2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷

2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．（3分）7-的绝对值是( ) A ．7- B ．7 C ．7 D ．7± 2．（3分）如图所示的主视图对应的几何体是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列运算正确的是( )A ．326a a a =B ．325()a a =C ．3222a a a ÷=D ．2235x x x +=4．（3112124的结果是( ) A ．0 B 3C ．33D ．125．（3分）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？( )A ．8B ．6C ．7D ．96．（3分）某书店与一山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量分别如下（单位：本）:300，200，200，300，300，500这组数据的众数、中位数、平均数分别是( )A ．300，150，300B ．300，200，200C ．600，300，200D ．300，300，3007．（3分）如图，四边形ABCO 是矩形，点D 是BC 边上的动点（点D 与点B 、点C 不重合），则BAD DOC ADO∠+∠∠的值为( )A ．1B ．12C ．2D ．无法确定8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x =+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点B ，点A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数(0)k y x x=<的图象上，则k 的值为( )A ．12-B ．42-C ．42D ．21-9．（3分）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得( )A ．807250405x x ⨯=⨯+ B ．807240505x x ⨯=⨯+ C ．728040505x x ⨯=⨯- D ．728050405x x⨯=⨯- 10．（3分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在BC 边上，且2CE BE =，连接AE 交BD 于点G ，过点B 作BF AE ⊥于点F ，连接OF 并延长，交BC 于点M ，过点O 作OP OF ⊥交DC 于点N ，94MONC S =四边形，现给出下列结论：①13GE AG =；②310sin BOF ∠=；③35OF =；④OG BG =；其中正确的结论有( )A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）11．（3分）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为 元．12．（3分）临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是2.58m ，方差分别是：20.075S =甲，20.04S =乙，这两名同学成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙” )．13．（3分）已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为 ． 14．（3分）抛物线2(1)1y k x x =--+与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ．15．（3分）如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接AB ，AC ，BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作//OD AB 交O 于点D ，连接AD ，BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为 ．16．（3分）如图，动点P 从坐标原点(0,0)出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点(1,0)，第2秒运动到点(1,1)，第3秒运动到点(0,1)，第4秒运动到点(0,2)⋯则第2068秒点P 所在位置的坐标是 ．三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）17．（5分）先化简，再求值：32212(1)11x x x x x x --++÷+-，其中31x =+． 18．（6分）如图所示的平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(3,2)A -，(1,3)B -，(1,1)C -，请按如下要求画图：（1）以坐标原点O 为旋转中心，将ABC ∆顺时针旋转90︒，得到△111A B C ，请画出△111A B C ；（2）以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出ABC ∆的位似图形△222A B C ，使它与ABC ∆的位似比为2:1．19．（7分）由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A 网上自测，B 网上阅读，C 网上答疑，D 网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）在扇形统计图中，m的值是，D对应的扇形圆心角的度数是；（3）请补全条形统计图；（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数．20．（7分）某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年2班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选．具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选．（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．（2）求甲同学被选中的概率．21．（7分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30︒+处．学生分成两组，第一组前往A地，第二方向，C在A的南偏西15︒方向(30303)km组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40/km h，第二组乘公交车，速度是30/km h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．22．（8分）如图，以AB为直径的O经过ABCOD BC交O于∆的顶点C，过点O作//点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使DEC BDC∠=∠．（1）求证：EC是O的切线；（2）若O的半径是3，9DG DB=，求CE的长．23．（10分）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件)与销售单价x（元)是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元)406080日销售量y（件)806040（1）直接写出y与x的关系式；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件)与销售单价x（元)保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．24．（10分）如图，在Rt ABC=，M是AC边上的一点，连接BM，∠=︒，AB AC∆中，90BAC作AP BM ⊥于点P ，过点C 作AC 的垂线交AP 的延长线于点E ．（1）如图1，求证：AM CE =；（2）如图2，以AM ，BM 为邻边作平行四边形AMBG ，连接GE 交BC 于点N ，连接AN ，求GE AN 的值； （3）如图3，若M 是AC 的中点，以AB ，BM 为邻边作平行四边形AGMB ，连接GE 交BC 于点M ，连接AN ，经探究发现18NC BC =，请直接写出GE AN 的值．25．（12分）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线1x =-，点C 坐标为(0,4)．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP BCO ∠=∠，如果存在，求出点P 坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P 在x 轴上方，点M 是直线BP 上方抛物线上的一个动点，求点M 到直线BP 的最大距离；（4）点G 是线段AC 上的动点，点H 是线段BC 上的动点，点Q 是线段AB 上的动点，三个动点都不与点A ，B ，C 重合，连接GH ，GQ ，HQ ，得到GHQ ∆，直接写出GHQ ∆周长的最小值．2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．（3分）7-的绝对值是( )A ．7-B ．7C ．7D ．7± 【解答】解：7-的绝对值是7，故选：C ．2．（3分）如图所示的主视图对应的几何体是( )A ．B ．C ．D ． 【解答】解：A 、主视图为，故此选项不合题意；B 、主视图为，故此选项符合题意；C 、主视图为，故此选项不合题意；D 、主视图为，故此选项不合题意．故选：B ．3．（3分）下列运算正确的是( )A ．326a a a =B ．325()a a =C ．3222a a a÷=D ．2235x x x += 【解答】解：A ．325a a a =，故此选项不合题意；B ．326()a a =，故此选项不合题意；32.22C a a a ÷=，故此选项符合题意；.235D x x x +=，故此选项不合题意；故选：C ．4．（3的结果是( )A ．0BC ．D ．12【解答】解：原式===故选：B ．5．（3分）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？( )A ．8B ．6C ．7D ．9【解答】解：设可以打x 折出售此商品， 由题意得：24012012020%10x ⨯-⨯， 解得6x ，故选：B ．6．（3分）某书店与一山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量分别如下（单位：本）:300，200，200，300，300，500这组数据的众数、中位数、平均数分别是( )A ．300，150，300B ．300，200，200C ．600，300，200D ．300，300，300【解答】解：众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，这组数据中300出现了3次，次数最多，所以众数是300；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，6个数据按顺序排列之后，处于中间的数据是300，300，所以中位数是3003003002+=； 平均数是1(200200300300300500)3006x =+++++=，故选：D ．7．（3分）如图，四边形ABCO 是矩形，点D 是BC 边上的动点（点D 与点B 、点C 不重合），则BAD DOCADO∠+∠∠的值为( )A ．1B ．12C ．2D ．无法确定【解答】解：如图，过点D 作//DE AB 交AO 于点E ， 四边形ABCO 是矩形， //AB OC ∴， //DE AB ，//AB DE ∴，//DE OC ，BAD ADE ∴∠=∠，DOC ODE ∠=∠，∴1BAD DOC ADE EDO ADOADO ADO ADO∠+∠∠+∠∠===∠∠∠．故选：A ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x =+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点B ，点A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数(0)ky x x=<的图象上，则k 的值为( )A ．12-B ．42-C ．42D ．21-【解答】解：当0x =时，044y =+=，(0,4)A ∴，4OA ∴=；当0y =时，4043x =+， 3x ∴=-，(3,0)B ∴-，3OB ∴=；过点C 作CE x ⊥轴于E ，四边形ABCD 是正方形， 90ABC ∴∠=︒，AB BC =，90CBE ABO ∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， CBE BAO ∴∠=∠．在AOB ∆和BEC ∆中， CBE BAO BEC AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOB BEC AAS ∴∆≅∆，4BE AO ∴==，3CE OB ==， 347OE ∴=+=， C ∴点坐标为(7,3)-，点A 在反比例函数(0)ky x x =<的图象上，7321k ∴=-⨯=-．故选：D ．9．（3分）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得( )A．807250405x x⨯=⨯+B．807240505x x⨯=⨯+C．728040505x x⨯=⨯-D．728050405x x⨯=⨯-【解答】解：设班级共有x名学生，依据题意列方程得，807240505x x⨯=⨯+．故选：B．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且2CE BE=，连接AE交BD于点G，过点B作BF AE⊥于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP OF⊥交DC于点N，94MONCS=四边形，现给出下列结论：①13GEAG=；②310sin BOF∠=；③35OF=；④OG BG=；其中正确的结论有()A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【解答】解：如图，过点O作//OH BC交AE于点H，过点O作OQ BC⊥交BC于点Q，过点B作BK OM⊥交OM的延长线于点K，四边形ABCD是正方形，∴11,,,45,,//22OB BD OC AC AC BD OBM OCN OB OC AD BC ===∠=∠=︒⊥， OB OC ∴=，90BOC ∠=︒， 90BOM MOC ∴∠+∠=︒． OP OF ⊥， 90MON ∴∠=︒， 90CON MOC ∴∠+∠=︒， BOM CON ∴∠=∠，()BOM CON ASA ∴∆≅∆，BOM CON S S ∆∆∴=，∴1924BOC MONC S S OB OC ∆==⋅=四边形，∴OB OC ==，∴3BC ==． 2CE BE =， ∴113BE BC ==，∴AE ==BF AE ⊥，∴1122AE BF AB ME =，∴BF =∴AF ，∴HF EF =， ∴4OF HF OH FM EF ME ===， ∴1111444ME OH ==⨯=， ∴33,44BM BQ ==． //AD BC ，∴13GE BE AG AD ==，故①正确； //OH BC ，∴1,2OH AO AH HOG GBE EC AC AE ===∠=∠，∴,OH ME AH HE ===HGO EGB ∠=∠，()HOG EBG AAS ∴∆≅∆，OG BG ∴=，故④正确；222OQ MQ OM +=，∴OM =，∴45OF =，故③正确； 1122OM BK BM OQ =，即11332242BK =⨯⨯，∴BK∴sin BK BOF OB ∠==②错误； ∴正确的有①③④．故选：D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）11．（3分）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为 105.810⨯ 元． 【解答】解：580亿1058000000000 5.810==⨯． 故答案为：105.810⨯．12．（3分）临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近20次立定跳远成绩的平均值都是2.58m ，方差分别是：20.075S =甲，20.04S =乙，这两名同学成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙” )．【解答】解：20.075S =甲，20.04S =乙 22S S ∴>乙甲∴乙的波动比较小，乙比较稳定故答案为：乙．13．（3分）已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为 5 ．【解答】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②，①+②，得3363x y a +=-， 2x y a ∴+=-， 3x y +=-，23a ∴-=-， 5a ∴=．故答案为：5．14．（3分）抛物线2(1)1y k x x =--+与x 轴有交点，则k 的取值范围是 54k 且1k ≠ ． 【解答】解：抛物线2(1)1y k x x =--+与x 轴有交点， ∴△2(1)4(1)10k =--⨯-⨯，解得54k， 又10k -≠， 1k ∴≠，k ∴的取值范围是54k且1k ≠； 故答案为：54k且1k ≠． 15．（3分）如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接AB ，AC ，BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作//OD AB 交O 于点D ，连接AD ，BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为 3π．【解答】解：15ACB ∠=︒， 30AOB ∴∠=︒， //OD AB ， ABD ABO S S ∆∆∴=，23023603AOBS S ππ⨯∴===阴影扇形．故答案为：3π． 16．（3分）如图，动点P 从坐标原点(0,0)出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点(1,0)，第2秒运动到点(1,1)，第3秒运动到点(0,1)，第4秒运动到点(0,2)⋯则第2068秒点P 所在位置的坐标是 (45,43) ．【解答】解：由题意分析可得， 动点P 第824=⨯秒运动到(2,0)， 动点P 第2446=⨯秒运动到(4,0)， 动点P 第4868=⨯秒运动到(6,0)，以此类推，动点P 第2(22)n n +秒运动到(2,0)n ， ∴动点P 第20244446=⨯秒运动到(44,0)，2068202444-=，∴按照运动路线，点P 到达(44,0)后，向右一个单位，然后向上43个单位，∴第2068秒点P 所在位置的坐标是(45,43)，故答案为：(45,43)．三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）17．（5分）先化简，再求值：32212(1)11x x x x x x --++÷+-，其中31x =+． 【解答】解：32212(1)11x x x xx x --++÷+- 21(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x -++-=÷++- 22(1)(1)1(1)x x x x x x +-=+- 21x =-， 当31x =+时，原式23311==+-． 18．（6分）如图所示的平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为(3,2)A -，(1,3)B -，(1,1)C -，请按如下要求画图：（1）以坐标原点O 为旋转中心，将ABC ∆顺时针旋转90︒，得到△111A B C ，请画出△111A B C ； （2）以坐标原点O 为位似中心，在x 轴下方，画出ABC ∆的位似图形△222A B C ，使它与ABC ∆的位似比为2:1．【解答】解：（1）如图，△111A B C 即为所求． （2）如图，△222A B C 即为所求．19．（7分）由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了50名学生；（2）在扇形统计图中，m的值是，D对应的扇形圆心角的度数是；（3）请补全条形统计图；（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数．【解答】解：（1）2040%50÷=（名)；故答案为：50；（2）1550100%30%÷⨯=，即30m=；103607250⨯︒=︒；故答案为：30，72︒；（3）502015105---=（名)；（4）10200040050⨯=（名)．答：该校最喜欢方式D的学生约有400名．20．（7分）某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年2班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选．具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选．（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．（2）求甲同学被选中的概率．【解答】解：画出树状图如图：(1，2)(1，3)(1，4)(2，1)(2，3)(2，4)(3，1)(3，2)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)所有可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同（2）所有可能出现的结果共有12种，甲被选中的结果共有6种，∴()61 122P==甲被选中．21．（7分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30︒方向，C在A的南偏西15︒方向(30303)km+处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40/km h，第二组乘公交车，速度是30/km h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．【解答】解：作BD AC⊥于D．依题意得，∠=︒，15ABC∠=︒，CAE45BAE∠=︒，105∴∠=︒，BAC30∴∠=︒．45ACB在Rt BCD∆中，90ACB∠=︒，∠=︒，45BDC∴∠=︒，CBD45∴∠=∠，CBD DCBBD CD ∴=，设BD x =，则CD x =，在Rt ABD ∆中，30BAC ∠=︒，22AB BD x ∴==，tan30BD AD ︒=，∴x AD=，AD ∴，在Rt BDC ∆中，90BDC ∠=︒，45DCB ∠=︒，sin BD DCB BC ∴∠=BC ∴，30CD AD +=+30x ∴+=+30x ∴=，260AB x ∴==，BC =，第一组用时：6040 1.5()h ÷=；第二组用时：30)h =，1.5，∴第二组先到达目的地，答：第一组用时1.5小时，第二组先到达目的地．22．（8分）如图，以AB 为直径的O 经过ABC ∆的顶点C ，过点O 作//OD BC 交O 于点D ，交AC 于点F ，连接BD 交AC 于点G ，连接CD ，在OD 的延长线上取一点E ，连接CE ，使DEC BDC ∠=∠．（1）求证：EC 是O 的切线；（2）若O 的半径是3，9DG DB =，求CE 的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC，AB是直径，∴∠=︒，90ACBOD BC，//∴∠=∠=︒，CFE ACB90∴∠+∠=︒，DEC FCE90∠=∠，∠=∠，BDC ADEC BDC∴∠=∠，DEC A=，OA OC∴∠=∠，OCA A∴∠=∠，OCA DECDEC FCE∠+∠=︒，90∠=︒，OCEOCA FCE90∴∠+∠=︒，即90∴⊥，OC CE又OC是O的半径，∴是O切线．CE（2）由（1）得90∠=︒，CFE∴⊥，OF AC=，OA OC∴∠=∠，COF AOF∴CD AD =，ACD DBC ∴∠=∠，又BDC BDC ∠=∠，DCG DBC ∴∆∆∽， ∴DC DG DB DC=， 29DC DG DB ∴==，3DC ∴=，3OC OD ==，OCD ∴∆是等边三角形，60DOC ∴∠=︒，在Rt OCE ∆中tan 60CE OC ︒=，∴3CE ，∴CE =23．（10分）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y （件)与销售单价x （元)是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：（1）直接写出y 与x 的关系式 120y x =-+ ；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a 元，在日销售量y （件)与销售单价x （元)保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a 的值．【解答】解：（1）设解析式为y kx b =+，将(40,80)和(60,60)代入，可得40806060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1120k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 与x 的关系式为120y x =-+，故答案为：120y x =-+；（2）设公司销售该商品获得的日利润为w 元，22(30)(30)(120)1503600(75)2025w x y x x x x x =-=--+=-+-=--+， 300x -，1200x -+，30120x ∴，10a =-<，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∴当75x =时，2025w =最大，答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．（3）22(3010)(120)1604800(80)1600w x x x x x =---+=-+-=--+， 当1500w =最大时，2(80)16001500x --+=，解得170x =，290x =，40x a ，∴有两种情况，①80a <时，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，∴当70x a ==时，1500w =最大，②80a 时，在40x a 范围内16001500w =≠最大，∴这种情况不成立，70a ∴=．24．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，M 是AC 边上的一点，连接BM ，作AP BM ⊥于点P ，过点C 作AC 的垂线交AP 的延长线于点E ．（1）如图1，求证：AM CE =；（2）如图2，以AM ，BM 为邻边作平行四边形AMBG ，连接GE 交BC 于点N ，连接AN ，求GE AN的值； （3）如图3，若M 是AC 的中点，以AB ，BM 为邻边作平行四边形AGMB ，连接GE 交BC 于点M ，连接AN ，经探究发现18NC BC =，请直接写出GE AN 的值．【解答】（1）证明：AP BM⊥，∴∠=︒，90APB∴∠+∠=︒，90ABP BAP∠+∠=︒，BAP CAE90∴∠=∠，CAE ABP⊥，CE ACBAM ACE∴∠=∠=︒，90=，AB ACABM CAE ASA∴∆≅∆，()∴=；CE AM（2）过点E作CE的垂线交BC于点F，∴∠=︒，90FEC∠=︒，BACAB AC=，90ACB ABC∴∠=∠=︒，45∠=︒，ACE90∴∠=︒，45FCE∴∠=∠=︒，CFE FCE45EFN∠=︒，∴=，135CE EF∴四边形AMBG是平行四边形，∠=∠=︒，ABG BAC∴=，90AM BG∴∠=∠+∠=︒，135GBN ABG ABC∴∠=∠，GBN EFN由（1）得ABM CAE∆≅∆，BG CE EF ∴==，BNG FNE ∠=∠，()GBN EFN AAS ∴∆≅∆，GN EN ∴=，//AG BM ，90GAE BPE ∴∠=∠=︒， ∴12AN GE =， ∴2GE AN=； （3）如图，延长GM 交BC 于F ，连接AF ， 在平行四边形ABMG 中，//AB GM ，ABM MGA ∆≅∆， 90AMG BAC ∴∠=∠=︒，90GMC ACE ∴∠=∠=︒，//GF CE ∴，AM MC =，BF CF ∴=，AB AC =， ∴1,2AF BC AF BC ⊥=， 18CN BC =， 设CN x =，则8BC x =，4AF FC x ==，3FN x =，∴,5Rt AFN AN x ∆=在中，在Rt ABM ∆中，8AB x ==，12AM AB ==，∴BM ，∴AG BM ==，由（1）知ABM CAE ∆≅∆，CAE MGA ∴∆≅∆，在Rt AEG ∆中，222221045EG AE AG AG x x =+==⨯=， ∴454555GE x AN x ==．25．（12分）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线1x =-，点C 坐标为(0,4)．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP BCO ∠=∠，如果存在，求出点P 坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P 在x 轴上方，点M 是直线BP 上方抛物线上的一个动点，求点M 到直线BP 的最大距离；（4）点G 是线段AC 上的动点，点H 是线段BC 上的动点，点Q 是线段AB 上的动点，三个动点都不与点A ，B ，C 重合，连接GH ，GQ ，HQ ，得到GHQ ∆，直接写出GHQ ∆周长的最小值．【解答】解：（1）抛物线对称轴为1x =-， 112()2b∴-=-⨯-，1b ∴=-，将(0,4)代入212y x x c =--+中， 4c ∴=，2142y x x ∴=--+． （2）如图1中，作PE x ⊥轴于点E ．ABP BCO ∠=∠，90PEB BOC ∠=∠=︒，PEB BOC ∴∆∆∽，∴12PE OB BE OC ==（此处也可以由等角的正切值相等得到）， 设21(,4)2P m m m --+，则21|4|2PE m m =--+，2BE m =-， ①当点P 在x 轴上方时：2141222m m m --+=-， 解得13m =-，22m =（不符题意，舍），②当点P在x轴下方时：2 141222m mm+-=-，解得15m=-，22m=（不符题意，舍），∴5(3,)2P-或7(5,)2P--．（3）作MF x⊥轴于点F，交BP于点R，作MN BP⊥于点N．2114(4)(2)22y x x x x=--+=-+-，(4,0)A∴-，(2,0)B，设1BPy kx b=+，将5(3,),(2,0)2P-代入得解得11,12k b=-=，112BPy x∴=-+，设21(,4)2M a a a--+，则1(,1)2R a a-+，∴221111(4)(1)32222MR a a a a a=--+--+=--+，90MNR RFB∠=∠=︒，NRM FRB∠=∠，MNR BFR∴∆∆∽，∴NR RFMN FB=，1tan2RF NRABPFB MN∠===，在Rt MNR∆中::1:25NR MN MR=∴255MN MR ==， 2255655155()2MN a a a ∴=--+=-++， 当12a =-时，MN 最大为55．（4）作Q 点关于AC 的对称点1Q ，作Q 关于CB 的对称点2Q ，连接12Q Q 与AC 于1G ，与CB 交于点1H ，连接1QQ 交AC 于J ，连接2QQ 交CB 于K ，此时△11QG H 的周长最小，这个最小值2QQ =．1QJ JQ =，2QK KQ =，122Q Q JK ∴=，∴当JK 最小时，12Q Q 最小，如图2中：90CJQ CKQ ∠=∠=︒，C ∴、J 、Q 、K 四点共圆，线段CQ 就是圆的直径，JK 是弦， JCK ∠是定值，∴直径CQ 最小时，弦JK 最小，∴当点Q 与点O 重合时，CQ 最小，此时JK 最小，如图3中：在Rt COA ∆中，90COA ∠=︒，4CO =，4AO =， 22224442AC AO CO ∴++，Rt COB ∆，90COB ∠=︒，222224225BO CB CO BO =++=OJ AC ⊥，OK CB ⊥， ∴1122CB OK OC OB =， 45OK ∴=， 22245854()5CN CO OK ∴-=-= JCO OCA ∠=∠，CJO COA ∠=∠， CJO COA ∴∆∆∽，∴CJ CO CO CA=， 2CO CJ CA ∴=，同理可得：2CO CK CB =， CJ CA CK CB ∴=，∴CJ CK CB CA =， JCK BCA ∠=∠， CJK CBA ∴∆∆∽，∴JK CK BA CA=，∴6JK ，JK ∴=QGH ∴∆周长的最小值1222Q Q JK ====．。