关于函数曲线的渐近线

关于函数的渐近线问题
函数的渐近线：假设函数()f x 是我们要求解的函数。

那么它的渐近线会是什么形式呢？ 首先我们知道函数()f x 的渐近线肯定是一条一次函数即y kx b =+，其中k 和b 分别为渐进线的斜率和截距。

那么我们知道所谓渐进线就是函数曲线与这条直线的距离越来越小，就是曲线与渐近线越来越近，那么我们知道当x →∞时函数()f x 与渐近线的距离应该为0.从而我们有：()lim ()0x f x kx b →∞
-+=⎡⎤⎣⎦， 从而[]()11lim lim ()lim 0x x x f x k f x kx b x x
x →∞→∞→∞⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦ 也就是说函数的渐近线的斜率为：()lim x f x k x
→∞=。

这样我们就知道了渐近线的斜率，剩下的就是求解渐近线的截距了，然而我们知道： ()lim ()0x f x kx b →∞-+=⎡⎤⎣⎦，即[]lim ()x f x kx b →∞
-=，所以渐近线我们也就求出来了。

当函数存在不定义的点时，比如1()1
f x x =
-在1x =处就是它的不定义点，但是我们知道当1x →时，函数趋向于∞，所以直线1x =就是函数曲线的垂直渐近线。

综上所述，我们知道求解函数曲线的渐近线时，首先我们要考虑正常的渐近线，即斜率存在，那么利用上面的分析就可以求解出来渐近线的斜率和截距。

然后就是考虑函数的不定义点了，那么也就把函数的渐近线就全部求解出来了。

例、求曲线3
2()23
x f x x x =+-的渐近线。

解：我们有：2
2()lim lim 123x x f x x x
x x →∞→∞==+- 因此[]3
3322223lim ()lim lim 22323x x x x x x x x b f x kx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤--+=-=-==-⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦
所以函数有渐近线2y x =-。

然而易知：()()
33
2()=2331x x f x x x x x =+-+-，也就是说333lim ()lim (3)(1)x x x f x x x →-→-==∞+-和3
11lim ()lim (3)(1)
x x x f x x x →→==∞+-，这样函数还有3,1x x =-=两条渐近线。