六年级奥数 第4讲《圆柱的体积》刘
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30× 20 =24( ) 20 5
• 一个果汁瓶下面 部分是圆柱形，瓶子高 22cm,底面积是 10cm2 ，瓶内的果汁液面 高度为12cm，盖紧瓶盖，将瓶子倒立放置 ，果汁液面高度为1cm，求这个瓶子的容积 是多少毫升？
为了测量一个瓶子的容积，品品做了一个小实验 。如图，量得底面的内直径为8厘米，这个瓶子的 容积是多少？
解：9.42×9.42+3.14（9.42÷3.14÷2）2×2
=88.728+14.13
≈102.86（ cm2 ）
答：这个圆柱体的表面积是102.86 cm2。
高 宽
长
棱长
长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
底面积
用“S”表示底面积，正方体、长方体的体积计算 公式都可以写成：
体积不变 （每个半圆柱的体积是原来的一半）
表面积增加了两个长方形的切割面
（每个半圆柱的表面积＝原来表面积的一半 ＋1个切割面） dh
表面积增加了1部分侧面 （原底面周长×增加的高） 体积增加了上升的那部分
（原底面积×增加的高）
（一）填空
1.滨海化工厂有一个圆柱形油罐，从里面量底面半径是
4m，高是20m。如果每立方米汽油重0.7t，这个油罐
求下图钢材的体积。（单位：厘米）
有一个模型如图所示，求这个模型的体积。（单位： 厘米）
有一个模型如图所示，求这个模型的体 积。（单位：厘米）
六年级
52
把一个直径是2分米的圆柱的底面分成许多相等的 扇形，然后沿直径把圆切开，拼成一个和它体积相 等的长方体，这个长方体表面积比原来圆柱的表面 积增加8平方分米，这个长方体体积是多少？
表面积增加了两个长方形的切割面 （每个半圆柱的表面积＝原来表面积的一半＋1个切割面）
你们知道吗？
表面积增加了1部分侧面 （原底面周长×增加的高） 体积增加了上升的那部分 （原底面积×增加的高）
你们知道吗？
一个圆柱的侧面积是12.56平方厘米,底面半径是2 厘米,那么这个圆柱的体积是(12.56cm3 ).
六年级
61
六年级
62
3.一根圆柱形木材长20分米,把截成4个相等的圆柱体， 表面积增加了18.84平方分米，求一个底面的面积是多 少？
提示：增加了6个底面积。 (4－1)×2＝6 18.84÷6＝3.14(dm2) 答:一个底面的面积是3.14平方分米。
4、 只列式不计算 体的侧面展开是个边长9.42 cm的正方形，这个圆柱体的表面积是 多少cm2？（得数保留两位小数）
V=π( d÷2 )2h
（2）底面半径是3分米，高是1.3米。
V=πr2 h （3）底面周长是25.12分米，高是2分米。
V=π( c÷d÷2 )2h
你们知道吗？
体积不变 （每个小圆柱的体积是原来的一半） 表面积增加了两个底面 （每个小圆柱的表面积比原来少侧面积的一半）
体积不变 （每个半圆柱的体积是原来的一半）
注意: 圆柱体的体积可以这样算: 侧面积乘以半径÷2
想一想、将一张长6cm，宽4cm的长方形硬纸片分别绕 它的长和宽旋转，得到两个圆柱。这两个圆柱的体积一 样大吗？请通过计算说明。
4cm
6cm
6cm
4cm
体积不变 （每个小圆柱的体积是原来的一半）
表面积增加了两个底面
（每个小圆柱的表面积比原来少侧面积的一半）
V=sh
一个长方形沿一条直线旋转，会 形成什么图形呢？
沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开,把它 分成若干等份,分得越细越好,再把它拼成一个近似长方 体的立体图形,形状改变了,但体积没变,那么就可以发现 拼成的这个长方体的底面积与圆柱的底面积是相等的, 长方体的高也与圆柱的高相等,而长方体的体积=底面积 ×高,也就等于圆柱的体积.
最多能装 吨汽油。
2.一个圆柱，底面半径是2厘米，高是5厘米。这个圆柱
的体积是
立方厘米。
3.化工厂建造一个圆柱形大油罐，油罐底面周长是62.8米，
高是5米，如果每立方米可装石油700千克，这个油罐可
装石油
吨。
4.一个圆柱形铁皮油桶中装满了汽油，将汽油倒出十分之 三后还剩下56升。油桶的高是8分米，它的占地面积是 平方分米。（铁皮厚度忽略不计）
答：2小时可以注满水池.
一根长2米，横截面直径是40厘米的圆柱形木头浮在水面 上，滔滔发现它正好有一半露出水面积。
①这根木头与水接触面的面积是多少平方厘米？
3.14 X(40÷2)2 +3.14X40X100÷2=13816（平方厘米）
木头露出水面部分的体积是多少立方厘米？
3.14 X(40÷2)2 X2X100÷2=125600（立方厘米）
工人师傅将两个底面直径都是20厘米，高都是14厘 米的圆柱形铁块，熔铸成一根外半径是4厘米，内半径 是3厘米的铁管，这根铁管的长是多少米？
一个圆柱的高由12厘米缩短到9厘米，表面积就减 少了113.04平方厘米。这个圆柱的体积减少了多少 立方厘米？
增加两个底面
增加两个长方形
把一根长1.5米的圆柱形木料截成3根小圆柱形木料 ，则表面积比原来增加9.6平方分米。这根木料原来 的体积是多少立方分米？
圆柱的 1 ，乙圆柱的体积是甲体积的
。
3
一个小圆柱和一个大圆柱，底面周长比是2：3，它 们体积的比是5：9，大小圆柱高的最简比是 。
两个圆柱的高相等，大圆柱的底面半径等于小圆柱的
直径，小圆柱的体积是大圆柱体积的
。
圆柱底面半径相等，大圆柱与小圆柱高的比是5：4，
那么大圆柱的体积是小圆柱的
。
一个酒精瓶的瓶身呈圆柱形（如图），已知它的容 积为188.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内酒精的 液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘 米。瓶内酒精的体积是多少？
有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容 积是30升。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高 度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见 右图）。问：瓶内现有饮料多少升？
一根圆柱形圆木的底面周长和高相等，把它的高缩短 10cm后，表面积原来减少了219.8平方厘米。原来这 根圆木的体积是多少立方厘米？
已知两个体积不同的圆柱,高相等,它们的底面
半径的比是1:2,那么它们的体积的比是( 1:4)
圆柱体1 圆柱体2
半径 1
2
底面积 1
4
高
1
1
体积 1
4
甲圆柱底面周长是乙圆柱的2倍，乙圆柱的高是甲
把底面周长是25.12厘米的圆柱体沿底面直径切 开，可以得到两个半圆柱，其表面积比原来增 加64平方厘米，求其中一个半圆柱体的体积。
一根高为5分米圆柱形钢材，把它截成2个小圆柱体， 底面积增加了56.52平方分米，求原来这个圆柱体的体 积。
一个底面周长是18.84cm的圆柱体，竖着沿直径从中 间切成两个半圆柱体，表面积增加了96平方厘米，求 这个半圆柱体的体积。
3.14 X(8÷2)2X（6+14）=1004.8（立方厘米）
一个圆柱水池，它的内直径是10cm,深是2m，池上
装有4根同样的水管，每个管每小时可以注水6.28 m3 ，四管齐开，几小时可以注满水池？
3.14 X(10÷2)2X2=157（立方米） 6.28X4=25.12（立方米）
157÷25.12（小时）
第四讲 圆柱的体积
从文教育 刘士芝 1
课前考
1、一个圆柱高10厘米，如果它的高增加3厘米，那么它 的表面积增加37.68平方厘米。求原来圆柱的表面积是 多少平方厘米？
2. 小亚做了一个笔筒，她想给笔筒的侧面和 底面贴上彩纸，至少需要用多少彩纸？
3.14×8×13 + 3.14×(8÷2)2 ＝326.56 + 50.24 ＝376.8(cm2) 答:至少需要376.8平方厘米的彩纸。
想一想
（1）已知圆的底面积和高，怎样求圆柱的体积？ V=sh
（2）已知圆的半径和高，怎样求圆柱的体积？ V=πr2 h
（3）已知圆的直径和高，怎样求圆柱的体积？ V=π( d÷2 )2h
（4）已知圆的周长和高，怎样求圆柱的体积？
V=π( c÷d÷2 )2h
2.计算下列各圆柱的体积。
（1）底面直径8厘米，高是5厘米。
瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计 算．比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮 料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同．将正放与 倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应 当等于底面积不变，高为 20+5=25（厘米）的圆柱的体 积，
推知饮料占容积的 20 ，所以瓶内现有饮料可求． 25
已知长方形的长为6分米，宽为3分米.将该长方形围 成一个圆柱，那么这个圆柱的体积大约是多少立方分 米？（π取3）
用一张长为20厘米，宽为16厘米的长方形围成一个 圆筒，那么这个圆筒的体积大约是多少立方厘米？ （结果用π表示）
把一块长31.4厘米、宽20厘米、高4厘米的长方体 钢材熔化成底面半径是4厘米的圆柱，圆柱的高是 多少厘米？
什么变了？什么没变？
长方体的体积＝底面积 × 高 底面积
长方体的体积＝底面积 ×高 底面积
长方体的体积＝底面积 ×高 底面积
长方体的体积＝底面积 ×高 底面积
长方体的体积＝底面积 x 高 底面积
长方体的体积＝底面积 x 高 底面积
长方体的体积＝底面积 ×高
圆柱体的体积＝ 底面积 × 高 字母表示 ：V＝Sh
• 一个果汁瓶下面 部分是圆柱形，瓶子高 22cm,底面积是 10cm2 ，瓶内的果汁液面 高度为12cm，盖紧瓶盖，将瓶子倒立放置 ，果汁液面高度为1cm，求这个瓶子的容积 是多少毫升？
为了测量一个瓶子的容积，品品做了一个小实验 。如图，量得底面的内直径为8厘米，这个瓶子的 容积是多少？
解：9.42×9.42+3.14（9.42÷3.14÷2）2×2
=88.728+14.13
≈102.86（ cm2 ）
答：这个圆柱体的表面积是102.86 cm2。
高 宽
长
棱长
长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
底面积
用“S”表示底面积，正方体、长方体的体积计算 公式都可以写成：
体积不变 （每个半圆柱的体积是原来的一半）
表面积增加了两个长方形的切割面
（每个半圆柱的表面积＝原来表面积的一半 ＋1个切割面） dh
表面积增加了1部分侧面 （原底面周长×增加的高） 体积增加了上升的那部分
（原底面积×增加的高）
（一）填空
1.滨海化工厂有一个圆柱形油罐，从里面量底面半径是
4m，高是20m。如果每立方米汽油重0.7t，这个油罐
求下图钢材的体积。（单位：厘米）
有一个模型如图所示，求这个模型的体积。（单位： 厘米）
有一个模型如图所示，求这个模型的体 积。（单位：厘米）
六年级
52
把一个直径是2分米的圆柱的底面分成许多相等的 扇形，然后沿直径把圆切开，拼成一个和它体积相 等的长方体，这个长方体表面积比原来圆柱的表面 积增加8平方分米，这个长方体体积是多少？
表面积增加了两个长方形的切割面 （每个半圆柱的表面积＝原来表面积的一半＋1个切割面）
你们知道吗？
表面积增加了1部分侧面 （原底面周长×增加的高） 体积增加了上升的那部分 （原底面积×增加的高）
你们知道吗？
一个圆柱的侧面积是12.56平方厘米,底面半径是2 厘米,那么这个圆柱的体积是(12.56cm3 ).
六年级
61
六年级
62
3.一根圆柱形木材长20分米,把截成4个相等的圆柱体， 表面积增加了18.84平方分米，求一个底面的面积是多 少？
提示：增加了6个底面积。 (4－1)×2＝6 18.84÷6＝3.14(dm2) 答:一个底面的面积是3.14平方分米。
4、 只列式不计算 体的侧面展开是个边长9.42 cm的正方形，这个圆柱体的表面积是 多少cm2？（得数保留两位小数）
V=π( d÷2 )2h
（2）底面半径是3分米，高是1.3米。
V=πr2 h （3）底面周长是25.12分米，高是2分米。
V=π( c÷d÷2 )2h
你们知道吗？
体积不变 （每个小圆柱的体积是原来的一半） 表面积增加了两个底面 （每个小圆柱的表面积比原来少侧面积的一半）
体积不变 （每个半圆柱的体积是原来的一半）
注意: 圆柱体的体积可以这样算: 侧面积乘以半径÷2
想一想、将一张长6cm，宽4cm的长方形硬纸片分别绕 它的长和宽旋转，得到两个圆柱。这两个圆柱的体积一 样大吗？请通过计算说明。
4cm
6cm
6cm
4cm
体积不变 （每个小圆柱的体积是原来的一半）
表面积增加了两个底面
（每个小圆柱的表面积比原来少侧面积的一半）
V=sh
一个长方形沿一条直线旋转，会 形成什么图形呢？
沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开,把它 分成若干等份,分得越细越好,再把它拼成一个近似长方 体的立体图形,形状改变了,但体积没变,那么就可以发现 拼成的这个长方体的底面积与圆柱的底面积是相等的, 长方体的高也与圆柱的高相等,而长方体的体积=底面积 ×高,也就等于圆柱的体积.
最多能装 吨汽油。
2.一个圆柱，底面半径是2厘米，高是5厘米。这个圆柱
的体积是
立方厘米。
3.化工厂建造一个圆柱形大油罐，油罐底面周长是62.8米，
高是5米，如果每立方米可装石油700千克，这个油罐可
装石油
吨。
4.一个圆柱形铁皮油桶中装满了汽油，将汽油倒出十分之 三后还剩下56升。油桶的高是8分米，它的占地面积是 平方分米。（铁皮厚度忽略不计）
答：2小时可以注满水池.
一根长2米，横截面直径是40厘米的圆柱形木头浮在水面 上，滔滔发现它正好有一半露出水面积。
①这根木头与水接触面的面积是多少平方厘米？
3.14 X(40÷2)2 +3.14X40X100÷2=13816（平方厘米）
木头露出水面部分的体积是多少立方厘米？
3.14 X(40÷2)2 X2X100÷2=125600（立方厘米）
工人师傅将两个底面直径都是20厘米，高都是14厘 米的圆柱形铁块，熔铸成一根外半径是4厘米，内半径 是3厘米的铁管，这根铁管的长是多少米？
一个圆柱的高由12厘米缩短到9厘米，表面积就减 少了113.04平方厘米。这个圆柱的体积减少了多少 立方厘米？
增加两个底面
增加两个长方形
把一根长1.5米的圆柱形木料截成3根小圆柱形木料 ，则表面积比原来增加9.6平方分米。这根木料原来 的体积是多少立方分米？
圆柱的 1 ，乙圆柱的体积是甲体积的
。
3
一个小圆柱和一个大圆柱，底面周长比是2：3，它 们体积的比是5：9，大小圆柱高的最简比是 。
两个圆柱的高相等，大圆柱的底面半径等于小圆柱的
直径，小圆柱的体积是大圆柱体积的
。
圆柱底面半径相等，大圆柱与小圆柱高的比是5：4，
那么大圆柱的体积是小圆柱的
。
一个酒精瓶的瓶身呈圆柱形（如图），已知它的容 积为188.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内酒精的 液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘 米。瓶内酒精的体积是多少？
有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容 积是30升。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高 度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见 右图）。问：瓶内现有饮料多少升？
一根圆柱形圆木的底面周长和高相等，把它的高缩短 10cm后，表面积原来减少了219.8平方厘米。原来这 根圆木的体积是多少立方厘米？
已知两个体积不同的圆柱,高相等,它们的底面
半径的比是1:2,那么它们的体积的比是( 1:4)
圆柱体1 圆柱体2
半径 1
2
底面积 1
4
高
1
1
体积 1
4
甲圆柱底面周长是乙圆柱的2倍，乙圆柱的高是甲
把底面周长是25.12厘米的圆柱体沿底面直径切 开，可以得到两个半圆柱，其表面积比原来增 加64平方厘米，求其中一个半圆柱体的体积。
一根高为5分米圆柱形钢材，把它截成2个小圆柱体， 底面积增加了56.52平方分米，求原来这个圆柱体的体 积。
一个底面周长是18.84cm的圆柱体，竖着沿直径从中 间切成两个半圆柱体，表面积增加了96平方厘米，求 这个半圆柱体的体积。
3.14 X(8÷2)2X（6+14）=1004.8（立方厘米）
一个圆柱水池，它的内直径是10cm,深是2m，池上
装有4根同样的水管，每个管每小时可以注水6.28 m3 ，四管齐开，几小时可以注满水池？
3.14 X(10÷2)2X2=157（立方米） 6.28X4=25.12（立方米）
157÷25.12（小时）
第四讲 圆柱的体积
从文教育 刘士芝 1
课前考
1、一个圆柱高10厘米，如果它的高增加3厘米，那么它 的表面积增加37.68平方厘米。求原来圆柱的表面积是 多少平方厘米？
2. 小亚做了一个笔筒，她想给笔筒的侧面和 底面贴上彩纸，至少需要用多少彩纸？
3.14×8×13 + 3.14×(8÷2)2 ＝326.56 + 50.24 ＝376.8(cm2) 答:至少需要376.8平方厘米的彩纸。
想一想
（1）已知圆的底面积和高，怎样求圆柱的体积？ V=sh
（2）已知圆的半径和高，怎样求圆柱的体积？ V=πr2 h
（3）已知圆的直径和高，怎样求圆柱的体积？ V=π( d÷2 )2h
（4）已知圆的周长和高，怎样求圆柱的体积？
V=π( c÷d÷2 )2h
2.计算下列各圆柱的体积。
（1）底面直径8厘米，高是5厘米。
瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计 算．比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮 料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同．将正放与 倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应 当等于底面积不变，高为 20+5=25（厘米）的圆柱的体 积，
推知饮料占容积的 20 ，所以瓶内现有饮料可求． 25
已知长方形的长为6分米，宽为3分米.将该长方形围 成一个圆柱，那么这个圆柱的体积大约是多少立方分 米？（π取3）
用一张长为20厘米，宽为16厘米的长方形围成一个 圆筒，那么这个圆筒的体积大约是多少立方厘米？ （结果用π表示）
把一块长31.4厘米、宽20厘米、高4厘米的长方体 钢材熔化成底面半径是4厘米的圆柱，圆柱的高是 多少厘米？
什么变了？什么没变？
长方体的体积＝底面积 × 高 底面积
长方体的体积＝底面积 ×高 底面积
长方体的体积＝底面积 ×高 底面积
长方体的体积＝底面积 ×高 底面积
长方体的体积＝底面积 x 高 底面积
长方体的体积＝底面积 x 高 底面积
长方体的体积＝底面积 ×高
圆柱体的体积＝ 底面积 × 高 字母表示 ：V＝Sh