考研数二真题及答案解析完整版
2023考研数学二真题+详解答案解析(超清版)
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）设0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−≤=⎨+−>⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−+≤=⎨+−>⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩【答案】D【解析】根据原函数的连续性，可排除（A）（C）；再根据原函数的可导性，可排除选项（B），答案为（D） （3）已知{}n x ，{}n y 满足1112x y ==，1sin n n x x +=，21(1,2,)n n y y n +== ，则当n →∞时（ ）（A）n x 是n y 的高阶无穷小（B）n y 是n x 的高阶无穷小（C）n x 与n y 是等价无穷小（D）n x 与n y 是同阶但不等价的无穷小【答案】B【解析】由已知可得，{}n x ，{}n y 均单调递减，且12n y ≤，又因为sin x x 在(0,2π上单调递减，故2sin 1x x π<<，所以2sin x x π>，所以21112sin sin 24n n n n nn n n n n ny y y y y y x x x x x ππ++==≤=，依次类推可得，111100()444n nn n n n y y y n x x x πππ++⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤=→→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故n y 是n x 的高阶无穷小，答案为B （4）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A）0,0a b <>（B）0,0a b >>（C）0,0ab =>（D）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（5）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C 【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t>时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t<时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（6）若函数121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰在0αα=处取得最小值，则0α=（ ） （A）1ln(ln 2)−（B）ln(ln 2)− （C）1ln 2（D）ln 2【答案】A 【解析】当0α>时，121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰收敛， 此时21122111111()ln (ln )(ln )(ln )(ln 2)f dx d x x x x x ααααααα+∞+∞+∞++===−=⎰⎰，故211111ln ln 2()(ln 2)(ln 2)(ln 2)f ααααααα′⎡⎤−′==−⎢⎥⎣⎦，令()0f α′=，解得0α=1ln(ln 2)−（7）设函数2()()x f x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A）[0,1)（B）[1,)+∞（C）[1,2)（D）[2,)+∞【答案】C 【解析】2()()x f x x a e =+，2()(2)x f x x x a e ′=++，2()(42)x f x x x a e ′′=+++，因为()f x 没有极值点，所以440a −≤；又因为曲线()y f x =有拐点，所以164(2)0a −+>，联立求解得：[1,2)a ∈（8）设A ，B 为n 阶可逆矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） （A）****A B B A O B A ⎛⎫−⎪⎝⎭（B）****B A A B O A B ⎛⎫−⎪⎝⎭（C）****B A B A OA B ⎛⎫−⎪⎝⎭（D）****A B A B OB A ⎛⎫−⎪⎝⎭【答案】B【解析】*11111A E A E A E A AB A B O B O B O B O B −−−−−⎛⎫−⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111***1*A B A A B A B B A A B O A B B OA B −−−−⎛⎫⎛⎫−−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答案为B （9）二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）（A）2212y y +（B）2212y y −（C）2221234y y y +−（D）222123y y y +−【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++二次型矩阵为211134143A ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,211134(7)(3)143E A λλλλλλλ−−−−=−+−=+−−−+ 故答案为B（10）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A）33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （B）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （C）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D）15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =−（12）曲线y =⎰的弧长为________43π【解析】由题意可得函数定义域为[x ∈，根据公式可得：2302sin 24cos L x t tdtπ====⎰304(1cos 2)t dt π=+=⎰43π+（13）设函数(,)z z x y =由2ze xz x y +=−确定，则2(1,1)2zx∂=∂_________【答案】32−【解析】代入(1,1)点可得，0z =，先代入1y =，可得21z e xz x +=−，两边对x 求导，2z e z z xz ′′++=，得(1)1z ′=两边再对x 求导，20z ze z e z z z xz ′′′′′′′++++=，代入(1,1)及0z =，(1)1z ′=得2(1,1)232zx∂=−∂（14）曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为________【答案】119−【解析】代入1x =得到1y =，两边对x 求导，242956x y y y y ′′=+，代入1x =，1y =可得：911y ′=，故1x =对应点处的法线斜率为1119y −=−′（15）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（16）已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a =，则11120a a ab =_______【答案】8【解析】由题意可得：方程组系数矩阵秩为3，可得增广矩阵的秩也为3，即011110012002a a a ab =按照第四列进行行列式展开可得：144411011(1)122(1)11012a a a a a b a ++⋅−+⋅−⋅=所以111280a a ab =三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()()L y y x x e =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）在L 上求一点，使得该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）33221(,)2e e ，最小面积是3e 【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，则有x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入2(,0)e 可得2C =，故()(2ln )y x x x =−（2）该点设为000(,(2ln ))x x x −，切线方程为0000(2ln )(1ln )()Y x x x X x −−=−− 令0X =，解得0Y x =；令0Y =，解得00ln 1x X x =−；所以该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为：200011()22ln 1x S x XY x ==−求导00020(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x −′=−，令0()0S x ′=，解得320x e =且为最小值点，最小面积为332()S e e =（18）（本题满分12分） 求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值【答案】极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） 【解析】先求驻点cos cos 0(sin )0y xy y f e x f xe y ⎧′=+=⎪⎨′=−=⎪⎩，解得驻点为1(,(21))e k π−−+和(,2)e k π−，其中k Z∈下求二阶偏导数，cos cos 2cos 1(sin )sin cos xx yxy y y yy f f e y f xe y xe y ⎧′′=⎪⎪′′=−⎨⎪′′=−⎪⎩代入1(,(21))e k π−−+（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e −⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==−⎪⎩，20AC B −<,故1(,(21))e k π−−+不是极值点； 代入(,2)e k π−（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e ⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==⎪⎩，20AC B −>且0A >,故(,2)e k π−是极小值点，其极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） （19）（本题满分12分）已知平面区域{(,)01}D x y y x =≤≤≥（1）求D 的面积（2）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积【答案】（1）ln(1S = （2）24V ππ=−【解析】（1）222214441tan sec csc ln csc cot tan sec D S x t tdt tdt t tt t ππππππ+∞====−⎰⎰⎰ln(1=+;（2）22222111111(1)1x V dx dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞⎛⎫===− ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰11arctan x x π+∞⎛⎫=−− ⎪⎝⎭24ππ=−（20）（本题满分12分）设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +−=，222x y xy +−=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰【解析】本题采用极坐标计算，322013Ddxdy d x y πθ=+⎰⎰⎰333222222000111ln 3cos sin 3cos sin 3cos sin d r d d πππθθθθθθθθθ===+++⎰⎰332220011111ln 2ln 2tan ln 22(3tan )cos 23tan 2d d ππθθθθθ=⋅=⋅==++⎰⎰（21）（本题满分12分） 设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈−两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−=因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a aξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间；代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f aη′′−−≤成立 （22）（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭（1）求A（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1P AP −=Λ【答案】（1）111211011A ⎛⎫⎪=− ⎪⎪−⎝⎭11 /11 （2）401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭【解析】（1）因为任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，即112233*********x x A x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可分别取单位向量100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，可得100111100010211010001011001A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111211011A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭（2）111101101211221(2)2110110(2)1011E A λλλλλλλλλλλ−−−−−−−−=−+−=−+−=+−−−+−++−+101(2)211(2)(2)(1)20λλλλλλ−−=+−−=+−+− 所以A 的特征值为21,2−−，，下求特征向量： 当2λ=−时，解方程组(2)0E A x −−=，可得基础解系为1(0,1,1)T ξ=−;当1λ=−时，解方程组()0E A x −−=，可得基础解系为2(1,0,2)Tξ=−当2λ=时，解方程组(2)0E A x −=，可得基础解系为3(4,3,1)T ξ=令401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，有1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭成立。
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)
dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（ ） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2
2024 考研数学(二)真题试卷及参考答案
试卷及解2024考研数学（二）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1(1)(2)()x x f x x --=的第一类间断点的个数是A.3. B.2.C.1.D.0.1.【答案】C【解析】无定义点为12x x ==，对于()()()()()111lim1121211,lim ||ee x x x x x x x x x →⋅-----→===，故1x =是可去间断点.对于()()11222,lim ||x x x x x ---→==+∞，故2x =是第二类间断点另外，0x =是分段点，()()()011limln 12(12lim||ex xx x x x x x →⋅----→==+∞∣，故0x =是第二类间断点.因此只有一个第一类间断点2.设函数()y f x =由参数方程231,et x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则2lim 2(2)x x ff x →+∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A.2e.B.4e 3.C.2e3.D.e3.2.【答案】B【解析】()222lim22x f f x x→+∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅原式()'22f +=1d d d d t y t x t==2212e 23tt t t==⋅4e 3=.3.设函数sin 30()sin d ,()()d ,xxf x t tg x f t t ==⎰⎰则A.()f x 是奇函数，()g x 是奇函数.B.()f x 是奇函数，()g x 是偶函数.C.()f x 是偶函数，()g x 是偶函数.D.()f x 是偶函数，()g x 是奇函数.3.【答案】D【解析】()sin 30sin d xf x t t =⎰，()3sin(sin )cos f x x x ='为奇函数.所以()f x 为偶函数，()()0d xg x f t t =⎰为奇函数.4.已知数列{}(0),n n a a ≠若{}n a 发散，则A.1n n a a ⎧⎫+⎨⎩⎭发散. B.1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.C.1ee nn a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭发散. D.1ee nn a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.4.【答案】D【解析】选项A ：取=22n a 11，，， (22)，112+.2n n a a +收敛到错误.选项B ：取=1,1,1,1,,n a -- 10.n na a -收敛到错误.选项C ：取=ln 2,ln 2,ln 2,ln 2,,n a -- 11e2e 2nna a ++收敛到错误.5.已知函数221()sin 0,(,)0,0,x y xy xy f x y xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则在点（0,0）处A.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 可微.B.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 不可微.C.(,)f x y x ∂∂不连续，(,)f x y 可微.D.(,)f x y x∂∂不连续，(,)f x y 不可微.5.【答案】C 【解析】()(()(,0,0,0,000limlimx y x y x y →→≠≠--⋅+⋅--⋅+⋅=或()(()(()22,0,0,0,000001sin0limlim0,x y x y x y x y x y xy→→≠≠≠≠+---⋅+⋅==且且则(),f x y 在（0,0）处可微.而()2221112sin cos ,0,(,)=0,0,x x y xy f x y xy xy x y x xy ⎧⎛⎫++-≠∂⎪ ⎪⎨⎝⎭∂⎪=⎩()()()()()()222,0,0,0,00000,11limlim 2sin cos x y x y x y x y x y f x y x xxy x y xy →→≠≠≠≠⎡⎤+∂⎢⎥=-∂⎢⎥⎣⎦且且不存在，从而(),f x y x∂∂在（0,0）处不连续.6.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .y y f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰6．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A .7.设非负函数()f x 在∞[0,+)上连续.给出以下三个命题：①若20()d f x x +∞⎰收敛，则0()d f x x +∞⎰收敛；②若存在1,p >使得lim ()px x f x →+∞存在，则0()d f x x +∞⎰收敛;③若0()d f x x +∞⎰收敛，则存在1,p >使得lim ()p x x f x →+∞存在.其中真命题的个数为A.0.B.1.C.2.D.3.【答案】B【解析】①取()2011(),d 11f x x x x +∞=++⎰收敛，01d .1x x +∞+⎰发散，错误②极限比较判别法原话.正确.③极限比较判别法为充分不必要条件.错误.()()()201d 1,lim .1ln 1px x p x f x x x +∞→+∞>=∞++⎰取收敛，8.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=A A.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P ，故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131 (1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.设A 为4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若*()=-A A A O 且*≠，A A 则()r A 取值为A.0或1.B.1或3.C.2或3.D.1或2.9.【答案】D【解析】由题意可知*()=-A A A O ，故()()*4r r +-≤A A A.()***,,1r ≠-≠-≥又故即A A A A A O A 因此() 3r ≤A .又()*2*22-=-=-==OA A AAAA A A E A ()()**2,0r r ⇒≤=⇒=此时OA A A 又()*1r ≠⇒≥A A A ，故()12r =或A .10.设,A B 为2阶矩阵，且=,AB BA 则“A 有两个不相等的特征值”是“B 可对角化”的A.充分必要条件.B.充分不必要条件.C.必要不充分条件.D.既不充分也不必要条件.10.【答案】B【解析】方法一充分性，A 有两个不相等的特征值，故A 必可相似对角化.又=,AB BA ，且A 有2个不同特征值，故A 的特征向量都是A 的特征向量.（利用线代9讲结论）又A 有2个线性无关特征向量，故B 有2个线性无关特征向量，故B 必可相似对角化.必要性，B 可相似对角化，不妨取,==B E A E ，则推翻.【解析】方法二因题知A 有两个不同特征值，不妨设为12λλ，且12λλ≠，则存在可逆阵P 使1121111111122 λλλλλλ-------⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭=⇔=⎛⎫⎛⎫⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又P AP AB BA P APP BP P BPP APP BP P BP B 可相似对角化1-⇔P BP 可相似对角化.12134121211343422111211221223241324 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b λλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设代入上式由P BP 122222313311140000b b b b b b b b λλλλ--⇒=⇒==⇒=⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭可对角化P BP P BP ⇒可对角化B 以上推导均基于12λλ≠，反之 可对角化B 无法推出A 有两不同特征值，故A 有两个不同特征值为 B 可对角化的充分非必要条件.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.曲线2y x =在点(0,0)处的曲率圆方程为.11.221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由图像可转化为2y x =处且()()3221y k y '''=+()0,020,2y xy ==''='12,2k R ==，2211(0)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.12.函数324(,)2961224f x y x x y x y =--++的极点是.12.【答案】（1,1）【解析】由23618120,24240,x y f x x f y '⎧=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得驻点为(1,1),(2,1).又21218,0,72,xxxy yy A f x B f C f y ''''''==-====-代入点（1,1）得24320,6,AC B A -=>=-故（1,1）是极大值点.代入点（2,1）得24320,AC B -=-<故（2,1）不是极值点.13.微分方程21()y x y '=+满足条件(1)0y =的解为.13.【答案】()π arctan 4x y y +=+【解析】方程化为2d ()d xx y y=+d d1d d x u u x y y y=+=-令则即2d 1d uu y=+则21d d 1u y u ⎰=⎰+arctan u y c=+代1,0,1x y u ===.得π 4c =得()πarctan 4x y y +=+14.已知函数2()(e 1)xf x x =+，则(5)(1)f =.14．【答案】31e 【解析】()()()52e 1x x +()()()(5)(4)22e 15e 1x x x x '=++⋅+⋅()()(5)225e 1''x C x ++2e 5e 210e 2x x x x x =⋅+⋅⋅+⋅⋅,则(5)e 10e 20e 31e(1)f++==15.某物体以速度()sin πv t t k t =+作直线运动.若它从0t =到3t =的时间段内平均速度是52，则k =.15．【答案】3π2【解析】30(sin )2πd 53t k t t+=⎰,则3015(sin )2πd t k t t +=⎰,30915cos 22k t -π=π915(11)22k ---=π,则3π2k =.16.设向量1231111,,,1111a ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα若123,,ααα线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab =.16．【答案】4-【解析】由()22123211111111011011,,1101101111011002a a a a a a a a b b a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪--+-+- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ααα由()123,,2r ≤ααα且()(),2i j r i j =≠αα故()123,,2r =ααα1当1a =时，1α与3α相关，不满足题意2当1a ≠时，()()1231111011011,,0110012002002a aa ab a b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪+--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ααα故要满足题意，则20a +=且()120b a -+-=242a ab b =-⎧⇒⇒=-⎨=⎩三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12J v ∂x ∂x==∂u∂y ∂v ∂y 故∂u∂v1331331d 1d 2u v v ⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式8ln33=.18.设()y x 为微分方程290,x y xy y '''+-=满足条件112,6x x y y =='==的解.（1）利用变换e tx =将上述方程化为常系数线性方程，并求();y x（2）计算21(.y x x ⎰解：（1）290,x y xy y '''+-=令e tx =，则222222d d d d 1d d 1d 1,,d d d d d d d y y t y y y y x t x t x x t x t x ⎛⎫⎛⎫===+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2222d d d d 90,90d d d d y y y y y y t t t t-+-=-=即，()()()()3332121123221124e e ,1=233,1336,t t C y C C y x C x y C C x C y x C x y C C x -=+=+=+''=-=-=，，①②从而()312=2=0=2.C C y x x ，，则（2）2211(2y x x x x=⎰⎰3222226624352sin16sin4cos d64(1cos)cos d(cos)cos1164)d6435116464.38532816055x tt t t t t tt uu u u u uππππ==--⎛=-=-⎝⎛⎛=-==⎝⎭⎝⎭⎰⎰令令19.设0,t>平面有界区域D由曲线xy-=与直线,2x t x t==及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为()V t，求()V t的最大值.19.【解】222222π()π()dπe d(21)e4tt t x xt ttV t y x x x x x--===-+⎰⎰42π(41)e(21)e(0)4t tt t t--⎡⎤=-+-+>⎣⎦()42π1()16e4e0,ln4ln242t tV t t t t'--=--+===,(0,ln2),t∈maxπ3π()0,(ln2,),()0,ln2,[()]ln21664V t t V t t V t''>∈+∞<==+20.已知函数(,)f u v具有2阶连续偏导数，且函数(,)(2,3)g x y f x y x y=+-满足222226 1.g g gx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂（1）求2;fu v∂∂∂（2）若2(,0)1e,(0,)1,50uf u u f v vu-∂==-∂求(,)f u v的表达式.20.【解】（1）23g f fx u v∂∂∂=+∂∂∂2222222222222 2233234129g f f f f f f fx u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，2gx y ∂∂∂222222222222(1)31)23f f f f f f f u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+⋅-++-=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，g f f y u v∂∂∂=-∂∂∂，()()2222222222222112g f f f f f f fy u u v u v v u u v v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅--+-=-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭,代回原式得，2 251f u v∂=∂∂,故2125f v v ∂=∂∂（2）()111d 2525f v v c u u ∂=⎰=+∂，()()1,0e e u uf u u c u u u --∂==∂代得，1e 25u f u v u -∂=+∂故，则()()()211,e d 1e 2525u u f u v u v u u uv c v --⎛⎫=⎰+=-+++ ⎪⎝⎭.代()210,150f v v =-得()22150c v v =综上：()()211,12550uf u v u e uv v -=-+++.21.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰21.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x xx ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 22.设矩阵1101,11,1012a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 二次型T123(,,)f x x x =x BAx .已知方程组=0Ax 的解均是T =0B x 的解，但这两个方程组不同解.（1）求,a b 的值；（2）求正交变换=x Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形.22.【解】（1）由题意可知，=0Ax 的解均是T=0B x 的解故()r r ⎛⎫=⎪⎝⎭T A A B ,且()2r =A 011011011010101 11011001112011001a a a b b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭T 又A B 故1,2a b ==(2)111120111111210122224⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BA CT T 112112224f ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭x BAx x x由()()12310,tr 6r λλλ=⇒====C C 当120λλ==时，得到线性无关的特征向量为12111,101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ，单位化为12,0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ =-= ⎪ ⎪ - ⎪⎪ ⎝⎭⎝η η当36λ=时，得到线性无关的特征向量为3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化为2112⎛⎫⎪=⎪⎪⎭η()123 ,,0⎛ ==-⎝故令Q ηηη则23T6f ===x Qyx Cx y。
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
x (0, 0)
xy (0, 0)
(x, y)→( 0,0 )
y→0 x→0
数是
A.4 B.3 C.2 D.1
答案：B
6. 设函数 f (x) 在区间 − 2,2上可导，且 f (x) f (x) 0 ，则（）
A f (−2) 1 f (−1)
B f (0) e C f (1) e2 D f (2) e3
3.
1
0
arcsin
x (1−xx)源自dx=π2
A.
4
π2
B.
8
C. π
D. π
4
8
答案： A
解析： 1 arcsin xdx = arcsin2
0 x(1− x)
x
1 0
2 =
4
.
4. f ( x) = x2 ln (1− x), n 3 时， f (n) (0) =
A. − n! n−2
答案： A
+
y(x)dx =
0
解析：由
y + 2y + y = 0
y
(0)
=0，y
(
0)
y))dy
dz
(0, )
=
(
−1)dx − dy
12.斜边长为 2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度 为 g，水密度为 ，则该平板一侧所受的水压力为
答案： 1 ega3 3
解析： a g(a − y)[ y − (− y)]dy = 1 ga3
0
3
13.设 y = y ( x) 满足 y + 2y + y = 0 ，且 y (0) =0，y(0) =1，则
2022年数二考研真题答案解析
2022年数二考研真题答案解析一、填空题：1一6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）曲线口yl某4in某的水平渐近线方程为y.D55某2co某【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可•口4in某某4in某某1.0【详解】limlim某5某2co某某2co某55某1故曲线的水平渐近线方程为y.o51（2）设函数口1某2130intdt,某0在某0处连续,则a・f（某）某3a,某0【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可•【详解】由题设知，函数口f（某）在某0处连续，则口limf（某）f（0）a,o某0又因为limf（某）lim某0某0某0int2dt某3in某211im.某03某23所以口al.3（3）广义积分001某d某（1某2）22.D【分析】利用凑微分法和牛顿一莱布尼兹公式求解.口【详解】o02bd（l+某）某d某1lllimlim22（l某2）22b0（l某）2bl+某bO211111im2.Q2bl+b22（4）微分方程口yy（l某）某的通解是yC某e（某0）.某【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为°dylld某，y某两边积分得口Inyln某某Cl,整理得口（5）设函数口C某.（Cel）yCe某dy某Oe.d某【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对某求导（注意y是某的函数），一阶微分形式不变性口yy（某）由方程yl某ey确定，贝版和隐函数存在定理求解.口【详解】方法一：方程两边对某求导，得口yey某yey.Q又由原方程知，某0时,y方法二：方程两边微分，得°ydye某d某yl.代入上式得口dyd某某0y某0e.q某0,yl,得ey,代入ddyd某某Oe.Q方法三：令F（某,y）yl某ey,则口yleoF某某Oy,某FeyO,1,y某yO,1某lye某y,0,11 故口dyd某某OF某Fy某0,yle.D某O,yl（6）设矩阵A21,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E,贝血12qB2.o【分析】将矩阵方程改写为A某B或某AB或A某BC的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行°计算即可•口【详解】由题设，有口B（AE）2E d于是有口BAE4,而口11AE2,所以B2.口11二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数口yf（某）具有二阶导数，且f（某）0, f（某）0,某为自变量某在点某0处的增量，oy与dy分别为f（某）在点某0处对应的增量与微分，若某0,贝血（A）dOdyy.(B)Oydy.D（OoydyO.o（D）odyyO.口[A]。
2023年考研《数学二》真题及详解【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
只有一个选项是最符1.曲线y = xln （e^-LA 的渐近线方程为（）。
A. y=x+eB. y=x+l/eC. y=xD. y=x —1/e【试题答案】B【试题解析】由已知y = xln （e^ —\ JC 1xlnyk = lim — = lim ----X —00JQXTOO,则可得:limln e +X —00 I1=1b = lim (y-Ax) = lim XT8 ' / XToox-1扁仁上、—X=limxL|' 1、e +--------1_ l X-lyX —>00、x — l)1lim xln XToo1+limXToo所以斜渐近线方程为y=x+l/e 。
2.__,x<0函数 x/l +、2[(x + l)cosx,x > 0的原函数为（A.尸("In +— jv ) jv < 0(x + l)cos x - sin x, x > 0B.尸("In ^/1 + %2 —1, x V 0(x + l)cos x - sin x, x > 0C.In ^/1 + x 2 + x) x V 0(x + l)sin x + cos >In^|/1+%2+x1,jv V0D.F(x)=<(x+l)sin x+cos>0【试题答案】D【试题解析】当xWO时，可得:当x〉0时，可得:j f(x)ch=j(x+l)cos xdx=j(x+l)dsinx=(x+l)sin x-j sin xdx=(x+l)sin x+cos x+C2在x=O处，有：lim In@+J1+工2>G=G,lim(x+l)sin%+cos%+C2=1+C2由于原函数在(一8,+8)内连续，所以Ci=l+C2,令C2=C,则C1=1+C,故In1+%2+x1+C,x V0j/(x)dx=<(x+l)sin x+cos x+C,x>0In+x2+1,x<0令C=0,则f(x)的一个原函数为F(x)=<(x+l)sin x+cos>03.设数列{Xn},{yn}满足xi=yi=l/2,x n+i=sinx n,yn+i=y「，当n—8时()。
2020考研数学二真题 附答案解析
t3t 2 2x10 2x ®0x (1- x )x d x e -1 ln |1+ x |-2x= -e -1 2ln | x +1| x = -e -1 2¥¥òarcsin u · 1 arcsin xx (1- x ) u 2(1- u 2)x ®01- u 2¶f¶x arcsin u d 0 p①(0,0)¶2 f¶x ¶y ¶f¶x②(0,0)①(0,0) = lim-1 不存在.(0,0)y ®0 y xy = 0(0,0)x = 0y = 0¶x ¶y6.设函数 f (x) 在区间[-2, 2] 上可导，且 f ¢(x) >f (x) > 0 ，则（ ）f (-2)> 1f (-1)f (0) f (-1)f (1) f (-1)f (2) f (-1) >e <e2 <e3答案：B解析：由 f ¢(x) >f (x) > 0知f ¢(x)- 1 > 0f (x)即(ln f (x) -x)¢> 0令F (x) = ln f (x) -x ，则 F (x)在[-2, 2]上单增因-2 <-1 ，所以 F (-2) <F (-1)即ln f (-2) + 2 < ln f (-1) + 1f (-1)>ef (-2)同理， -1 < 0, F (-1) <F (0)即ln f (-1) + 1 < ln f (0)f (0)e7.设四阶矩阵A=(a ij )不可逆，a12 的代数余子式A12 ¹0,a1,a2 ,a3 ,a4 为矩阵A的列向量 组. A* 为 A 的伴随矩阵.则方程组 A* x =0 的通解为（ ）.A.x=k1a1 +k2a2 +k3a3 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数B.x=k1a1 +k2a2 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数C.x=k1a1 +k2a3 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数.D.x=k1a2 +k2a3 +k3a4 ，其中k1 ,k2 ,k3 为任意常数 答案：C解析：∵A 不可逆11 2 3 3 4è øè ø ∴|A|=0 ∵ A 12¹ 0r ( A *) = 1∴ r ( A ) = 3∴ A * x = 0 的基础解系有 3 个线性无关的解向量.A *A =| A | E = 0∴A 的每一列都是 A *x = 0 的解又∵ A 12¹ 0∴a 1 ,a 3 ,a 4 线性无关∴ A *x = 0 的通解为 x = k a + k a + k a 8. 设 A 为 3 阶矩阵，a 1 ,a 2 为 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量，a 3 为 A 的属于特征 æ 1 0 0 ö 值-1 的特征向量，则满足P -1AP = ç 0 -1 0 ÷的可逆矩阵 P 可为（ ）.A. (a 1 +a 3 ,a 2 , -a 3 )B. (a 1 +a 2 ,a 2 , -a 3 )C. (a 1 +a 3 , -a 3 , -a 3 )D. (a 1 +a 2 , -a 3 , -a 2 )答案：D解析：A a 1 = a 1 , A a 2 = a 2A a 3 = -a 3ç ÷ ç 0 0 1 ÷æ 1 0 0 ö ! P -1AP = ç 0 -1 0 ÷ç ÷ ç 0 0 1 ÷\ P 的 1，3 两列为 1 的线性无关的特征向量a 1 +a 2 ,a 2 P 的第 2 列为 A 的属于-1 的特征向量a 3.∴∵24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.，则 = .t =1tt tyyd 2 ydx 2t 2 +1t 2 +1dy 2dx 2ò)], )],(0,(0, 1 ，则 +¥y (x ) d x 0¶z ¶x ¶z ¶y0 òò= +¥y (x ) d x = - +¥ y ¢(x ) + 2 y ¢(x ) d x= -[ y ¢(x ) + 2 y (x )] +¥= [ y ¢(0) + 2 y (0)] = 1a 0 -1 114.行列式 a 1 -1 =-1 1 a 0解析：1 -1 0 a a 0 -1 1 a 0 -1 1 0 a 1 -1 = 0 a 1 -1 0 a -1 + a2 1 a -1+ a 2 1=0 a 1 -1 = - a 1 - 1 -1 1a 0 0 a a0 0 a aa a 2 - 2 1 = - a 2 -1 = a 4 - 4a 2.0 0 a三、解答题：15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）x 1+ x求曲线 y = (1+ x )x(x > 0) 的斜渐近线方程.解析： lim y x 1+ xlim= limx ®+¥ xx x xx ®+¥ (1+ x )x x x ®+¥ (1+ x )= ex l n xlim x ®+¥ ex ln(1+ x )= lim e x (ln x -ln(1+ x ))x ®+¥-1 1 a 0 -1 1 a 0 1 -1 0a 00 aaò=x ®+¥=x ®+¥=x ®+¥lim (y x ®+¥= lim æx ®+¥ è= lim x ®+¥= lim x ®+¥= ölim x ®+¥ø= ö x ®+¥÷ ø= lim e t ®0+ = lim e t ®0+ = 1 e -1 t ®0+ y = e -11e-1216.limf (x ) = 1,g ( x ) = 1f ( xt )dt , 求g '( x )x ®0 x续.并证明 g '(x )在x = 0 处连x = lim f (x ) = 0 x ®0ò0 f (u )du = 1 lim f (x ) = 1 0 x 2 2 x ®0 x 2 的极值y C = 0 -1+ 1x 2 +13 çx AC - 当 x = A = 1.AC - >1= -21618. ) ，并求直线 y = 1 ，与函数 f (x ) 所 y = 22+ 2 f æ1 è ) x x …②①´ 2f (x ) = x②V = p × ÷ 3 - p = 3 3 4 = p 2312 2 x 1+ x 2x 2 + y 2x 2 + y 2 xòò Ddxdy òò d(+ 2 2 òò x d 2 x 2 + y 2ò = 3 + 1)ù û20.分）t 2dt .f (x ) = (2 -x )e x 2 ;(1, 2), f (2) = ln 2 ×h e h 2 .F (x ) = f (x )(x - 2) = (x - 2) x e t 2dt 1 (2) = 0, 又F (x )在[1, 2]连续,(1, 2)上可导,(1, 2), 使得F '(x ) = 0e t 2 dt + (x - 2)e x 2 =f (x ) + (x - 2)e x 2x 2 .令 $h Î(1, 2)=f (2) = e=h e h 2 ln 22 21.分）f ¢(x ) > 0(x ³ 0) ， f (x ) 的图象过原点 O的切线与 X 轴交于 T ，MP ^ x 轴，曲线 y = f (x ), MP , x 轴围成的面积与D 3：2，求曲线方程.坐标为(x , y ) ，则过 M 的切线方程为Y -令- y y ¢n 2 （2即xê úò0 f (t )d t = 3× × y 22 y整理并求导得令 y ¢ = p 3yy ¢ - 2 y ¢2 = 0y ¢ = d p 代入上式得d y3yp d p- 2 p 2 = 0d y2解得 p = C 1 y 32即 y ¢ = C 1 y 3d y = C d x1y 31 3y 3 = C 1x +C2 13 3 = C 1xy = Cx 3由 y (0) = 0 得C 2 = 0.22.（本题满分 11 分）设 二 次 型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2+ 2ax x + 2ax x + 2ax x经 可 逆 线 性 变 换 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3æ x1 ö æ y 1 ö ç x ÷ = P ç y ÷ 得 g ( y , y , y ) = y2 + y 2 +4 y 2 + 2 y y .ç 2 ÷ ç 2 ÷ 1 2 3 1 2 3 12ç x ÷ ç y ÷ è 3 ø è 3 ø（1） 求 a 的值； （2） 求可逆矩阵 P. 解析：é1aa ùA = êa 1 a ú ê ú（1） 令 f (x 1, x 2 , x 3 ) 的矩阵 êëa a 1úûf ( y 1, y 2 , y 3 ) 的矩阵 é1 1 0ùB = ê1 1 0úêë0 0 4úû33 32 21 2 1 1 2 1 ëû ê 3 1 2 ê 3 z ï ú ìz 1 = y 1 + y 2 í 2 = 2 y 3 é1 1 0ù ï z 3 = y 2 ê ú 令î 即令P = ê0 0 2ú Z = P Y . 22 êë0 1 0úûf ( y , y , y ) = z 2 + z 2 则 1 2 3 1 2 .故P 1 X = P 2Y X = P -1PY P = P -1P .é 1 ù ê3 ú é1 1 0ù P -1 = ê02 1ú P = ê0 0 2 ú 1 ê3 ú 2 ê ú ê ê0 0 由于 êë ú ê0 1 0ú 1ú úû é1 2 2 ù ê ú 故 P = P -1P = ê0 14 ú ú ê0 1 0 ú ê úêë úû23.（本题满分 11 分）设 A 为 2 阶矩阵， P = (a , A a ) ，其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量. (1)证明 P 为可逆矩阵.(2)若 A 2a + A a - 6a = 0 ，求 P -1AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵. 解析：(1)a ¹ 0 且 A a ¹ la . 故a与A a 线性无关. 则 r (a , A a ) = 2则 P 可逆.(2)法一：由已知有 A 2a = - A a + b a即 . 所以于是 AP = A (a , A a ) = ( A a , A 2a ) = ( A a , - A a + 6a )= (a , A a ) æ 0 6 ö,故有P -1 AP = æ 0 6 ö,! P 可逆 ç 1 -1÷ ç 1 -1÷ è ø è ø \可得A 与æ 0 6 ö相似，又 l -6 =（l + 3）"（l - 2）= 0 ç 1 -1÷ -1 l +1è øÞl 1 = -3,l 2 = 2\可得A 的特征值也为-3，2 于是 A 可相似对角化方法二 P -1AP 同方法一由 A 2a + A a - 6a = 0下面是证明 A 可相似对角化( A 2 + A - 6E )a = 0设( A + 3E )( A - 2E )a = 0由a ¹ 0得( A 2 + A - 6E )x = 0有非零解 故| ( A + 3E )( A - 2E ) |= 0得| A + 3E |= 0或| A - 2E |= 0若| ( A + 3E ) |¹ 0则有( A - 2E )a = 0故A a =2a 与题意矛盾故| A + 3E |= 0同理可得| A - 2E |= 0 于是 A 的特征值为l 1 = -3 l 2 = 2.A 有 2 个不同特征值故 A a 相似对角化。
2021年全国研究生入学考试数学二真题与解析(真题+详细答案完整版)(源于思考研数学店铺出品)
2021年考研数学二真题与解析（解答题部分）（源于思考研数学店铺）1. 当0x →时，()231x t e dt -⎰是7x 的（ ）A. 低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.同阶但非等价无穷小 解：C求导定阶法：当0x →时，()()236701212x t x e dt x e x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，说明()231x t e dt -⎰是x 的8阶无穷小，故是7x 的高阶无穷小量。
2. 函数1,0,()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ）A. 连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为零 解：D导数定义式：0011()11(0)limlim .2x x x e f x x f x x →→---'===从而选D 。
由于在0处可导，如果它是极值点的话，那么导数应该为零，从而可知，该点处不取极值。
3. 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s ，-3cm/s ，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）A. 12532/,40/cm s cm s ππB. 32125/,40/cm s cm s ππ-C.32100/,40/cm s cm s ππ-D. 32100/,40/cm s cm s ππ--解：C相对变化率：圆柱体体积：22,2dV dR dHV R H R H R dt dt dtπππ==+ 代入：210,5,2,3,2102510(3)100.dR dH R H dt dtdVdtπππ=====⋅⋅⋅+⋅⋅-=-得圆柱的表面积：222,422dS dR dH dR S R RH R R H dt dt dt dtπππππ=+=++代入：10,5,2,3,4102210(3)25240.dR dHR H dt dtdSdtππππ=====⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅=得4.设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则ba的取值范围是：（ ）A.(),e +∞B.()0,eC.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解：A 。
考研数二试题及答案
考研数二试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，求f(x)的最小值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 已知等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的通项公式。
A. an = 3n - 2B. an = 3n - 1C. an = 3nD. an = 3n + 1答案：A3. 求定积分∫(0到1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设矩阵A为2x2矩阵，且|A|=3，则矩阵A的行列式为：A. 3B. -3C. 9D. -95. 已知函数y=x^3-3x^2+2，求y'。
A. 3x^2 - 6xB. x^3 - 3x^2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 6x答案：A6. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。
A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A7. 设函数f(x)=e^x-x^2，求f'(x)。
A. e^x - 2xB. e^x + 2xC. e^x - xD. e^x + x^2答案：A8. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a与向量b的数量积。
A. -10B. 10C. -2D. 2答案：B9. 求不定积分∫(1/x) dx。
B. ln|-x|C. ln|x| + CD. ln|-x| + C答案：C10. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)。
A. 3x^2 - 12x + 11B. x^3 - 6x^2 + 11C. 3x^2 - 12x + 6D. 3x^2 - 6x + 11答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(1)的值为________。
答案：02. 设函数f(x)=x^2+2x+1，求f''(x)的值为________。
2024年考研数学二真题及参考答案
2024年考研数学二真题及参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 设函数$f(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}$，则$f(x)$在$(-1,0)$区间内（）A. 无界B. 连续但不可导C. 可导且单调递增D. 可导且单调递减【参考答案】D2. 设函数$y = e^{2x} - 2e^x + 1$，则该函数的极值点为（）A. $x = 0$B. $x = \ln 2$C. $x = \ln 3$D. 无极值点【参考答案】B3. 设函数$y = x^3 - 3x + 1$，则曲线$y = x^3 - 3x + 1$在$x = 1$处的切线方程为（）A. $y = 2x - 1$B. $y = -x + 2$C. $y = 3x - 2$D. $y = -2x + 2$【参考答案】B4. 设函数$y = \sqrt{1 - x^2}$，则$y$在$[0,1]$区间上的最大值为（）A. 1B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{1}{2}$D. 0【参考答案】A5. 设$f(x)$是连续函数，且$\int_0^2 f(x) \, dx = 3$，则$\int_0^1 f(x+1) \, dx = （）$A. 2B. 3C. 1D. 4【参考答案】A6. 设$f(x) = \int_0^x (t - x) e^t \, dt$，则$f''(x) = （）$A. $-2e^x$B. $e^x$C. $2e^x$D. $-e^x$【参考答案】A7. 设$a$和$b$是方程$x^2 - (a+1)x + b = 0$的两根，且$a < b$，则$a$和$b$满足的条件是（）A. $a + b > 1$B. $a + b < 1$C. $a - b < 1$D. $a - b > 1$【参考答案】B8. 设矩阵$A$满足$A^2 - 3A + 2E = O$，其中$E$为单位矩阵，则$A$的特征值为（）A. 1, 2B. 2, 3C. 1, 3D. 0, 2【参考答案】C二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 5x} = $【参考答案】$\frac{2}{5}$2. 设$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$，则$f'(x) = $【参考答案】$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$3. 设$f(x) = x^2 \sin x$，则$f''(x) = $【参考答案】$2x \sin x + 2 \cos x - x^2 \cos x$4. 设$f(x) = \ln(1 + x^2)$，则$\int_0^1 f(x) \, dx = $【参考答案】$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$5. 设$y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，则$y'$在$x = 1$处的值是$【参考答案】06. 设$a$和$b$是方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的两根，则$a^2 + b^2 = $【参考答案】27. 设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A^{-1} = $【参考答案】$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 &1 \end{pmatrix}$8. 设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则$A$的特征值为$【参考答案】1, 3三、解答题（本题共9小题，共94分）1. （本题10分）求极限$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。
考研数学二-209_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二-209(总分79, 做题时间90分钟)一、填空题1.SSS_FILL分值: 4答案:2.SSS_FILL分值: 1答案:-sinx3.SSS_FILL分值: 1答案:4.SSS_FILL分值: 1答案:y+x=tan(x+C)5.SSS_FILL分值: 4答案:6.SSS_FILL分值: 1答案:2π二、选择题1.A，B是n阶矩阵，且A～B，则• A. A，B的特征矩阵相同．• B. A，B的特征方程相同．• C. A，B相似于同一个对角阵．• D. 存在n阶方阵Q，使得Q T AQ=B．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 相似矩阵有相同的特征值．2.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C3.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B4.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D5.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D6.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C7.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D8.SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D三、解答题1.SSS_TEXT_QUSTI分值: 1答案:2.设D是xOy平面上有界闭区域，函数u(x，y)在D上定义，在D的内部成立u"xx +u"yy+cu=0，其中c＜0为常数，证明：(1)u在D上的正最大值(负最小值)不能在D的内部取得．(2)若u在D上连续，且在D的边界上u=0，则在D上u≡0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:[证明] (1)若u(x，y)在D上正最大值在D内部某点(x0，y)取得，则(x，y)为u(x，y)的极大值点，又u"xx (x，y)+u"yy(x，y)=-cu(x，y)＞0，则u"xx (x，y)和u"yy(x，y)中至少有一个大于零，不妨设u"xx(x，y)＞0，由于二元函数u(x，y)在(x0，y)取极大值，则一元函数u(x，y)在x应取极大值，这与u"xx (x，y)＞0矛盾．(2)由于u(x，y)在有界闭区域D上连续，则u(x，y)在D上有最大值和最小值，若u(x，y)在D上不恒为零．不妨设u(x，y)在D内部的点(x0，y)处函数值大于零，即u(x0，y)＞0，则u(x，y)在D上最大值为正，且一定在D内部取到，这已与(1)矛盾．故在D上u(x，y)≡0．3.设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b的值，使等式在变换SSS_TEXT_QUSTI分值: 9答案:由复合函数的链导法则得所以因而解得[解析] 利用复合函数的链导法则变形原等式即可．[评注] 此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核.4.SSS_TEXT_QUSTI分值: 1答案:5.SSS_TEXT_QUSTI分值: 1答案:6.SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:7.SSS_TEXT_QUSTI分值: 10答案:8.SSS_TEXT_QUSTI分值: 1答案:9.SSS_TEXT_QUSTI分值: 12答案:1。
2020-2021年考研数学(二)真题及答案详解
全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分收敛的是( ) (A)2x+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ->(D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos 1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C)1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为 222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,),432sin 2sin 2D r r ππθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭所以n 23142sin 2(,)(cos ,sin )si Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩则212t d y dx ==【答案】48【解析】2222333(1)11dydy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==.(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有10(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x =.【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x xy C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C =解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz =.【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B =.【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203cos )1(sin )1(limkx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π= dx x xf ⎰=202)(2V ππA x d x A -πππ2cos 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求(,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=，故xx e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x xϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f xxx +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2 ⎰+++=x x de x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y x x x )1()2(2C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以xxxe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又xx x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，x yy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π- 【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰ 2212202x xdx x dy -=⎰122202(2)x x x dx =-⎰21222400222222sin 2cos 55x t xx dx t tdt π==---⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()2111Xf x t dt tdt =+++⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】222()1211(21)f x x x x x x '=-++=+- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而122411112241()11112f t dt tdt t dt tdt =+++=+-+⎰⎰⎰122111224111t dt td td =+-+-+⎰⎰⎰在1(,1)2211t t ++故2122110t dt tdt +-+<⎰⎰从而有1()02f <221lim ()lim[11]x x x x f x t dt tdt →-∞→-∞=+++=+∞⎰⎰2222111lim ()lim[11]lim[11]x x x x x f x t dt tdt tdt t dt →+∞→+∞→+∞=+++=+-+⎰⎰⎰⎰考虑22122111lim lim 11x xx x tdt x x x t dt++==+∞++⎰⎰，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min 后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min. (21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)3231010*********1a A O A a a a a a a a a =⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A EE A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++231201330012031--=⇒--=-A B b a 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP1、最困难的事就是认识自己。
2020年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
x = −1: lim f (x) = ∞ ，则 x = −1 为第二类间断点； x→−1
1
1
x=
0 : lim x→0
f (x) =
lim
x→0
e1− (ex
x ln(1+ x) −1)(x − 2)
=
lim e1−x ⋅ x x→0 x(x − 2)
=
−1 2e
，则 x = 0 为可 = ∞ ，则 x = 1 为第二类间断点； x→1+
1
2 arcsin
xd arcsin
x
0 x(1− x)
0 1− ( x)2
0
=
(arcsin
x= )2 |10
(= π )2 2
π2 4
故应选(A)
(4)已知函数= f (x) x2 ln(1− x) ，当 n ≥ 3 时， f (n) (0) = ( )
(A) − n! n−2
【答案】A 【解析】
(D)
sin3 tdt= , m
3= , n
2 ，则 n(m +1) =5
0
2
故应选(D)
1
(2)函数
f
(x)
=
e x−1 ln |1+ x | (ex −1)(x − 2)
的第二类间断点的个数为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【答案】C
【解析】由 f (x) 的表达式可知， f (x) 共有四个间断点，分别为
(B) n! n−2
(C) − (n − 2)! n
(D) (n − 2)! n
由 ln(1+ x) =x − x2 + x3 − + (−1)n−1 xn + ο (xn ) 2 3 n
2023年考研数学二真题及答案
2023年考研数学二真题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlimln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444nnn n nn n ny y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e()a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eeaa x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =，通解为12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C. 6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( )A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2-D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)aa a ax f a x x x x x a a +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e xf x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1) B.[1,)+∞ C.[1,2) D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e xf x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e xf x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A OA BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B OB |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ， 故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E AB O O B O B O A B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B.9. 222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为 A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，21121||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E21(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k=+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得TTTT1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(l n )y x x C x =-，其中C 为任意常数. 又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭， 由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭， （1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积. 【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t t ππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11lnln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数. （1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-； （2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得21|()||()()|2f f a f a aη''≥--. 【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+， 其中δ介于0与x 之间.分别令x a =-和x a =，则21()()(0)()2!f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<， 22()()(0)()2!f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<， 两式相加可得212()()()()2f f f a f a a ξξ''''+-+=， 又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得12()()()2f f f ξξξ''''+=， 即21()[()()]f f a f a a ξ=-+. (2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.将()f x 在0x 处展开为22000000()()()()()()()()()2!2!f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+， 其中δ介于0x 与x 之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=- 221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+ 220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=， 即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A . (1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ. 【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E , (2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α; 1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α; 211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α, 令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。