高等代数(高教版张禾瑞著)课件ppt版(第3章)
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i, j
1
, k1 , k 2 ,, k s , i, j,.
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列，其 中奇偶排列各占一半.即各为 n! 个。 2 证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列 共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换 i, j , 那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p 个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列, 所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶 排列,所以 p q. 同样可得 q p. 因此 p q. 例题选讲
, i , j , ,
其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 得
, j, i,,
A
B
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数 码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 i 列中， j, 那么经过对换 i, j 后，i与j就构成一个 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 i 增多一个。若在给定的排列中， j , 那么经过对换 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。
1 2 n
1
2
n
1 2
n
例1 我们看一个四阶行列式
a D 0 0 g 0 c e 0 0 d f 0 b 0 . 0 h
根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然而在这个 行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外， 其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上 面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其 中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排 列.因此
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
三、重点难点：
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
3.1.1
二阶行列式 我们用记号
D叫D的转置行列式。
引理3.3.1 从n阶行列式的第i1 , i2 ,, in 行和第j1 , j 2 ,, j n 列 取出元素作乘积 （3） ai j ai j ai j , 这里 i1 , i2 ,, in和j1 , j2 ,, jn 都是1，2，…，n
a 21 a31
a11a22 a33 a12 a 23 a31 a13 a21a32 a11a 23 a32 a12 a 21a33 a13 a 22 a31
称为三阶行列式, 即
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
主对角线法
‘—’三元素乘积取“+”号；
2
3.2 排列
一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换
3.2.2 奇、偶排列的定义及性质
二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义
三、重点难点
求反序数
3.2.1
排列、反序与对换
定义1 n个数码 1,2, n 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组. 例如: 1234，2314都是四个数码的排列。 n个数码的不同排列共有n！个 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6 个，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个 较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。 计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为 m1 个，那么就有 m1 个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 m2个，那么就有 m2个数 码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面， 设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个
, 这里
b1 b2 b3 a13 a11 a12 a 22 a32 b1 b2 b3
a13
a11
D1 b2 b3
a 23 , D2 a 21 a33 a31
a 23 , D3 a 21 a33 a31
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一 工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.
i1i2 in得出j1 j2 jn
证明:我们已经知道，通过一系列对换可以由 i1i2 in得出 no 我们只需证明， 12 通过一系列对换可由 12n得出j1 j2 jn ，
12 而通过一系列对换可以由 j1 j2 jn得出 n ，按照相反的次序施行这些对换，就可由 12n得出j1 j2 jn 。 定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变. 证明: 1 我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为 A B
第三章 行列式
3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列 3.3 n阶行列式 3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开 3.5 克拉默法则 课外学习6：行列式计算方法 课外学习7：q_行列式及其性质
能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、 和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于 这种人。 ――庞加莱(Poincare，1854－1921) 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人， 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）
a11 a 21 a11 a 21
.
(2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)
a11
a12 a22 a32
a13 a23 0 a33
他的系数作成的三阶行列式 D
a21 a31
,那么方程组(2)有解
x1
D1 D
b1
, x2
a12 a 22 a32
D2 D
, x3
D3 D
(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1) 它的系数作成的二阶行列式
b1 x1 b2 a11 a 21 a12 a 22 a12 a 22 , x2
a11 a21 a12 a22 0
,那么方程组(1)有解
b1 b2 a12 a 22
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
数码（显然 mn 0 ），那么这个排列的反序数等于 m1 m2 mn 。 例如：在排列451362里，m1 2, m2 4, m3 2, m4 m5 m6 0. 所以这个排列有8个序。 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个 反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇 排列。
D acfh adeh b deg bcfg.
转置
a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
一个n阶行列式
D
a21 an1
如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式
a11 D a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
3.2.2 奇、偶排列的定义及性质
定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里 的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不 动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的 这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j） 来表示。 定理3.2.1 设i1i2 in 和j1 j2 jn 是n个数码的任意两个 排列，那么总可以通过一系列对换由
2 现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我 们用 k1 , k 2 ,, k s 来代表。这时给定的排列为
（1） , i, k1 , k 2 ,, k s , j,. 先让i向右移动，依次与 k1 , k 2 ,, k s 交换。这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为 再让j向左移动，依次与 i, k s , ,, k 2 , k1 交换。经过s+1次 相邻的两个数码的对换后，排列变为 （2） j, k1 , k 2 ,, k s , i,. 但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此， 对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的 i, j 对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇 偶性相反。
定义2 用符号
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn
表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一 切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元 素的乘积 a1 j a1 j a1 j . 项 a1 j a1 j a1 j 的符号为 ( j j j ) (1) , 也就是说,当 j1 , j 2 , j n 是偶排列时,这 一项的符号为正,当 j1 , j2 , jn 是奇排列时,这一项的 符号为负.
例题选讲
例 计算
4 5 3 2
.
1
又如 , 设 D
2
3
, 试问
(1) 当 为何值时 D 0 ; (2) 当 为何值时 D 0 .
解:由阶行列式的定义有:
4 5
3 2
4 2 (3) 5 23
而D
2
1
2
3
2
3
(1)当D 3 0时, 得 0或 3. (2)当D 3 0时, 得 0或 3.
3.3.1 n阶行列式的定义
定义1
用n 个元素aij (i, j 1,2,n) 组成的记号
2
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n a nn
称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列. 任意取 n 2 个数 aij (i 1,2,, n; j 1,2,, n), 排成以下形式:
‘—’三元素乘积取“-”号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
3.1.2
行列式在线性方程组中的应用
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
a11 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn . a 21 a n1
(1)
考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的 乘积.这种乘积可以写成下面的形式: (2)
a1 j1 a1 j2 a1 jn ,
这里下标 j1 , j 2 ,, j n 是1,2,…,n这n个数码的一个 排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也 能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同的 行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n！个. 我们用符号 ( j1 , j 2 ,, j n ) 表示排列 j1 , j 2 ,, j n 的反序数.
例 1 计算排列 32514 的逆序数 .
例 2 计算排列 217986354 的逆序数 , 并讨论其奇偶性 .
例 3 求排列 n ( n 1) ( n 2) 321 的逆序数 , 并讨论其奇偶性 .
3.3
一、 内容分布
n阶行列式
3.3.1 n阶行列式的定义
3.3.2 行列式的性质 二、教学目的： 1.掌握和理解n阶行列式的定义。 2.会利用定义计算一些特殊的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式
二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)
a11 a 21
a12 a 22
表示代数和 a11a22 a12 a21 称为二阶行列式, 即
a11 a 21 a12 a 22 a11a 22 a12 a 21
三阶行列式
a11 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
我们用记号 表示代数和
1
, k1 , k 2 ,, k s , i, j,.
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列，其 中奇偶排列各占一半.即各为 n! 个。 2 证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列 共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换 i, j , 那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p 个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列, 所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶 排列,所以 p q. 同样可得 q p. 因此 p q. 例题选讲
, i , j , ,
其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 得
, j, i,,
A
B
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数 码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 i 列中， j, 那么经过对换 i, j 后，i与j就构成一个 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 i 增多一个。若在给定的排列中， j , 那么经过对换 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。
1 2 n
1
2
n
1 2
n
例1 我们看一个四阶行列式
a D 0 0 g 0 c e 0 0 d f 0 b 0 . 0 h
根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然而在这个 行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外， 其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上 面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其 中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排 列.因此
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
三、重点难点：
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
3.1.1
二阶行列式 我们用记号
D叫D的转置行列式。
引理3.3.1 从n阶行列式的第i1 , i2 ,, in 行和第j1 , j 2 ,, j n 列 取出元素作乘积 （3） ai j ai j ai j , 这里 i1 , i2 ,, in和j1 , j2 ,, jn 都是1，2，…，n
a 21 a31
a11a22 a33 a12 a 23 a31 a13 a21a32 a11a 23 a32 a12 a 21a33 a13 a 22 a31
称为三阶行列式, 即
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
主对角线法
‘—’三元素乘积取“+”号；
2
3.2 排列
一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换
3.2.2 奇、偶排列的定义及性质
二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义
三、重点难点
求反序数
3.2.1
排列、反序与对换
定义1 n个数码 1,2, n 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组. 例如: 1234，2314都是四个数码的排列。 n个数码的不同排列共有n！个 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6 个，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个 较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。 计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为 m1 个，那么就有 m1 个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 m2个，那么就有 m2个数 码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面， 设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个
, 这里
b1 b2 b3 a13 a11 a12 a 22 a32 b1 b2 b3
a13
a11
D1 b2 b3
a 23 , D2 a 21 a33 a31
a 23 , D3 a 21 a33 a31
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一 工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.
i1i2 in得出j1 j2 jn
证明:我们已经知道，通过一系列对换可以由 i1i2 in得出 no 我们只需证明， 12 通过一系列对换可由 12n得出j1 j2 jn ，
12 而通过一系列对换可以由 j1 j2 jn得出 n ，按照相反的次序施行这些对换，就可由 12n得出j1 j2 jn 。 定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变. 证明: 1 我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为 A B
第三章 行列式
3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列 3.3 n阶行列式 3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开 3.5 克拉默法则 课外学习6：行列式计算方法 课外学习7：q_行列式及其性质
能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、 和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于 这种人。 ――庞加莱(Poincare，1854－1921) 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人， 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）
a11 a 21 a11 a 21
.
(2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)
a11
a12 a22 a32
a13 a23 0 a33
他的系数作成的三阶行列式 D
a21 a31
,那么方程组(2)有解
x1
D1 D
b1
, x2
a12 a 22 a32
D2 D
, x3
D3 D
(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1) 它的系数作成的二阶行列式
b1 x1 b2 a11 a 21 a12 a 22 a12 a 22 , x2
a11 a21 a12 a22 0
,那么方程组(1)有解
b1 b2 a12 a 22
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
数码（显然 mn 0 ），那么这个排列的反序数等于 m1 m2 mn 。 例如：在排列451362里，m1 2, m2 4, m3 2, m4 m5 m6 0. 所以这个排列有8个序。 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个 反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇 排列。
D acfh adeh b deg bcfg.
转置
a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
一个n阶行列式
D
a21 an1
如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式
a11 D a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
3.2.2 奇、偶排列的定义及性质
定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里 的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不 动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的 这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j） 来表示。 定理3.2.1 设i1i2 in 和j1 j2 jn 是n个数码的任意两个 排列，那么总可以通过一系列对换由
2 现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我 们用 k1 , k 2 ,, k s 来代表。这时给定的排列为
（1） , i, k1 , k 2 ,, k s , j,. 先让i向右移动，依次与 k1 , k 2 ,, k s 交换。这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为 再让j向左移动，依次与 i, k s , ,, k 2 , k1 交换。经过s+1次 相邻的两个数码的对换后，排列变为 （2） j, k1 , k 2 ,, k s , i,. 但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此， 对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的 i, j 对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇 偶性相反。
定义2 用符号
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn
表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一 切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元 素的乘积 a1 j a1 j a1 j . 项 a1 j a1 j a1 j 的符号为 ( j j j ) (1) , 也就是说,当 j1 , j 2 , j n 是偶排列时,这 一项的符号为正,当 j1 , j2 , jn 是奇排列时,这一项的 符号为负.
例题选讲
例 计算
4 5 3 2
.
1
又如 , 设 D
2
3
, 试问
(1) 当 为何值时 D 0 ; (2) 当 为何值时 D 0 .
解:由阶行列式的定义有:
4 5
3 2
4 2 (3) 5 23
而D
2
1
2
3
2
3
(1)当D 3 0时, 得 0或 3. (2)当D 3 0时, 得 0或 3.
3.3.1 n阶行列式的定义
定义1
用n 个元素aij (i, j 1,2,n) 组成的记号
2
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n a nn
称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列. 任意取 n 2 个数 aij (i 1,2,, n; j 1,2,, n), 排成以下形式:
‘—’三元素乘积取“-”号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
3.1.2
行列式在线性方程组中的应用
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
a11 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn . a 21 a n1
(1)
考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的 乘积.这种乘积可以写成下面的形式: (2)
a1 j1 a1 j2 a1 jn ,
这里下标 j1 , j 2 ,, j n 是1,2,…,n这n个数码的一个 排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也 能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同的 行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n！个. 我们用符号 ( j1 , j 2 ,, j n ) 表示排列 j1 , j 2 ,, j n 的反序数.
例 1 计算排列 32514 的逆序数 .
例 2 计算排列 217986354 的逆序数 , 并讨论其奇偶性 .
例 3 求排列 n ( n 1) ( n 2) 321 的逆序数 , 并讨论其奇偶性 .
3.3
一、 内容分布
n阶行列式
3.3.1 n阶行列式的定义
3.3.2 行列式的性质 二、教学目的： 1.掌握和理解n阶行列式的定义。 2.会利用定义计算一些特殊的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式
二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)
a11 a 21
a12 a 22
表示代数和 a11a22 a12 a21 称为二阶行列式, 即
a11 a 21 a12 a 22 a11a 22 a12 a 21
三阶行列式
a11 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
我们用记号 表示代数和