三角形的证明

第一章三角形的证明

第一讲：1.等腰三角形(1)——等腰三角形的性质

(知识回顾)知识点一三角形全等的证明

方法：1、 2、 3、 4、

例1如图所示,分别过点C,B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E,F.

求证:BF=CE

1.如图,AC与BD交于点O,AB∥CD,若用“ASA”或“AAS”判定△AOB≌△COD,还需要添加的一个条件是.

2、两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O 为边AC和DF的交点.求证:OF=OC.

知识点二等腰三角形的性质定理

定理:等腰三角形的两底角相等.这个定理简称为等边对等角.

例2如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数

3、若等腰三角形底边上的高与底边的比为1∶2,则它的顶角等于（）

A.90°

B.60°

C.120°

D.150°

4.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数是( )

A.50°

B.80

C.50°或80°

D.40°或65°

知识点三等腰三角形性质定理的推论

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.

这条性质通常称为等腰三角形的“三线合一”.是证明那三条线

证明: 等腰三角形两底角的平分线相等，高线相等

已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．

拓展点一等腰三角形特殊性质的证明

例1求证:等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等.

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,CE,BD交于点O,求证:OB=OC.

知识点四等边三角形的性质定理

定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.

例4 如图,点P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.

拓展点二等边三角形与三角形全等的综合题

5、如图,已知△ABC和△ADE都是等边三角形,连接CD,BE.求证:CD=BE

习题

1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）

A、各有一个角是550的两个等腰三角形；

B、两个等边三角形；

C、腰长相等的两个等腰直角三角形；

D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.

2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，

哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）

A、∠A=∠B ;

B、BF=CE;

C、AE∥DF;

D、AE=DF.

3、如果等腰三角形的一个内角等于50°，则其余两角的度数为。

4、（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为 .

（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为 .

5、△ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，则∠A的度数为 .

6、如图，已知D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE

等腰三角形(2)——等腰三角形的判定

知识点一等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.

这一定理可以简述为:等角对等边

例1 如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.求证:△ADE是等腰三角形.

2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是△ABC,△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

知识点二反证法

先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

例2 求证:若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线也平行.

3.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设 ( )

A.a不垂直于c

B.a,b都不垂直于c

C.a⊥b

D.a与b相交

用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°”时,应假设这个三角形中( ) A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°

C.有一个内角大于60°

D.每一个内角都大于60°

5.求证:在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等.

知识点三等边三角形的判定

定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.

定理2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

例3 如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到的△DEF为等边三角形.

(1)求证:△AEF≌△CDE;

(2)求证:△ABC是等边三角形.

6.符合下列条件时不能判定三角形为等边三角形的是( )

A.有两个角为60°的三角形

B.三个外角都相等的三角形

C.一条边上的高也是这条边上的中线的三角形

D.有一个角为60°的等腰三角形

7、如图所示,过等边△ABC的顶点A,B,C依次作AB,BC,CA的垂线围成△MNG.求证:△MNG是等边三角形.

知识点四含30°角的直角三角形的性质

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.