整数和整除第一讲
第1讲 数的整除(1)
第一讲数的整除（1）【知识梳理】1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。
a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。
2、一些数的整除特征：①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）；②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数；③被5整除的特征：数的个位上是0、5；④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数；⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数；⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。
【例题精讲】例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。
（1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）；（2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）；（3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。
分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。
解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。
（2）这个数可能是4670、4675。
（3）这个数是4670。
例2、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解答：47382能被3整除，不能被9整除。
例3、判断：1864能否被4整除？分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。
能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。
解答：1864能被4整除，29375能被125整除。
例4、29372能否被8整除？分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。
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情感态度与价值观
1.通过对整除的认识和学习，能够体会数 学中的联系与结合，有利于理解和掌握.
2.将知识应用到现实生活中. 3.培养合作交流意识.
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实例
如：3的正因数只有1和3所以3为 素数；6的正因数有1、2、3、6所以 由定义知6为合数. 思考：最小的素数和最小的合数各是几？
最小的素数是：2 最小的合数是：4
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想一想 如何判 断一个 数是不 是素数
如果大于1的整数a不能
被所有不超过 a 的素数整
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
（ 9、12、20 ）
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定义
仅有两个正因数的正整数叫做素 数，不是素数又不是1的正整数叫做 合数.1既不是素数，也不是合数.
自然数
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素数 1 合数
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六年级第一讲（教师讲义）整数和整除
六年级第一讲（教师讲义）整数和整除第一讲（教师讲义）整数和整除【知识点1】1、整数整数；正整数、零、负正整统称为整数。
自然数：零和正整数统称为自然数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。
负整数的表示方法是在整数前面加上“–”最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
2、零0是一个数，是最小的自然数。
零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。
3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）5）任何数与0相加，值不变。
6）任何数与0相乘，积等于0。
7）任何数减去0它的值不变。
8）相同的两个数相减，差等于0。
9）0不能作除数。
10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
11）0被非0的数除商等于0。
3、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
注意：整除与除尽的区别。
【知识点2】因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数) 一个的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身。
注意：在研究因数和倍数时，所指的自然数不包括0。
【知识点3】奇数和偶数：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数．注意：奇数、偶数包括负整数，0是偶数能被2、5整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除．个位上是0或者5的数都能被5整除．补充：能被3整除的数：各位数上的数之和为3的倍数。
一、填空题1、大于-2小于2的整数有： .2、在6,13,25,39这四个数中，能被整除.3、一个数的因数只有她本身，这个数是 .4、如果n是奇数，则和它相邻的奇数是 .5、一个数既有50的因数，又有50的倍数，则这个数是 .6、自然数m的最小因数是，最大因数是，最小倍数是 .7、如果a能整除11，则a是 .8、已知三个连续的偶数是30，则这三个连续的偶数是 .9、能被2和5同时整除的最大三位数是 .10、50以内，7的倍数且是奇数的数有： .11、有一个两位数，十位和个位上的数字互换，得到一个新的两位数，新、旧两位数都能被5整除，那么这个两位数是 .12、用0,2,5这三个数字组成一个三位数，它同时能被2,5整除，这个三位数最大的是，最小的是 .13、233至少加上能被5整除，至少加上能被3整除，至少加上能2，3，5整除.14、一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则符合此条件的自然数中最小的数是 .二、选择题（每题3分，共15分）16、下列算式中表示整除的算式是（）(A) 0.80.4÷ (D) 11÷(B) 816÷(C) 163÷17、既是18的因数又是27的因数的数是（）(A) 1 ,2,3 (B) 1,3,6 (C) 1,2,9 (D) 1,3,918、从5,0,1,3四个数字中选出三个数字，组成一个三位数，能同时被2,3,5整除的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个19、A=2×3×5，A的因数有 ( )（A） 2、3、5 （B）2、3、5、6、10（C）1、2、3、5、6、10、15 （D）1、2、3、5、6、10、15、30三解答题（第20-25题各6分，26题7分，共43分）20、写出下列各数所有的因数.（1）11 （2）10221、一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，求这个数.22、从0、3、5、7这四个数字中，任选三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有几个，是哪几个？23、儿童乐园是3路和6路车的始发站，3路车每4分钟发一次车，6路车每3分钟发一次车.现在这两路车同时发车，至少再过多少时间又同时发车？24、数a的最大因数是60，且a是b的3倍，求a与b所含有的共同因数.25、48本爱心捐赠书籍分给一些学生，每人发一样多且不止一本，可以分给多少人？每人几本，有多少种分法？26、我们设n为大于5的正奇数，那么紧邻它而比它小的两个奇数可以表示为n －2和n－4，紧邻它而比它大的奇数可以表示为n＋2和n+4，因为n＋（n－4）+（n－2）＋（n＋2）+ （n+4）＝5n，所以我们可以说五个连续的奇数之和一定能被5整除.试用上面的方法说明“五个连续的正整数之和能被5整除”.回家作业：一：填空题：1、统称为自然数。
第1讲 数的整除-学生讲义
第1讲数的整除一、知识点1.整除的概念：整数a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，则称a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
注意：我们讨论的整除性均在正整数范围内。
2.数的整除特征（1）一个数的个位数字是0，2，4，6，8中的某一个，那么这个整数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字是0或者5，那么这个整数就能被5整除。
（3）一个数各数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。
（4）一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）|（7）一个数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除，反之一个数能被6整除，则这个数一定能被6的因数（1,2,3,6）整除。
（8）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
（9）能被7（11或13）整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。
3.数整除的性质（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被数c整除（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么ac也能被数b整除。
（3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么数a也一定能被数c整除。
（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。
二、典例剖析#例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔（每人一支），共付人民币9□.2□元。
已知□处数字相同，请问钢笔每支多少元练一练1.老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□□元，回校后发现有两个数字已经看不清了，你能帮助补上这两个数字吗|例2.已知292x y 能被36整除，求所有满足条件的五位数。
沪教版六年级数学讲义 第1讲整数和整除
第1讲 整数和整除【学习目标】整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为后面学习有理数奠定基础．【基础知识】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数； 2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a.整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，，能5整除的数的特征：个位上数字是0，5； 能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除. *能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.【考点剖析】考点一：整数的意义和分类例1．判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．（1）最小的自然数是1 ； （2）最小的整数是0；（3）非负整数是自然数；（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数．【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×．【解析】（1）错误，最小的自然数是0；（2）错误，不存在最小的整数；（3）正确；（4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数；（5）错误，最小的正整数是1，最大的负整数是－1．【总结】本题主要考查与整数有关的概念．例2把下列各数放入相应的圈内：15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，35．【难度】★【答案】整数：15，－1，0，－63，13；自然数：15，0，13；正整数：15，13；负整数：－1，－63．【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零．【总结】本题主要考查整数的分类．例3（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；（2）试比较正整数、负整数、零的大小；（3）试比较负整数、自然数的大小．【难度】★★【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；（2）正整数大于0，负整数小于0，正整数大于负整数；（3）自然数大于负整数；例4五个连续的自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．【难度】★★【答案】2112、、、．这五个数是：2、3、4、5、6．a a a a--++【解析】列方程：(2)(1)(1)(2)20-+-+++++=a a a a a解得：4a=∴这五个数是：2、3、4、5、6．【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数．考点二：整除的意义例1．老师问：“当 4.5b=时，a能被b整除吗？”a=时，0.9一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a能被b整除．”你认为对吗？【难度】★【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0，忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．例2下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（）内打“√”，不能整除的打“×”．18和9（）15和30（）0．4和4（）14和6（）17和35（）9和0．5（）【难度】★【答案】横向：√×××××【解析】整除的意义：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件．师生总结1、整除的条件是什么？2、“a能整除b”与“a能被b整除”的区别是什么？归纳总结1．除数、被除数都是整数；2．被除数除以除数，商是整数而且没有余数.归纳总结整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
沪教版6年级数学1.1：整数与整除的意义(讲义)
第1讲：整数与整除【讲义】主讲内容：（1）整数：整数及其分类（正整数、负整数、自然数等）；（2）整除的概念：整除及其判断方法；一：整数首先我们来复习回顾一下小学学过的有关整数的相关知识。
如下图所示，是某超市货架上摆放的商品，你能数出玉米和苹果的个数各是多少吗？从图中，我们不难看出，玉米的个数为7个，苹果的个数是4个。
在这里我们得到的数字7和4都属于整数，严格来讲它们应该叫作正整数。
那么什么是正整数呢？正整数：我们用来表示物体个数的1，2，3，4，5…叫做正整数。
生活中，我们都会用到正整数。
比如日历表中的日期都是用正整数表示的（如下图所示）；月份、星期等也都是用正整数表示的。
有正整数就有负整数，那么什么是负整数呢？负整数：如果我们在正整数1，2，3，4，5…的前面添加符号“－”，得到的数－1，－2，－3，－4，－5…叫做负整数。
其中符号“－”叫做负号。
对比正整数和负整数，我们会发现它们是相互对应的，不同的只是符号。
负整数是在对应的正整数前面添加“－”得到的。
仔细观察，我们发现，正整数和负整数中都不包含零。
这说明，零既不是正整数，也不是负整数，它是一个特殊的整数。
零通常用来表示没有物体，比如我们说“教室有0个同学”，意思就是“教室每人”；零还可以表示描述事物中某种量的基准数，例如我们在计算温度时，都是将0摄氏度作为温度的基准点，其他温度都是相对于这个温度来说的。
零的意义：（1）表示没有物体；（2）表示计量过程中某种量的基准数；这样我们就把整数分成了三类数，分别是：正整数、负整数和零。
因此，我们把正整数、零、负整数统称为整数。
整数：正整数、零、负整数，统称为整数。
用图可以表示为：⎪⎩⎪⎨⎧负整数正整数整数0另外，数学中把零和正整数合在一起，统称为自然数。
自然数：零和正整数统称为自然数（为什么将它们称为自然数呢？是因为这些数是我们在数数时自然产生的，因此才叫做自然数）。
所以整数又可以用下图来表示：⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫负整数自然数正整数整数0 *注意：正整数和负整数是相互对应的，负整数是在正整数的前面加上“－”得到的。
第1章第1节整数和整除
教案设计1.1整数和整除的意义教学目标1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义。
2、在“实验一一猜想一一归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念。
3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力，并从而树立学好数学的自信心。
重点、难点:理解和掌握整除的概念。
教学过程一、建立整数和自然数的概念：1 口答：根据一定的依据把老师念出来的数分一分类，并说明理由。
（小组讨论）（小组讨论、归纳、交流）归纳：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。
在正整数1 2、3、4 的前面添上“一”号，得到的数-1 -2、-3、-4 , 叫做负整数。
零和正整数统称为自然数。
正整数、零和负整数，统称为整数。
2、把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23 6、2005 -196 97二、建立整除的概念：1你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。
）2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。
（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写）教育精选1、2、______________________________________________________________________3、______________________________________________________________________分类的理由：1、______________________________________________________________________2、______________________________________________________________________3、______________________________________________________________________3、请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？归纳：整数a除以整数b,如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
第一讲：整除与整数的性质
第一讲 整除与整数的性质【知识点金】一．整数的基本性质1.整数集关于加、减、乘运算的封闭性，即整数的和、差、积仍为整数（两个整数的商不一定是整数）。
2.奇数和偶数的简单性质能被2整除的整数称为偶数，可表示为2n ()n Z ∈形式；不能被2整除的整数称之为奇数，可表示为21n -()n Z ∈形式。
对于奇数和偶数有以下性质：（1）任意多个偶数的和、差、积仍为偶数； （2）奇数个奇数的和、差仍为奇数； （3）偶数个奇数的和、差为偶数； （4）奇数与偶数的和为奇数，其积为偶数；（5）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；3.整数集的离散性两个连续整数之间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在 完全平方数。
任一个整数有限集中必有最大数和最小数。
二．整除的定义和基本性质1．定义：设a 、b 是整数(0)b ≠，若存在整数q ，0q ≠，使a bq =，则称b 整除a ，或a 能被b 整除，记为b a ，这时b 叫做a 的因数或约数，a 叫做b 的倍数。
2.整除的基本性质（1）若b a ，则()b a -，b a -，()()b a --，b a ； （2）若a b ，b c ，则a c ；（3）若,,,a b c m Z ∈，且a b ，a c ，则()a b c ±，a mb ，a mc ，()a m b c ±。
事实上可推广到一般情形：若,,i i a b x Z ∈(1,2,,)i n =，且i a b ，则1ni i i a b x =∑；（4）设,a b Z ∈，且a b ，则对于任何m Z ∈，都有am bm ；反之，若am bm ，则a b 。
（5）若a b <，且b a ，则0a =； （6）若a 、b 互素，且a bc ，则a c ；（7）若p 是素数，且1ni i p a =∏，则至少有一个i a ，使得i p a (1)i n ≤≤；（8）若12,,,n a a a 两两互素，且i a A ，1,2,,i n =，则1ni i a A =∏；例1.求证：如果P 和2P +都是大于3的素数，那么6是1P +的因数。
六年级秋季班-第1讲：整数和整除
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b 能整除a．整数和整除内容分析知识结构模块一：整数和整除的意义知识精讲例题解析【例1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．【难度】★【答案】12，0，30，1；12，0，30，1．【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数，统称为整数．【总结】本题主要考查自然数和整数的概念．【例2】关于1836÷=，下列说法正确的是（）A．18能整除3 B．3能被18整除C．18能被3整除D．3不能整除18【难度】★【答案】C【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除的概念．【例3】下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．○13和0.3；○212和4；○35和15；○40.2和0.4；○51.4和14；○65和0.1．【难度】★★【答案】③【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题依旧考查整除的概念．【例4】下列说法中，正确个数是（）○1整数包括负数、正数；○21是最小的自然数；○3a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；○4有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★★【答案】A【解析】①错，整数包括正整数、负整数和0；②错，0是最小的自然数；③错，要求a和b也要为整数；④错，没有最大的自然数，有最小的自然数为0．⑤错，没有最大的正整数，有最大的负整数为-1．【总结】本题主要考查整数的分类问题，注意0的特殊性．【例5】下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．○17和11；○29和2538；○32和5；○415和5；○513和91；○62和0.4；○70.3和6；○81.5和2.5．【难度】★★【答案】②③⑤⑥⑦【解析】a能除尽b是指ab÷所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分．【例6】有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【难度】★★【答案】一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成4个小组，因为4不能整除15．【解析】因为515⨯=，所以可分为一组、三组、五组或者十五组．⨯=1315【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例7】一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？【难度】★★★【答案】不对，因为4不能整除342．【解析】24÷，余数不为0．342=......85【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例8】在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？【难度】★★★【答案】300，400，200【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．模块二：因数和倍数知识精讲1、因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．例题解析【例9】在9、12、15、30、45、66有因数2的是_________，是3的倍数的是_________．【难度】★【答案】12、30、66；9、12、15、30、45、66．【解析】有因数2的是：12、30、66；是3的倍数的有：9、12、15、30、45、66．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例10】既是23的倍数，又是23的因数的数是______．【难度】★【答案】23．【解析】23的因数有1、23，其中是23的倍数为23．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例11】下列说法中不正确的是（）A．1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数B．偶数的因数不一定是偶数C．奇数的因数一定是奇数D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数【难度】★★ 【答案】D【解析】D 答案中一个数的最大因数都是等于它的最小倍数的，故D 是不正确的． 【总结】本题主要考查因数和倍数的定义，注意1的特殊性． 【例12】一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是______．【难度】★★ 【答案】6【解析】因为一个正整数最小的因数为1，最大的因数为它本身，故这个数是6． 【总结】本题主要考查正整数的因数的特征． 【例13】既是3的倍数，又是30的因数的数是________________．（写出所有符合条件的数）【难度】★★【答案】3、6、15、30．【解析】6510315230130⨯=⨯=⨯=⨯=，所以30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30．其中3的倍数为3、6、15、30．【总结】本题可以将30的因数一一列出，然后判断其实不是3的倍数，反过来也可以．【例14】一个数即是10的倍数，又是100的因数，且不能被4整除，这个数是______．【难度】★★【答案】10、30、50、70、90．【解析】10的倍数为：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，其中又是100的因数，且不能被4整除的是10、30、50、70、90．【总结】本题也可一一列举出即是10的倍数，又是100的因数的数，然后再判断哪些不能被4整除．【例15】用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？ 【难度】★★★【答案】三种：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4． 【解析】161162844=⨯=⨯=⨯；答：可以拼成3种形状不同的长方形，长和宽分别是：16，1或8，2或4，4． 【总结】本题主要是利用因数的概念来解决实际问题．【例16】 已知一个三位数abc ，若两位数bc 能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．【难度】★★★ 【答案】正确．【解析】三位数abc 可以表示为()c b a ++10100，两位数bc 可以表示为c b +10，因为两位数bc 能被4整除，∴c b +10能被4整除．而()()()410254104100410100÷++=÷++÷=÷++c b a c b a c b a ，没有余数，所以这个三位数就能被4整除．【解析】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示．1、 能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数； 能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 2、奇数偶数的运算性质奇数±奇数 = 偶数；奇数±偶数 = 奇数；偶数±偶数 = 偶数；奇数⨯奇数 = 奇数； 奇数⨯偶数 = 偶数；偶数⨯偶数 = 偶数． 推广结论：（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数； （2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数； （3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；（4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；（5）两个整数的和与差的奇偶性相同． 3、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数． 4、能同时被2、5整除的数知识精讲模块三：能被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析【例17】两个连续自然数的差是（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．既不是奇数也不是偶数【难度】★【答案】A【解析】两个连续自然数的差为±1，为奇数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例18】9个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数．【难度】★【答案】偶．【解析】9个连续的自然数中必定会有偶数，则乘积必定为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例19】已知一个三位数13x．（1）若这个三位数能被2整除，求x；（2）若这个三位数能被5整除，求x；（3）若这个三位数能同时被2和5整除，求x．【难度】★★【答案】（1）0，2，4，6，8；（2）0，5；（3）0．【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被5整除的数的特征：个位上是0，5的整数；能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【总结】本题主要考查能被2、5整除的数的特点．【例20】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【难度】★★【答案】B【解析】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数有120、102、210、201，其中偶数有120、102、210．【总结】一一列举符合题目条件的数字，考查偶数的概念．【例21】5个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？【难度】★★【答案】44、46、48、50、52．【解析】这5个偶数的平均数为48，则中间的数字为48，则这5个连续的偶数为44、 46、48、50、52．【总结】本题主要考查利用平均数解决连续整数和的问题．【例22】12320152016+++⋅⋅⋅++的结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】1到2016个数字中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；则这2016个数字之和为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例23】用25、26、27、28、29这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？【难度】★★【答案】7．【解析】要使乘积为偶数，则乘数中至少有一个为偶数．则26与25、27、28、29相乘，可以得到偶数；28与25、26、27、29相乘，可以得到偶数．中间有重复的26与28相乘，则一共有4+4-1=7个偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例24】13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？【难度】★★★【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时，则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个奇数，这13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例25】有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？【难度】★★★【答案】不能，理由见解析．【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于五只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．【例26】1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾有多少个零？【难度】★★★【答案】225．【解析】只要有因数5和因数2的两个整数相乘，末尾就会出现0．1到1000中5的倍数要少于2的倍数，其中5的倍数有10005200÷=个，25 的倍数有10002540÷=个，125的倍数有10001258÷=个，625的倍数有1个，而1到100中5的倍数有20个，25的倍数有4个，因此在1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾中含零的个数为：2004081204225+++−−=个．【总结】两数相乘结果末尾为0，则要求整数的个位为2和个位为5的数相乘即可．【例27】在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“−”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“+”、“−”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．1、 能被3整除的数能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数． 2、 能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【例28】 要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________；要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．【难度】★【答案】1、4、7；4．【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征： 各个数位上的数字和是9的倍数．【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点． 【例29】一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．【难度】★★ 【答案】16．【解析】7B 能被2整除，则B 为0、2、4、6、8；497A B 能被3整除，则B A ++20能 被3整除．当B =0时，A 可为1、4、7；当B =2时，A 可为2、5、8；当B =4时，A 可为0、3、6、9；当B =6时，A 可为1、4、7；当B =8时，A 可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．【总结】先一一列举符合7B 能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．知识精讲模块四：能被3、9整除的数例题解析【例30】从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【难度】★★★【答案】6．【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、480、840．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．【例31】已知一个三位数abc，试证明：若a b c++能被9整除，则abc能被9整除．【难度】★★★【答案】证明见解析．【解析】因为a b c++能被9整除，则可得mcba9=++（m为正整数），又abc=10010a b c++ ()()999a b a b c=++++，因为ba999+能被9整除，也a b c++能被9整除，所以abc 能被9整除．【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．【例32】我们知道，每个正整数都有因数，对于一个正整数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把一个正整数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．如10的“完美指标”是4(125)105++÷=．一个正整数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是7(124)88++÷=，10的“完美指标”是45，因为78比45更接近1，所以我们说8比10完美．根据上述材料，回答下面问题：（1）5的“完美指标”是____________；（2）6的“完美指标”是____________；（3）9的“完美指标”是____________．（4）试找出比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．【难度】★★★【答案】14 1213 59（）（）；（）；（4）28；【解析】（1）5的“完美指标”：15；（2）6的“完美指标”是：12316++=（3）9的“完美指标”是：134 99+=；（4）素数的“完美指标”为1n，不够完美；合数的真因数较小，完美指标也会比较小，不够完美；所以验证24和28的完美指标：24的“完美指标”是：123468123242++++++=；28的“完美指标”是124714128++++=；∴28是比20大，比30小的正整数中，最“完美”的数．【总结】本题主要是考查学生的理解能力，通过对题目中新的概念的理解，利用概念去解决新的问题．随堂检测【习题1】下列说法正确的是（）A．一个数至少有两个因数B．个位上是3、6、9的整数都能被3整除C．一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么这个数一定是10的倍数D．非负整数是正整数【难度】★【答案】C【解析】A答案错误，如1只有一个因数；B答案中考查能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；C答案是正确的；D答案中0也属于非负整数．【总结】本题主要考查因数、倍数的概念以及整数分类的问题．【习题2】50以内的7的倍数有_______个．【难度】★【答案】7【解析】50以内的7的倍数有：7、14、21、27、35、42、49．【总结】从最小的倍数一一尝试即可得到答案．【习题3】一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是______．【难度】★★【答案】1007．【解析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是1007．【总结】任何一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．【习题4】下列说法不正确的个数有（）个（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0整除；（4）3m n÷=，则n一定能整除m；（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】B【解析】（1）对；（2）错，考查整除的定义；（3）错，0能被任何正整数整除；（4）错，n 和m不一定为整数；（5）对，因为三个连续自然数中一定有偶数，则它们的积一定是偶数．【总结】本题主要考查整除的概念，注意整除的定义中的被除数、除数、商都必须是整数，且余数为零，另外还考差了奇、偶数运算性质的问题．【习题5】下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．（1）135÷；÷；（4）02÷；（3）20163÷；（2）127（5）246÷．÷；（8）8.82÷；（7）2.8 1.4÷；（6）2.53【难度】★★【答案】（3）、（4）、（5）；（1）、（3）、（4）、（5）、（7）、（8）【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除和除尽的概念，注意除尽与整除的区别．【习题6】能整除18的数有________________．【难度】★★【答案】1、2、3、6、9、18．【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除的概念．【习题7】一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5整除，求所有符合条件的两位数：_______________．【难度】★★【答案】35．【解析】能被5整除的数尾数为0或5．0为个位数时，十位数字为负数，不合题意，舍去．所以个位上的数字只能为5，十位上的数字为3，则这个两位数为35．【总结】本题主要考查能被5整除是数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题8】四位数29A B能同时被3和5整除，写出所有满足条件的四位数__________．【难度】★★【答案】2190、2490、2790、2295、2595、2895．【解析】能被5整除的数的个位数为0或5，则B为0或5；当B=0时，A为1、4、7；当B=5时，A为2、5、8．所以满足条件的四位数为2190、2490、2790、2295、2595、2895．【总结】本题主要考查能被3、5同时整除的数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题9】三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．【难度】★★★【答案】是，证明见解析【解析】设三个连续的自然数为1+11=−，此数一定能n3++，，则其和为n−n1+nnn，n被3整除．【总结】三个连续的自然数的表示方法为11+n，，．−nn【习题10】小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】不能．【解析】因为12张卡片上的数字都是奇数，5个奇数之和一定为奇数，不可能为偶数，22是偶数，所以不能．【解析】本题主要考查数字的奇偶性，偶数个奇数相加结果为偶数；奇数个奇数相加结果为奇数．课后作业【作业1】如果A表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．【难度】★【答案】1；A．【解析】一个正整数的最小因数为1，最小倍数为它本身．【总结】本题主要考查一个正整数的最小因数的和最大因数的特征．【作业2】731最少加上______，就是5的倍数． 【难度】★【答案】4【解析】能被5整除的数的特点：个位数字为0或5，因此最少加上4即可．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【作业3】三位数“15□”是8的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【难度】★★【答案】B【解析】可以填2，四个答案一一验算．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念，是8的倍数，则说明该数能被8整除．【作业4】 一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个（1）加上()12399100+++⋅⋅⋅++；（2）减去()1002327985⨯+⨯；（3）乘以2；（4）除以2．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】A【解析】（1）12399100=5050+++⋅⋅⋅++为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数； （2）1002327985=16996⨯+⨯为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；（3）奇数乘以2，为偶数；（4）奇数除以2余数为1．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业5】 三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________ 【难度】★★【答案】105、107、109【解析】这三个连续的奇数平均数为1073321=÷，则中间的数为107，其余两个数为 105和109．【总结】连续的奇数和偶数之和的问题均可以用平均数来解决．【作业6】小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）【难度】★★【答案】11．【解析】12=⨯⨯=⨯==，则84的因数为1、2、3、4、⨯=⨯=22161474281844284⨯36、7、12、14、21、28、42、84，共有12个，因为不能一次全拿出，所以共有11中不同的拿法．【总结】将实际问题转化为寻找因数的方法来解决．【作业7】一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．【难度】★★【答案】1、2、4、7、14、28．【解析】一个整数的最大因数为它本身，最小因数为1，则这个数为28．=⨯28⨯⨯=，则28的因数有1、2、4、7、14、28．=17144282【总结】任何一个正整数的最大因数为它本身，最小因数为1．【作业8】122334************⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯的结果是______．（填奇数或偶数）【难度】★★【答案】偶数．【解析】连续的自然数乘积为偶数，表达式中有101个偶数相加，则其结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业9】五位数538AB能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．【难度】★★★【答案】2、5、8．【解析】能被2、5整除的数的特点是个位上数字为0，则B=0．能被3整除的数的特点是各个数位上的数字之和能被3整除，则A可为2、5、8．则A+B为2、5、8．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特点．【作业10】小明有一本共126张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第1页一直编到252页．如果从这本记事本中撕下31张纸，并将它们的页码相加，和是否可能等于2010？【难度】★★★【答案】不能【解析】31张纸的所有页码中，共31个奇数和31个偶数相加，答案是奇数，不可能是2010．另：拓展来看，每一张纸的页码和：1+2=3，3+4=7，5+6=11，……共同点：加上1后都是4的倍数，整体考虑，32页纸的页码和+31应是4的倍数，但2010+31不能被4整除，所以是不可能的．【总结】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数．【作业11】油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．【难度】★★★【答案】机油；柴油；机油；柴油；柴油；汽油；柴油．【解析】因为柴油的总重量是机油的3倍，所以他们的重量和一定为4的倍数．而7桶油的总重量是12+13+17+22+27+32=139（千克），而139÷4=34．．．．．．3，我们容易推出汽油的重量被4除余3，由此可见，汽油的重量是27千克．剩下的6桶共重139-27=112（千克），其中包括1份机油和3份柴油，因此机油的总重量为112÷4=28 （千克），柴油的总重量为112-28=84（千克），剩下的6个数字中只有12和16的和为28，则重量是12千克、16千克的这两只桶内装的是机油，其余4只桶内装的柴油．【总结】本题综合性较强，主要考查利用倍数的概念来解决实际问题．。
初中数学精品试题：第一讲 整数的整除性和带余数除法
第一讲 整数的整除性和带余数除法一. 内容提要 班级______ 姓名______1. 整除的性质⑴ n 个连续正整数的积能被n ！整除.（n 的阶乘：n ！＝1×2×3×…×n ）.例如：a 为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2)，24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵ 若a b 且a c ，则a (b ±c). ⑶ 若a,b 互质，且a c, b c ，则ab c ；反之则有：a,b 互质，ab c ，则a c, b c. 2. 带余数除法用一个整数a 去除整数b ，且a>0，则必有并且只有两个整数q 与r ，使b=aq+r ，0≤r<a ．这就是带余数除去的一般表达式．当r=0时，记为a│b ，b 被a 整除；当r≠0时，记为ab ，b 不能被a 整除，或者说，b 除以a 有余数．利用余数将自然数分类，在解决实际问题中有广泛应用．我们说，任何一个自然数b 被正整数a 除时，余数只可能是0、1、2、…、a-1．这样就可以把自然数分为a 类．例如，一个自然数被4除，余数只能是0、1、2、3中的一个．因此，所有自然数按被4除时的余数分为4类，即4k ，4k+1，4k+2，4k+3．任何自然数都在这四类之中． 二. 热身练习1. 2006年“五一节”是星期一，同年“国庆节”是星期 ．2. 有一个数能被5整除，但除以4余3，这个正整数最小是 ．3. 一个整数去除300，262，205，所得余数相同，这个整数是 ．4. 一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12，余数是 ．5. 正整数2006200634+除以3，所得余数是________．6．已知x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）．7．如果一个四位数abcd 能被9整除，试说明四位数bdca 也能被9整除．8．设一个五位数abcad，其中d－b＝3，试问a，c为何值时，这个五位数被11整除。
第一讲 整数奇偶性与整除性
a k b k a k n (a n b n ) b n (a k n b k n )
al bl al n (an bn ) bn (al n bl n ).
设m=nq+r，0≤r<n，则由引理1，2可知
a b | a (1) b .
2000个 0
1 证明：001 10
2000个0
2001
1 (10 3 ) 667 1 (10 3 1)[(10 3 ) 666 (10 3 ) 665 10 3 1]
.
所以103+1(=1001)整除 10 01
2000个 0
21n 4 例3 (IMO,1959)若n是正整数,则 是既约分数. 14 n 3
例6 若17|(2a+3b),试证：17|(9a+5b).
证明：注意到2(9a+5b)=9(2a+3b)－17b,于是17|2(9a+5b). 但是(17,2)=1,即得17|(9a+5b).
二 · 整除 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是 整数，所采用的字母也表示整数。 定义1：设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc则称b 整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍 数，如果不存在上述c，则称b不能整除a,记作 b | a.
性质： (1)若b|c且c|a，则b|a(传递性质)； (2)若b|a且b|c，则b|(a c). 即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算 封闭。若反复运用这一性质，则对于任意的整数u,v有b|(au cv)。
证明 :由a bq r , 0 r b, 则(a, b) (b, r )得 : (21n 4,14n 3) (7 n 1,14n 3) (7 n 1,1) 1. 21n 4 是既约分数. 14n 3
1六年级上-整数与整除ppt课件
特殊数整数判定法一
如何判断一个数能被25整除？ 25 125 225 150 250 250 75 175 275 100 200 300
总结规律，判定方法是：
特殊数整数判定法一 为什么判定后两位就可以？ 再想想如何判定一个数能被4整除？ 按照这种思路，还有判定被哪个数整除的方法？
特殊数整数判定法一
注意：一个数分解 的两个因数必需互
质
例3 解：5
03
02
04
01
05
06
练习3
九位数8765□4321能被33整除，求中间□中的数。
解：0
03
02
04
01
05
06
PART FOUR
试
除
法
21
教学过程 95%
你知道1299能否被29整除么？
解：不能 75%
提示：动手做除法算 式
教学反思
XX% 双击输入替换内容 双击输入替换内容
整数和整除的意义
1
目
录
01.整除的概念 02.特征除数判定
03.分解判定法 04.试除法
2
PART ONE 第一部分整除的概念
3
教学分析
PART TWO 特征除数判定
5
特殊数整数判定法一
如何判断一个数能被2整除？ 13 345 6788 89067 344560 如何判断一个数能被5整除？ 15 345 6788 89066 344565 判定方法的共同点是？
判断下列各数是否能被2或5整除： 2570，，587931。
判断下列各数是否能被8整除： 257000，，587808。
03
02
04
01
05
第一讲整数与整除的基本性质(一)
第一讲 整数与整除的基本性质（一）一、整数基本知识：关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。
十进制整数的表示方法正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+⨯,四位数1254可以写成410510210123+⨯+⨯+⨯,同样地用字母表示的两位数ab b a +⨯=10,三位数f e d def +⨯+⨯=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.10101211121a a a a a a a n n n n n n n ++⋅+⋅=-----经典例题：例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）)A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ）)A 26 )B 28 )C 36 )D 38解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3，227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排除)),D C 又由于)1(+b 是7的倍数，故选)A（此题也可以直接来解)1(+b 是7的倍数，故有6=b 返回有2=a ）例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是_____________。
整数和整除的意义
第一讲整除和整除、因数和倍数、能被2、3、5整除的数以及分解素因数第一部分：整除和整除的意义1、六（1）班同学分成四个小组制作世博会中国馆模型，每组做的一样多，小沈统计后说：全班共做了42个模型，他的统计正确吗？2、在1到180之间找出所有36的倍数，并求出36的所有因数。
3、96名同学报名参加世博志愿者活动，需平均分成若干组，每组不少于4人，也不多于6人，应怎样分组？4、鲁迅纪念馆的小纪念册每本5元，大纪念册每本7元，王刚买了这两种纪念册共花142元，求两种纪念册最少买了多少本？5、2010年教师节正好是星期五，师生们可以利用下午的班会课好好庆祝一下节日，有同学问了，那明年呢？你能不能不翻日历就能知道明年的教师节是星期几？6、用1,2,3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数是多少？第二部分：因数和倍数1、李海区世博会参观，可以在同一个车站乘坐世博21路和869路，世博21路每4分钟发车一次，869路每6分钟发车一次，现在这两路车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？2、为庆祝国庆，六年级同学买来336支红花，252枝黄花，210枝粉花，用这些花可以扎成每束最多多少枝同样的花？在每束花中，红、黄、粉共有多少枝？3、小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方形，最后没有多余，请问这些正方形的边长为多少？一共可以折出多少个正方形？4、五年级一班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班级的人数吗？5、今天是9月19号，正好是星期天，这是小明最高兴的一天，因为他和爸爸妈妈一起去公园玩了一天，小明想：下次什么时候才能和爸爸妈妈一起去玩呢？小明知道爸爸妈妈工作很忙，只有在休息的时候才能和他一起玩，爸爸工作4天休息1天；妈妈工作3天，休息1天；小明学习5天，休息2天（周一至周五学习，星期六、日休息），你能帮他算出来吗？（要说出是几月几号？星期几）第三部分：能被2、5、3整除的数1、某个七位数1993 能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是多少？2、在1—199中，有多少个奇数？多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？3、（！）不算出结果，判断数（524+42-429）是偶数还是奇数？（2）数（42 +30-147）能被2整除，那么，应该填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×154、1＋2＋3＋4＋…＋999＋1000＋1001的和是奇数还是偶数？5、□△○□▽○…，则第2001个图形是什么形状？第四部分：素数、合数与分解素因数1、两个素数的和是40，求这两个素数的乘积最大值是多少2、自然数123 456 789是素数还是合数？3、把5、6、7、14、15这5个数分成两组，使每组数的乘积相等。
数的整除讲义
第一章数的整除1.1整数和整除1、整除和除尽整除：除数、被除数、商都是整数。
除尽：除数、被除数、商不一定是整数2、20÷5=4，我们就说20能被5整除，或者说：5能整除20.【例题】１．按要求填空1÷50；18÷6；23÷7；0.6÷0.5；1÷5除尽：（）除不尽：（）整除：（）2、已知正整数x能整除41，求x的值。
3、用1、2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数哪个三位数？1.2因数和倍数1、寻找一个数的因数通常使用“对称法”如60的因数：1、60；2、30；3,20；4、15；5、12；6、10；2、当这个数过大时，用“公式法”设整数为N，经过分解素因数后可得：N=x1^m1×x2^m2……xn，则因数的个数为P=（m1+1）×（m2+1）……（mn+1）【例题】1、24的因数有哪些？25的因数有哪些？2、4的倍数有哪些？10的倍数有哪些？3、用4、5、6排成的三位数呢中，(1)哪些是5的倍数？(2)哪些是3的倍数？哪些是9的倍数？(3)哪些是6的倍数？(4)哪些是8的倍数4、求144（9×16）的因数有多少个？1.3能被2、5整除的数【例题】1、2( ) 5、3：（）5（）2、在内这个数能被72整数。
3、用0、1、2、3这四个数字排成一个四位数。
（1）使这个数有因数2，有几种不同的排法？（2）使这个数能被5整数，有几种不同的排法？（3）使这个数是3的倍数，有几种不同的排法？1.4分解素因数1、一个整数如果只有1和本身两个因数，那么这个数就叫做素数。
2、一个整数除了1和本身还有别的因数，那么这个数叫做合数。
3、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫做分解素因数；4、1的因数只有一个，1既不是素数也不是合数。
【例题】1、先把36分解素因数，再找出36的所有因数，并回答下列问题：（1）36的每一个素因数都是它的因数吗？36的，每一个因数都是它的素因数吗？（2）36的每两个素因数的乘积都是它的因数吗？（3）36的所有素因数的乘积是它的因数吗？2、把426名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在10—25之间，求每组人数及分成的组数。
整数整除的概念和性质
第一讲整数整除的概念和性质1．已知a，b是整数，求证：a+b，ab、a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．解答：证明：对于a，b，若至少有1个数是3的倍数，则ab是3的倍数；若a，b都不是3的倍数①当a=3m+1，b=3n+1时，a-b=3（m-n），a-b是3的倍数；②当a=3m+1，b=3n+2时，a+b=3（m+n+1），a+b是3的倍数；③当a=3m+2，b=3n+2时，a-b=3（m-n），a-b是3的倍数；∴a+b，ab、a-b这三个数之中，至少有一个是3的倍数．2.已知7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．解答：解：∵72|，∴8|，9|。
由此得：1+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍数，而0＜x≤9，0＜y≤9，则x+y=3或12，又必是8的倍数，必是4的倍数，则y=1，3，5，7或9，当y=1时，x=2，8|216；当y=3时，x=0或9，8不能整除36（不符合题意），8|936（符合题意）；当y=5时，x=7，8不能整除756（不符合题意）；当y=7时，x=5，8|756；当y=9时，x=3，8不能整除396（不符合题意）；综上可得：当y=1，x=2；y=3，x=9，；y=7，x=5时所得的7位数满足条件．∴符合条件的7位数为：1287216，1287936，1287576．3.（1）若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-9=0，求证：4|（a+b+c+d）．（2）已知两个三位数与的和+能被37整除，证明：六位数也能被37整除．解答：证明：（1）∵9=1×（-1）×3×（-3），∴可设x-a=1，x-b=-1，x-c=3，x-d=-3，∴a=x-1，b=x+1，c=x-3，d=x+3，∴a+b+c+d=4x，即4|（a+b+c+d）；（2）∵= ×1000+ = ×999+（+）又∵和（+）能被37整除，∴×999+（+）能被37整除，即六位数能被37整除．4.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除．解答：解：由已知，显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n是幸运券，那么号m=9999-n也是幸运券，由于9是奇数，所以m≠n．由于m+n=9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101|9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除．5.写出都是合数的13个连续自然数．解答：解：我们知道，若一个自然数a是2的倍数，则a+2也是2的倍数，若是3的倍数，则a+3也是3的倍数，…，若a是14的倍数，则a+14也是14的倍数，所以只要取a为2，3，…，14的倍数，则a+2，a+3，…，a+14分别为2，3，…，14的倍数，从而它们是13个连续的自然．所以，取a=2×3×4×…×14，则a+2，a+3，…，a+14必为13个都是合数的连续的自然数．6.已知定理“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c 是整数n的倍数”．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少？请证明你的结论．解答：证明：∵a+b+c=a+b+2a+5b=3（a+2b），显然，3|a+b+c，若设a 、b 被3整除后的余数分别为a r 、b r ，则a r ≠0，b r ≠0．若a r ≠b r ，则a r =2，b r =1或a r =1，b r =2，则2a+5b=2（3m+2）+5（3n+1）=3（2m+5n+3），或者2a+5b=2（3p+1）+5（3q+2）=3（2p+5q+4），即2a+5b 为合数与已知c 为质数矛盾．∴只有a r =b r ，则a r =b r =1或a r =b r =2．于是a+2b 必是3的倍数，从而a+b+c 是9的倍数．又2a+5b=2×11十5×5=47时，a+b+c=11+5+47=63，2a+5b=2×13十5×7=61时，a+b+c=13+7+61=81，而（63，81）=9，故9为最大可能值．7.一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”．解答：解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c （a 、b 、c 不全相等），将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：，不妨设其中的最大数为，则最小数为．由“新生数”的定义，得N=abc -cba =（100a+l0b+c ）一（100c+l0b+d ）=99（a-c ）．由上式知N 为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990．这九个数中，只有954-459=495符合条件，故495是唯一的三位‘新生数”．8.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行，从左向右从1到11报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少？他们的编号是几号？解答：解：由题意，第一次报数后留下的同学，他们的编号必为11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们的编号必为112=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们的编号必为113=1331的倍数．因此，最后留下的同学编号为1331的倍数，我们知道从1～2002中，1331的倍数只有一个，即1331号，所以，最后留下一位同学，其编号为1331．9.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数，把的和N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数．现在设N=3194，请你做魔术师，求出数来．解答：解：将acb也加到和N上，这样a、b、c就在每一位上都恰好出现两次，所以有acb+N=222（a+b+c），从而3194+100≤222（a+b+c）≤3194+999，而a、b、c是整数．所以15≤a十b十c≤18①．因为222×15-3194=136，222×16-3194=358，222×17-3194=580，222×18-3194=802，其中只有3+5+8=16能满足①式，∴=385．10.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求A和B乘积的最大值．解答：解：先通过运算的进位，将能确定的口确定下来，再来分析求出A和B 乘积的最大值．设算式为显然，g=1，d=9，h=0．a+c+f=10+B，b+e=9+A，∴A≤6．∵2（A+B）+19=2+3+4+5+6+7+8=35，∴A+B=8．要想A ×B 最大，∵A ≤6，∴取A=5，B=3．此时b=6，e=8，a=2，c=4；f=7，故A ×B 最大值为15．11.任给一个自然数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N ′，试证明：|N-N ′|能被9整除．解答：解：令N=n a a a ⋅⋅⋅21，则N ′=11a a a n n ⋅⋅⋅-．所以，N 除以9所得的余数等于n a a a +⋅⋅⋅++21除以9所得的余数，而N ′除以9所得的余数等于11a a a n n ⋅⋅⋅++-除以9所得的的余数．显然，n a a a +⋅⋅⋅++21=11a a a n n ⋅⋅⋅++-．因此，N 与N ′除以9所得的余数相同，从而|N-N'|能被9整除．12.（1）证明：形如的六位数一定能被7，1l ，13整除．（2）若4b+2c+d=32，试问能否被8整除？请说明理由．解答：解：（1）=1001（100a+10b+c ）=7×11×13（100a+10b+c ）， ∴形如的六位数一定能被7，1l ，13整除． （2）=1000a+100b+10c+d=1000a+96b+8c+（4b+2c+d ） =1000a+96b+8c+32，以上各式均能被8整除，故若4b+2c+d=32，能被8整除．。
第一讲,整数和整除
第一讲整数和整除主课题：1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数&1.3能被2、3、5整除的数教学目标：1. 掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数4、掌握能被2、3、5整除的数的特征,掌握能同时被2、5整除的数的特征5、掌握偶数、奇数的特征，以及它们的运算性质教学重点：1、自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数4、掌握奇数偶数的运算性质，会求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数教学难点：1.掌握整数最小和最大的因数，整数最小的倍数2.奇数偶数运算性质的应用3.求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数考点及考试要求：1.自然数、整数、正整数、负整数的分类2.给出算式判断是否为整除3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数4.会运用奇数偶数的运算性质5.会求能被2、3、5整除的数以及能同时被其中的两个或者三个数整除的数★知识精要知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（n a tur a l num b er）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。
整数知识点2：整除（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a. （2）整除的条件（两个必须同时满足）：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
知识点3：除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。
知识点4：因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。
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第一讲 整数和整除教学目标1、整数和整除的意义2、因数和倍数3、能被2，3，5，9整除的数 重点和难点 能被2，3，5，9整除的数的意义因数、倍数等的相关概念，知识框架一、整数和整数的意义1、零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数2、整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
用式子表示:如果 a÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。
（区分两种表述）注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。
被除数和除数 商 整除都是整数，除数不等于0 商是整数，余数为0 除尽不一定是整数，除数不等于0 商是整数或有限小数，没有余数3、整除的条件:1）除数，被除数都为整数2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
4、能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”？【典型例题2】用0、1、5、6四个数字，按要求排成没有重复数字的四位数：（1）能被3整除，但不能被5整除。
（2）能被2整除，但不能被5整除。
（3）既能被3整除，又能被5整除。
（4）能同时被2、3、5整除。
思考：有最大的正整数吗？有最小的正整数吗？有最大的负整数吗？有最小的负整数吗？有最大的自然数吗？有最小的自然数吗？例题讲解1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝32、下列各组数中，均为自然数的是（）（A）1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）23 ，34 ，45 （D）2，4，6 3、下列说法正确的是……………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）32÷4=8，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。
5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
【拓展题1】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数2、试证明：能被3整除的三位数各数位上数的和能被3整除。
二、因数和倍数1、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)因数、倍数是互相依存的。
不能说a是倍数、b是因数！一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数。
最大公约数：也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
最小公倍数：几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。
性质：一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数。
1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数。
0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。
【典型例题】能被18整除的数的因数至少有几个？为什么？1、下列说法正确的是（）（A）1没有因数，也没有倍数（B）一个整数的因数的个数有限(C) 一个整数的倍数的个数有限（D）6的因数只有2和32、在80以内，24的因数和倍数分别有（）（A）2，3，4，6，8，12；48，72 （B）2，3，4，6，8，12，48，72 （C）1，2，3，4，6，8，12，24，48，72（D）1，2，3，4，6，8，12，24; 24，48，723、24的因数有（）个。
（A）6 （B）只有1和本身（C）无数多个（D）84、100以内(不包括100)5的倍数有（）个。
（A）10 （B）18 （C）19 （D）205、一个数既是30的倍数，又是120的因数。
下列说法中，正确的是（）。
（A）这样的数只有一个（B）这样的数有限个。
（C）这样的数有无数多个（D）这样的数不存在6、能被48整除的数一定是下列（）的倍数。
（A）18 （B）24 （C）36 （D）967、正整数a既是甲的倍数，又是乙的因数。
下列说法中，正确的是（）。
（A）甲乙两数大小相等（B）甲小于乙（C）甲是乙的因数（D）乙是甲的因数8、填空：50以内7的倍数有（）9、对于任意整数m，有没有最大或最小的因数，如果有，它们各是什么数？10、下列说法错误的是 ( )A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身C. 12在100以内的倍数共有10个D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16三、奇数和偶数能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数．举例常见的奇偶数：奇数 1,3,5,7,9,11,13,……… 偶数 2,4,6,8,10,12,14,…能被2、5整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除．个位上是0或者5的数都能被5整除1、两个连续的偶数的和是122，这两个数分别是。
2、100以内11的倍数有。
3、一个偶数与一个奇数的和是；差是；积是；4、能同时被5、7 整除的最小的偶数是；能同时被3、11整除的最小偶数是5、一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有（）．（A） 120个（B） 90个（C） 60个（D） 30个6、20以内的自然数中，奇数共有（）（A）7个（B）8个（C）9个（D）10个7、下列说法正确的是（）（A）奇数不可能被2整除（B）5不可能整除偶数（C）25.5的末位数是5，故它能被2整除（D）0.4÷2＝0.2，没有余数，所以0.4是偶数8、下列个数中既能被2整除又能被5整除的数是（）（A）120 (B) 45 （C）16 （D）249、下列说法正确的是（）（A）只有末位数是5的整数才能被5整除（B）不能被2除尽的数是奇数（C）偶数能被2整除（D）偶数不可能被5整除10、既能被2整除又能被5整除的最大的三位数是（）（A）900 （B）990 （C）995 （D）99811、下列说法正确的是（）（A）两个偶数之和为奇数（B）两个奇数之和为奇数（C）偶数一定能被2整除（D）两个奇数与奇数之积为偶数12、下列说法中错误的是（）（A）任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数；（B）一个正整数，不是奇数就是偶数；（C）任何一个奇数加上1之后，得到的都是一个偶数；（D）偶数不能被任何一个奇数整除13、3569加上（）就能被2、3、5整除。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）314、既能被2又能被5整除，但不能被3整除的最大的二位数是（）。
（A）95 （B）90 （C）85 （D）8015、三个连续的偶数中，最大的是a，最小是（）．【拓展题】1、找出50以内能被6整除，且被5整除余2的数？2、一个两位数，它的两个数位上的数之差是2，且能同时被2，3整除，这个两位数最小是多少？最大是多少？3、228减去一个数后，能同时被2，3，5整除，减去的这个数最小的是几？4、教室里有男女同学若干人，男生校服上有5粒纽扣，女生校服上有4粒纽扣．如果学生人数是奇数，纽扣总数是偶数，那么女生人数是奇数还是偶数？为什么？课后练习题1、用36个相同大小的正方形，拼成长方形，有多少种不同的拼法？2、48名同学参加义务植树，需平均分成若干组，每组不少于两人，也不多于30人，应该怎样分组？3、小纪念册每本5元，大纪念册每本7元，张军买了这两种纪念册共花了142元，求两种纪念册最少买了几本？4、一个三位数，十位上的数字是3，而且这个数能同时被2，3，5整除，则这个三位数可以是_____5、三位数A2A能同时被2 ,3整除，求数字A6、已知一个三位数能被2整除，且各个数位上的数之和为8的倍数，那么这个三位数最大是几？7、夏令营活动，午餐时每人发一个饭碗，恰好能每两人发一个菜碗，每三人发一个汤碗，一共用去88个碗，这次夏令营共有多少人参加？8、用91个苹果分给十几人，如果没人得到的苹果个数都相等，那么每人拿到______个苹果。
9、如果（m）表示m的全部因数的和，如（4）=1+2+4=7，则（18）-（21）=___________10、一堆水果，3个一份多一个，4个一份还多一个，5个一份也多一个，则这堆苹果至少有______个。
11、某年级人数在200`~300之间，若3让你一组余1人，若5人一组余2人，若7人一组余3人，该年级有_____名学生。
12、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A和B相同的因数有哪些？13、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数。
（1）能被2整除，但不能被5整除；（2）能被5整除，但不能被2整除；（3）既能被2整除，又能被5整除；14、如果一个长方形的长和宽都是整数厘米，并且这个长方形的面积是24平方厘米，想一想，这个长方形的周长可以多少？15、一个数既是100的因数，又是10的倍数，它不能被4整除，那么这个数是什么？16、有一批零件，设计了三种不同的方法装箱，第一种每箱装18个，第二种每箱装24个，第三种每箱装42个，结果都没有多余。
这批零件最少有多少个？。