三角形的证明

第一章三角形的证明
第一讲：1.等腰三角形(1)——等腰三角形的性质
(知识回顾)知识点一三角形全等的证明
方法：1、 2、 3、 4、
例1如图所示,分别过点C,B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E,F.
求证:BF=CE
1.如图,AC与BD交于点O,AB∥CD,若用“ASA”或“AAS”判定△AOB≌△COD,还需要添加的一个条件是.
2、两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O 为边AC和DF的交点.求证:OF=OC.
知识点二等腰三角形的性质定理
定理:等腰三角形的两底角相等.这个定理简称为等边对等角.
例2如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数
3、若等腰三角形底边上的高与底边的比为1∶2,则它的顶角等于（）
A.90°
B.60°
C.120°
D.150°
4.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数是( )
A.50°
B.80
C.50°或80°
D.40°或65°
知识点三等腰三角形性质定理的推论
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
这条性质通常称为等腰三角形的“三线合一”.是证明那三条线
证明: 等腰三角形两底角的平分线相等，高线相等
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．
拓展点一等腰三角形特殊性质的证明
例1求证:等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,CE,BD交于点O,求证:OB=OC.
知识点四等边三角形的性质定理
定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.
例4 如图,点P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
拓展点二等边三角形与三角形全等的综合题
5、如图,已知△ABC和△ADE都是等边三角形,连接CD,BE.求证:CD=BE
习题
1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）
A、各有一个角是550的两个等腰三角形；
B、两个等边三角形；
C、腰长相等的两个等腰直角三角形；
D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.
2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，
哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）
A、∠A=∠B ;
B、BF=CE;
C、AE∥DF;
D、AE=DF.
3、如果等腰三角形的一个内角等于50°，则其余两角的度数为。

4、（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为 .
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为 .
5、△ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，则∠A的度数为 .
6、如图，已知D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE
等腰三角形(2)——等腰三角形的判定
知识点一等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为:等角对等边
例1 如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.求证:△ADE是等腰三角形.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是△ABC,△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
知识点二反证法
先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
例2 求证:若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线也平行.
3.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设 ( )
A.a不垂直于c
B.a,b都不垂直于c
C.a⊥b
D.a与b相交
用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°”时,应假设这个三角形中( ) A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
5.求证:在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等.
知识点三等边三角形的判定
定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
例3 如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到的△DEF为等边三角形.
(1)求证:△AEF≌△CDE;
(2)求证:△ABC是等边三角形.
6.符合下列条件时不能判定三角形为等边三角形的是( )
A.有两个角为60°的三角形
B.三个外角都相等的三角形
C.一条边上的高也是这条边上的中线的三角形
D.有一个角为60°的等腰三角形
7、如图所示,过等边△ABC的顶点A,B,C依次作AB,BC,CA的垂线围成△MNG.求证:△MNG是等边三角形.
知识点四含30°角的直角三角形的性质
定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
例4 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,并且AD=BD.求证:AC= AB.
拓展点一角平分线+平行线→等腰三角形
例1 如图,已知∠ABC,∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.
(1)求证:BD+EC=DE;
(2)若AB=15,AC=12,求△ADE的周长.
拓展点二构造含30°角的直角三角形解决问题
例2 如图,在△ABC中,BD是AC边上的中线,DB⊥BC于点B,∠ABC=120°.求证:AB=2BC.
1.2 直角三角形（一）
学习目标：
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

学习过程： 前置准备 角
1、直角三角形的两个锐角 ；
2、有两个角互余的三角形是 . 边
1、说出你知道的勾股数
2、勾股定理的内容是：________;它的条件是：____________结论是：___________ 每个命题都是由 、 两部分组成。

命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 。

“对顶角相等”是 （填“真”、“假”）命题；“我们是小学生” 是 命题。

把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 。

如图，△ABC 是Rt△，根据勾股定理可得： 。

二、自主学习：
将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：
下面试着将上述命题证明： 已知在△ABC 中，AB2+AC2=BC2 求证：△ABC 是直角三角形。

得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形。

（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。

（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

（3）三角形中相等的边所对的角相等。

像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________。

①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？
A
B
C
②什么是互逆定理？
③是否任何定理都有逆定理？
④ 思考我们学过哪些互逆定理？
四、归纳总结：1、勾股定理和逆定理的内容分别是什么？
2、什么是互逆定理，什么是互逆命题？
五、当堂训练：
1、判断
A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。

（）
B：命题正确时其逆命题也正确。

（）
C：直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。

（）
2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
①8、15、17 ②4、5、6、③7.5、4、8.5
④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④
课下训练：
1、以下命题的逆命题属于假命题的是（）
A：两底角相等的两个三角形是等腰三角形。

B：全等三角形的对应角相等。

C：两直线平行，内对角相等。

D：直角三角形两锐角互等。

2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是。

3、若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为（，）
4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。

5、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
A：五边形是多边形。

B：两直线平行，同位角相等。

：
C：如果两个角是对顶角，那么它们相等。

D：如果AB=0，那么A=0，B=0。

6、公园中景点A、B间相距50m，景点A、C间相距40m，景点B、C间相距30m，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？
7、台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8m处，已知旗杆原长16m，则旗杆在距底部几米处断裂。

8、小明将长2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7m，如果梯子的顶端垂直下滑0.4m，那么梯子的底端B将向外移动多少米。

中考真题：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？
1．知识目标：
①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 ②利用“HL’’定理解决实际问题 （1）．“HL”定理．由师生共析完成
已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
一、选择题 1.△ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=32，BD ∶DC=9∶ 7, 则点D 到AB 的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm
2．在△ABC 内部取一点P 使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的哪三条线交点（ ）
（A ）高 （B ）角平分线 （C ）中线 （D ）边的垂直平分线
3．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ，则下列说法正确的有几个（ ） （1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ； （3）BD=CD ； （4）AD ⊥BC ． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
二、填空题
4．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加
条件 _______或 ； 若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件 或 ．
第4题 第5题 第6题
5.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC
A '
B'
C '
C B
A
P Q C A B
x
C
B A E F
和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA.
6.如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D,DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm. 三、解答题
7.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC
8.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？
9．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=30°.求证:BD=
14
AB
A
B
C
D
E F
1 2
A
B
3.线段的垂直平分线
知识点一线段的垂直平分线的性质
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
例1如图,在△ABC中,线段BC的垂直平分线DE交AC于点D.
(1)若AB=5,AC=8,求△ABD的周长;
(2)若△ABD的周长为13,△ABC的周长为20,求BC的长.
知识点二线段的垂直平分线的判定
定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
例2如图所示,已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:AD垂直平分EF.
拓展点一三角形三边的垂直平分线
例1如图所示,已知△ABC,你能找一点O,使它到其三个顶点的距离相等吗?若能,请说明理由.
拓展点二线段的垂直平分线的有关作图
例3如图所示,A,B,C三个村庄的干部商议合建一处村民文化活动中心.为了使三个村的村民到该活动中心的距离相等,活动中心应建在什么地方?请用尺规作图的方法在图上找出建活动中心的位置.(不写作法,保留作图痕迹.)
1.已知直线l是线段AB的垂直平分线,M,N是直线l上的两点,则∠MAN和∠MBN的关系是()
A.∠MAN>∠MBN
B.∠MAN<∠MBN
C.∠MAN+∠MBN=180°
D.∠MAN=∠MBN
3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=10°,则∠C的度数为()
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
4.如图,AB垂直平分线段CD,若BC=3 cm,AD=5 cm,则四边形ADBC的周长是.
5.如图所示,OE是△ABC的边AC的垂直平分线,OA平分∠BAC,EO交AB的延长线于点D,连接CD.求证:OC平分∠ACD.
知识点二线段的垂直平分线的判定
6.如图所示,AC=AD,BC=BD,则下列结论正确的是()
A.AB垂直平分CD
B.CD垂直平分AB
C.AB与CD互相垂直平分
D.CD平分∠ACB
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交BC于点D,则点D在线段的垂直平分线上.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.求证:AD是线段CE的垂直平分线.
拓展点一三角形三边的垂直平分线
1.到平面上不共线三点A,B,C的距离相等的点()
A.不存在
B.只有一个
C.有两个
D.有三个或三个以上
2.等腰三角形的顶角为100°,两腰的垂直平分线交于点P,则()
A.点P在三角形内
B.点P在三角形底边上
C.点P在三角形外
D.点P的位置与三角形的边长有关
3.若三角形三条边的垂直平分线的交点在某一条边上,则这个三角形一定是()
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
拓展点二线段的垂直平分线的有关作图
4.如图,在某铁路的同旁有工厂A与B,要在铁路的旁边修建一个仓库,使其到A,B两个工厂的距离相等,仓库应建在哪里?请你在图中画出仓库的位置.
1. (2017·湖北荆州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的大小为()
A.30°
B.45°
C.50°
D.75°
2.(2017·江苏连云港中考)如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.
3.小明利用暑假时间去了居住在山区的外公家,有一天外公带领小明去放羊,早晨从家出发,到一片草场放羊,天黑前再把羊牵到一条小河边饮水,然后再回家.如图所示,点A表示外公家,点B表示草场,直线l表示小河.小明设计了一个方案,使放羊所走的路程最短.你知道小明设计的饮水处在什么位置吗?说明理由.
知识点一角平分线的性质
定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
例1 如图,已知OD平分∠AOB,在OA,OB边上截取OA=OB,点P是OD上一点,PM⊥BD于点M,PN ⊥AD于点N.求证:PM=PN.
拓展点一三角形的三条角平分线性质的应用
如图,三条公路两两相交于A,B,C三点.现计划修建一加油站,要求这个加油站到三条公路的距离相等,则可供选择建站的地方有多少处?请在图中画出来
知识点一角平分线的性质
1.如图,∠1=∠2,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,下列结论错误的是( )
A.PD=PE
B.OD=OE
C.PD=OD
D.∠OPD=∠OPE
(第1题图) (第2题图)
2.如图,在△ABC中,∠C=90,BD平分∠ABC,交AC于点D.已知AB=10,CD=3,则△ABD的面积等于.
3.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC.求证:BE=CF.
4.如图,已知OD平分∠AOB,在OA,OB边上截取OA=OB,点P是OD上一点,PM⊥BD于点M,PN⊥AD 于点N.求证:PM=PN.
知识点二角平分线的判定
5.如图,点M,N分别是OA,OB边上的点,点P在射线OC上.下列条件不能推出OC平分∠AOB的是( )
A.PM=PN,OM=ON
B.PM=PN,∠PMO=∠PNO
C.PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN
D.PM⊥OA,PN⊥OB,OM=ON
已知如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD相交于点O.求证:
(1)当∠1=∠2时,OB=OC;
(2)当OB=OC时,∠1=∠2.
拓展点一三角形的三条角平分线性质的应用
1.如图,在△ABC中,∠BAC=96°,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,则∠OAB的度数是.
2.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在绿地中建一小亭供人小憩,且使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭中心的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
如图,在△ABC中,P是角平分线AD,BE的交点.求证:点P在∠C的平分线上
拓展点二利用面积解决角的平分线的有关问题
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的平分线交于点I,ID⊥AB于D.若AC=4 cm,BC=3 cm,则ID的长是.
如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.
1.(2017·浙江台州中考)如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是( )
A.2
B.3
C.√3
D.4
2.(2017·山东枣庄中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于1
2
线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是( )
A.15
B.30
C.45
D.60
(2016·浙江湖州中考)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( )
A.8
B.6
C.4
D.2。