笛卡尔积和二元关系课件(离散数学).
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学集合的笛卡儿积与二元关系
例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
22
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关系的基本运算定义（续）
定义 设F、G为任意的关系，A为集合，则
逆与合成 F1 = {<y,x> | <x,y>F} F∘G = |<x, y> | z (<x, z> G < z, y > F) }
10
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(2)(AB)(C D)=(AC)(B D) 解：不成立，若A=D= B=C= {1} 则有： (AB)(C D)= B C={<1,1>}
(3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)
解：不成立， A=B={1} C={2} D={3}
(A-B)(C-D)= (AC)-(BD) = {<1,2>} {<1,3>}={<1,2>}
不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
6
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23
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合成运算的图示方法
利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>} S∘R ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
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关系的基本运算定义（续）
定义 设F、G为任意的关系，A为集合，则
逆与合成 F1 = {<y,x> | <x,y>F} F∘G = |<x, y> | z (<x, z> G < z, y > F) }
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(2)(AB)(C D)=(AC)(B D) 解：不成立，若A=D= B=C= {1} 则有： (AB)(C D)= B C={<1,1>}
(3)(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)
解：不成立， A=B={1} C={2} D={3}
(A-B)(C-D)= (AC)-(BD) = {<1,2>} {<1,3>}={<1,2>}
不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn
6
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合成运算的图示方法
利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>} S∘R ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
4.1 笛卡尔积与二元关系4.2 关系的运算
.
17
包含关系: R={<x,y>| x,y∈A∧={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 除此以外,还可以构成其他关系:
1
26
A上的关系数目为 ,这个数目往往是很大的, 而我们通常关注的是其中少量的有特殊含义的关 系. 如EA,IA,整除,小于等于,包含等 3 关系的表示方法. 1)集合表达式 2)关系矩阵 3)关系图 2 接下来的课程,我们将学习关系的运算,关系的性质等.
27
作业（清华版）
28
7.3 关系的运算
关系矩阵表示从A到B的关系
关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R 是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的 关系或者A上的关系
3)R的域fidR: R的定义域和值域的并集
fldR=domR∪ranR
例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则
domR={1, 2, 4}
ranR={2, 3, 4}
fldR={1, 2, 3, 4}
30
关系的基本运算定义（续）
1)关系的逆 R的记作 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R 求关系的逆就是把其中的有序对颠倒过来 .
离散数学二元关系与运算 ppt课件
= {，{1}，{2}，{1,2}} {1,2} = {<,1>，<,2>，<{1},1>，<{1},2>，
<{2},1>，<{2},2>， <{1,2},1>，<{1,2},2>} n阶笛卡儿积：
A1 A2 …An = {(x1,x2,… xn) | x1A1x2A2 …xnAn}
3、二元关系的数学定义
(2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA
(3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC) 因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中 的元素为< x, <y, z> > 。
(4) A(B∪C) = (AB)∪(AC) (对∪的分配律)
(B∪C)A = (BA)∪(CA)
解： 关系矩阵 ：
1100 0011 0000 0100
关系图 ：
1
2
4
3
§4.2 关系的运算
一、关系的定义域与值域
关系R的定义域： domR = {x | (y)<x, y>R} (即R中有序组的第一个元 素构成的集合)
关系R的值域：
ranR ={y | (x)<x, y>R} (即R中有序组的第二个元 素构成的集合)
AA的所有子集有2 n 2 个。 就是说，A上有2 n 2个不同的二元 关系，其中包括空关系、全域 关系UA和恒等关系IA。
例4.3 设A = {a,b}，写出P(A)上的包含关系R ：
解： P(A) = {,{a},{b}{a,b}} R = {<, >, < ,{a}>, <{,{b}>,<{a, b}>, <{a},{a}>,<{a},{a, b}>, <{b},{b}>, <{b},{a, b}>, <{a, b},{a, b}>}
<{2},1>，<{2},2>， <{1,2},1>，<{1,2},2>} n阶笛卡儿积：
A1 A2 …An = {(x1,x2,… xn) | x1A1x2A2 …xnAn}
3、二元关系的数学定义
(2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA
(3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC) 因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中 的元素为< x, <y, z> > 。
(4) A(B∪C) = (AB)∪(AC) (对∪的分配律)
(B∪C)A = (BA)∪(CA)
解： 关系矩阵 ：
1100 0011 0000 0100
关系图 ：
1
2
4
3
§4.2 关系的运算
一、关系的定义域与值域
关系R的定义域： domR = {x | (y)<x, y>R} (即R中有序组的第一个元 素构成的集合)
关系R的值域：
ranR ={y | (x)<x, y>R} (即R中有序组的第二个元 素构成的集合)
AA的所有子集有2 n 2 个。 就是说，A上有2 n 2个不同的二元 关系，其中包括空关系、全域 关系UA和恒等关系IA。
例4.3 设A = {a,b}，写出P(A)上的包含关系R ：
解： P(A) = {,{a},{b}{a,b}} R = {<, >, < ,{a}>, <{,{b}>,<{a, b}>, <{a},{a}>,<{a},{a, b}>, <{b},{b}>, <{b},{a, b}>, <{a, b},{a, b}>}
集合的笛卡尔积集.ppt
覆盖
设(A，≺ )是一个偏序集， A是一个有限集，|A|=n。 对于任意的x，y∊A，且x≠y， 假设(x, y) ∊≺，即 x ≺ y。 如果对于∀z∊A，
由x ≺ z，且 z ≺ y，一定能够推出x=z或y=z， 那么我们说 y覆盖x。
例
A={1, 2, 3, 4} ≺={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
⋯⋯⋯
({ e }, ≺)
反链? 链?
全序集
设(A，≺)是一个偏序集， 如果它本身就是一条链， 那么称之为全序集，并称≺ 为全序关系。
例 A={ a, b, c, d, e}
d c
e b
a
d
c e
b a
≺={ (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (c,d), (e,d) }
✘✔ ✘ ✔
d
j
k
h
4
c
e
h
i
e
f
g
2
3b
f
g
b
c
d
1
a
bc de
a
a
图7.３(a)
(b)
(c)
(d)
命题 一个有限格，一定有最小元和最大元。
(1) 用数学归纳法证明一定有最小元如下： 设(A，≺)是一个有限格，记|A|=n。 当n=1时，结论显然成立。 归纳假设当n=k时，结论成立。考察n=k+1的情况： 不妨记 A={a1,…,ak, ak+1}=A’∪{ak+1} , 这里A’={a1,…,ak}, |A’|=k。 显然，(A’，≺)也是一个有限格 由归纳假设知道， (A’，≺)有最小元，不妨记之为d。 因为(A，≺)是一个格， 则A中存在d与ak+1的最大下界glb(d,ak+1), 可以说明它即为(A，≺)的最小元。
离散数学 二元关系
2019/3/20 14
<x,y>R xRy 也称之为x与y有Ｒ关系。 后缀表示 中缀表示
<x,y>R xRy 也称之为x与y没有Ｒ关系。
例3. R是实数集合，R上的几个熟知的关系
≤ ≥ =
y x2+y2=4
x
从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合 (构成线、面)。
2019/3/20 15
作业 P105 ⑵
2019/3/20 12
4-2 关系及其表示法
相关 按照某种规则，确认了二个对象或多个
对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相 关的。
例1： 大写英文字母与五单位代码的对应关系R1: 令α={A,B,C,D,…Z}
β={30,23,16,22,…,21}是五单位代码集合
β={11000, 10011, 01110, 10010,…, 10001} R1={<A,30>,<B,23>,<C,16>,...,<Z,21>}α×β
2019/3/20
AB (CACB)。
9
5) 设A、B、C、D为非空集合，则 ABCDAC∧BD 证明：首先,由ABCD 证明AC∧BD 任取xA，任取yB，所以 xAyB<x,y>A×B <x,y>C×D (由ABCD ) xCyD 所以, AC∧BD。 其次, 由AC，BD 证明ABCD 任取<x,y>A×B xAyB xCyD (由AC，BD) <x,y>C×D 所以, ABCD 证毕。
2019/3/20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ16
关系的表示方法 枚举法： 即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内。 如R ={ <1,1>,<1,2>,<1,3>, <1,4>, <2,2>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,4>} 。 谓词公式法： 即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间 的关系。例如 R={<x,y>|x<y} 有向图法： RA×B,用两组小圆圈(称为 结点)分别表示A和B 的元素，当<x,y>R时，从x到y引一条有向弧 (边)。这样得到的图形称为R的关系图。
<x,y>R xRy 也称之为x与y有Ｒ关系。 后缀表示 中缀表示
<x,y>R xRy 也称之为x与y没有Ｒ关系。
例3. R是实数集合，R上的几个熟知的关系
≤ ≥ =
y x2+y2=4
x
从例3中可以看出关系是序偶(点)的集合 (构成线、面)。
2019/3/20 15
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2019/3/20 12
4-2 关系及其表示法
相关 按照某种规则，确认了二个对象或多个
对象之间有关系，称这二个对象或多个对象是相 关的。
例1： 大写英文字母与五单位代码的对应关系R1: 令α={A,B,C,D,…Z}
β={30,23,16,22,…,21}是五单位代码集合
β={11000, 10011, 01110, 10010,…, 10001} R1={<A,30>,<B,23>,<C,16>,...,<Z,21>}α×β
2019/3/20
AB (CACB)。
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5) 设A、B、C、D为非空集合，则 ABCDAC∧BD 证明：首先,由ABCD 证明AC∧BD 任取xA，任取yB，所以 xAyB<x,y>A×B <x,y>C×D (由ABCD ) xCyD 所以, AC∧BD。 其次, 由AC，BD 证明ABCD 任取<x,y>A×B xAyB xCyD (由AC，BD) <x,y>C×D 所以, ABCD 证毕。
2019/3/20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ16
关系的表示方法 枚举法： 即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号内。 如R ={ <1,1>,<1,2>,<1,3>, <1,4>, <2,2>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,4>} 。 谓词公式法： 即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素间 的关系。例如 R={<x,y>|x<y} 有向图法： RA×B,用两组小圆圈(称为 结点)分别表示A和B 的元素，当<x,y>R时，从x到y引一条有向弧 (边)。这样得到的图形称为R的关系图。
离散数学 二元关系与函数
三、二元关系的定义
如果一个集合满足以下条件之一： 定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空 且它的元素都是有序对 ）集合非空, （2）集合是空集 ） 则称该集合为一个二元关系 简称为关系 记作R. 二元关系, 关系， 则称该集合为一个二元关系 简称为关系，记作 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果 ∈ ；如果<x,y>∉R, 则记作 y ∉ 则记作x 实例： 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 是二元关系, 不是有序对时， 不是二元关系 是二元关系 不是有序对时 根据上面的记法， 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
12
1、从A到B的二元关系与 上的二元关系 、 的二元关系与A上 到 的二元关系与
是两个集合， 是笛卡尔乘积 × 的子集，则称R 定义 A和B是两个集合，R是笛卡尔乘积 A×B 的子集，则称 和 是两个集合 为从A到 的一个二元关系 的一个二元关系。 为从 到B的一个二元关系。 例如： 例如：A={a1,a2,a3,a4,a5} ， B={b1,b2,b3} 的二元关系。 若 R={(a1,b1),(a2,b1),(a4,b3)}，那么R就是一个从A到B的二元关系。 ，那么R就是一个从A 也可写作a 并称a 相关。 对于R中的元素（ 相关 对于 中的元素（a1,b1） R ，也可写作 1Rb1 ，并称 1 , b1 以R相关。 中的元素 ∈ 对于不属于R的有序对，如（a5,b2） R，也可写作 5 对于不属于 的有序对， 的有序对 ∉ 也可写作a 并称a 不以R相关 相关。 并称a5 ,b2 不以 相关。 A上二元关系的一般定义： 上二元关系的一般定义： 上二元关系的一般定义 是集合， 定义 A是集合，R1是笛卡尔乘积 A×A 的子集，则称R1为A上的二元关系 × 的子集，则称R 上的二元关系 上的一个二元关系。 例如： ，那么R 上的一个二元关系 例如：A={a,b,c,d,e}，R1 ={(a,b), (c,a), (b,b)}，那么 1是A上的一个二元关系。 ， 由此可知， 的二元关系R就是笛卡尔乘积 × 的一个子集， 由此可知，从A到B的二元关系 就是笛卡尔乘积 A×B 的一个子集， 到 的二元关系 上的二元关系R 而A上的二元关系 1就是笛卡尔乘积 ×A 的一个子集 上的二元关系 就是笛卡尔乘积A× 的一个子集.
离散数学 二元关系 PPT课件
7.2.1 二元关系的基本定义
▪ 常见的几种特殊的二元关系
▪≤ ≥ ＜ ＞ ＝ ▪| ▪ 集合之间的关系 ： ＝ ≠
2020/7/15
20
计算机科学学院 刘芳
7.2.2 二元关系的表示
1.集合表示法
2.关系矩阵(matrix of relation)
▪ 设A＝{a1,a2,…,am} ，B＝{b1,b2,…,bn}，R是A到B的一个二
所以， （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）成立。
2020/7/15
11
计算机科学学院 刘芳
7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
定义：
▪ n个元素x1，x2，…，xn组成的有序序列,记做：
＜x1,x2,…,xn＞
▪ 称为n重组（n元序偶、n元组）。
约定:
▪ ＜x1，x2，…, xn-1, xn＞= ＜<x1，x2，… ,xn-1 >,xn＞
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
2020/7/15
28
计算机科学学院 刘芳
7.2.2 二元关系的表示
关系的表示方法
▪ 关系R的集合表达式 ▪ 关系矩阵MR ▪ 关系图GR
三者均可以唯一相互确定。
2020/7/15
29
计算机科学学院 刘芳
7.3 关系的运算
7.3.1 关系的定义域、值域 和 域
例:
▪ (1) R＝{<x,y> | x,yN, x＋y＜3}
＝{<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>}
▪ (2) C＝{<x,y> | x,yR, x2＋y2＝1}
▪ 常见的几种特殊的二元关系
▪≤ ≥ ＜ ＞ ＝ ▪| ▪ 集合之间的关系 ： ＝ ≠
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计算机科学学院 刘芳
7.2.2 二元关系的表示
1.集合表示法
2.关系矩阵(matrix of relation)
▪ 设A＝{a1,a2,…,am} ，B＝{b1,b2,…,bn}，R是A到B的一个二
所以， （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）成立。
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7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
定义：
▪ n个元素x1，x2，…，xn组成的有序序列,记做：
＜x1,x2,…,xn＞
▪ 称为n重组（n元序偶、n元组）。
约定:
▪ ＜x1，x2，…, xn-1, xn＞= ＜<x1，x2，… ,xn-1 >,xn＞
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
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计算机科学学院 刘芳
7.2.2 二元关系的表示
关系的表示方法
▪ 关系R的集合表达式 ▪ 关系矩阵MR ▪ 关系图GR
三者均可以唯一相互确定。
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7.3 关系的运算
7.3.1 关系的定义域、值域 和 域
例:
▪ (1) R＝{<x,y> | x,yN, x＋y＜3}
＝{<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>}
▪ (2) C＝{<x,y> | x,yR, x2＋y2＝1}
离散数学2二元关系
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5)AC ∧ BD A×B C×D
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)的证明
任取 <x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A ∧ y∈B∪C x∈A ∧ (y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B) ∨ (x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B ∨ <x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。 （2）当A≠且B≠时，也有AC和BD成立，证明如下：
任取x∈A，由于B≠,必存在y∈B,因此有 x∈A∧y∈B
<x,y>∈A×B <x,y>∈C×D x∈C∧y∈D x∈C 从而证明了 AC。 同理可证 BD。
关于AC∧BD A×BC×D的讨论
该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （3）当A＝而B≠时，有AC成立，但不一定有BD成立。
反例：令A＝,B＝{1},C＝{3},D＝{4}。 （4）当A≠而B＝时，有BD成立，但不一定有AC成立。
反例略。
例7.2
例7.2 设A={1,2},求P(A)×A。
解答 P(A)×A ＝ {,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ＝ {<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}
《二元关系》课件
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5 2019/5/30
第五节 关系的闭包(1)
我们希望某个关系具有比较好的性质，比如我 们希望它具有自反性，对称性，传递性.但如 果该关系又不具有上述性质，那么我们就要对 该关系进行适当的改造，即在该关系中适当添 加一些元素得到一个新的关系，使这个新关系 具有我们需要的性质，同时新关系与原来的关 系不要相差得太多，这样就要求我们添加的元 素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加 元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的 闭包，我们通常考虑关系的三种闭包，即自反 闭包，对称闭包，传递闭包.
3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1);
4.偏序集中的一些特殊元素,如最大、最小元,极 大、极小元,上界、下界等;
5.一些特殊的偏序关系,如全序关系,良序关系等.
9
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2019/5/30
第八节 映射
映射是高等数学中所研究的单值函数的 推广，因此映射也称为函数，这里我们 把映射视为一种特殊的二元关系,内容 有:
第二章 二元关系
本章讨论的关系是我们通常的诸 如大小关系、整除关系、上下级 等关系的共同的数学模型，掌握 关系运算极其关系运算的性质、 实际意义.深入理解关系、关系图、 关系矩阵之间的联系，熟练地掌 握两类特殊的关系—等价关系与 偏序关系；熟练地用Warshall算 法求关系的传递闭包；理解映射 的意义，本章为第三、六、七章 的基础.
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
离散数学第四章二元关系和函数
③ F在A上的限制记作FA= {<x,y>|xFyxA}; ④ A在F下的象F[A]=ran(FA).
例题
1. 设F,G是N上的关系,其定义为 F={<x,y>|x,yNy=x2}; G={<x,y>| x,yNy=x+1}, 求G-1,FoG,F{1,2},F[{1,2}]
2. 解:
① G-1={<1,0>,<2,1>,<3,2>,...,<x+1,x>,...}; ② z((z=x+1)y=z2)
① <<x,y>,z>(AxB)xC, <x,<y,z>> Ax(BxC), <x,<y,z>> (AxB)xC.
笛卡儿积运算具有的性质(2)
1. 笛卡儿积运算对或运算满足分配律, Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA) Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA)
2. domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
3. 图解方法
1
0
-1
R2
domR2
1 0 -1
ranR2
逆、合成、限制和象
1. 定义4.9: 设F,G为任意的关系,A为集合,则
① F的逆记作F-1, F-1={<x,y>|yFx}; ② F与G的合成记作FoG={<x,y>|z（xGzzFy）};
0100 1010 . 0001 0000
例题
1. 设F,G是N上的关系,其定义为 F={<x,y>|x,yNy=x2}; G={<x,y>| x,yNy=x+1}, 求G-1,FoG,F{1,2},F[{1,2}]
2. 解:
① G-1={<1,0>,<2,1>,<3,2>,...,<x+1,x>,...}; ② z((z=x+1)y=z2)
① <<x,y>,z>(AxB)xC, <x,<y,z>> Ax(BxC), <x,<y,z>> (AxB)xC.
笛卡儿积运算具有的性质(2)
1. 笛卡儿积运算对或运算满足分配律, Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA) Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA)
2. domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
3. 图解方法
1
0
-1
R2
domR2
1 0 -1
ranR2
逆、合成、限制和象
1. 定义4.9: 设F,G为任意的关系,A为集合,则
① F的逆记作F-1, F-1={<x,y>|yFx}; ② F与G的合成记作FoG={<x,y>|z（xGzzFy）};
0100 1010 . 0001 0000
两个关系笛卡尔积
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质(略) 4.7 函数的复合和反函数(略)
1
4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
10
从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有2 个 n2 . 所以 A上有 2n2个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
3). 真.可由等量代入的原理证得. 4). 真.当A = 时, 有: A A A成立.
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质(略) 4.7 函数的复合和反函数(略)
1
4.1 集合的笛卡儿积和二元关系
有序对
笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
10
从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上 的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有2 个 n2 . 所以 A上有 2n2个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
3). 真.可由等量代入的原理证得. 4). 真.当A = 时, 有: A A A成立.
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
离散数学第五版第四章(耿素云屈婉玲张立昂编著) ppt课件
证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3}
(AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>}
(A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>}
所以：等式不成立 （3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)
证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}
(A-B)×(C-D)=
(xAyB) (xAyC)
<x,y>A×B <x,y>A×C
<x,y>(A×B)(A×C) PPT课件
9
4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (4)（BC）×A= (B×A)(C×A）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>（BC）×A
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24
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例5：设A={a,b}，R是P(A)上的包含关系， R={<x,y>|x,yP(A)xy}
解：P(A)={,{a},{b},{a,b}} R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>, <{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
PPT课件
16
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例4：设A,B,C,D为任意集合，判断真假。 （1）A×B=A×CB=C 证明：若A=，B={1}，C={2} 则A×B=A×C=，而BC。 所以：命题真假不定
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17
4-3 二元关系与函数 离散数学 教学课件
闭包 Nhomakorabea构造方法举例
设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为： R={1,2,2,3,3,1}
试求：r(R)，s(R)，t(R) 解：继续这个运算，则有
R = R4= R7= … =R3n+1= … ={1,2,2,3,3,1} R2= R5= R8= … =R3n+2= … ={1,3,2,1,3,2} R3= R6= R9= … =R3n+3= … ={1,1,2,2,3,3}=IA 其中：n是任意的自然数。 t(R)=R∪R2∪R3∪…
= R∪R2∪R3 ={1,1, 1,2, 1,3, 2,1>, 2,2, 2,3,
3,1,3,2,3,3}
闭包的构造方法（矩阵法）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr , Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … 说明:E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意:在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
传递闭包t(R)的矩阵构造方法举例
0 1 00 1 0 0 0 1
M R2M RM R0 0 10 0 11 0 0
1 0 01 0 0 0 1 0
0 010 1 0 1 0 0
M R3M R2M R1 0 00 0 10 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
Mt(R) MR MR2 MR3 1 1 1
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
设A={1,2,3}，定义A上的二元关系R为： R={1,2,2,3,3,1}
试求：r(R)，s(R)，t(R) 解：继续这个运算，则有
R = R4= R7= … =R3n+1= … ={1,2,2,3,3,1} R2= R5= R8= … =R3n+2= … ={1,3,2,1,3,2} R3= R6= R9= … =R3n+3= … ={1,1,2,2,3,3}=IA 其中：n是任意的自然数。 t(R)=R∪R2∪R3∪…
= R∪R2∪R3 ={1,1, 1,2, 1,3, 2,1>, 2,2, 2,3,
3,1,3,2,3,3}
闭包的构造方法（矩阵法）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr , Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … 说明:E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意:在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
传递闭包t(R)的矩阵构造方法举例
0 1 00 1 0 0 0 1
M R2M RM R0 0 10 0 11 0 0
1 0 01 0 0 0 1 0
0 010 1 0 1 0 0
M R3M R2M R1 0 00 0 10 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1
Mt(R) MR MR2 MR3 1 1 1
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
【免费下载】41 集合的笛卡儿积和二元关系42关系的运算
任课教师 及职称
课时安排
第 2 次课
唐新华 讲师
2 课时
山东政法学院教案模版
有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1 元组，即 <x1, x2, …, xn> = < <x1, x2, …, xn-1>, xn>
实例 ：空间直角坐标系中的坐标 <3，5，－6> n 维向量是有序 n 元组.
当 n=1 时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组. 笛卡儿积 定义 设 A, B 为集合，用 A 中元素为第一个元素，B 中元素为第二个元素，构成有序对. 所有这样的有序对组成的集合叫做 A 与 B 的笛卡儿积
二元关系的定义 定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作 R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作 x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R 是二元关系, 当 a, b 不是有序对时，S 不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
授课时间
授课章节
教学方法 与手段
使用教材和 主要参考书
第七周
4. 1、2 集合的笛卡儿积和二元关系
板书和电子课件结合
山东政法学院教案模版
1、教材： 耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008 2.参考书
左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006
教学与目的要求：
掌握序偶与笛卡尔积的基本概念，并能够计算集合的笛卡尔积；掌握关系、二元关系、 空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的概念，关系的表述方法，掌握关系、 二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的性质，能够判定关系的 性质（等价关系或偏序关系）
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三、二元关系
定义：A是集合，R是笛卡尔乘积A×A的子 集，则称R为A上的二元关系。 当|A|=n时, A上有多少个不同的二元关系？
|A×A|=n2 A×A的子集有 2 个
n2
n2
所以，A上有 2 个不同的二元关系
2018/11/23
16
三、二元关系
定义： 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记 作R。如果<x,y>∈R, 记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作xRy。
B到A的笛卡尔乘积B×A
BA ={ <x,y> | xB yA }
2018/11/23 5
二、笛卡儿积
例1： A={1,2,3}, B={a,b,c}
ABBA
AB={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>, <2,c>,< 3,a>,<3,b>,<3,c>} BA={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,
A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA)
A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA)
思考: A (B C)=(A B) (A C)成立吗? P(A) P(A) =P(A A)成立吗?
2018/11/23 11
12
二、笛卡儿积
例5：设A、B为任意集合， 证明：若 AA=BB,则A=B。 证：对于任意的x，
x A x, x A A x, x B B x B x B x, x B B x, x A A x A
A B且B A，即A B
2018/11/23 7
二、笛卡儿积
当| A | = m,| B | = n时, | A× B | = m × n 特别的，当A = B时，A×A称为集合A上的 笛卡尔乘积，也可简写作A² 。 | A×A | = n2
2018/11/23 8
二、笛卡儿积
例3：设A={a,b},B={0,1},C={}。试求出A×A, A×B,B×A, (A×B)×C, A× (B×C) A×A={<a,a>,<a,b>,<b,b>,<b,a>} A×B={<a,0>,<a,1>,<b,0>,<b,1>} B×C={<0, >,<1, >} (A×B)×C={< <a,0>, >, < <a,1>, >, < <b,0>, >, < <b,1> , >} A×(B×C)={< a,<0, > >, <a, <1, > >, <b, <0, > >, < b,<1, > >}
2018/11/23 9
二、笛卡儿积
笛卡儿积的性质：
1. 2. 3. 4.
A=B= 当AB, A, B时， ABBA 当A, B时， (AB)CA(BC)
A C B D A B C D
2018/11/23
10
二、笛卡儿积
5.
对于并或交运算满足分配律
<c,2>,<a,3>, <b,3>,<c,3>}
2018/11={, {}}, 则A P(A)。 P(A)={, {},{{}},{, {}} } A P(A)={< , >,< ,{}>,< ,{{}}>, < ,{, {}} >,<{}, > , < {},{}>,<{},{{}}>, < {},{, {}} >}
2018/11/23 13
三、二元关系
定义：A和B是两个集合,R是笛卡尔乘积A×B
的子集，则称R为A到B的一个二元关系。
e.g. A = {a1,a2,a3,a4,a5} ,B = {b1,b2,b3}， R = {<a1,b1>,<a2,b1>,<a4,b3>}是A到B的一 个二元关系。
<a1,b1>可以写作a1Rb1 ,称a1,b1以R相关。
<x,y> 与 <u,v> 相等的充要条件是： <x,y>=<u,v> x=u y=v
2018/11/23 4
二、笛卡儿积
定义：设A和B是两个集合，A到B的笛卡尔 乘积用A×B表示，它是所有形如<a,b>的有
序对作为元素的集合，其中 a A, b B 。
AB ={ <x,y> | xA yB }
二、笛卡儿积
例4：(1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否能推出A=BC=D?为什么？ 解： (1) 任取<x,y>
<x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD
2018/11/23
(2) 不一定。 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.
2018/11/23 17
三、二元关系
引例：A={a,b}, B={4,5,8} R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>} R2={<a,a>,<b,b>}
恒等关系
=A×A
R3={<4,4>,<4,5>,<4,8>,<5,5>,<5,8>} 小于等于关系 R4={<4,4>,<4,8>,<5,5>,<8,8>} 整除关系
第七章
二元关系
2018/11/23
1
7.1～7.2 笛卡儿积和二元关系
有序对 笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示
2018/11/23
2
引例中涉及的概念
有序对 关系
集合A上的关系 集合A到B的关系
2018/11/23
3
一、有序对
定义： 由两个客体 x 和 y，按照一定的顺序 组成的二元组称为有序对，记作<x,y> 有序性 一般情况下<x,y><y,x>
2018/11/23 14
三、二元关系
例6：列出从集合A={1,2}到B={1}的所有的 二元关系. 解：A×B的所有子集都是A到B的二元关系。 R1= , R2={<1,1>}, R3={<2,1>}, R4={<1,1>,<2,1>} 二元关系是一个集合，其元素是有序对。
2018/11/23 15