第八章 第九节 圆锥曲线的综合问题1

答案： A
返回
[冲关锦囊] 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：
几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何
特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何 法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就 是代数法．
返回
在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心
返回
x2 y2 b 解析：双曲线a2－b2＝1的一条渐近线为y＝ax， b y＝ x b 联立方程 a ，消去y，得x2－ax＋1＝0有解， y＝x2＋1 b 所以Δ＝(a)2－4≥0. a2＋b2 b2 c 即(a) ≥4.所以e＝a＝ a ＝ b2 1＋a ≥ 5.
答案：D
返回
返回
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
x2 y2 2．(2012· 福州模拟)设双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与 抛物线 y＝x2＋1 有公共点，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 5 A．[4，＋∞) 5 C．[ 2 ，＋∞) B．[5，＋∞) D．[ 5，＋∞)
返回
本例(2)条件变为“过F点且斜率为1的直线交P点的轨迹 于A，B两点，动点Q在曲线y2＝－4x(y≥0)上”求△QAB 面积的最小值．
返回
[解析]
由(1)知F(1,0)，AB：y＝x－1， 得x2－6x＋1＝0，x1＋x2＝6.
y＝x－1， 由 2 y ＝4x.
y2 0 ∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.设Q(－ 4 ，y0)， y2 0 | 4 ＋y0＋1| y0＋22 则d＝ .∴S＝ ≥2 2. 2 2 即△QAB面积的最小值Smin＝2 2.
2
(
)
10 A. 2 C. 10
10 B. 5 D. 2
返回
解析：设双曲线的右焦点为M，∵OE⊥PF，∴在Rt△OEF 中，|EF|＝
a2 1 2 c － 4 ，又 O E ＝ 2 ( O F ＋ O P )，∴E是PF的中
点，∴|PF|＝2 |PF|－|PM|＝2a， 即2
2 x ＋y2＝1 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 2 y＝x－1
消去y整理得3x2－
4 4 1 4x＝0，解得x1＝0，x2＝ 3 ，易得点A(0，－1)、B( 3 ， 3 )．又点F1(－ 1,0)，因此|F1A|＋|F1B|＝ 12＋－12＋ 7 1 8 2 32＋32＝ 3 .
|· P |Q
|cos〈 E P
，Q P
〉＝| E P |2
1 2 3 3 ＝(x0－3)2＋y 2 ＝(x0－3)2＋9－ 4 x 0 ＝ 4 x 2 －6x0＋18＝ 4 [(x0－4)2－16]＋ 0 0 18≥6，当x0＝4时取“＝”．
所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转
化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与 量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主 要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦 长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
返回
返回
[精析考题] [例1] (2012· 郑州模拟)已知圆C：(x＋ 3)2＋y2＝16，点A( 3，0)，Q是 圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标 4 原点)的面积S＝5，求直线AB的方程．
x2＋4y2＝4， 由 x＝my＋1，
消x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
返回
y ＋y ＝ －2m2， 1 2 4＋m 所以 y · ＝－ 3 . 1 y2 4＋m2 1 1 S＝2|OP||y1－y2|＝2 y1＋y22－4y1y2 2 m2＋3 4 ＝ 2 .由S＝5，解得m2＝1，即m＝± 1. m ＋4 故直线AB的方程为x＝± y＋1， 即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．
返回
[自主解答]
(1)由题意|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝4>2 3，
所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆， x2 2 即轨迹E的方程为 4 ＋y ＝1.
(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x＝1也不满足条件， 故可设AB的方程为x＝my＋1.
返回
y＝kx＋2 解析：由 2 2 x －y ＝6
∴x2－k2x2－4kx－4－6＝0. 即(1－k2)x2－4kx－10＝0. 直线与双曲线交右支于两点，故 1－k2≠0 Δ>0 x1＋x2>0 x1x2>0
15 ⇒－ 3 <k<－1.
答案： D 返回
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共 点，这样的直线有 A．1条 C．3条 B．2条 D．4条 ( )
E 故 A D · B ＝( A F ＋ F D )·E F ＋ F B ) (
返回
F F E E ＝ A F · F ＋ A F · B ＋F D · F ＋F D · B ＝| A F |· B |＋| F D |·E F | |F |
解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条： 直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)
且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
答案： C 返回
4．动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x2＝ 2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和
为3，则抛物线的方程为____________________．
返回
[自主解答]
(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有
x－12＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x； 当x<0时，y＝0. 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．
返回
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0， 设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
a2 c2－ 4 ，|PM|＝a(三角形中位线定理)，又
a2 c 10 2 c － 4 －a＝2a，∴离心率e＝a＝ 2 .
答案：A
返回
[冲关锦囊] 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研 究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个 数．但对于选择、填空，常充分利用几何条件，数形结 合的方法求解.
第 八 章
第九
抓 基 础
节
圆锥 曲线 的综 合问 题
平 面 解 析 几 何
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
[备考方向要明了] 考 什 么 掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、参数范围等问题.
返回
怎 么 考
1.直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、中点弦、最值
范围、定点定值的探索与证明是命题的热点． 2.题型以解答题为主，注重数学思想与方法的考查．难度 较大.
返回
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
x2 y2 1．(2011· 温州五校第二次联考)过双曲线a2－b2＝1(b>0，a>0)的左焦点 a2 F(－c,0)(c>0)作圆x ＋y ＝ 4 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右
2 2
1 支于点P，若 O E ＝ ( O F ＋ O P )，则双曲线的离心率为
返回源自文库
解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，
而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交． 答案： A
返回
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则 k的取值范围是 15 15 A．(－ 3 ， 3 ) 15 C．(－ 3 ，0) 15 B．(0， 3 ) 15 D．(－ 3 ，－1) ( )
二、圆锥曲线的弦长问题 设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)， B(x2，y2)，则弦长|AB|＝
1＋k2|x1－x2| 或
1 1＋ 2|y1－y2| . k
返回
返回
x2 y2 1．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆 9 ＋ 4 ＝1的位置关系是 ( A．相交 C．相离 B．相切 D．不确定 )
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 4 ＝1＋(2＋ 2)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 k 1 ＝8＋4(k2＋ 2)≥8＋4×2 k
2
1 k2·2＝16. k
1 E 当且仅当 k ＝ 2，即 k＝± 时， A D · B 取最小值 16. 1 k
返回
[精析考题] [例2] (2011· 湖南高考)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点 P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2，设l1与轨迹C
E 相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求 A D · B 的最小值．
x2 y2 3．(2012· 绵阳模拟)36＋ 9 ＝1上有两个动点P、Q，E(3,0)，EP⊥EQ，
Q 则 E P · P 的最小值为
( B．3－ 3 D．12－6 3
)
A．6 C．9
返回
Q 解析：设P(x0，y0)，则 E P · P
＝| E P
y＝kx－1 由 2 y ＝4x
，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两个实根，于是
返回
4 x1＋x2＝2＋ 2，x1x2＝1. k 1 因为 l1⊥l2，所以 l2 的斜率为－k. 设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取 值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
返回
[精析考题] x2 y2 [例3] (2011· 四川高考)过点C(0,1)的椭圆a2＋b2＝1 3 (a＞b＞0)的离心率为 2 .椭圆与x轴交于两点A(a,0)、 B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并 与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
返回
解析：设直线l的方程为y＝
y＝ 3x＋b 3x＋b，联立 2 x ＝2py
，消去y，
得x2＝2p( 3x＋b)，即x2－2 3px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2 3p＝3， 3 ∴p＝ 2 ，抛物线的方程为x2＝ 3y.
答案：x2＝ 3y
返回
x2 2 5．已知F1为椭圆C： 2 ＋y ＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C 交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
返回
返回
一、直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程 与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程： ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线 相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 相离． 若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 返回
8 2 答案： 3
返回
1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、 对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要 充分重视根与系数的关系和判别式的应用．
返回
2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根 与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦