定积分的概念和基本性质

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第5.1节定积分的概念及性质

§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分：设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。

注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积；（2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积；（3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积；（4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。

5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。

定积分的概念及性质

定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一．定积分的定义A ）定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。

注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

掌握定积分概念及基本性质

供需关系研究
通过定积分，可以研究市场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以用来分析投资回报率的变化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分，掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解决与几何形状、物理量分布等有关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。

定积分的概念分析

定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。

它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。

本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。

一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。

在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。

那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。

定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。

二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。

具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。

三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。

2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。

3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。

4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。

定积分的知识点总结

定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。

定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。

定积分的符号表示为∫。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。

定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。

二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。

这就是定积分的计算方法。

在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。

这就是黎曼和的基本思想。

2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。

对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。

这个面积就是曲线下的面积。

如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。

3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。

在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。

对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。

其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。

初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质

初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质定积分作为数学中的一个重要概念，是初中数学学习中必须掌握的内容之一。

本文将从定积分的基本概念和性质两个方面进行归纳，帮助初中生更好地理解和掌握这一知识点。

1. 定积分的基本概念定积分是对函数在一定区间上的积分，可以理解为曲线与x轴所夹的面积。

具体而言，定积分可以表示为∫ab f(x)dx，其中a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数。

定积分的计算方法有多种，常见的有几何法和定积分的运算法则。

几何法是通过图形的面积进行计算，而定积分的运算法则则利用不定积分求解。

2. 定积分的性质定积分具有以下几个性质：（1）可加性：对于函数f(x)和g(x)，定积分具有可加性，即∫ab[f(x) + g(x)] dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx。

（2）线性性：对于任意实数k，定积分具有线性性质，即∫ab kf(x) dx = k∫ab f(x) dx。

（3）区间可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以将该区间分割成若干小区间，然后进行分别计算再求和，即∫ab f(x) dx =∑(i=1 to n) ∫xi-1 xi f(x) dx，其中[xi-1, xi]表示分割后的小区间。

（4）定积分的性质与原函数相关：如果函数F(x)在区间[a, b]上是函数f(x)的原函数，则∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)。

（5）无关紧要的加法常数：定积分无关紧要的加法常数，即∫abf(x) dx = ∫ab [f(x) + C] dx，其中C为任意常数。

3. 定积分的应用定积分不仅仅在数学理论中有重要应用，还广泛应用于物理、经济学等实际问题中。

以下是一些常见的应用场景：（1）面积计算：定积分可以用来计算曲线与x轴所夹的面积，从而解决几何学中的面积问题。

（2）求解平均值：对于某些变量随时间变化的过程，可以通过定积分计算平均值，如平均速度、平均密度等。

定积分的概念和性质

b a
a
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫
a
b
b
a
f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
a
b
• 证
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = lim ∑ [ f (ξ ) ± g (ξ )]∆x λ
a →0 i =1 n i i
y y=f(x)
0
a=x0 x1 x2 x3 xi −1
xi
xn −1 x = b n
x
（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形
在第 i个小曲边梯形的底 [ x i −1 , x i ]上任取一点 ξ i x i −1 ≤ ξ ≤ x i ), （它所对应的函数值是 f (ξ i ).用相应的宽为 ∆x i , 长为 f (ξ i )的小矩形面积来近似代替这个小曲边梯形的面积，即 ∆Ai ≈ f (ξ i ) ∆x i
• 证
b
a
kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
a
b
（k为常数）
∫
b
a
kf ( x)dx = lim ∑ kf (ξ i )∆xi
λ →0
i =1 n b
n
= k lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x)dx
λ →0
i =1 a
• 性质3 (定积分的区间可加性) 若a < c < b，则
f (ξ i ) ∆ x i .
f(ξ) ｉ
0
a=x0 x1
x2 xi −1ξｉxi
xn −1 x = b n
x

定积分概念、性质ppt课件

上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m，于是，由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)）在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示）引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间作和
取近似值取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1

定积分的基本概念与性质

定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。

一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。

具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。

然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。

当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。

二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。

其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。

几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。

例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。

根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。

分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。

通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。

换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。

假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。

通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。

三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。

第五章积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

定积分知识点汇总

定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。

它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。

在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。

一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。

这里我们主要探讨二维平面内的定积分。

在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。

$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。

$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。

最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。

二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。

其中$c$称为积分中值。

4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。

三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。

§5.1 定积分的概念与性质

τi
ti −1 ti
n
T2
t n −1
t
(3) 作和： s =
∑ Δs ≈ ∑ v(τ )Δt
i i =1 i =1 i
1≤i ≤ n
n
S = lim
i
n
∑ f (ξi )Δxi Δx → 0
i =1
(4) 取极限：记 Δt
= max{Δti }, s = lim ∑ v(τ i )Δti
Δt →0 i =1
2 2 1
∫
2
1
（2）因为在[1, 2]上,
2 1 1
∴ ∫ ln xdx > ∫ (ln x) 2 dx
14
a a
b
b
(3). 规定:
∫
b
a
f ( x)dx = −∫ f ( x)dx ;
b
a
∫
a
a
f ( x)dx = 0
1. 若函数 f (x) 在[a,b]上可积, 则 f (x) 在[a,b]上有界. 2. 若函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则 f (x) 在[a,b]上可积. 3. 若函数 f (x) 在区间[a,b]上有界, 且只有有限个间断点, 则 f (x) 在[a,b]上可积.
m(b − a ) ≤
∫
b
a
f ( x)dx ≤ M (b − a )
(估值定理)
11
性质7. (积分中值定理) 若函数 f (x) 在[a,b]上连续, 则至少存在一点 ξ ∈ [ a, b], 使
1 b f ( x)dx (a ≤ ξ ≤ b) f (ξ ) = b−a ∫a
证设 f (x) 在[a,b]上取得最小值 m 与最大值 M, y

定积分的性质和计算方法

定积分的性质和计算方法定积分是高中数学的重要部分之一，而在大学的数学课程中，它更是不可或缺的。

从广义上讲，定积分是微积分的理念的核心之一。

本文试图探索定积分的性质和计算方法。

一. 定积分的基本概念在介绍定积分的性质和计算方法之前，我们需要先了解一些基本概念。

所谓定积分，可以理解为在一定区间内，用一个数来表示一条曲线下面的面积。

它的形式为：∫a^bf（x）dx其中，a和b是区间端点，f（x）是曲线的函数表达式，而dx 表示区间的微元（即无穷小的长度）。

二. 定积分的性质和其他数学概念一样，定积分也有一些基本的性质。

1. 割线定理割线定理是定积分的基本性质之一，它给出了曲线下面的面积和定积分值之间的关系。

这个定理的表达式为：f（x1）+（x2-x1）f'（ξ）=L其中，x1和x2是曲线上两个点，ξ是这两个点之间的某个点，f（x）是曲线的函数，f'（x）是这个函数的导数，L是这条曲线下面的面积。

割线定理的意义在于，通过它我们可以证明求解定积分的方法的合理性。

它告诉我们，如果我们采用点的差值来逼近曲线下面的面积，最后得到的结果和真实的定积分值之间的误差是小的。

这个性质也是微积分理论的核心之一。

2. 工具性质除了割线定理，定积分还具有一些工具性质。

比如，定积分是可叠加的：如果我们将一个区间分成若干个子区间，并分别进行积分，然后再将这些值相加，得到的结果和将整个区间一起积分得到的结果是相等的。

这个性质在实际问题中非常有用，可以帮助我们简化一些复杂的积分。

此外，定积分还具有类似求导的反操作的性质，我们称之为定积分的线性性。

这个性质的本质是定积分的积分恒等式，即：∫a^bf（x）dx+C1+ ∫a^bf（x）dx+C2= ∫a^bf（x）dx+C1+C2这个性质的应用也非常广泛，可以帮助我们更快地求解一些复杂的定积分。

三. 定积分的计算方法定积分作为微积分的基本理念，自然有很多不同的计算方法。

1. 基本积分表基本积分表是定积分计算中最重要的工具之一，它列举了一系列基本函数的积分值、积分公式以及基本的积分应用。

定积分基本概念

定积分基本概念定积分是微积分中的重要概念之一，用来描述曲线下的面积或者曲线围成的封闭区域的面积。

它在数学、物理学和工程学等多个领域中有着广泛的应用。

本文将介绍定积分的基本概念及其相关性质。

一、定积分的概念定积分可以理解为对一个函数在一个区间上的面积进行求和。

给定一个函数f(x)，我们可以将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

我们取这些小区间中的任意一点xi，并计算出该点处的函数值f(xi)，然后将其与Δx相乘。

将这些小矩形的面积加起来，得到的和就是函数在区间[a, b]上的定积分。

定积分的数学表示为：∫(a, b) f(x) dx其中∫是求和的符号，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx 表示自变量的微小增量。

二、定积分的几何意义从几何角度来看，定积分表示的是曲线下的面积，也可以看作是曲线与x轴之间的有向面积。

当被积函数为非负时，定积分表示的是曲线与x轴之间的面积；当被积函数为负时，定积分表示的是曲线与x 轴之间面积的相反数。

三、定积分的性质定积分具有几个重要的性质，包括线性性质、积分中值定理、换元积分法等。

1. 线性性质：对于任意的实数a和b，有∫(a, b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a,b) f(x) dx + ∫(a, b) g(x) dx，以及∫(a, b) (af(x)) dx = a∫(a, b) f(x) dx。

2. 积分中值定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则存在一个点c∈(a, b)，使得∫(a, b) f(x) dx = f(c) × (b - a)。

3. 换元积分法：通过变量替换，可以将一个积分问题转化为另一个更简单的积分问题。

换元积分法常用于解决复杂函数的积分计算。

四、定积分的计算方法具体计算定积分的方法包括分段函数的积分、换元法、分部积分法等。

这些方法根据具体的问题和函数性质选择不同的求解策略。

1. 分段函数的积分：对于分段函数，我们可以将其分成若干个不同的区间，在每个区间上分别计算积分，再将结果相加得到最终的定积分。

定积分的概念和基本性质教学精品PPT课件

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曲边梯形面积可取极限：
f (i )
y=f(x)
n
S
= lim 0 i=1
f (i ) xi
O a=x0 x1 x2 ... xi-1i xi ...
x
b xn1 xn=
7
引出定义的实例二：求物体作变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ直线运动所经过的路程
例2．设物体沿直线作变速运动，速度为 v =v (t), 假定v (t)是 t 的连续
(2) 在第i个小区间[xi1, xi]上任取一点i ,用第i个小矩形的面积近似替代
第i个小曲边梯形的面积：Ai f ( i ) xi (i = 1, 2, , n)
(3) 将全部小矩形面积求和后作为
y
曲边梯形面积 S 的近似值。即有
n
S f(i)xi。
i =1
(4) 记=maxx1, x2, xn,为得到
分割近似求和取极限
把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”, 求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；
得到整体量的精确值；
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一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：
(1) 用直线 x = xi (i = 1, 2,..., n 1) 把曲边梯形分割为 n 个小曲边梯形。每个小曲边梯形的底的宽度记为 xi = xi xi1 (i = 1, 2,..., n)。
取极限
得到整体量的精确值；
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4.3.1 定积分的定义
定义 4.3.1:
将
区间任意分成 n 份,分点依次为
在每一个小区间[xi-1 , xi]上任取一点ci, 作乘积
f (ci )xi (xi = xi xi1) (i = 1,2,, n)

定积分的概念及性质.

数学方面的成就：
莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的。他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。他曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。
背景
积分思想先于微分的产生“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes ，287 BC~212 BC）等人提出的计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的．只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分是互逆的两种运
2
W 0r(t)dt

莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716），是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。

6.1 定积分的概念与性质

2 2 2
所以
0
b
x 2dx lim Sn
n
b n( n 1)( 2n 1) b lim . 3 n 6 3 n
3 3
四、定积分的基本性质
性质 6.1 设 f ( x )，g( x ) 在 [a , b] 上可积，，是任
意常数，那么 f ( x ) g( x ) 在[a , b]上可积，并且
i 1
n
则称此极限值为函数 f ( x ) 在区间[a, b] 上的定积分.
记作 f ( x )dx ，即
a
b
a f ( x )dx
b
lim f ( i )xi
0
i 1
n
( 6 2)
这时称函数 f ( x ) 在区间[a, b] 上可积.
a 和 b 分别称为积分下限和上限，a , b] 称为积分区间. [
a f ( x )dx
b
f (c )(b a )
Oa
例4
设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
且存在 c (a , b)，使得
a f ( x )dx
证明
c
f (b)(c a )
证明在 (a , b) 内存在一点，使得 f ( ) 0 .
n n
( i 1, 2, , n )
(3) 求和
(4) 取极限
s si v (i )t i
i 1 i 1
记 max{ti }，令 0，则
1 i n
s lim v (i )t i
0
i 1
n
二、定积分的定义
定义 6.1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有定义 , 用 (a , b)

6.1定积分的概念及基本性质

曲边三角形面积的近似值为
1 k 1 2 1 A Ai ( ) 3 (k 1) 2 n n i 1 i 1 i 1 n
n n n
（自学）
(n 1)n(2n 1) （小和） . 3 6n
(3)当分割无限加细 ,即n 时，
1 曲边三角形面积为 A lim Ai . 0 3 i 1
（自学）
o
1
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边三角形面积．
曲边三角形如图所示，
(1)把区间[0,1] 平均分成n个等分，分点是
（自学） 1 2 k n 0, , , L , , L , 1, n n n n k 1 k 1 则把 [0,1] 分成 n 个小区间 [ , ]，小区间长度为 ; n n n
k 1 k (2)在每个小区间[ , ]上 n n k 1 2 以左端点的函数值 ( ) 为高 n k 1 k 1 k 1 2 以[ , ]为底，的小矩形面积为 Ai ( ) n n n n n n 1 k 1 2 曲边三角形面积的近似值为 A Ai ( ) n i 1 i 1 n
数作为因变量对自变量的变化率有很多实际应用,
定积分作为无穷多个微元的求和,在几何、物理、
概率论等许多实际问题中有广泛应用.
不定积分（求导的逆运算，和微分密切相关）
和定积分这两个看似风牛马不相及的问题, 经过
17世纪众多数学家, 特别是牛顿和莱布尼茨的工
作, 发现定积分在一定条件下可以通过不定积分
来计算, 这就是牛顿-莱布尼茨公式.这个结果把
其中小区间长度为 Δt i t i t i 1
始点 O
Δs1 Δs2
...
Δsi

定积分的概念和性质公式

定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。

本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。

一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。

定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。

设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。

我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。

二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。

4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。

5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。