5三角函数的综合问题

三角函数的图象与性质的综合问题

1.三角函数的基本性质： 例1.函数)2

sin()3

sin(π

π

+

+

=x x y 的最小正周期是=T _________。

演变1.函数x x y 66cos sin +=的最小正周期为_________ 演变2.函数)1(2

cos

2

cos

-=x x y π

π

的周期为______；

例 2.已知函数)12(cos )(2

π

+=x x f ，x x g 2sin 2

1

1)(+=，则函数)()()(x g x f x h +=的单调增区间为_________。

演变1.函数x x x x y 22cos 2cos sin 3sin ++=，]2

,

0[π

∈x 的单调递减区间为_________

例3.函数)3sin()3cos(3)(θθ---=x x x f ，]0,[πθ-∈是奇函数，则=θ_____。

演变1.已知f (x )sin(x )x )θθ=++，[0,]2

π

θ∈为偶函数，则θ的值为____

演变2.若)4

sin(3)4sin()(π

π

-++

=x x a x f 是偶函数，则a = . 2.三角函数图象与性质的综合问题： 例1.已知函数)8

cos()8

sin(2)8

(sin 21)(2

π

π

π

+

+

++-=x x x x f ，求：

（1）函数)(x f 的最小正周期； （2）函数)(x f 的单调增区间。

演变1.已知函数x x x x x f 22cos 2cos sin 3sin )(++=（R x ∈） （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；

（2）函数)(x f 的图象可以由函数x y 2sin =（R x ∈）的图象经过怎样变换得到？

演变2.已知函数)(sin )(2

ϕω+=x A x f （0>A 、0>ω、2

0π

ϕ<

<），若函数)(x f 的

最大值为2，其图象相邻两对称轴之间的距离为2，并且过点（1，2）。 （1）求ϕ的值以及函数)(x f 的单调递增区间； （2）求(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅+的值。

3.三角函数的最值：

例1.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0,0,02

A π

ωϕ>><<）的图象与x 轴

的交点中，相邻两个交点之间的距离为2

π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π

-. （1）求()f x 的解析式； （2）当[,]122

x ππ

∈，求()f x 的值域.

演变1.已知函数)2

sin(sin 3sin )(2

π

ωωω++=x x x x f （0>ω）的最小正周期为π。

（1）求ω的值；

（2）求函数)(x f 在区间]3

2,0[π

上的取值范围。

演变2.已知x x f 2sin )(=，)6

2cos()(π

+=x x g ，直线t x =（R t ∈）与函数)(x f 、)

(x g 的图象分别交于M 、N 两点。 （1）当4

π

=

t 时，求||MN 的值；

（2）求||MN 在]2

,0[π

∈t 时的最大值。

例2.已知函数)4

sin()4

sin(2)3

2cos()(π

π

π

+

-

+-

=x x x x f

（1）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数)(x f 在区间]2

,12[π

π-上的值域。

演变1.设函数2()sin(

)2cos 1468

x x

f x ππ

π=--+． （1）求()f x 的最小正周期；

（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3

x ∈时()y g x =的最大值．

强化练习

1.函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是（ ） A ．π2 B ．π4 C ．4π D ．2

π 2.函数()sin cos f x x x =最小值是（ ） A ．-1 B ．12-

C ．1

2

D ．1 3.函数x x x f cos 3sin )(-=（)0,[π-∈x ）的单调增区间是（ ） A ．]65

,[ππ-- B ．)6

,6

5[π

π-

- C ．]0,3

[π

-

D ．]0,6

[π

-

4.将函数sin 2y x =的图像向左平移4

π

个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（ ）

A ．cos 2y x =

B ．2

2cos y x = C ．1sin 24y x π⎛⎫

=++ ⎪⎝

⎭

D ．2

2sin y x = 5.函数22()lg(sin cos )f x x x =-的定义城是（ ） A ．322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-

<<+∈⎨⎬⎩⎭ B ．522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ C ．,4

4x k x k k Z π

π

ππ⎧⎫-

<<+

∈⎨⎬⎩

⎭ D ．3,44x k x k k Z ππππ⎧⎫

+<<+∈⎨⎬⎩⎭

6.将函数x x y 2cos 32sin -=的图像沿x 轴向右平移a 个单位（0>a ）所得的图像关于

y 轴对称，求a 的最小值是

7.已知函数2()4sin sin ()cos 242

x f x x x π=++，设0ω>为常数，若()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

上是增函数，则ω的取值范围为 8.已知函数b a x x a x a x f ++-=cos sin 32sin 2)(2（0

,0[π

，值域

为[-5，11]，则a 、b 的值分别为 9.已知函数22

cos 2cos 2sin

)(2-+=x

x x x f （1）将函数)(x f 化简成B x A ++)sin(ϕω（0>A 、0>ω、]2,0[πϕ∈）的形式，并指出)(x f 的周期；