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摘要

整数规划主要应用在制定生产计划，在总体计划方面主要是从总体确定生产、存贮和劳动力的配合等计划以适应波动的要求。此外还可用于生产作业计划、日程表的编排等，还有在合理下料、配料问题、物料管理等方面的应用。本文将运用整数规划来解决实际应用中的生产和库存规划问题，并通过Lindo软件的求解分析来说明理论求解在实际应用中的局限性，解决实际问题必须将理论与实际相结合。

关键词：生产和库存模型；Lindo软件；整数规划

目录

一、问题的提出与分析 (1)

1、问题提出 (1)

2、问题分析 (1)

二、模型的建立 (2)

1、变量设定 (2)

2、约束条件 (2)

3、整数规划模型 (4)

三、问题求解 (5)

四、模型分析与改进 (10)

参考文献 (11)

一、问题的提出与分析

1、问题提出

某公司生产某种商品A，目前公司有员工290个，生产能力是每人每月20件。现在已经是12月份，估计到明年6月底，商品A将会全部售出（即库存量为0）。

根据市场调查，预测市场明年对该商品A的需求量如表1所示：

要求根据这份预测数据，对明年上半年（1－6月）的生产和库存制定计划，使总费用（包括解雇员工与新雇员工的费用，以及库存费用）达到最小。公司明年确定制定计划的目标如下：

（1）正常生产和加班生产

正常生产每人每月20件；而加班生产每人不超过6件，且每加班生产一件增加费用20美元。

（2）解雇或新雇员工

对相邻的两个月，增加或减少的员工数不得超过40人，而且每解雇一个员工需要支付420美元，每新雇用一个员工，需要支付300美元的培训费。

（3）库存

多余的产品可以存放在仓库中，每月每件产品的存储费为6美元。

根据以上所给条件，制定一个以总费用最少为目标的生产库存计划，并且要求在明年6月底无库存。

2、问题分析

关于如何制定生产和库存计划，使公司的总费用为最小，是一个整数规划问题。因此我们可以利用Lindo软件进行求解。在解题过程中，我们先对各个问题进行分析，总费用包括解雇员工与新雇员工的费用，以及库存费用两个方面，并且在解雇员工与新雇员工在每月人数流动问题上进行了优化假设，设定变量，再求变量的约束条件，最后给出了生产和库存计划的模型，并对该模型的结果进行了分析。

二、模型的建立

1、变量设定

j x 为明年第j 个月正常生产商品A 的产量； j y 为明年第j 个月加班生产商品A 的产量； j z 为明年第j 个月商品A 的库存量；

0z 为本年度年底的库存量； j u 为明年第j 个月解雇员工的费用； j v 为明年第j 个月新雇员工的费用；

j t 为明年第j 个月解雇员工和新雇员工的总费用；

另外，我们约定：j d 为市场明年第j 个月对商品A 的需求量。

2、约束条件

首先，我们在建立模型时先不考虑正常生产商品A 所需支付给员工的工资费用。依次分析计划所给的约束条件。

（1）生产费用

每人每月加班生产不得超过6件，则有

620

≤j j

x y 即j j x y 3.0≤ （6,...,2,1=j ）

且5800202901=⨯=x （2）员工变化费用

每月解雇员工的费用 ⎪⎩⎪⎨⎧≤

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=--其他

时

当

20

20

202042011j j j j j x x x x u

每月新雇员工的费用 ⎪

⎩⎪⎨⎧≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--其他时当0

202020203001

1j j j j j x x x x v 我们不妨假设同一个月既不会解雇员工，也不会新雇用员工，那么对相邻的两个月，增加或减少的员工人数不得超过40人的限制，就可以通过下面的约束条件实现：

4020

20

1≤-

-j j x x

即

8001≤--j j x x 8001≤+--j j x x

每月解雇和新雇员工的总费用

j j j v u t +=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥

⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----时

当

时当20

20

20203002020

20204201111j j j j j j j j x x x x x x x x

()

()

⎪⎩⎪⎨

⎧≥-≤-=----1111)

(15)

(21j j

j j j j j j x x

x x x x

x x

（3）库存费用

库存状态：本月产量 + 上月库存量 = 本月需求量 +本月库存量 即 j j j j j z d z y x +=++-1

因为本年度年底无库存，所以00=z ；又因题目要求明年6年底无库存，所以06=z 。

其次，我们分析一下目标函数。目标是总费用最少，即：

∑=++=6

1)620(min j j j j z t y f

在目标函数中，j t 是非线性的，是一个分段函数，不过

⎪⎩⎪⎨

⎧≥-≤-=----)

()

(15)()(211111j j j j j j j j j x x x x x x x x t

{})(21),(15max 11j j j j x x x x --=-- {})(21),(15/min 11j j j j j j j x x t x x t t -≥-≥=--