28.2.2应用举例优质课件

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28.2.2应用举例课件

的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数，解直角三角形; (有“弦”用“弦”; 无“弦” 用“切”)
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰
cos a OQ 6400 0.95 OF 6400 350
a 18o
∴ 弧PQ的长为
F
P Q
α O·
18 6400 3.14 640 2009.6
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
例3: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果保留根号）
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地
1. 解直角三角形.
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.解直角三角形的依据 (1)三边之间的关系 (2)两锐角之间的关系: (3)边角之间的关系:
（
例1： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）

28.2.2 应用举例(1)

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解：在 Rt△ADB 中，∠BAD＝45°， ∴BD＝AD＝100 m. 在 Rt△ADC 中， CD＝AD·tan∠DAC＝100 3 m， ∴BC＝100＋100 3(m)．答：这栋楼的高度为(100＋100 3)m.
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7．如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45°，已知甲楼的高 AB 是 120 m，则乙楼的高 CD 是__4_0__3__ m(结果保留根号)．
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利用视角解直角三角形 5．如图，线段 AB、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离 BC＝30 米，若甲建筑物高 AB＝28 米，在点 A 测得 D 点的仰角 α ＝45°，则乙建筑物高 DC＝__5_8_米．
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6．【高频】如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角 α 为 45°，看这栋楼底部 C 的俯角 β 为 60°，热气球与楼的水平距离为 100 m，求这栋楼的高度(结果保留根号)．
学透初中
第二十八章锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例(1)
目录页
01.抓基础 02.练考点
03.提能力 04.培素养
1．利用三角函数解决实际问题的一般步骤： (1)弄清题意，画出_示__意__图___； (2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题； (3)寻找要求的_直__角__三__角__形__，有时需要作适当的辅助线； (4)选择合适的边角关系式，进行有关__锐__角__三__角__函__数___的计算； (5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答．

zs28.2.2应用举例(第3课时)

总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)．答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为 100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
5.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以 OD为半径的⊙O与AD、BD分别交于点E、F，且 ∠ABE=∠DBC．（1）试判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； 5 （2）若 sin ABE , CD 2 ，求⊙O的半径.
3：如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、 C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通．经测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，则此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明．
4、飞机机翼问题教材 84页 9题
5、如图,甲乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼,甲船以每小时15 2 千米的速度沿北偏西60°的方向前进, 乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进,甲船航行2小时后到达C处,此时甲船发现渔具丢在乙船上,于是甲船快速沿北偏东60°的方向追赶,结果两船在B 处相遇. (1)甲船从C处追赶上乙船用了多长时间? (2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?
数学九年级下册
1、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
D
β
C
A
练习2：如图，海上有一灯塔P，在它周围的3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，航行到A处测得P在它的北偏东60方向，继续航行 20分钟后到达B处，又测得灯塔P在它的北偏东45 方向，若该客轮不改变方向，继续前行有无触礁的危险？请说明理由。

人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例例5 航海——方位角(共18张PPT)

军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。（1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？（2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）

28.2.2应用举例(第二课时)

★知识要点导航 ★典型例题精析 ★基础过关精练 ★能力提升演练 ★拓展探究训练
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28.2.2 解直角三角形应用举例(第3课时)

l
α
h
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（ h ）和水平长度（ l ）的比 h 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = . l 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝ h = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 100 3 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 ( 50) m 3 ，则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
l h α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡
“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小
段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直” 的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
l
例7. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）坝斜坡AB的长（精确到0.1m）解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
AF tan i 11.5 ： BF
A 6m
D i=1:3 β C
i=1:1.5 B α
33.7

人教版初中九年级数学下册第二十八章 28.2.2 应用举例(第1课时)优秀课件

A.60米
B.40 3 米
C.40米
D.20米
检测反馈
解析:∵∠ADC=60°，∠BDC=30°，∴∠ADB=30°，
∠A=30°，∴AB=BD.在Rt△BCD20中，BC=20，BD= =40，∴AB=40米，所以塔身s的in 3高0 为40米.故选C.
2.如图所示，一飞机从一地平面指挥台C正上方
F
P Q
α O·
解：设∠POQ=a，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直
角三角形．
cos a OQ 6400 0.9491,
OF 6400 343
F
a 18.36 .
∴ 弧PQ的长为
P Q
α O·
18.36 6400 18.36 3.142 6400 2051(km).
180
CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.
例5 如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
解：在Rt△APC中，
在Rt△PQB中，∠BPQ=60°，
∴PQ=BPcos 60°=56×
1 2
=28.
在Rt△PQC中，∠QPC=45°，
∴PQ=PC·cos 45°= 2 x， ∴ 2 x=28，∴x=14 2 ≈19.7.
答:乙船的航行速度约为19.7海里/时.
C.1∶1 D.1∶ 2
解析:如图所示，AC=
2
502 25 2 25 2 (m)，由坡度
公式得i=
h 25 l 25
2 2

九年级数学上(人教版)课件：28.2.2 第2课时坡度问题及其他

坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( B )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan 10°
C．AC＝1.2tan 10°米
D．AB＝
1.2 cos 10°
米
第1题图
第2题图
2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶ 3，堤坝高BC＝50 m，则迎水
坡面AB的长度是( A )
A．100 m
B．100 3 m
C．150 m
D．50 m
3．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木
桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水
平方向前进6 cm(如箭头所示)，则木桩上升了( C )
A．6sin 15° cm C．6tan 15° cm
B．6cos 15° cm D. 6 cm
tan 15°
第3题图
第4题图
第5题图
4.如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1∶2的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地
面的高度为__ __m.
*5.(孝义模拟)如图，斜坡AB的坡度i＝1∶2，坡脚B处有一棵树BC，某一时刻测得树
BC在斜坡AB上的影子BD的长度为10米，这时测得太阳光线与水平线的夹角为60°，则
(2)求山峰的高度CF.(≈1.414，结果精确到整数)
10．(山西)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50 cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F， CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米．(结果保留根号)

28.2.2应用举例(2)

A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x
AF
AD DF
2 2 2
2
A
2x
x 3x
B
60°
D F 30°
在Rt△ABF中，
AF 3x tan ABF tan 30 BF 12 x 解得x=6 AF 6x 6 3 10.4
A3mD 6m F E i=1:1.5 i=1:3
α
B
β
C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
就越大，坡面就越陡.
l
例6
一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD,试根据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD.(单位是米,结果保留根号)
B 6 A E 4 F C
i 1: 3
α
D
练习. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD
（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度 CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β; （2）坝底宽BC和斜坡CD的长（精确到0.1m）
28.2.2应用举例（2）
【温故知新】
【方位角】
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 北点B在点O的南偏西45°（西南方向）
30° 西 O 45° B

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第二十八章锐角三角函数
28.2.2应用举例（1）
学案设计课件制作
沙市十一中张爱琼沙市区教科院文昌敏
一、温故互查
1.在直角三角形中，除直角外其余5个元素的关系：（1）三边关系：___________________. （2）两锐角之间的关系：______________. （3）边角之间的关系：
C
A
D
B
六、当堂检测
5. 如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20， ∠A=∠C=30°，求 AD，CD 的长 .
C
B A D
六、当堂检测
6. 如图，一座埃及金字塔被发现时，顶部已荡然无存，但底部未曾受损 .已知该金字塔的下底面是一个边长为130m的正方形，且每一个侧面与地面成 65°角，这座金字塔原来有多高（结果保留整数）？
பைடு நூலகம்
2.切线的性质：__________________. 3.弧长公式：____________________.
二、自主探究
2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面 350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与 P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，π 取3.142，结果取整数）
图2
六、当堂检测
3.如图3，在电线杆上离地面高度5米的C点处引两根拉线固定电线杆．一根拉线AC和地面成65°角，另一根拉线BC与地面成47°角，试求两根拉线的总长度（精确到0.1米）．
图3
六、当堂检测
4. 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．
二、自主探究
提示： (1)从飞船上能直接看到的地球上最远的点是视线与地球_______时的切点，即右图中的________ 点，FQ是⊙O的________线，________是直角三角形. （2）图中最远点与P点的距离为____的长，需先求∠_______，将实际问题转化为解直角三角形 _______. 解：
三、尝试解题
如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取 ∠ABD＝140°，BD＝520m，∠D＝50°．那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线(结果保留小数点后一位)？
四、巩固训练
如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度 BC=10m，∠B=36°，求中柱AD(D为底边中点) 和上弦AB的长(结果保留小数点后一位).
五、课堂小结
六、当堂检测
1.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°， 4 CD⊥AB，垂足为D，AC=15，cos A ， 5 则AD=___，BD =___.
图1
2.如图2，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（） A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm