高三基础知识天天练4-1. 数学 数学doc人教版

第4模块 第1节

[知能演练]

一、选择题

1．判断下列各命题的真假：

(1)向量AB →的长度与向量BA →

的长度相等；

(2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

(5)向量AB →与向量CD →

是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为

( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：(1)真命题；(2)假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

答案：C

2．若四边形ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →

等于

( )

A ．b ＋1

2a

B ．b －1

2a

C ．a ＋1

2

b

D ．a －1

2

b

解析：BE →＝BC →＋CE →

＝b ＋(－12a )＝b －12a .

答案：B

3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，若CD →

＝ rAB →＋sAC →

，则r ＋s 的值是

( )

A.23

B ．0

C.43

D ．－3

解析：在△ABC 中，CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →

)＝

23AB →－23AC →

，故r ＋s ＝0. 答案：B

4．平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，点E 在BC 上，且BE →＝2EC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则OE →为

( )

A.32a ＋7

6b B.12a ＋16b C.12a －1

6

b

D.12a ＋23

b 解析：如右图．由向量的运算法则得OE →＝OC →＋CE →＝12AC →

＋

13DA →＝12(a ＋b )－13b ＝12a ＋1

6

b ，故选B.

答案：B 二、填空题

5．△ABC 中，BD →＝12

DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →

＝________.

解析：依题意有BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋14DA →＝BD →＋14(BA →－BD →)＝34BD →＋14BA →＝34×13BC →＋

1

4BA →＝1

4(b －a )＋14(－a )＝－12a ＋14

b .

答案：－12a ＋14

b

6．如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →

，则x ＝________，y ＝________.

解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设AB →＝(1,0)，AC →

＝(0,1)，则

|BC →|＝2，∴|BD →

|＝2×sin60°＝62

.

由题意有AD →

＝(x ，y )，∴x ＝1＋62cos45°＝1＋32，y ＝62sin45°＝32.故x ＝1＋32，y

＝3

2

. 答案：1＋

32，32

三、解答题

7．在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →

＝b .

(1)当λ＝1时，用a ，b 表示OC →

； (2)用a ，b 表示OC →

.

解：(1)当λ＝1时，OC →＝12(OA →＋OB →)＝12a ＋1

2b .

(2)OC →＝OB →＋BC →，BA →＝OA →－OB →

＝a －b ， 因为BC

CA ＝λ，BC ＝λCA ，BA ＝BC ＋CA ，

BA ＝(λ＋1)·CA ，BC ＝λ1＋λBA .所以BC →

＝λ1＋λBA →，

即OC →＝OB →

＋λ1＋λBA →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λa ＋b 1＋λ

.

8．如下图，点O 是梯形ABCD 对角线的交点，|AD |＝4，|BC |＝6，|AB |＝2. 设与BC →同向的单位向量为a 0，与BA →

同向的单位向量为b 0.

(1)用a 0和b 0表示AC →，CD →和OA →

；

(2)若点P 在梯形ABCD 所在的平面上运动，且|CP →|＝2，求|BP →

|的最大值和最小值． 解：(1)由题意知BC →＝6a 0，BA →＝2b 0，∴AC →＝BC →－BA →

＝6a 0－2b 0； ∵AD →∥BC →，∴AD →＝4a 0，则CD →＝CA →＋AD →

＝2b 0－6a 0＋4a 0＝2b 0－2a 0； 过C 点作CM ∥BD ，易知四边形BCMD 是平行四边形．

则

|AO ||AD |＝|AC ||AM |，即|AO |4＝|6a 0－2b 0|

10

， 得OA →＝4

5b 0－125

a 0.

(2)BP →＝BC →＋CP →，BP →2＝(BC →＋CP →)2＝BC →·BC →＋CP →·CP →＋2BC →·CP →，即|BP →|2＝|BC →|2＋|CP →

|2

＋2|BC →|·|CP →|·cos 〈BC →，CP →〉＝62＋22＋2·6·2cos 〈BC →，CP →〉＝40＋24cos 〈BC →，CP →〉．

∵cos 〈BC →，CP →

〉∈[－1,1]，

∴当cos 〈BC →，CP →〉＝1时，|BP →

|max ＝8. 当cos 〈BC →，CP →〉＝－1时，|BP →

|min ＝4.

[高考·模拟·预测]

1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么

( )

A ．k ＝1且c 与d 同向

B ．k ＝1且c 与d 反向

C ．k ＝－1且c 与d 同向

D ．k ＝－1且c 与d 反向

解析：由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －1)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线， ∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.

∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D. 答案：D

2．已知非零向量AB →与AC →

满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|

＝12，则△ABC 的形状是 ( )

A ．三边均不相等的三角形

B ．直角三角形

C ．等腰(非等边)三角形

D ．等边三角形

解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →

＝0，得∠BAC 的平分线垂直于BC . ∴AB ＝AC .而

AB →|AB →|·AC →|AC →

|

＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，