实验1 刚体转动惯量的测定

实验1：
刚体转动惯量的测定
教师：徐永祥1．前言：转动惯量(Moment of inertia)是表征物体转动惯性大小的物理量，它与
物体平动的质量是完全对应的。

转动惯量和物体的形状、大小、密度以及转轴的位置等因素有关，密度均匀形状规则的刚体（Rigid body），其转动惯量可以方便地计算出来，但不符合此条件的刚体的转动惯量一般需要通过实验的方法测出。

目前，测量转动惯量的方法有多种，如动力学法、扭摆法（三线扭摆法、单线摆法）及复摆法等等。

本实验采用动力学方法测量被测物体的转动惯量。

2．教学方式与时间安排
教师讲解、示范及与学生互动相结合；总实验时间：120分钟左右。

3．实验基本要求
1) 会通过转动惯量实验仪的操作测量规则物体的转动惯量，并与理论值比较进行误差分析;
2) 学会用实验方法验证平行轴原理；
3）学会用作图法处理数据，熟悉并掌握用作图法处理数据的基本要求。

4．实验仪器与部件
转动惯量实验仪，电子毫秒计，可编程电子计算器，铝环，小钢柱等。

5．仪器介绍
转动惯量实验仪的主体由十字形承物台和塔轮构成。

塔轮带有5个不同半径的绕线轮（半径r分别为15,20,25,30,35mm共5挡），使轻质细线通过滑轮连着砝码钩；砝码钩上挂着不同数量的砝码，以改变转动体系的动力矩。

承物台呈十字形，它沿半径方向等距离地排有三个小孔，这些孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm，小孔中可以安插小钢珠，籍以改变体系的转动惯量。

承物台下方连有两个细棒，它们随承物台一起转动，到达光电门处产生遮光并通过脉冲电路引起脉冲触发信号，从而便于计算遮光次数及某两次遮光之间的时间间隔，并最终由数字毫秒计显示出来。

关于数字毫秒计使用方法，请参见本实验讲义P66“数字毫秒计”部分。

6. 实验原理
1）转动惯量的测定
由刚体转动的动力学定律得到：
βJ
M=（1）式中，M为转动体系所受的合外力矩，包括细绳作用于塔轮的力矩以及阻力矩；J为系统绕竖直轴的转动惯量。

本实验中需要测出铝环绕转轴的转动惯量，这只要分别测出系统空转时的转动惯量及铝环与转动体系构成系统的转动惯量，两者的差值即为铝环绕中心轴的转动惯量。

β为转动系统在合外力矩作用下转动的角加速度。

将砝码盘上放置质量为mf=40 g的砝码，使系统开始转动，则对砝码而言：
F
a m g m f f =- （2）
式中，F 为细绳作用于砝码的力。

由于实际设计中保证了a<<g 的条件，加上滑
轮（质量忽略）两侧绳子中的张力近似相等（F 1≈F ），于是： gr m Fr r F M f ≈≈='1 （3） 利用下述方程组
⎩⎨⎧==+'u u u J M J M M ββ （4）
并联立（3）式即得被测转动惯量的表式： u
f gr
m J ββ-=
（5）
根据（5）式，要测某一转动体系的转动惯量，只要分别测出它在有动力矩
及仅有阻力矩下的角加速度β和βu 即可。

那么，如何测量β和βu 呢? 这可采用运动学的方法。

A β的测量方法。

对于系统在有动力矩下的任一次运动，设光电门第一次被遮光的时刻为时间零点，第N 1次和第N 2次被遮光的时刻分别为t 1、t 2,（根据实际条件，本实验中预先设定N 1＝3，N 2＝7），于是
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2
22022
110121
21t t t t βωθβωθ （6）
式中，210θθω、、的意义分别为：
0ω：塔轮的初始角速度；
θ1：第一次到第N 1次遮光之间塔轮转过的角度；
θ2：第一次到第N 2次遮光之间塔轮转过的角度； 联立解得
1
2
22211221)
(2t t t t t t --=
θθβ （7） 同时θ1，θ2还满足下述关系：
⎩⎨⎧-=-=)1()
1(2211N N πθπθ （8）
将（8）式代入（7）式即得 1
2
222
11221]
)1()1[(2t t t t t N t N ----=
πβ （9）
根据（9）式，只要测出t 1和t 2即可得到在有砝码重力矩作用下转动体系的
角加速度。

B βu 的测量方法：与β的测量方法完全类似，计算公式为： 1
2
222
11221]
)1()1[(2u u u u u u u t t t t t N t N ----=
πβ （10）
2）验证平行轴原理
平行轴原理的表式：2md J J c +=，式中m 为转动体系的质量，Jc 表示转动体系绕过质心的轴的转动惯量，J 则为它绕另一平行轴转动的转动惯量，d 为两
平行轴之间的距离。

7．实验内容与步骤（方式：边讲解边示范）
1. 测承物台和塔轮体系（空转时）的转动惯量J 0
（1）选择塔轮上绕线轮的半径r =2.5 cm ，砝码质量m f =40g, 遮光次数设置N 1=3,N 2=7,使体系产生转动,由数字毫秒计读出对应于N 1和N 2下的t 1和t 2值。

（2）砝码脱落后转动力矩仅剩M u ,此时迅速按下复位键，让毫秒计重新计时，并读出对应于N 1和N 2的t u1、t u2值。

重复过程（1）、（2），读出三组t 1、t 2及t u1、t u2的值。

2．测铝环对中心轴的转动惯量J x
将铝环置于承物台上，按步骤1测出此时总系统的转动惯量J ,由J x =J -J 0即得铝环绕中心轴的转动惯量。

3．计算铝环的理论转动惯量并分析实验误差。

理论转动惯量表式为：
)(2
2
2外内理＝R R M J x + （11）
4．验证平行轴原理
先将两个质量均为m z 的小钢柱分别插入承物台上的小孔2和2′上，按步骤1测出两个小钢柱绕中心轴的转动惯量Jc (=J-J 0); 再将两个小钢柱挪到小孔1、3′或（1′、3）位置上，扔按步骤1测出钢柱和塔轮承物台系统的转动惯量J 2，由J=J 2-J 0得小钢柱在1、3′（或1′、3）位置时绕轴线的转动惯量J 。

按平行轴定理，应有：J=J c +2m z d 2. 8．实验数据与处理结果
砝码总质量m=50.0g ；绕线轮半径r=2.50 cm ；g=979.4 cms -2
于是，=-=
μ
ββmgr
J 00.403×105g.cm 2
2、测定铝环的转动惯量
铝环加承物台的转动惯量J =1.901×105 g.cm 2；J 环理＝)(2
2
2外内＋R R m ＝1.567×105
g.cm 2 相对误差％理
环环理
环4=-=
J J J E
3、验证平行轴定理
22
2
122221.4028.68700.64672cm g J J cm g J cm g J =-==；；验证：2122d m J J 柱=-关系是成立？ 结论：大致成立，相对误差：%23960
3960
4028=-=
E
9．参考教材
1) 郑庚兴&王和平，大学物理实验，上海科学技术出版社，藏书号：53.057/8709.
2） 朱俊孔等，普通物理实验，济南：山东大学出版社，2001年8月，53.057/2521．
3） 梁为民等，大学物理实验，北京：航空工业出版社，2001年9月，53.057/3337. 10．思考题：
1．本实验中为什么取N 1＝3，N 2＝7？预置数设置对测量误差有无影响？ 2．本实验是如何检验平行轴定理的？
3．本实验如何采用作图法测定铝环绕中心轴的转动惯量及塔轮与转轴间的摩擦力矩？。