性方程组可以表示为AX=B的形式，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
通过对系数矩阵进行逆矩阵操作，可以得到未知数矩阵的解。
4.克莱姆法则：克莱姆法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，如果方程组的系数矩阵A满足行列式，A，不等于零，则可以使用克莱姆法则求解。
解正定线性方程组的CG方法
例题
2 0 1 x1 3 0 1 0 x2 = 1 1 0 2 x3 3 x0 (0,0,0)T ，则 解：取初始近似 r0 Ax0 b (3,1,3)T
p0 r0 (3,1,3)T
对于k 0, 计算得 T Ap0 (9,1,9)T , p0 Ap0 55 因此 r0T p0 19 19 0 - T , x1 x0 0 p0 (3,1,3)T p0 Ap0 55 55
6 r1 Ax1 b r0 0 Ap0 (1,6,1)T 55 72 0 (r1 , Ap0 ) /( p0 , Ap0 ) 2 55 114 p1 r1 0 p0 2 (1,18,1)T 55
则函数 有如下性质： n （1）对一切 x R ，有
grad ( x) Ax b
n （2）对一切 x, y R , R ,有
（2.12）
1 （x y ) ( A( x y ), x y ) (b, x y) 2 a2 ( x) ( Ax b, y ) ( Ay, y ) （2.13） 2
要使p1与p2为A共轭，必须
T p2 Ap1 (r2 1 p1 )T Ap1 0
从而得到
1 (r2 , Ap1 ) /( p1 , Ap1 )
依此类推，一般地，计算
rk 1 Axk 1 b
若rk 1 0, 则xk 1为方程组(2.11)的解，停止计算; 否则，令
T j T j i 0 k 1
p r i p T Api p T r0 j p T Ap j j j j
T j 0 i 0
线性方程组求解的常用方法与技巧
线性方程组求解的常用方法与技巧线性方程组是数学中常见的问题，它的求解在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组求解的常用方法与技巧。
一、高斯消元法高斯消元法是线性方程组求解最常用的方法之一。
它通过化简矩阵，将线性方程组转化为阶梯形式，从而求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵形式。
2. 选择一个主元，通常选择第一列的首个非零元素。
3. 通过初等变换，将主元所在列的其他元素消成零。
4. 重复步骤2和3，直到转化为阶梯形式。
5. 回代求解未知数，得出线性方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易行，适用于任意规模的线性方程组。
然而，该方法在面对大规模线性方程组时会面临计算复杂度高的问题。
二、雅可比迭代法雅可比迭代法是另一种常用的线性方程组求解方法，它通过迭代逼近的方式求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为矩阵形式，即AX=B。
2. 对矩阵A进行分解，将其分解为D、L和U三个矩阵，其中D是A的对角线矩阵，L是A的下三角矩阵，U是A的上三角矩阵。
3. 利用雅可比迭代公式，依次迭代计算未知数的值，直到满足收敛条件。
4. 得到线性方程组的解。
雅可比迭代法的优点是适用于稀疏矩阵，且收敛性较好。
然而，它的迭代次数通常较多，计算效率较低。
三、LU分解法LU分解法是线性方程组求解的一种常见方法，它将矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为矩阵形式，即AX=B。
2. 对矩阵A进行LU分解，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。
3. 将方程组AX=B转化为LUx=B，再分别解得Ly=B和Ux=y两个方程组的解。
4. 得到线性方程组的解。
LU分解法的优点是可以重复利用分解后的LU矩阵求解不同的线性方程组，从而提高计算效率。
然而，该方法对于具有大量零元素的矩阵不适用。
四、克拉默法则克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它通过计算行列式的方式求解未知数的值。
共轭梯度(CG)算法
共轭梯度（CG）算法共轭梯度（Conjugate Gradient, CG）算法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
它主要用于求解对称正定矩阵的线性方程组，如最小二乘问题、PDE（偏微分方程）问题等。
CG算法通过利用矩阵的对称性和正定性，以及向量的共轭关系，实现了高效的求解线性方程组的能力。
CG算法的基本思想是通过一系列共轭的方向，逐步逼近方程组的解。
它利用了矩阵的特性，减少了计算量和存储需求，并且具有较快的收敛速度。
下面将介绍CG算法的原理和过程。
首先，假设我们要求解一个线性方程组Ax=b，其中A是对称正定矩阵，b是已知向量，x是待求解向量。
我们通过迭代的方式逼近x的解，即x(k)。
CG算法的迭代过程如下：1.初始化：选择一个初始解x(0)，设置r(0)=b-Ax(0)，p(0)=r(0)，k=0；2. 迭代计算：计算步长alpha(k)和更新向量x(k+1)：alpha(k) = (r(k)^T * r(k)) / (p(k)^T * A * p(k))x(k+1) = x(k) + alpha(k) * p(k)3. 计算残差向量r(k+1)和比例系数beta(k+1)：r(k+1) = r(k) - alpha(k) * A * p(k)beta(k+1) = (r(k+1)^T * r(k+1)) / (r(k)^T * r(k))4.更新方向p(k+1)：p(k+1) = r(k+1) + beta(k+1) * p(k)5.终止条件判断：如果满足终止条件，停止迭代；否则，令k=k+1，返回步骤2在CG算法中，为了降低数值误差和迭代次数，通常会使用预条件技术，如Jacobi预条件、不完全Cholesky预条件等。
预条件技术可以通过对矩阵进行适当的近似，加速算法的收敛。
CG算法的收敛性和效率主要与矩阵的条件数有关。
对于条件数较大的矩阵，CG算法的迭代次数会增加，收敛速度会减慢。
因此，在实际应用中，通常会选择合适的预条件技术和求解策略，以提高CG算法的效率和稳定性。
线性方程组的解法线性方程组
线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。
解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。
本文将介绍线性方程组的解法和应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。
它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。
2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。
3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。
4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。
高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。
它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。
2. 计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。
三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。
它利用行列式的性质来求解未知数。
具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。
2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。
3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。
4. 将每个未知数的解依次计算出来。
克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中重要的概念，它是由一系列线性方程组成的方程组。
解决线性方程组的问题在实际应用中具有重要意义，因为它们可以描述许多自然和社会现象。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵法以及向量法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常用方法之一。
它通过对方程组进行一系列的消元操作，将方程组转化为简化的等价方程组，从而求得方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将所有系数按照变量的次序排列，并在最后一列写上等号右边的常数。
2. 选取一个主元素，通常选择第一列第一个非零元素作为主元素。
3. 消去主元素所在的列的其他非零元素，使得主元素所在列的其他元素都变为零。
4. 选取下一个主元素，继续重复消元操作，直到将所有行都消为阶梯形。
5. 进行回代，从最后一行开始，求解每个变量的值，得到线性方程组的解。
二、矩阵法矩阵法是另一种解决线性方程组的常用方法。
它将线性方程组写成矩阵形式，通过矩阵的运算求解方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，即系数矩阵乘以未知数向量等于常数向量。
2. 对系数矩阵进行行变换，将系数矩阵化为行阶梯形矩阵。
3. 根据行阶梯形矩阵，得到线性方程组的解。
三、向量法向量法是解决线性方程组的一种简洁的方法。
它将线性方程组转化为向量的内积形式，通过求解向量的内积计算方程组的解。
步骤如下：1. 将线性方程组写成向量的内积形式，即一个向量乘以一个向量等于一个数。
2. 根据向量的性质，求解向量的内积，得到线性方程组的解。
以上是几种常见的线性方程组的解法。
在实际应用中，根据具体情况选择适合的解法，以高效地求解线性方程组的解。
通过掌握这些解法，可以更好地解决与线性方程组相关的问题，提高问题的解决能力。
结论线性方程组是数学中重要的概念，解决线性方程组的问题具有重要意义。
通过高斯消元法、矩阵法和向量法等解法，可以有效求解线性方程组的解。
线性方程组求解方法 高等代数视角
线性方程组求解方法高等代数视角线性方程组求解方法——高等代数视角线性方程组是高等代数中的重要概念，其解法在实际问题中有广泛的应用。
本文将从高等代数的角度出发，介绍几种常用的线性方程组求解方法，包括高斯消元法、矩阵求逆法、Cramer法则和特征值分解法。
1. 高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
其基本思想是通过一系列行变换将线性方程组转化为阶梯形方程组，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：（1）将方程组写成增广矩阵的形式，即将方程组的系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
（2）选取一个主元素，在进行行变换时，以该主元素所在的行为基准进行消元操作。
（3）通过行变换，将主元素下方的所有元素消为0，并重复此步骤，直到得到阶梯形矩阵。
（4）根据得到的阶梯形矩阵，逐行计算出未知数的值。
2. 矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解决线性方程组的常用方法。
当系数矩阵可逆时，可以通过矩阵的逆来求解线性方程组。
是未知数向量，B是常数向量。
（2）如果系数矩阵A可逆，那么方程组的解可以表示为X=A^(-1)B。
（3）通过已知的矩阵求逆方法，求出系数矩阵的逆A^(-1)，然后将其与常数向量B相乘，即可得到方程组的解向量X。
3. Cramer法则Cramer法则是另一种解决线性方程组的方法。
它基于行列式的性质，利用矩阵运算求解线性方程组。
（1）将线性方程组写成矩阵形式AX=B，在这里A是系数矩阵，X 是未知数向量，B是常数向量。
（2）计算系数矩阵A的行列式，如果行列式不为0，则方程组有唯一解。
（3）根据Cramer法则，解向量X的每个元素可以表示为X_i =|A_i| / |A|，其中|A_i|表示将系数矩阵A的第i列替换为常数向量B后的行列式，|A|表示系数矩阵A的行列式。
4. 特征值分解法特征值分解法是解决线性方程组的另一种方法，它基于特征值和特征向量的概念。
是未知数向量，λ是特征值。
（2）通过求解特征值方程det(A-λI)=0，得到系数矩阵A的特征值。
线性方程组的正解
线性方程组的正解
线性方程组是数学中极其重要的一部分，它可以使高度复杂的现实世界问题变得清晰明了，也许它们能够给我们提供一种不可思议的智慧。
那么究竟线性方程组的正解是怎么回事呢？
首先，我们要明确的是，一元线性方程在数学语言中可以表达为：ax+b=0，其中a、b为实数，x为未知量。
线性方程组的正解就是他们的解的集合，他们满足等式的条件。
然后，我们来讨论一下寻找线性方程组正解的方法。
最常见的方法有几种：
第一种是解析解法，也可以称之为代数法。
它是由一组线性方程组合并或继续化简，然后确定未知数的值的一种方法，只需要解析这个方程即可。
第二种是图解定点法，通过在图形上将所有等式用曲线表示出来，然后图形的交点求得线性方程组的答案。
第三种是数值法，通过迭代的方式，逐步地求解线性方程组，实现得到准确的解。
最后，我要提醒大家，线性方程组的正解一般不存在，只能在特定条件下才能出现答案。
因此，当我们面对线性方程组时，要熟悉使用不同的方法，努力寻找答案的正确方向。
共轭梯度法
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
求解线性方程组的方法
求解线性方程组的方法1. 矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
它通过对线性方程组的系数矩阵进行行变换，将其化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并为增广矩阵。
2. 选择一个主元，通常选择矩阵的左上角元素作为主元。
3. 利用主元所在行的系数将其他行的对应系数消去。
4. 重复以上步骤，不断选取主元，直到将增广矩阵化为行阶梯形式。
5. 根据行阶梯形式，可以得到线性方程组的解。
如果出现矛盾或自由变量，则方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种求解线性方程组的方法。
它利用线性方程组的系数矩阵的逆矩阵，通过矩阵乘法得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵A求逆，得到逆矩阵A^-1。
2. 将线性方程组的常数向量b作为列向量。
3. 将逆矩阵A^-1与常数向量b相乘，得到方程组的解向量x。
需要注意的是，矩阵求逆法要求线性方程组的系数矩阵是可逆的，即行列式不为零，否则无法求解。
3. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是对矩阵消元法的改进。
它在选择主元时不仅考虑行，还同时考虑列，从而提高了计算的准确性和稳定性。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并为增广矩阵。
2. 选择一个主元，同时考虑主元所在的行和列，通常选择主元绝对值最大的元素作为主元。
3. 利用主元所在行的系数将其他行的对应系数消去。
4. 重复以上步骤，不断选取主元，直到将增广矩阵化为行阶梯形式。
5. 根据行阶梯形式，可以得到线性方程组的解。
如果出现矛盾或自由变量，则方程组无解或有无穷多解。
以上是求解线性方程组的三种常用方法，根据具体问题的复杂程度和要求的精确性，选择相应的方法进行求解。
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数都是一次项（与其他未知数之间没有乘法关系）。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程的未知数的值。
线性方程组的求解方法有多种，包括高斯消元法、矩阵方法、Cramer法则等。
1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一、它通过将线性方程组转化为行简化阶梯形矩阵的形式，从而求得未知数的值。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵的最后一列为方程组的常数项。
第二步，选择一行（通常选择第一行）为主元行，并将其系数设置为1第三步，对于其他行，通过消去主元的系数，并使得该列上下的其他系数为零。
这一步称为消元操作。
第四步，重复第三步，直到所有行都被消元为止。
第五步，通过回代法，将最简形的增广矩阵转化为解方程组所需的形式。
从最后一行开始，将未知数的值代入到其他行的系数中，直到所有未知数都求得其值。
2.矩阵方法矩阵方法是一种利用矩阵运算求解线性方程组的方法。
该方法可以通过矩阵的逆矩阵、伴随矩阵等来求解。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式。
第二步，求解系数矩阵的逆矩阵。
第三步，将逆矩阵和常数矩阵相乘，得到未知数的解向量。
3. Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的方法，可以求解n元线性方程组。
该方法的基本思想是通过计算行列式的值来求解方程组。
具体步骤如下：第一步，计算线性方程组的系数矩阵的行列式值，如果行列式值不为零则方程组有唯一解，如果行列式值为零，则方程组无解或者有无穷多解。
第二步，将系数矩阵的每一列用常数项替换，并计算其行列式值。
第三步，将每个未知数的系数矩阵的行列式值除以原始行列式的值，得到解向量。
4.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的方法。
该方法利用了矩阵分解的性质，通过将线性方程组转化为一个简单的形式，从而求得未知数的值。
求解线性方程组的几种方法
求解线性方程组的几种方法1.列主元高斯消元法：列主元高斯消元法是最常用的求解线性方程组的方法之一、该方法的基本思想是通过消元将系数矩阵转化为上三角矩阵，并通过回代求解未知数。
具体步骤如下：(1)将线性方程组表示为增广矩阵的形式；(2)选取第一列的绝对值最大的元素所在的行，将该行交换到最上面，作为第一步的消元主元；(3)通过一系列的行变换将第一列的所有元素下方的元素消为零；(4)对剩余的n-1个未知数重复以上步骤，即第i步时，将第i列下方的元素消为零；(5)回代求解未知数。
2.列主元LU分解法：列主元LU分解法是通过将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，从而将线性方程组的求解转化为求解两个三角矩阵的问题。
具体步骤如下：(1)将线性方程组表示为增广矩阵的形式；(2)选取第一列的绝对值最大的元素所在的行，将该行交换到最上面，作为第一步的分解主元；(3)通过一系列的行变换将第一列的所有元素下方的元素消为零，得到U矩阵；(4)记录每一步的行变换矩阵，得到L矩阵；(5)将已经求得的L和U矩阵代入LUx=b中，得到两个三角矩阵的乘积，即LUx=b；(6)先解Ly=b，再解Ux=y，得到未知数的解。
3. Jacobi迭代法：Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
通过不断迭代，逐渐逼近方程组的解。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组重新排列为x=kx+C的形式，其中C表示其他项的系数和常数项；(2)初始化k为0向量；(3) 根据x=kx+C的形式，对每一个未知数进行迭代更新，x_i^(new)=(b_i-Σ(a_ij * x_j))/a_ii；(4)重复迭代直到满足预定的精度要求。
4. Gauss-Seidel迭代法：Gauss-Seidel迭代法也是一种迭代求解线性方程组的方法。
与Jacobi迭代法不同的是，Gauss-Seidel迭代法在每一次迭代中使用每个未知数的最新值。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组重新排列为x=kx+C的形式，其中C表示其他项的系数和常数项；(2)初始化k为0向量；(3) 根据x=kx+C的形式，对每一个未知数进行迭代更新，x_i^(new)=(b_i-Σ(a_ij*x_j^(new))+Σ(a_ij*x_j^(old)))/a_ii；(4)每次更新一个未知数时，使用该未知数最新的值进行计算；(5)重复迭代直到满足预定的精度要求。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种求解方法线性方程组是指由一系列线性方程组成的方程组。
求解线性方程组是在给定的约束条件下找到满足所有方程的解。
在数学和工程领域，线性方程组的求解是一项重要的任务，涉及到许多实际问题的建模和分析。
本文将介绍几种常见的线性方程组的求解方法。
1. 高斯消元法（Gaussian elimination）高斯消元法是求解线性方程组的最常用方法之一、它通过矩阵的初等行变换将线性方程组化简为阶梯形矩阵，然后通过回代求解未知数的值。
高斯消元法具有简单、直观的特点，适用于一般的线性方程组求解。
2. 列主元高斯消元法（Gaussian elimination with partial pivoting）列主元高斯消元法是高斯消元法的改进版本。
它在每一步选择主元时，选取列中绝对值最大的元素作为主元，以减小误差的传播。
这种方法可以提高数值稳定性，但相对于普通高斯消元法，计算量较大。
3. 克拉默法则（Cramer's rule）克拉默法则是一种用于求解线性方程组的代数方法。
它通过计算系数矩阵的行列式和各个未知数的代数余子式，得到每个未知数的值。
克拉默法则适用于方程组个数和未知数个数相等的情况，但由于计算行列式的复杂度高，不适用于大规模的线性方程组求解。
4. 矩阵分解法（Matrix factorization）矩阵分解法通过将系数矩阵分解为两个或多个特定形式的矩阵的乘积，从而简化线性方程组的求解。
常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解、Cholesky分解等。
矩阵分解法适用于大规模线性方程组的求解，具有高效、稳定的特点。
5. 迭代法（Iterative methods）迭代法是一种逐步逼近解的方法，通过迭代计算逐渐接近线性方程组的解。
常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。
迭代法适用于大规模稀疏线性方程组的求解，具有快速收敛、节约存储空间的特点。
6. 特殊结构法（Special structure methods）对于具有特殊结构的线性方程组，可以利用其特殊性质设计相应的求解方法。
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( A( x x ), x x) 2(( x) ( x )) 0 又因A正定，所以
由上述定理，求解线性方程组 Ax 使 ( xk ) min ( x) 。
x x 。证毕。
b
等价于求解变分问题，即求
x R n，使 ( x) 最小。求解的方法一般是构造一个向量序列｛ xk ｝,
（3）设
x
为方程组（2.11）的解，则对一切
1 （x） （x ） （A（x x）， x x） 2
x R n，有
（2.14）
Hale Waihona Puke 证明：因为x A 1b, 所以 1 ( x ) ( Ax , x ) (b x ) 2 1 ( AA1b, A 1b) (b, A 1b) 2 1 1 (b, A 1b) ( Ax , x ) 2 2 则
piT Ap j 0
xk 1 xk k pk
式中
k
rkT pk - T , rk Axk b p k Apk
证明：记 f (t ) ( xk tpk ) ，欲确定系数 函数 f当t k 时为极小。由式(2.13)得
k 使得一元
由f (t ) 0, 得
t2 f (t ) ( xk ) t ( Axk b, pk ) ( Apk , pk ) 2
( Axk b) pk r pk t ak T pk Apk p Apk
T T k T k
T 又由于f pk Apk 0( pk 0),因此t ak时，f (t )极小。从而
xk 1 xk k pk
证毕。
注2 在命题2中，余量 rk 的迭代公式
求解正定线性方程组的共轭梯度法 （CG方法）
林华堂、张卜元、吕迪
1.方法简介
共轭梯度法已有五十多年的历史,它最早是由 Hestenes和Stiefel于1952年在求解线性方程组时提出的, 并由Fletcher和Reeves于1964年推广到非线性优化领域. 后,Beale,Powell,Fletcher等著名的优化专家对非线性 共轭梯度法进行了深入研究,取得了十分优秀的成果.但 几乎同时间世的拟牛顿方法由于其良好的计算表现以及 丰富的收敛性分析很快受到了青睐,从而在很长一段时间 里共轭梯度法被研究者所忽视.近年来,随着计算机的飞 速发展以及实际问题的需要,大规模优化问题越来越受到 重视,而共轭梯度法正是求解大规模问题的一种主要方法. 于是,共轭梯度法的理论研究又受到人们的关注.
共轭梯度法（Conjugate Gradient）是介于最速 下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶 导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又 避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺 点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用 的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算 法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重 要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性， 稳定性高，而且不需要任何外来参数。
xk 出发沿某一规定的方向
x xk tpk
pk ，求函数 ( x) 在直线
x2
。如此继续下去，一般地，从
xk 1 。称 pk 为搜索方向。 命题2 对于已知的 xk , pk ( pk 0),函数 ( x)在直线
上的的极小点
上的极小点 xk 1 为
x xk tpk
1 ( A( x x ), x x ) 2 1 1 ( Ax, x) ( Ax , x) ( Ax , x ) 2 2 ( x) ( x )
定理1 设A对称正定，则 x 为方程组（2.11）解的充分必要条件是 x 满足
证明：设
x
( x ) min ( x)
xR n
为方程组（2.11）的解， 由式（2.14）及A的正定性，
有
( x) x( x ) 0,即x使 ( x)最小。 。
反之，若有 x 使 ( x) 达到最小，则
( x) ( x )。又( x) ( x ),所以( x) ( x) 0。 故由式（2.14）可知
2.方法理论与描述
CG方法，它是一种极小化方法，对应于求一个二次函数 的极值。 为了引出CG方法，下面介绍一些理论。 2.1与方程组等价的变分问题
设A R nn , b R n , A对称正定，考虑方程组 Ax b （2.11）
定义二次函数 : R n R为 1 （x） （Ax, x） (b, x) 2
2.2共轭梯度（CG）法的定义
设
p0 求函数
x0 是任意给定的一个初始点，从点 x0出发沿某一规定的方向
( x) 在直线
，
x x0 tp0
x1。再从点 x1 出发沿某一规定的
上的极小点，设求得的极小点为
方向
p1，求函数 ( x) 在直线
x x1 tp1
上的极小点，设求得的极小点为 点
Axk b grad ( xk )。命题2所得
xk 1 xk k pk rkT pk k p T Ap k k
具有下降性
（2.15）
( xk 1 ) ( xk )
如果搜索方向
p0 , p1 , p2 ,
n R 为 中的一个A共轭向量系，即有性质
则函数 有如下性质： n x R （1）对一切 ，有
grad ( x) Ax b
n （2）对一切 x, y R , R ,有
（2.12）
1 （x y ) ( A( x y ), x y ) (b, x y ) 2 a2 ( x) ( Ax b, y ) ( Ay, y ) （2.13） 2