分段函数与映射
1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射2课件人教新课标
乙用户用水量为3x=4.5(吨)，
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).
22
1.分段函数
分段函数
概念
图象
求函数值
23
2.映射的“三性” ①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B 到A的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集 合B中都存在元素和它对应；
③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集 合B中和它对应的元素是唯一的.
d c c
e c
e， d， e.
19
3.函数
f (x)
2x x2 ,0 x 3，
x
2
6x,
2
x
0
的定义域是［__-_2_,_3_］__.
【解析】分段函数的定义域是各段定义域的并集，所
以此函数的定义域是［-2,3］.
20
4.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不
超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分
v/cm·s-1 30 25
20 15
10
解:v(t)=
t+10, (0 ≤ t<5) O 5 10 20 30 t/s 3t,(5 ≤ t＜10) 30,(10 ≤t ＜20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)
13
探究点2 映射
填写下图中的对应关系
（1)相应国家的首都 (2)求平方
【变式练习】
1.已知
x 3
f
(x)
f
(
f
(x
4))
, x 9, , x 9.
求 f 15,f 7 的值.
解：f 15 12,f 7 6
高中数学必修1集合与函数概念优质课件：分段函数与映射
分段函数的图象及应用 [例 2] (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域 为________，值域为________．
(2)已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． ①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域． (1)[解析] 由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为 [0,1)； 第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的 定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)． [答案] [－1,2] [－1,1)
[解] (1)A 中元素 3 在对应关系 f 的作用下与 3 的差的绝对 值为 0，而 0∉B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合 A 中任何一个元 素在集合 B 中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对 A 中任何一个元素，按照对应关系 f，在 B 中都有唯 一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．
[类题通法] 1．求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代 入该段的解析式求值．当出现 f[f(a)]的形式时，应从内到外依 次求值，直到求出值为止． 2．求某条件下自变量的值的方法 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相 应求出自变量的值，切记代入检验．
[对点训练] 已知 A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合 A 到集合 B 的映射 f： x→2xx＋1. (1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么？ (2)与 B 中元素49相对应的 A 中的元素是什么？
同理，x>3 时，函数的解析式为 y＝x－2(x>3)． 再设抛物线对应的二次函数解析式为 y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3， a<0)． ∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1. ∴1≤x≤3 时，函数的解析式为 y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)． 综上可知，函数的解析式为
分段函数及映射 课件
3.若函数f(x)=
x, x 0, x2, x 0,
则f(-2)=______.
【解析】∵-2＜0，∴f(-2)=(-2)2=4.
答案：4
1.对分段函数的三点认识 (1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对 应关系不一样. (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由 函数定义中的唯一性决定的. (3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线， 也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等.作图时， 要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示.
(1)解题过程中，当字母参数的取值有多种可能时，
题
启
要分类讨论，求出参数的值后要注意验证.
示
(2)审题要细，考虑问题要全面，避免不必要的失误.
【规范训练】(12分)已知函数
f
x
4x
x
2
x x
0，若f(m)=16， 0，
求m的值.
【解题设问】(1)此题需要分类讨论吗？_需__要__
(2)m与0的大小关系是m__<__0_或__m__≥_0
分段函数的图象和综合应用 【技法点拨】
1.作分段函数图象的注意点 求作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定 着图象在分界点(关键点)处的断开或连接，断开时要分清断开 处是实点还是空心圈. 2.利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言； (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型； (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.
【解题指导】
【规范解答】∵A中的元素x与B中的元素y=3x+1对应，……1分
∴A中的元素1，2，3，k对应B中的元素4,7,10,3k+1. ……3分
分段函数与映射 课件
又π>0,∴f(f(f(-3)))=f(π)=π+1,
即f(f(f(-3)))=π+1.
反思1.求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的
范围,再代入相应的解析式求得.
2.像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处
(1)A,B为非空集合;
(2)有对应关系f;
(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一确定的元素与之对
应.
(2)映射与函数的联系
名称
区别
与联系
区别
函数
函数中的两个集合 映射中的两个集合 A 和 B 可以是数
A 和 B 必须是非空 集,也可以是其他集合,只要非空即
数集
联系
映射
可
函数是一种特殊的映射;映射是函数概念的推广,但不一
理.
题型三
分段函数的图象及应用
【例 3】
如图所示,已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm,腰长
为 2 2 cm, 当垂直于底边BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯
形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x cm,试写出
左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式,并画出大致图象.
删去不要;③这两部分图象合起来就是所要画的分段函数的图象(如
图所示).
由此可得,画分段函数
1 (),∈1 ,
y= (),∈ , (D1,D2,…,两两的交集是空集) 的图象的步骤
2
2
……
为:
①画整个函数 y=f1(x)的图象,取其在区间 D1 上的图象,其他部
分段函数与映射 课件
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(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去．当 －2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0.
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(2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合 A，B均为__非_空__数__集___时，从A到B的映射就是函数，所以函数 一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
[归纳总结] 函数新概念，记准三要素；定义域值域，关 系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常 见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限．
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[解析] (1)集合A中的3，在f作用下得0，但0∉B，即3在集 合B中没有相对应的元素，所以f不是从集合A到集合B的映射．
(2)对于集合A中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于 集合A中任意一个负数都唯一对应元素0，所以f是从集合A到集 合B的映射．
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2．映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意_一__个____元素x， 在集合B中都有唯__一_确__定_____的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合_A__到集合_B__的一个映射． [归纳总结] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对 应．
分段函数及映射课件新人教A版必修
1.通过具体实例，了解简 1.分段函数求值．(重
单的分段函数，并能简单 点)
应用.
2.对映射概念的理解
2.了解映射的概念.
．(难点)
•1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
•解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
•(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形 式．
•【错解】 (1)、(2)、(3)、(4)
•(2)如图所示．
•在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， •在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， •在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分 ． •图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． •(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值 为6.
•[题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意 所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析 式求得． •(2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由 里到外”的顺序，层层处理．
•①令每个绝对值符号内的式子等于0，求出 对应的x值，设为x1，x2； •②把求出的x值标在x轴上，如图． •③根据x值把实轴所分的部分进行讨论，分 x≤x1，x1＜x≤x2，x≥x2.
•(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首 先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函 数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不 一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应 点的实虚之分．
•4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个 图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关 系的有( )
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
第一章 1.2.2 第2课时分段函数及映射
第2课时分段函数及映射学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念.知识点一分段函数思考设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y ＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对算不算函数？答案算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.梳理(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.知识点二映射思考设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.梳理映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.函数一定是映射，映射不一定是函数.类型一建立分段函数模型例1如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象.解 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ， 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎨⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示：反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20].由题意得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：类型二 研究分段函数的性质 命题角度1 给x 求y例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值.解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f (－5)＝－5＋1＝－4. ∵－3∈(－2,2)，∴f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23， ∵－52∈(－∞，－2]，∴f (－52)＝－52＋1＝－32∈(－2,2)，∴f (f (－52))＝f (－32)＝(－32)2＋2(－32)＝－34.引申探究例2中f (x )解析式不变，若x ≥－5，求f (x )的取值范围. 解 当－5≤x ≤－2时，f (x )＝x ＋1∈[－4，－1]； 当－2<x <2时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1∈[－1,8)； 当x ≥2时，f (x )＝2x －1∈[3，＋∞)；∴x ≥－5时，f (x )∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞). 反思与感悟 分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图象.解 (1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1. (2)f (x )的图象如下：命题角度2 给y 求x例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，x 2＋2，x >2.(1)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (2)解不等式f (x )>8.解 (1)当x 0≤2时，由2x 0＝8，得x 0＝4，不符合题意；当x 0>2时，由x 20＋2＝8，得x 0＝6或x 0＝－6(舍去)，故x 0＝ 6.(2)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，2x >8，①或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x 2＋2>8，②解①，x ∈∅，解②得x >6， 综合①②，f (x )>8的解集为{x |x >6}.反思与感悟 已知函数值求变量x 取值的步骤： (1)先对x 的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出x 的解；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来.跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示.(2)由于f (±12)＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞).(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1]. 类型三 映射的概念例4 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B 的一个映射.(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射.反思与感悟映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B 到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.跟踪训练4设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A 到B的映射的是()A.f：x→y＝x2B.f：x→y＝3x－2C.f：x→y＝－x＋4D.f：x→y＝4－x2答案 D解析对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.1.如图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A.3B.4C.5D.6 答案 A2.f (x )的图象如图所示，其中0≤x ≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f (x )的解析式是( )A.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2，0≤x ≤12，1<x <23，x >2B.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2，0≤x <12，1≤x <23，x ≥2C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2，0≤x ≤12，1<x ≤23，x >2D.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤12，1<x <23，x ≥2答案 D3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－1，x <0，则f (f (0))等于( )A.1B.0C.2D.－1 答案 C4.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A.－2或2B.2或－52C.－2D.2或－2或－52答案 C5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A.1B.0C.－1D.π答案 B1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况. 2.函数与映射的关系映射f ：A →B ，其中A 、B 是两个非空的集合；而函数y ＝f (x )，x ∈A ，A 为非空的数集，其值域也是数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.课时作业一、选择题1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )A.－4或－2B.－4或2C.－2或4D.－2或2答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.2.已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝0，nf (n －1)，n ∈N *，则f (5)的值是( ) A.4 B.48 C.240 D.1 440 答案 C解析 因为f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝0，nf (n －1)，n ∈N *，所以f (5)＝5f (4)＝5×4f (3)＝5×4×3f (2)＝5×4×3×2f (1)＝5×4×3×2×1×f (0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C. 3.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A.RB.[0，＋∞)C.[0,3]D.{x |0≤x ≤2或x ＝3}答案 D解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[－1，1]，x ，xD ∈/[－1，1]，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是( )A.∅B.[－1,1]C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.{2}∪[－1,1]答案 D解析 若x ∈[－1,1]，则f (x )＝2，f (f (x ))＝f (2)＝2，符合题意；若x >1，则f (x )＝x ，f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，此时只有x ＝2符合题意；若x <－1，则f (x )＝x ，f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，但因为x <－1，此时没有x 符合题意.综上，选D.5.若集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }，则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A.5 B.6 C.8 D.9答案 C解析 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，a →e ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，共8个.6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米答案 A解析 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ， x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米). 二、填空题7.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的定义域是________.答案 [0，＋∞)解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞).8.函数f (x )的图象如图，则函数f (x )的解析式为__________________.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2解析 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，代入(1,2)，得k ＝2， ∴f (x )＝2x .当1<x <2时，f (x )＝2， 当x ≥2时，f (x )＝3， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.9.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________. 答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.10.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________. 答案 (－∞，1]解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1. 画出图象为由图易得函数f (x )的值域为(－∞，1].三、解答题11.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解.解 ∵x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x >0， 当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1>0，所以舍去.当x >0时，由f (x )＝x 得x ＝2，∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫－32，f ⎝⎛⎭⎫12，f (4.5)，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12； (2)若f (a )＝6，求a 的值.解 (1)∵－32∈(－∞，－1)， ∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝－2×⎝⎛⎭⎫－32＝3. ∵12∈[－1,1]，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2. 又2∈(1，＋∞)，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝2×2＝4. ∵4.5∈(1，＋∞)，∴f (4.5)＝2×4.5＝9.(2)经观察可知a ∉[－1,1]，否则f (a )＝2.若a ∈(－∞，－1)，令－2a ＝6，得a ＝－3，符合题意；若a ∈(1，＋∞)，令2a ＝6，得a ＝3，符合题意.∴a 的值为－3或3.13.已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|.(1)求f (x )的值域；(2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围.解 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4；若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2；若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4].(2)f (x )>0，即⎩⎨⎧ x ≤－1，4>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤3，－2x ＋2>0② 或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，－4>0，③ 解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.∴f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1).(3)f (x )的图象如下：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点.四、探究与拓展14.著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 取有理数时，0，x 取无理数时， 则D [D (x )]等于( ) A.0B.1C.⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 取无理数时0，x 取有理数时 D.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 取有理数时0，x 取无理数时 答案 B解析 ∵D (x )∈{0,1}，∴D (x )为有理数，∴D [D (x )]＝1.15.如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式.解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.。
1.2.2-2 分段函数及映射》课件
(4)某影院的某场电影的每一张电影票都有唯一确定的 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
座位与它对应．
你还能说出一些对应的例子吗？
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1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，
有着不同的 对应关系 ，这样的函数通常叫做分段函
思路分析：由题目可获取以下主要信息： 人 教 Ａ 版 必 修 一 · 新 课 标 数 学 ·
①判断对应是否为映射；②用解析式给出了三个对应
关系． 解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元 素在B中是否都有唯一元素与之对应．
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解： ) 1 ( 集合A＝N中元素1在 对 应 关 系 为0， 而0∉N*，即A中元素1在 对 应 关 系 下 之对应， 故 不 是 映 射 ． ) 2 ( A中元素6在 对 应 关 系
答案：(－3,1)
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5． 已 知
x＋1 f(x)＝π 0
(x>0) (x＝0) ， 求 f{f[f(－ } ]) 3 (x<0)
．
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已 知 函 数
f(x)＝
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x＋2 (x≤－3) 2 x (－3<x<3)， 2x (x≥3) 求 f{f[f(－ } ]) 4 的值．
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|x|－x 已 知 函 数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 ) 1 ( 用 分 段 函 数 的 形 式 表 示 该 函 数 ； ) 2 ( 画 出 该 函 数 的 图 象 ； ) 3 ( 写 出 该 函 数 的 值 域 ．
分段函数与映射
分段函数与映射知识点一 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎨⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．知识点二 映射设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．,映射由三要素组成，集合A ，B 以及A 到B 的对应关系，集合A ，B 可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合． [小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( ) (2)分段函数由几个函数构成．( )2|x|≤1，2|x|>1，1 2B.413f f n＋5，n∵f⎝⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练1已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0，πx ＝0，0x <0，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0， ∴f (f (－1))＝f (0)＝π， ∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1.根据不同的取值代入不同的解析式．类型二 分段函数的图象及应用例 2 (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________；x|－x(－2<x≤2)．2①用分段函数的形式表示该函数；。
高中数学 1.2.2.2 分段函数及映射 新人教A版必修1
2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
分段函数的图象 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx 表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx 的值域
[规范作答] (1)当 0≤x≤2 时， f(x)＝1＋x－2 x
(3)先求定义域，在定义域上化简函数式 y＝xx2－－1x ＝x，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．其图象如下：
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_对__应__关__系__，则称这 样的函数为分段函数． 2．映射 设A、B是两个_非__空__的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个_元 素x，在集合B中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对 应，那么就称对应_f：__A__→__B为从集合A到集合B 的一个映射．
第2课时 分段函数及映射
1.通过具体实例，了解简 1.分段函数求值．(重
单的分段函数，并能简单 点)
应用.
2.对映射概念的理
2.了解映射的概念.
解．(难点)
1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
解析： 设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝t－2 12＋1.从而 f(x)＝x－2 12＋1. 答案： x－2 12＋1
课件4：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
∵a∈N，∴方程组①无解． 解方程组②，得 a＝2 或 a＝－5(舍)． 则 3k＋1＝16,3k＝15，k＝5. ∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
【例 4】 已知 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，又 A＝
2．理解映射概念时要注意的几点． (1)映射是函数的一种推广，两个集合 A，B，它们可以是数 集，也可以是点集或其他集合． (2)集合 A，B 及对应关系 f 是确定的，是一个系统． (3)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和 它对应． (4)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素可以是同 一个，即可以多个元素对应一个元素，但不能一个元素对应多 个元素． (5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以没有与之对应的，即集
【问题探究】 1．用图表示下列两个集合 A，B 的元素之间的一些对应关系． (1)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，对应法则：开 平方； (2)A＝{－3，－2，－1,1,2,3}，B＝{1,4,9}，对应法则：平方；
(3)A＝{30°，45°，60°}，B＝1，
22，
23，12，
其中 AB＝4，另一直角边为 12－x，
所以 y＝2(12－x)，x∈(8,12]．
综上所述，所求函数关系式是
2x y＝8
212－x
0≤x≤4， 4＜x≤8， 8＜x≤12.
题型 3 映射的概念 【例 3】 图 1-2-5 建立了集合 P 中元素与集合 M 中元素的 对应关系 f，其中为映射的是哪几个？为什么？
解析：本题的关键在于读懂题意，y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2 － 4≥－4，k∈B 且 k 在 A 中没有元素与之对应，则 k 的取值范 围为 k<－4.故选 A.
课件6：1.2.2 第2课时 分段函数及映射
典型例题
解：(1)∵－π＜－1，∴f(－π)＝－π＋2.
3 3
3
2 9
∵－1＜ ＜2，∴f2＝2 ＝ ＞2.
2
4
3
9
9 9
∴ff2＝f4＝2× ＝ .
4 2
典型例题
(2)分三种情况：
1
3
①当 a≤－1 时，则有 a＋2＝ ，解得 a＝－ 满足．
1.2.2 第2课时 分段函数及映射
情景导入
某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有
六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观
众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住
自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q
为12，K为13，其余的以牌上的数字为准，
情景导入
然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自
己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告
诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准
确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？
知识梳理
知识点1
分段函数
对于自变量x的不同取值区间，有着不同的___________.
对应法则
知识点2
映射
映射是特殊的对应，其特点是：
①映射包括_________________________________，
集合A、B以及A到B的对应法则f
三者缺一不可．
知识梳理
②映射中集合A，B可以是数集，也可以是点集或其
它集合，同时两个集合必须有先后次序，从集合A到
集合B的映射与集合B到集合A的映射是不同的．
知识梳理
③对于一个从A到B的映射而言：A中的每一个元素在B
第一章 1.2 1.2.2 第二课时 分段函数与映射
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解：因为 260÷ 52＝5 (h)，260÷ 65＝4 (h)， 所以，当 0≤t≤5 时，s＝52 t； 当 5<t≤6.5 时，s＝260； 当 6.5<t≤10.5 时，s＝260＋65(t－6.5)． 52t，0≤t≤5， 所以 s＝260，5<t≤6.5， 260＋65t－6.5，6.5<t≤10.5.
因为 ABCD 是等腰梯形， 底角为 45° ，AB＝2 2 cm， 所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm. 又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.(2 分)
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[名师批注]
(1)当点 F 在 BG 上时， 1 2 即 x∈[0,2]时，y＝ x ；(4 分) 2
此时，l左侧的部分为等腰直 角三角形△BFE.
分段函数与映射
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分段函数 [提出问题]
某市空调公共汽车的票价按下列规则判定： (1)5 千米以内，票价 2 元； (2)5 千米以上，每增加 5 千米，票价增加 1 元(不足 5 千米的按 5 千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距 1 千米，沿途(包括 起点站和终点站)有 11 个汽车站．
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[解题流程] 求线l左边部分的面积y关于x的解析式 (1)欲求l 左侧的面积，应先确定形状(2)l在 AB之间，l在DC之间时，其左 侧的形状不
同，应分类讨论
l自左向右移动→确定l左侧图形形状→求图 形面积→建立所求函数解析式→画图像
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[规范解答] 过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H.
映射的定义
设A、B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的对应 关系f，使对于集合A中的 任意一个 元素x，在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集 合A到集合B的一个映射．
分段函数与映射 课件
知识点二 映射 映射的定义：设A、B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合A中的 任意一个 元素x，在集合B中都有 唯一确定 的元 素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射. 思考 函数与映射有何区别与联系？ 答 函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射， 但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数.
题型一 分段函数求值 x＋1，x≤－2，
例 1 已知函数 f(x)＝x2＋2x，－2＜x＜2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，f[f(－52)]的值； 解 由－5∈(－∞,－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞,－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
题型四 求某一映射中的像或原像
例4 设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，
y)→(x－y，x＋y).
(1)求A中元素(－1,2)的像；
解 A中元素(－1,2)在B中对应的元素为(－1－2，－1＋2)，即A中元素(－1,2)
的像为(－3,1).
(2)求B中元素(－1,2)的原像.
从B到A可以建立9个映射，如图所示.
(2)若f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则从A到B的映射中满足条件的映射有几个？ 解 欲使f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，需a，b，c中有两个元素对应－1，一个元 素对应2，共可建立3个映射. 反思与感悟 1.如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集 合A到集合B的映射共有nm个，从B到A的映射共有mn个. 2.映射带有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的.
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练习5、 已知集合A={a,b}，集合B={0,1}. （1）试建立一个从集合A到集合B的映射？ （2）一共可建立多少个从集合A到集合B的 映射？
3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20
x
思考：比较两个表达式，他们有什么特点？
y=
x ， x≥0 -x ，x<0
2, 0<x ≤ 5
y=
3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20
特点：
当自变量x在不同取值范围时，对应关系也不同， 式子都是分段表示，并且表达式与x取值范围用 逗号隔开。
若f(x)=3, 则x的值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
二、映射
1.集合A={全班同学},集合B={全班同学的姓},对应关系是: 集合A中的每一个同学在集合B中都有一个属于自己的姓. 2.A={中国,美国,英国,日本},B={北京,东京,华盛顿,伦敦} 对应关系是:对于集合A的每一个国家,在集合B中都有一 个首都与它对应. 3.设集合A={0,-3,2,3,-1,-2,1},集合B={9,0,4,1,5},对应关系 是:集合A中的每一个数,在集合B中都有其对应的平方数.
设某线路总里程20公里，请根据题意，写出票价与里 程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
2, 0<x ≤ 5
y=
3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15
5, 15 < x≤20
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y
5
○
4
○
3○
2○
1
0 5 10 15 20
2, 0<x ≤ 5
y=
法则，但它是一个函数；
（3）若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应 法则的值域，则D1∩ D2 ≠φ也能成立。 A 1个 B 2个 C 3个 D 0个
练习2：
2x 3 x 1
已知函数
f
x
x
2
1 x 1
x
x 1
求f(f(f(-2)))
思考交流
3、已知函数f (x)=
x+2, x≤－1 x2, －1＜x＜2 2x, x≥2
思考：这三个集合有什么共同点？
共同的特点:第一个集合中的每一个元素, 在第二个集合中都有唯一的对应元素.
一、映射的定义:
两个集合存在着对应关系f,而且对A中的每一个 元素x,B中总有唯一的元素y与它对应 ,就称这种 对应为从A到B的映射 记作f : A B
二、函数与映射的区别和联系: 函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空 数集的映射。
练习4、如何判断一个对应关系是不是映射？(一) Biblioteka 平方39-3
2
4
-2
(二)
加上2
1
3
2
4
3
5
(三) 求平方
1
-1
1
2
-2
4
(四) 1
2
乘以2 1 2 3 4
映射f:A→B，可理解为以下几点：
1、映射要素2+1：两个集合、一个对应法则， 2、A中每个元素在B中必有惟一的元素和它对应 3、A中元素与B中元素的对应关系，可以是：
分段函数与映射
例1 请画出函数 y | x | 的图像:
解: 由绝对值的意义,有
y=
x x≥0 -x x<0
y
4 3 2 1
-1 0 1 2 3 x
例2.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不 足5公里的按5公里计算）。
分段函数
一个函数在它的定义域中，对于自变量x的不 同取值范围，对应关系不同，这种函数称为分段函 数。
注意
1、分段函数是“一个函数”,不是几个函数。
2、分段函数的定义域是自变量各分段的并集。
3、函数图象不一定是光滑曲线（直线）， 还可以是一些孤立的点、一些线段、一段曲 线等。
练习1、以下叙述正确的有（ ） (1)分段函数的定义域是各段定义域的并集 (2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应