高等数学：7-5隐函数的求导方法
高等数学-隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂， 由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂ 22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂． 例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---． 二、方程组的情形在一定条件下， 由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩， 例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=． 事实上，0xu yv -=u y x v =1=⋅+u yx x yu 22y x yu +=， 2222yx x y x yy x v +=+⋅=． 下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，． 它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvxv u v u v F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y vu v uv F F G G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂． 说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数xu ∂∂，x v ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解 两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+． 两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，． 当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 另解 将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，． 解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++． 于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+． 例 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1） 证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数． 解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩， 由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂． 同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂． .。
《高等数学》课件5第五节 隐函数的求导公式 ppt
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx
高等数学隐函数的求导公式
3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
9
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2
c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
11
隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)
0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
隐函数的求导法则
隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。
具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。
在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。
假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。
如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。
我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。
现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。
现在我们来看几个例子。
例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。
假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。
我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。
假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。
我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。
我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。
从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。
我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。
高等数学《隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数》
练习题
一、填空题：
1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了y 是x 的函
数，则 dy dx
=________，d 2 y
(1,1)
dx 2
________.
2、曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程
一、1、 4 ,6x 4 xy 8xy 20 yy 10x( y)2 ；
3
10xy 2x 2 5
2、x 11y 23 0
3、 x y 0 ；
2
2
4、sin t cos t ,2 3 ； 5、e x y y .来自cos t sin t
x e x y
二、1、e 2 y (2
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt
2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在
t
时刻的切
0
线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
高等数学隐函数求导
（隐函数的显化）
例1. 求由方程
CONTENTS
在 x = 0 处的导数
01
解: 方程两边对 x 求导
02
得
03
因 x = 0 时 y = 0 , 故
04
确定的隐函数
05
例2. 求椭圆
在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即
的一阶导数 确定的隐函数 求由方程 练习： 二阶导数 解: 方程两边对 x 求导， 得
关系,
若上述参数方程中
二阶可导,
且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
,可得
例5
解
例6
解
所求切线方程为
?
例7. 设
, 且
求
已知
解:
练习:
解:
注意 :
对谁求导?
求
例8. 设由方程
确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故
1.隐函数求导法则
直接对方程两边求导
第二章
隐函数和参数方程求导
二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 ,
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
函数为隐函数 .
则称此
隐函数求导方法:
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
)
1
(ln
)
1
(ln
+
+
-
隐函数求导
隐函数求导隐函数求导是高等数学中的一种求导方法，用于求解含有隐含变量的函数的导数。
通常来说，给定一个方程，如果它不能够被显式地表示为y=f(x)的形式，那么我们就需要使用隐函数求导的方法来求解它的导数。
隐函数求导的基本思想是在方程两边同时求导，然后根据链式法则和隐函数导数定理进行推导，最后得到隐函数的导数表达式。
让我们以一个简单的例子来说明隐函数求导的过程。
假设有一个方程：x² + y² = 1。
这是一个圆的方程，但无法明确地表示y关于x的函数形式。
首先，我们对方程两边同时求导。
对于x²，我们可以直接得到导数为2x。
而对于y²，由于y是一个关于x的隐函数，我们需要使用隐函数求导的方法来求解。
这里我们使用隐函数导数定理，即(dy/dx) = - (dy/dx) / (dx/dy)。
将方程x² + y² = 1两边同时对x求导，得到2x + 2y(dy/dx) = 0。
然后解出(dy/dx)，得到(dy/dx) = -x/y。
这样，我们就得到了方程y² = 1 - x²的导数表达式(dy/dx) = -x/y。
通过这个例子，我们可以总结出求解隐函数导数的一般步骤：1. 对于给定的隐函数方程，通常是一个关于x和y的方程，需要对方程两边同时求导。
2. 对于显式函数，可以直接求导；而对于隐函数部分，需要使用隐函数导数定理求解。
3. 使用隐函数导数定理对隐函数部分进行求导时，需要注意使用链式法则，并考虑到隐函数对x的依赖关系。
4. 解出隐函数导数的表达式。
上述步骤只是隐函数求导的一般思路，实际应用中可能会遇到更加复杂的情况。
因此，我们需要根据具体问题的特点和条件来确定使用何种求导方法。
在实际问题中，隐函数求导的应用非常广泛。
例如，当我们研究物理学中的运动问题时，经常会遇到含有时间和位置的方程，这时就需要使用隐函数求导的方法来求解速度和加速度等相关物理量的变化率。
高等数学《隐函数的求导公式及微分学的几何应用》课件
导数；
(P86)
备用题1 设
解:
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
练习: 求
答案:
由题设
故有
备用题2. 求曲线
在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
切线方程
解法1 令
则
即
切向量
法平面方程
即
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
解法1: 利用公式
设
则
两边对 x 求偏导
例1. 设
例1. 设
解法2: 利用隐函数求导
再对 x 求导
内容小结
隐函数求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法2. 代公式
第七节
一பைடு நூலகம்空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第九章
一、空间曲线的切线与法平面
研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1.设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个
在点
的某一邻域内满足
②
③
满足条件
导数
两边对 x 求导
在
的某邻域内
则在点
故当函数
法线方程
令
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
在点
有连续偏导数时,
切平面方程
法向量
用
隐函数的求导法则
求 2z . x2
解 令 F (x, y, z) x2 y2 z2 4z, 则
Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x ,
x
Fz 2 z
2z x2
(2 z) x z
x
(2 z)2
(2 z) x x
2z (2 z)2
(2 z)2 (2 z)3
x2
.
注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，生搬硬套地套公
dx Fy
y dx x0
二阶导数为
d2y dx 2
y xy y2
y x( x )
y y2
1 , y3
d2y
dx2
1.
x0
例 2 求由方程 xy ex ey
0 所确定的隐函数 y 的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过，
这里我们直接用公式求之.
z
z(x,
y) ，
y
sin
x,
求
du dx
时要考虑到上面各种联系.
例 8 设 u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y) 由方程(x2, ey , z) 0 确定，
其中 f , 具有一阶连续偏导数，且 0, 求 du .
z
dx
解 由 u f (x, y, z), y sin x, z z(x, y) ，
使 Fz0，于是得
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
例 1 证明方程 x2 y2 1 0 在点(0，1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导
数且当 x 0 时 y 1的隐函数 y f (x) ，求这函数的一阶和二阶导数在 x 0 的值.
隐函数求导数的五种方法
4求导"此时6是-"4的函数"求偏导数时"需要把6看作-" 4的函数#
例设方程 求 3
-) P4) N* 6N$+) M%"6c$" 6" 6#
- 4
四微分法
设方程3*
-"4+
确定函数 M%"
4M!* -+
"利用微分形式
不变性"对方程两边同时求微分"此时需要将3看成关于
-"4的一个二元函数#
科教论坛
!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)(%(%%'
科技风 "#"$ 年 % 月
隐函数求导数的五种方法
张亚龙4高改芸4刘 爽
北京科技大学天津学院天津
摘4要针对隐函数求导数问题在隐函数存在定理的基础上总结出求隐函数导数的五种方法同时利用五种方法 分别求解一元隐函数和二元隐函数并分析和比较每个方法的优点与缺点
解两端同时对-求导得)-N) * 6N$ + 6M%"所以 -
例设 求 1 -N_-*-) P-4+M%" ,4# ,-
6M - 6N$
#
解两边同时求微分得 " ,-N-) P$-4,* -) P-4+ M%",-N
两端同时对求导得 所以 4
)4N)* 6N$+ 6M%" 4
46M6N4$#
一"也是高等数学中的一个难点# 利用多元复合函数求偏 导"对于初学者容易出错# 利用隐函数求导数可以求解空
探讨高等数学教学中隐函数求导的三种方法
∂z ∂x
,
∂z ∂y
的结果。
微分法不需要记公式，不需要考虑函数变量
之间的关系，利用全微分形式不变性和全微
分运算法则，可一次得到
∂z ∂x
,
∂z ∂y
的结果。对于
此类型题，建议公式法和全微分法。
例 2 设 u = f (x, y, z) 有 连 续 的 偏 导 数，
y = y(x) 和 z = z(x) 分别由方程 exy − y =0 和 ez − xz = 0
设 F (x, y, z) = f (x, x − z, yz) − z
则有 F=x ， f1 + f2 F=y f3 ⋅ z ， Fz =− f2 + f3 ⋅ y −1 .
由公式
∂z ∂x
=
− Fx Fz
，
∂z ∂y
=
− Fy Fz
，
得
∂z ∂x
=
f1 + f2 1+ f2 − yf3
，
∂z ∂y
du
确定，求 dx . 解： 由 链 式 求 导 法 则， 有
du dx
=
fx +
f
y
⋅
dy dx
+
fz
⋅
dz dx
（1）
其中
dy dx
,
dz dx
可通过直接法或公式法计算。
解法一（直接法）：方程 exy − y =0 两端对
x 求导，
exy ( y
+
x
dy ) dx
−
dy dx
= 0 ，得
dy dx
摘要：隐函数求导是高等数学的重点内容，也是难点内容。本文通过同一个例题，用三种不同的方法：直接法﹑公式法和微分法求解，分
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则
高等数学隐函数求导法则是指当被求导的函数中含有一个隐函数时，求函数和隐函数的导数。
这种情况下，不能像求常见函数的导数那样，使用常见的微积分中的微分法则来直接求解，而是要使用高等数学隐函数求导法则，使用更加复杂的求解方法。
高等数学隐函数求导法则的基本原理是：若函数f(x,y)
含有隐函数y=φ(x)，则y的导数可表示为
dy/dx=dy/dx+φ'(x)dx/dx，这里φ'(x)表示隐函数y=φ(x)
的导数。
这就是求解隐函数求导时， x 不变，只考虑 y 求导的原理，也是微积分中隐函数求解中常用到的法则，成为高等数学隐函数求导法则。
高等数学隐函数求导法则在求解函数和隐函数的导数时，都要求解隐函数的导数，这就需要考虑隐函数的定义域，即显函数的定义域这个问题，要严格遵守求解隐函数求导的基本原理。
例1.若f(x,y)=x+y，其中y=φ(x)=sin(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=x+cos(x)dx/dx=1+cos(x).
例2.若f(x,y)=2x+y，其中y=φ(x)=ln(x)，则隐函数的求导法则显示，dy/dx=2+1/x dx/dx = 2+1/x.
从上面几个例子来看，使用高等数学隐函数求导法则是一种既有系统又有效的方法，解决涉及到隐函数求导的问题。
最重要的是，要避免求导出现不对称或错误结果，就必须牢记求解隐函数求导的基本原理，严格按照高等数学隐函数求导法则进行求解。
隐函数的求导方法 通俗易懂
隐函数的求导方法一、引言隐函数是高等数学中的一个重要概念，它是指由一个方程所确定的函数。
在求解隐函数的导数时，我们需要采用一些特殊的方法来处理。
本文将介绍几种通俗易懂的隐函数求导方法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、隐函数与显函数的区别在开始介绍隐函数的求导方法之前，我们先来回顾一下隐函数与显函数的区别。
显函数是指以自变量直接表示的函数，例如y=f(x)，其中y能够通过x的值来唯一确定。
而隐函数则是由一个方程所确定的函数，例如F(x,y)=0，其中y不能直接用x 的值来表示，需要通过方程进行求解。
三、常用的隐函数求导方法1. 隐函数微分法隐函数微分法是求解隐函数导数的一种常用方法。
它的基本思想是将隐函数的方程两边同时微分，并利用链式法则和隐函数的导数定义进行求解。
具体步骤如下： 1. 对隐函数方程两边同时取微分，记隐函数关于自变量的导数为dy dx ； 2. 利用链式法则，将dydx表示为dydt和dxdt的乘积形式； 3. 将dxdt换为1（这一步利用了隐函数的导数定义）； 4. 化简表达式，求得dydt ； 5. 如果需要求解dydx，则将dydt 与dxdt相除。
2. 雅可比行列式法雅可比行列式法适用于多元隐函数的求导问题，它利用了雅可比行列式的性质进行计算。
该方法在部分场景下比隐函数微分法更加简便。
具体步骤如下： 1. 将多元隐函数方程表示为向量形式F(x,y)=0，其中x为自变量向量，y为隐函数向量； 2. 对向量方程求导，得到雅可比矩阵J=∂F∂(x,y)； 3.根据隐函数定理，当雅可比行列式|J|≠0时，可以求得隐函数的导数； 4. 通过分块矩阵的形式，将雅可比矩阵拆分为[A B]的形式； 5. 隐函数的导数为−A −1B|A|。
四、隐函数求导实例为了更好地理解上述方法，我们通过一个实例来演示隐函数的求导过程。
假设有一个隐函数方程e x+y2+2xy=1，我们希望求解该方程所确定的隐函数的导数dydx。
高等数学-隐函数求导
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
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②
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结束
注意 J 0, 从方程组②解得 x 1 v u 1 1 y v 1 , x J 0 y J v x J v
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
x 1 1y u y J u 0 u
u 1x , y J v
2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
公式 目录 上页 下页 返回 结束
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,
隐函数和参数式函数的求导法课件
对x2 2 y2 8两边关于x求导得 :
2x 4 y y 0, y (2,
2)
1. 2
再对x2 2 2 y两边关于x求导得 :
2 x 2 2 y, y (2, 2) 2. 即证.
二、对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍
对数求导法,
它可以利用对数性质使某些函数的
求导变得更为简单.
x
4
2 a, 2
y
4
2 a
2
四、相关变化率
x x(t ) , y y(t )为两可导函数
x , y 之间有联系
相关变化率解法三步骤
dx , d y 之间也有联系
dt dt 称为 相关变化率
(1) 找出相关变量的关系式
F(x, y) 0
对t 求导
(2) 相关变化率
dx 和d y 之间的关系式 dt dt
y 3 (x 3)
2
2
即 x y 3 0.
法线方程
y 3 x 3 即 y x, 通过原点.
2
2
利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.
如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,
称这两条曲线是
正交的.
如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族
中的所有与它相交的曲线均正交,
称这 两个曲线族
(1) tan h F ( , h) 0
(2)
500
两边对 t求导得 sec2
d
1
dh 500
(3)
dh 140米 / 秒, dt
dt 500 dt
当 h 500时, tan 1, sec2 2
d 1 1 140 0.14(弧度 / 分)
隐函数求导公式
隐函数求导公式隐函数求导是数学分析学中十分重要的一个内容，它是指求取拓展又称多元函数在任意变量上导数的过程。
隐函数求导公式是数学分析学课程中经常提及的一个概念，它用来解释多元函数在任意变量上的导数，是多元函数求导学习中必不可少的。
隐函数求导公式是一类多元函数求导方法，可以有效地计算多元函数在任意变量上的导数。
它是由哥本哈根大学教授L.C.Young于1896年提出的，由此可以看出，隐函数求导的概念具有很长的历史。
隐函数求导的方法一共有四种：基本公式、偏导数法、极限法和高等切线法。
以下是基本隐函数求导公式：设y=f(x1,x2,...,xn)，则其在任意变量xk上的导数为：(y)/(xk)=(f(x1,x2,...,xn))/(xk)=f/xk由此可见，导数的运算规则极其简单：先对所有的变量求偏导数，即把其它变量看做常数，再把求出的偏导数累加起来，便可得到在任意变量上的导数。
这就是隐函数求导的基本原理。
除此之外，偏导数法是求取隐函数导数的重要方法之一。
它的思想是：假设其它变量都为常数，关于一个变量求取其偏导数，使用应用问题可以更加具体地解释偏导数的概念和意义。
例如，设y=x^2+2x，求x的偏导数：(y)/(x)=(x^2+2x)/(x)=2x+2从这里可以看出，偏导数即可以描述函数在某一特定点处的性质，也可以表示函数在任意点上的变化率。
极限法是另外一种重要的求取隐函数导数的方法。
它的意思是：把不同变量的变化率的极限纳入计算，从而得到在任意变量上的导数。
极限法的应用范围并不局限于求取隐函数导数，同样也能用来求取某一函数的极限。
例如：设f(x)=x^2+2x，求lim(x→1) f(x)lim(x→1) f(x)=lim(x→1) (x^2+2x)=1+2=3最后，高等切线法是一种求取隐函数导数的高等数学方法，它是由柯西公式发展而来的。
柯西公式是一种将变量从函数定义域扩展到实数域的一种切线法，其中每条切线也就是一个变量与另一变量的函数，而柯西公式的核心就是求取函数在其变量上的导数。
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式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
雅可比(1804 – 1851)
德国数学家. 他在数学方面最主要 的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独 地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列 式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分 方程的研究中引进了“雅可比行列式”并, 应用在微积 分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微 分方程, 在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.
由隐函数求导公式，得 d y Fx e x y .
dx Fy cos y x
另解 sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对x求导，
解出 y e x y . cos y x
2. F( x, y, z) 0
隐函数存在定理2 设函数 F ( x, y, z) 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数， 且 F ( x0 , y0 , z0 ) 0, Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0,
dy Fx 隐函数的求导公式 dx Fy
定理证明略. 推导求导公式：
则
两边对 x 求导
x F
yx
在 d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
yz
xz
dz
dx
dy,
z2 xy
z2 xy
于是
z yz . x z2 xy
二、方程组的情形
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
隐函数存在定理 3 设F ( x, y, u,v)、G( x, y, u,v) 在
点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求z ，x ，y . x y z
思路：把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得z ， x
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得x ， y
隐函数存在定理1 设函数F ( x, y) 在点P( x0, y0 )的某一邻域内具有
连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0 在点 P( x0, y0 )的某一邻域内恒 能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并有
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得
1
y
fu
( z
1)
y fv ( xy xz z ),
整理得 y 1 fu xyfv . z fu xzfv
例4 设 z 3 3xyz a 3 ,求 z x .
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得y . z
解 令 u x y z, v xyz,
则 z f (u,v),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
xy z ), x
z
整理得
fu yzfv ,
x 1 fu xyfv
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得
则方程 F( x, y, z) 0 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某
一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有
连续偏导数的函数 z f ( x, y)，它满足条件
z0 f ( x0 , y0 ), 并有
z Fx x Fz
z Fy y Fz
推导求偏导公式：
则
F(x, y, f (x, y) ) 0
解 公式法: 令 F ( x, y, z) z3 3xyz a3 , 则
F 3 yz, F 3z2 3xy,
z
F x
yz .
x
z
Hale Waihona Puke x F z2 xyz
直接法: 方程的两边对x 求偏导数，得
3z2z 3 yz 3xyz 0,
x
x
yz
解得
z
.
x z2 xy
全微分法: 应用一阶全微分形式不变性，得
第五节 隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数 C > 0 时, 不能确定隐函数
2) 方程能确定隐函数时, 研究其求导方法问题.
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
一、一个方程的情形
1. F( x, y) 0
解 令 F(x, y) x2 y2 1
则 ① Fx 2x, Fy 2 y 连续 , ② F(0,1) 0, ③ Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导的函数 y f ( x)，
且f (0) 1.
F(x, y) x2 y2 1
一阶导数：ddxy
Fx Fy
x, y
dy
0,
dx x0
因F( x, y)的二阶偏导连续，故
d2y dx 2
y xy y2
y
x y2
x y
1 y3 ,
d2y dx2
x0
1.
例2 设方程
确定一个隐函数
求 dy.
dx
解 令 F ( x, y) sin y e x x y 1, 则
Fx e x y, Fy cos y x
两边对x求偏导
Fx
Fz
z x
0
x F yx
zy
同样可得
z Fx x Fz
z Fy y Fz
隐函数的求导公式
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z