专题27.1图形的相似-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)【人教版】

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2020-2021初三数学相似的专项培优练习题(含答案)含详细答案

2020-2021初三数学相似的专项培优练习题(含答案)含详细答案一、相似1．在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，∴∠BAP=∠CPM=∠C，∴MP=MC∵tan∠PAC=，设MN=2m,PN=m,根据勾股定理得，PM=,∴tanC=（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴ =同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC= =【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题附详细答案

2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题附详细答案一、相似1．综合题（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多少．（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为多少．（用含a，h的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【答案】（1）解：∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则；（2）解：∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，∴PN=a- PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a- x）=- x2+ax=- （x- ）2+ ，∴当PQ= 时，S矩形PQMN最大值为 .（3）解：如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI= =24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG• BF= ×（40+20）× （32+16）=720，答：该矩形的面积为720；（4）解：如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC= ，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH= BC=54cm，∵tanB= = ，∴EH= BH= ×54=72cm，在Rt△BHE中，BE= =90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2．【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形FEDB是平行四边形，而∠B=90°，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以;(2）因为PN∥BC，由相似三角形的判定可得△APN∽△ABC，则可得比例式,即,解得,设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ•PN=x（）,因为0，所以函数有最大值，即当PQ=时，S矩形PQMN有最大值为;（3）延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH，于是用角边角可得△AEF≌△HED，所以AF=DH=16，同理可得△CDG≌△HDE，则CG=HE=20，所以=24,BI=24＜32，所以中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由（1）得矩形的最大面积为×BG• BF=×（40+20）×（32+16）=720；（4）延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，因为tanB=tanC，所以∠B=∠C，则EB=EC，由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，由勾股定理可得BE=90cm,所以AE=BE-AB=40cm，所以BE的中点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由（2）得矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2。

人教版2020-2021学年九年级数学下册第二十七章27.1图形的相似同步测试

四边形的周长是________．
17．两个相似多边形的周长的比为 2：3，较大多边形的面积为 45cm2 ，则较小多边形的面积为
______ A ' B 'C ' D ' 是相似图形，点 A, B,C, D 分别与 A ', B ',C ', D ' 对应，已知 BC 3， CD 2.4 ， B 'C ' 2 ，那么 C ' D ' 的长是__________．
人教版 2020-2021 学年九年级数学下册第二十七章 27.1 图形的相似同步测试
1．下列各组图形中，一定相似的是（）
A．两个矩形
B．两个菱形
C．两个正方形
2．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（）
A．
B．
D．两个等腰梯形
C．
D．
3．下列图形不是形状相同的图形是（） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面像 D．一棵树与它倒影在水中的像 4．如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）
A．2
B． 2
C． 2 5
D． 2-1
5
2
8．将一个四边形放在 2 倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（）
A．四边形的边长扩大为原来的 2 倍
B．四边形的各角扩大为原来的 2 倍
C．四边形的周长扩大为原来的 2 倍
D．四边形的面积扩大为原来的 4 倍
9．下列结论中，错误的有：（）

2020-2021九年级数学相似的专项培优易错试卷练习题含答案

2020-2021九年级数学相似的专项培优易错试卷练习题含答案一、相似1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P 是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）解：结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴ = = ，∴CF=2DG（2）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ，∴EH=2DH=2 ，∴HM= =2，∴DM=CN=NK= =1，在Rt△DCK中，DK= = =2 ，∴△PCD的周长的最小值为10+2 ．【解析】【分析】（1）结论：CF=2DG．理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，根据中点的定义得出AD=CD=2DE，根据同角的余角相等得出∠CDF=∠DEG，从而判断出△DEG∽△CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出△DEH相似于△GDH，根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=，再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1，在Rt△DCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。

2020-2021九年级数学相似的专项培优易错试卷练习题(含答案)附答案

2020-2021九年级数学相似的专项培优易错试卷练习题(含答案)附答案一、相似1．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．【答案】（1）（2）（3）；；或；或【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH= AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为： == ；故答案为：；（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：，故答案为：；（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB=AB：AD，即 a：b=b：a，∴a= b；故答案为：②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，则b： a=a：b，∴a= b；故答案为：B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∴DN= b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD： b=a：b，解得FD= a，∴AF=a﹣ a= a，∴AG= = = a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即 a：b=b：a得：a= b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD： b=b：a解得FD= ，∴AF=a﹣ = ，∴AG= = ，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a= b；故答案为：或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∴DN= b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD： b=a：b，解得FD= a，∴AF=a﹣ a，∴AG= = = a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即 a：b=b：a得：a= b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD： b=b：a解得FD= ，∴AF=a﹣，∴AG= = ，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a= b；故答案为： b或 b．【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。

2020-2021学年人教版九年级数学下册 27.1 图形的相似同步练习卷

人教版九年级数学下册27.1图形的相似同步练习卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列四组图形中，不是相似图形的是( )2．下列给出的图形是相似图形的是( )A．两张孪生兄弟的照片B．三角板的内、外三角形C．行书中的“中”与楷书中的“中”D．同一棵树上摘下的两片树叶3．下列各组中的四条线段成比例的是( )A．1 m， 2 m， 2 m，2 mB．3 m，2 cm，6 cm，4 mC．1.5 m，2.5 m，4.5 m，5.5 mD．1 cm，7 cm，5 cm，3 cm4．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A．60° B．75° C．87° D．120°5．下面的三个矩形中，相似的是( )A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.甲、乙和丙A.各边都扩大3倍B.各边和各角都缩小到原来的13C.各边和各角都扩大3倍D.各边都缩小到原来的13，各角不变 7．下列两个图形一定相似的是( )A.任意两个等腰梯形B.任意两个菱形C.任意两个正方形D.任意两个矩形8．如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB ∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是( )A.2DE ＝3MNB.3DE ＝2MNC.3∠A ＝2∠FD.2∠A ＝3∠F9．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( )10．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点，下列说法正确的是( )A.两人都对B.两人都不对11．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且a b ＝c d，其中a ＝2 m ，b ＝4 m ，c ＝5 m ，则d ＝_________. 12. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为2 m ，则a 约为____________.13．如图，两个梯形相似，则这两个梯形的相似比为____________．14．两个相似多边形的一组对应边分别为4 cm ，6 cm ，那么它们的相似比为____________.15．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝________，m ＝__________.16．如图，在△ABC 中，△ADE 相似于△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的相似比是____________.17．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，则k 的值为____________. 18．如图，一张矩形纸片ABCD 的长BC ＝x cm ，宽AB ＝y cm ，以宽AB 为边剪去一个最大的正方形ABEF ，若剩下的矩形ECDF 与原矩形ABCD 相似，则x y的值为____________.19．(6分) 如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D ，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD 是否相似，并说明理由.20．(6分) 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥BC ，EF 将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 和EBCF ，若AD ＝3，BC ＝4，求AE EB的值．21．(8分) 已知线段a ，b ，c 满足a 3＝b 2＝c 6，且a ＋2b ＋c ＝26.求线段a ，b ，c 的长；22．(8分) 已知a，b，c是△ABC的三边长，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，a＋b＋c＝24.求a，b，c的值；23．(9分) 如图，已知AB＝4，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．24．(9分) 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F.(1)AB，BC，BF，DE这四条线段是否成比例？如果不成比例，请说明理由；如果成比例，请写出比例式．(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．参考答案1-5DBACB 6-10DCBDA11. 10m12. A ．1.24 m13. 1∶214. 2315. 125°，1216. 1217. 2或－118. 5＋1219. 解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似.理由：由已知条件知，∠DAB ＝∠D′A′B′，∠B ＝∠B′，∠BCD ＝∠B′C′D′，∠D ＝D′，且AB A′B′＝BC B′C′＝CD C′D′＝DA D′A′＝56，所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似.20. 解：∵梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，∴AD EF ＝EF BC ，即3EF ＝EF 4，解得EF ＝2 3 ，又AE EB ＝AD EF ，∴AE EB ＝323 ＝32 . 21. 解：设a 3＝b 2＝c 6＝k(k ＞0)， ∴a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝6k.∵a ＋2b ＋c ＝26，∴3k ＋4k ＋6k ＝26，解得k ＝2.∴a ＝6，b ＝4，c ＝12.22. 解：∵(a －c)∶(a ＋b)∶(c －b)＝(－2)∶7∶1， ∴设a －c －2＝a ＋b 7＝c －b 1＝k(k≠0)， ∴⎨⎪⎧a －c ＝－2k ，a ＋b ＝7k ，解得⎨⎪⎧a ＝3k ，b ＝4k ，∵a ＋b ＋c ＝24，∴3k ＋4k ＋5k ＝24，解得k ＝2，∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.23. 解：(1)由已知，得MN ＝AB ，DM ＝12 AD ＝12 BC ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，∴DM AB ＝MN BC，即12 AD 2＝AB 2，由AB ＝4，得AD ＝4 2 .(2)由(1)知，DM ＝12 AD ＝12×4 2 ＝2 2 ，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为DM AB ＝224 ＝22. 24. 解：(1)∵在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥AD ，AD ＝BC ，∴S ▱ABCD ＝AB·DE ＝AD·BF.∴AB·DE ＝BC·BF ，即AB BC ＝BF DE. ∴AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段成比例．比例式为AB BC ＝BF DE. (2)∵AB·DE ＝BC·BF ，∴10×2.5＝5BC ，解得BC ＝5.。

人教版九年级数学下册第27章《相似》同步测试

人教版九年级数学下册第27章《相似》同步测试一、选择题：1、已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：92、如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．83、两个相似三角形的对应边的比是2∶3,周长之和是20,那么这两个三角形的周长分别为()A. 8和12B. 9和11C. 7和13D. 8和154、已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为( )A．9 B．4 C．6 D．4.85、位似图形的位似中心可以在( )A．原图形外B．原图形内C．原图形上D．以上三种可能都有6、已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B＝95°，则∠C1的度数为( )A．60° B．95° C.25° D．15°7、如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．8、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm9、如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．A．10/3 B．4.5 C．3.6 D．810、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺11、如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE 分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③12、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：1二、填空题： 13、两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是 .14、.若a 4＝b 5＝c 6，且a －b ＋c ＝10，则a ＋b －c 的值为 . 15、学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为 .16、已知a 5＝b 3＝c 4，则a ＋2b ＋c 2a ＋b ＋2c＝____. 17、在比例尺为1:6 000 000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7 厘米，则海口与三亚的实际距离约为千米．18、如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE=3ED ，DF=CF ，则AG:GF 的值是 .19、已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为 .20、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为 .21、在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为 .22、如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则BD:AD的值为 .三、解答题：23、已知矩形ABCD中,AD=3,AB=1.若EF把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF 与矩形ABCD相似.求AF∶AD的值.24、如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是多大？25、如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为多大？26、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果=．求证：EF=EP．27、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O 经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．参考答案一、选择题：1、D2、B3、A4、A5、D6、C7、A8、C9、A10、B11、A12、B二、填空题：13、4∶914、615、0.4m16、5/717、22218、6：519、420、2√521、1:422、(√2-1):1三、解答题：23、1∶924、10.5m25、1226、证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．27、（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠A DF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠DGF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．人教版九年级下数学第二十七章《相似》单元练习题（含答案）一．选择题1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若＝，则下列说法不正确的是（）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝2．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AD ＝3ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则等于（）A ．B ．C ．D ．3．如图，有一块三角形余料ABC ，BC ＝120mm ，高线AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，点P ，M 分别在AB ，AC 上，若满足PM ：PQ ＝3：2，则PM 的长为（）A ．60mmB ． mmC ．20mmD ． mm4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点（与B 、C 不重合），以D 为顶点作△DEF ，使△DEF ∽△ABC （相似比k ＞1），EF ∥BC ．两三角形重叠部分是四边形AGDH ，当四边形AGDH 的面积最大时，最大值是多少？（）A ．12B ．11.52C ．13D ．85．已知线段AB 的长为4，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则PA 的长为（）A ．2﹣2B ．6﹣2√5C ．D ．4﹣26．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，正方形OABC 的边长为8，点P 在AB 上，CP 交OB 于点Q ．若S △BPQ ＝，则OQ 长为（）A ．6B ．C ．D ．8．在△ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，下列说法错误的是（）A ．如果∠BAC ＝90°，AB 2＝BD •BC ，那么AD ⊥BCB ．如果AD ⊥BC ，AD 2＝BD •CD ，那么∠BAC ＝90°C ．如果AD ⊥BC ，AB 2＝BD •BC ，那么∠BAC ＝90°D ．如果∠BAC ＝90°，AD 2＝BD •CD ，那么AD ⊥BC 9．如图，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 两个内角平分线的交点，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F ，已知△ABC 的周长为8，BC ＝x ，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，已知△ABO 与△DCO 位似，且△ABO 与△DCO 的面积之比为1：4，点B 的坐标为（﹣3，2），则点C 的坐标为（）A ．（3，﹣2）B ．（6，﹣4）C ．（4，﹣6）D ．（6，4）11．在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm ，该路段实际长度约为（）A ．3200mB ．3000mC ．2400mD ．2000m12．如图，△DEF 和△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，点D ，E ，F 分别是OA ，OB ，O C 的中点，若△DEF 的周长是2，则△ABC 的周长是（）A．2 B．4 C．6 D．8二．填空题13．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加即可（只需添加一个条件）．14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝．15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为．16．若＝，则＝．17．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF1＝，S1：S2：S3＝．18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，E F分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是．19．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．三．解答题20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．21．如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE 交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．23．如图，△ABC的面积为12，BC与BC边上的高AD之比为3：2，矩形EFGH的边EF 在BC上，点H，G分别在边AB、AC上，且HG＝2GF．（1）求AD的长；（2）求矩形EFGH的面积．24．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形．请在图中找出与△HBC相似的三角形，并说明它们相似的理由．25．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．参考答案一．选择题1．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，＝＝，＝＝，＝（）2＝，∴＝，故A、B、D选项正确，C选项错误，故选：C．2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AD＝3ED，∴＝，∵AD∥BC，∴△EFD∽△CFB，∴＝＝，故选：A．3．【解答】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．4．【解答】解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵△DEF∽△ABC，∴∠EDF＝∠BAC＝90°，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，∵△DEF∽△ABC，∴∠B＝∠E，∵EF∥BC，∴∠E＝∠EMC，∴∠B＝∠EMC，∴AB∥DE，同理：DF∥AC，∴四边形AGDH为平行四边形，∵∠EDF＝90°，∴四边形AGDH为矩形，∴四边形AGDH为正方形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，如图2，点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，如图2，点D在BC上，∵△DEF∽△ABC，∴∠F＝∠C，∵EF∥BC．∴∠F＝∠BDG，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，∴＝，∴＝，∴＝，∴AH＝8﹣GA，S＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，矩形AGDH当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．5．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴PA＝AB＝×4＝2﹣2．故选：A．6．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE＝CF，∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，设DE＝k，BC＝2k，∴BF＝2k﹣k，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴△DBF∽△ADE，∴＝（）2＝＝﹣1，故选：C．7．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，∴AB∥OC，∴△PBQ∽△COQ，∴＝（）2＝，∴OC＝3PB，∵OC＝8，∴PB＝，∵＝＝，BO＝8，∴OQ＝×8＝6，故选：B．8．【解答】解：A、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；B、∵AD2＝BD•CD，∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，∴△ADC∽△BDA，∴∠BAD＝∠C，∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；C、∵AB2＝BD•BC，∴＝，又∠B＝∠B∴△BAD∽△BCA，∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；故选：D．9．【解答】解：∵点O是△ABC的内心，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，∴BE＝OE，CF＝OF，∴△AEF的周长y＝AE+EF+AF＝AE+OE+OF+AF＝AB+AC，∵△ABC的周长为8，BC＝x，∴AB+AC＝8﹣x，∴y＝8﹣x，∵AB+AC＞BC，∴y＞x，∴8﹣x＞x，∴0＜x＜4，即y与x的函数关系式为y＝8﹣x（x＜4），故选：A．10．【解答】解：∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，∴△ABO与△DCO为1：2，∵点B的坐标为（﹣3，2），∴点C的坐标为（6，﹣4），故选：B．11．【解答】解：设它的实际长度为xcm，根据题意得：1：8000＝25：x，解得：x＝200000，∵200000cm＝2000m，∴该路段实际长度约为2000m．故选：D．12．【解答】解：∵点D，E分别是OA，OB的中点，∴DE＝AB，∵△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，∴△DEF∽△DBA，∴＝，∴△ABC的周长＝2×2＝4．故选：B．二．填空题（共7小题）13．【解答】解：∵∠A是公共角，如果∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ABC；如果＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．14．【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，∴∠BAD＝∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴＝，即＝，解得CF＝，∴AF＝AC﹣CF＝6﹣＝，故答案为：．15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∵四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD＝2，CF＝DE，∵余下的矩形EFCD∽矩形BCDA，∴，即＝，∴CF＝1，∴EC的长＝＝＝，故答案为：．16．【解答】解：设＝＝k（k≠0），则a＝2k，b＝3k，所以＝＝4．故答案是：4．17．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，∴DE：AD＝4：9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝＝，∴＝（）2＝，＝，∴S1：S2：S3＝16：81：36，故答案为：4：9，16：81：36．18．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，∵EM：BC＝2：5，∴＝＝，设AM＝2x，则AC＝5x，故MC＝3x，∴＝＝，故答案为：．19．【解答】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，∴AD＝3，∵AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠EAF，∵∠ADE＝∠C，∴△ADF∽△ACG；∴＝＝，故答案为：．三．解答题（共6小题）20．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴＝，∴DE•CD＝AD•CE；（2）∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC．∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴＝．又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴＝，∴AF•BC＝AD•BE．21．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．22．【解答】解：∵BG：GH：HC＝2：4：3，∴设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，（k≠0）∵DE∥BC，FG∥AB，∴四边形BDFG是平行四边形，∴DF＝BG＝2k，∵DE∥BC，FH∥AC∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF＝HC＝3k，∴DE＝5k∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∵FG∥AB∴∠FGH＝∠B，∴∠ADE＝∠FGH，同理可得：∠AED＝∠FHG∴△ADE∽△FGH∴＝（）2＝，23．【解答】解：（1）设BC＝3x，则AD＝2x，∵△ABC的面积为12，∴×3x×2x＝12，解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），则AD的长＝2x＝4；（2）设GF＝y，则HG＝2y，∵四边形EFGH为矩形，∴HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴＝，即＝，解得，y＝，HG＝2y＝，则矩形EFGH的面积＝×＝．24．【解答】解：△DBH∽△HBC，理由：∵四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，∴A，B，C，D在一条直线上，∠A＝90°，设AB＝x，则AH＝BC＝CD＝x，∴BH＝x，BD＝2x，∴，∵∠HBC＝∠HBC，∴△DBH∽△HBC．25．【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即 ED ＝AD ，又∵ED ＝BE ＝BD ，∴BD ＝AD ，∴AB ＝BD ．九年级下册（人教版）数学单元检测卷：第二十七章相似一、填空题1.如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E.AB交EF于D.给出下列结论：①△ABC≌△AEF;②∠AFC＝∠C；③DF＝CF;④△ADE∽△FDB其中正确的结论是____________(填写所有正确结论的序号)．2.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC和△A′B′C′都是格点三角形，请问△ABC 和△A′B′C′是否相似？答：______________；若相似，它们的相似比等于__________．3.如图，O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF 是位似三角形，位似中心为O.若AD＝AO，则△ABC与△DEF的位似比为__________．4.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.5.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，以原点O为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为____________．7.如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，A、B、C、D、O都在横格线上，且AD、BC为线段．若线段AB＝4 cm，则线段CD＝________ cm.8.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1＝PA，则AB∶A1B1等于________．9.图中的两个四边形相似，则x＋y＝__________，α＝__________.10.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.二、选择题11.如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为()A．1B．C．D．212.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为()A．2B．8C．16D．2413.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是()A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对14.关于对位似图形的表述，下列命题正确的有()①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k·OP′.A．①②③④B．②③④C．②③D．②④15.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为()A．40 mB．60 mC．120 mD．180 m16.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是()A．75米B．25米C．100米D．120米17.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A、B间距离的有()A．4组B．3组C．2组D．1组18.小刚身高180 cm，他站立在阳光下的影子长为90 cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115 cm，那么小刚的手臂超出头顶()A．35 cmB．50 cmC．25 cmD．45 cm19.观察图中各组图形：其中形状相同的有()A．1组B．2组C．3组D．4组20.如图，在平面直角坐标系中，点A在△ODC的OD边上，AB∥DC交OC于点B.若点A、B的坐标分别为(2,3)、(2,1)，点C的横坐标为2m(m＞0)，则点D的坐标为()A．(2m，m)B．(2m,2m)C．(2m,3m)D．(2m,4m)三、解答题21.如图△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(3,0)．(1)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，求△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标．22.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．23.如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，试判断△ADE与△ABC是否会相似．24.如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1,0)．(1)写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标；(2)正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.26.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．27.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝14；(1)求AB、BC的长；(2)如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．28.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)将△ABC向左平移7个单位后再向下平移3个单位，请画出两次平移后的△A1B1C1，若M 为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，直接写出两次平移后点M的对应点M1的坐标；(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．答案解析1.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，∵∠E＝90°，∴∠EFG＋∠EGF＝90°，∴∠AFB＋∠DGC＝90°，∵∠AFB＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DGC，∴△AFB∽△DCG，∴＝，∵AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，∴AF＝3，DG＝1，∴AB2＝AF·DG＝3，∴AB＝.故选C.2.【答案】C【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA，∴OA∶OD＝1∶2，∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶4，∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为16.故选C.3.【答案】A【解析】甲：根据题意，得AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意，得AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3＋2＝5，A′D′＝B′C′＝5＋2＝7，∴＝＝，＝＝，∴≠，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法不正确．故选A.4.【答案】B【解析】①位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；故错误；②位似图形一定有位似中心；正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；正确；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP＝k·OP′；正确．故选B.5.【答案】C【解析】∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PSR，∴＝，即＝，∴PQ＝120.故选C.6.【答案】C【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°.又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC.∴＝，即＝.解得AB＝100米．故选C.7.【答案】B【解析】①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③因为△ABD∽△EFD，可利用＝，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选B.8.【答案】B【解析】设手臂竖直举起时总高度x m，则＝，解得x＝50 cm.故选B.9.【答案】C【解析】(1)组形状相同；(2)组形状相同；(3)组形状相同；(4)组形状不同，较大的图形上多出了上面的图案．故选C.10.【答案】C【解析】∵AB∥CD，∴△OAB和△ODC是以原点为位似中心的位似图形，而B(2,1)，C点的横坐标为2m，∴把A点的纵坐标乘以m可得D点的纵坐标，即点D的横坐标为(2m,3m)．故选C.11.【答案】①②④【解析】在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF，故①正确，∴AC＝AF，∴∠C＝∠AFC，故②正确，∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，故④正确，无法证明DF＝CF，故③错误．12.【答案】相似【解析】△ABC∽△A′B′C′；根据题意，得AC＝1，BC＝，AB＝，A′C′＝，B′C′＝2，A′B′＝，∵＝＝，＝，＝＝，∴＝＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′.13.【答案】【解析】∵O是△ABC内任意一点，D、E、F分别为AO、BO、CO上的点，且△ABC与△DEF 是位似三角形，位似中心为O.AD＝AO，∴＝，则△ABC与△DEF的位似比为.14.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.15.【答案】9∶14【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，∴设①的直角边为x，∴②的直角边为2x，设正方形的边长为y，∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，∴①∶(①＋③)＝1∶42，即x2∶3xy＝1∶42，∴y＝7x，∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.16.【答案】(2，)【解析】∵△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(4,2)，C(6,4)，∴AC的中点是(4,3)，∵将△ABC缩小为原来的一半，∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为(2，)．17.【答案】6【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则E、O、F三点共线，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴CD＝6 cm.18.【答案】3∶2【解析】∵PA1＝PA，∴PA∶PA1＝3∶2，又∵AB∶A1B1＝PA∶PA1∴AB∶A1B1＝PA∶PA1＝3∶2.19.【答案】6385°【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以18∶4＝x∶8＝y∶6，解得x＝36，y＝27，则x＋y＝36＋27＝63.α＝360°－(77°＋83°＋115°)＝85°.20.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.21.【答案】解(1)如图，△DEF和△D′E′F′为所作；(2)点M对应的点M′的坐标为(2a,2b)或(－2a，－2b)．故答案为(2a,2b)或(－2a，－2b)．【解析】(1)把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以－2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；(2)利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．22.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．23.【答案】解△ADE∽△ACB；理由如下：∵AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，∴＝，＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.【解析】由已知条件证出＝，再由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．24.【答案】解(1)如图所示：正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心坐标为(0,0)；(2)∵点C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝x上，点A1的坐标为(1,0)，∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2，则A3O＝A3C3＝4，∴OA4＝A4C4＝8，则OA5＝16，故A4(8,0)，A5(16,0)，B4(16,8)，C4(8,8)．【解析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点，进而得出答案；(2)利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长，进而得出答案．25.【答案】证明∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.【解析】先根据垂直的定义，得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C.再由∠B＝∠B即可得出结论．26.【答案】解在△ABC与△AMN中，＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A ＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴＝，即＝，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．27.【答案】解(1)∵AD∥BE∥CF，∴＝＝，∴＝，∵AC＝14，∴AB＝4，∴BC＝14－4＝10；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，∴AD＝HE＝GF＝7，∵CF＝14，∴CG＝14－7＝7，∵BE∥CF，∴＝＝，∴BH＝2，∴BE＝2＋7＝9.【解析】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出＝，即可求出AB的长，得出BC的长；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．28.【答案】解(1)所画图形如下所示，其中△A1B1C1即为所求，根据平移规律：左平移7个单位，再向下平移3个单位，可知M1的坐标(a－7，b－3)；(2)所画图形如下所示，其中△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(－1，－4)．【解析】(1)找出三角形平移后各顶点的对应点，然后顺次连接即可；根据平移的规律即可写出点M平移后的坐标；(2)根据位似变换的要求，找出变换后的对应点，然后顺次连接各点即可．。

2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章《相似》单元培优测试卷(Word版含解析)

2020-2021学年九年级下册数学第27章《相似》单元培优测试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．如图，DE∥AB，如果CE：AE＝1：2，DE＝3，那么AB等于（）A．6 B．9 C．12 D．132．分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．有一个角为110°的两个等腰三角形C．有一个角为55°的两个等腰三角形D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形3．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8 B．6 C．D．24．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF＝B．EF＝C．CD＝D．BF＝6．如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′＝1：2D．AB∥A′B′8．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D 在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm29．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2﹣2．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN ：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（每题4分，共20分）11．已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB•AP，则的值等于．12．如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于．13．如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A 1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A2020OC2020B2020的对角线交点的纵坐标为．三．解答题（每题10分，共50分）16．如图，AB∥EF∥CD．（1）AB＝10，CD＝15，AE：ED＝2：3，求EF的长．（2）AB＝a，CD＝b，AE：ED＝k，求EF的长．17．如图所示，在▱ABCD中，AE：EB＝1：2．（1）求△AEF与△CDF的周长比；（2）如果S△AEF ＝6cm2，求S△CDF和S△ADF．18．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC 向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．参考答案一．选择题1．解：∵DE∥AB，∴△CED∽△CAB，∴＝，即＝，解得，AB＝9，故选：B．2．解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；有有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；因为110°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴B一定相似；一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴D不一定相似；故选：B．3．解：若b是a、c的比例中项，即b2＝ac．42＝2c，解得c＝8，故选：A．4．解：∵，∴DE∥BC，∵，∴DE∥BC，∵，∴DE∥BC，故选：B．5．解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，∴，即，解得：DF＝，∴BF＝BD+DF＝，故选：D．6．解：∵在▱ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．7．解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．故选：C．8．解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝∠ACF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴AE＝AF，BE＝CF．故①正确；∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠EAB＝∠CEF，故②正确；∵∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°，∵∠AEB＜60°，∴△ABE和△EFC不会相似，故③不正确；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BG＝2，AG＝2，在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴AG＝GE＝2，∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴∠ABE＝∠ACF＝120°，EB＝CF＝2﹣2，∴∠FCE＝60°，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝2﹣2，∴CH＝﹣1．∴FH＝（﹣1）＝3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣，故④不正确．综上，正确结论的个数是2个，故选：B．10．解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN ＝AN•FG＝2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，∴S△AFN ：S△ADM＝1：4故④正确，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：根据黄金分割定义可知：∵BP 2＝AB •AP ，设AB 为1，则AP ＝1﹣BP ，∴BP 2＝1•（1﹣BP ）BP 2+BP ﹣1＝0，解得BP ＝（舍去）∴BP ＝．故答案为． 12．解：∵AD ＝DC ＝5，AB ＝10，∠A ＝90°，∴BD ＝＝5，∵∠ADB ＝∠CDE ，∠A ＝∠E ＝90°，∴△ABD ∽△ECD ， ∴＝， ∴＝，∴DE ＝，∴BE ＝BD +DE ＝6，故答案为6．13．解：如图，设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ，则由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ， ∴＝，∵l ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴＝＝＝，设AE ＝AD ＝x ，则＝，∴x＝，∴BE＝CD＝2﹣，∴BC＝2﹣2（2﹣）＝4﹣4．14．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，∴＝，＝，即＝，＝，解得，OD＝6，OF＝6，则点E的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）．15．解：∵四边形AOCB为矩形，OA＝2，OC＝1，∴矩形AOCB的对角线交点的纵坐标为，∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1的对角线交点的纵坐标为×，…∴矩形A2020OC2020B2020的对角线交点的纵坐标为×（）2020＝，故答案为：．三．解答题（共5小题）16．解：（1）过点A作AN∥BC交CD于N，交EF于M，如图，∵AB∥EF∥DC，∴四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，∴AB＝MF＝NC＝10，∴DN＝CD﹣CN＝15﹣10＝5，∵EM∥DN，∴＝＝，∴EM＝×5＝2，∴EF＝EM+MF＝2+10＝12；（2）∵四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，∴AB＝MF＝NC＝a，∴DN＝CD﹣CN＝a﹣b，∵EM∥DN，∴＝＝，∴EM＝DN＝（a﹣b），∴EF＝EM+MF＝（a﹣b）+a＝．17．解：（1）∵AE：EB＝1：2，∴AE：AB＝1：3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF∴C△AEF ：C△CDF＝EF：DF＝AE：CD＝AE：AB＝1：3，即△AEF与△CDF的周长比为1：3；（2）∵△AEF∽△CDF，∴S△AEF ：S△CDF＝（AE：CD）2，即6：S△CDF＝（1：3）2∴S△CDF＝6×9＝54 cm2．∵＝＝，∴S △ADF ＝3×6＝18（cm 2）．18．解：（1）由题意可得：FC ∥DE ，则△BFC ∽BED ，故，即，解得：BC ＝3；（2）∵AC ＝5.4m ，∴AB ＝5.4﹣3＝2.4（m ），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC ＝∠GBA ，又∵∠FCB ＝∠GAB ，∴△BGA ∽△BFC ， ∴＝， ∴，解得：AG ＝1.2（m ），答：灯泡到地面的高度AG 为1.2m ．19．解：（1）如图，点P 为所作，P 点坐标为（3，1）；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作，C 2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．20．解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，过点P作PH⊥BC于点H，则PH＝（10﹣2t）cm，根据题意，得t•（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．。

2020—2021年人教版初中数学九年级下册图形的相似期末专项复习题及答案(精品试题).docx

初三数学期末复习专题提优《图形的相似》图形的相似在解决几何问题时有强大的功能，其中基本形状—K 型图为处理垂直问题提供了一种有效的策略.所谓K 型图，其实是一线三等角的一种特殊情况，即在一条直线上存在三个直角这样的基本图形(如图所示).当遇到直角的问题时，我们可以通过作垂直，构造K 型图解决问题.1.如图，等腰直角ABC ∆的直角边长为3,P 为斜边BC 上一点，且1,BP D =为AC 上一点，若45APD ∠=︒，则CD 的长为( ) A.53 B. 2313- C. 3213- D. 352.如图，在边长为9的正方形ABCD 中，F 为AB 上一点，连接CF .过点F 作FE CF ⊥，交AD 于点E ,AF =3，则AE 等于( )A. 1B. 1.5C. 2D. 2.53.如图，D 是等边ABC ∆边AB 上的一点，且:1:2AD DB =，现将ABC ∆折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点,EF 分别在AC 和BC 上，则:CE CF = ( )A.34 B. 45 C. 56 D. 674.如图，点A 在反比例函数6(0)y x x =-<的图像上，点B 在反比例函数1(0)y x x=>的图像上，且90AOB ∠=︒，则AOOB的值为( ) A. 6 B. 3 C.6 D. 25.如图，ABCD 是边长为1的正方形，动点E 在BC 边上，AEF ∠是直角，边EF 交DC 于F ，当线段FC 最长时，BE 的长为( ) A.15 B. 14 C. 13 D. 126.如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,8,AD BC ABC AB ∠=︒=3,AD =4BC =，点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是( )A. 1B. 2C.3D. 47．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，E 是AB 上一点，且DE ⊥CE ．若AD =1，BC =2，CD =3，则CE 与DE 的数量关系正确的是（）A ．CE =DE B ．CE =DE C ．CE =3DE D ．CE =2DE8．如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上．若BF =，则小正方形的周长为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB =90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则的值为（）A ．B ．C ．D ．10.如图，直线2y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点,,(1,0)A B C -，且圆C 的半径为1，若BD 切圆C 于点D ，点D 在第二象限，则点D 坐标为 .11.如图，将一张矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上.在OC 边上取一点D ，将纸片沿BD 翻折，使点C 落在OA 边上的点E 处.若OA =10,CD =5，则点E 的坐标为 .12.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，,G F 分别为,AD BC 边上的点，若1,2,90,AG BF GEF ==∠=︒则GF 的长为 .13.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，已知A 点坐标为(3,0),B 点坐标为(0,4),P 点坐标为(4,2)，过点P 作直线AB 的垂线，垂足为E ，则E 点坐标是 .14.如图，,,,A B C D 依次为一直线上的四个点，2,BC BCE =∆为等边三角形，⊙O 过,,A D E 三点，且120AOD ∠=︒.设,AB x CD y ==，则y 与x 的函数表达式为 .15.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，已知A 点坐标为(3,0),B 点坐标为(0,4)，画出原点O 关于直线AB 的对称点M ，则M 点坐标为 .16．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为．17. 如图，已知△ABC , △DCE , △FEG , △HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一条直线上，且AB =2，BC =1. 连接AI ，交FG 于点Q ，则QI =_____________.A D F HQB C E G I（第17题）18.如图，在等边ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且60,3,2ADE BD CE ∠=︒==，求ABC ∆ 的边长.19.如图，长方形ABCD 中， 4,3,AB AD E ==是边AB 上一点(不与,A B 重合)，F 是边BC 上一点(不与,B C 重合).若DEF ∆和BEF ∆是相似三角形，求CF 的长.20.如图，矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，点M 为边BC 的中点，点P 为边CD 上的动点 (点P 异于,C D 两点).连接PM ，过点P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E .设,CP x DE y ==.(1)写出y 与x 之间的函数表达式: ; (2)若点E 与点A 重合，则x 的值为 ;(3)是否存在点P ，使得点D 关于直线PE 的对称点D '落在边AB 上?若存在，求x 的值;若不存在，请说明理由.21.如图，在平面直角坐标系中，以点B (0,8)为端点的射线//BG x 轴，点A 是射线BG 上的一个动点(点A 与点B 不重合)，在射线AG 上取AD OB =，作线段AD 的垂直平分线，垂足为E ,且与x 轴交于点F ，过点A 作AC OA ⊥，交射线EF 于点C ，连接,OC CD ，设点A 的横坐标为t .(1)用含t 的式子表示点E 的坐标为 ; (2)当t 为何值时， 180OCD ∠=︒?22.如图，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=︒，,BD BE ⊥ AD BC =.(1)求证: AC AD CE =+;(2)若3,5AD CE ==，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ DP ⊥，交直线BE于点Q .(I)当点P 与,A B 两点不重合时，求DPPQ的值; (II)当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径(线段)长.(直接写出结果，不必写出解答过程)23．在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，H 为BE 上的一点，，连接CH 并延长交AB于点G ，连接GE 并延长交AD 的延长线于点F ．（1）求证：；（2）若∠CGF=90°，求的值．参考答案1.C2.C3.B4.C5.D6.C7.B8.C9.A10.84(,)55- 11.(4,0) 12. 3 13. 124(,)5514. 4(0)y x x => 15. 9672(,)252516.21 17. QI =34 18. ABC ∆为等边三角形，边长为9. 19. 53CF =或3220.(1)24y x x =-+ (2)22+或22- (3)存在，当222x -=时，y <2，此时，点E 在AD 上，符合题意. 21.(1)(4,8)E t + (2)44t =-22.(1)()ABD CEB AAS ∆≅∆,∴AC AD CE =+ (2)(Ⅰ)作如图辅助线，则BFQ ∆∽BCE ∆, ∴ ADP ∆∽FPQ ∆,AD APPF QF∴=，即35APAP BF QF=-+，整理得，AP BF =，由ADP ∆∽FPQ ∆得DP AP PQ QF =，35DP PQ ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,53QF AP =,当P 运动到AC 中点时，20,43QF BF ==， 2211234223MN BQ BF QF ==+=， ∴线段DQ 的中点所经过的路径长为2343. 23. （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD ∥AB ，AD=BC ，AB=CD ，AD ∥BC ， ∴△CEH ∽△GBH ， ∴．（2）解：作EM ⊥AB 于M ，如图所示：则EM=BC=AD ，AM=DE ，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：=3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==3．。

专题27.6位似-2020-2021学年九年级数学下册尖子生培优题典(原卷版)

20202021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题27.6位似姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•河北模拟）如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（4，0）、（2，﹣3），△AB ′O ′是△ABO 关于点A 的位似图形，且O '的坐标为（﹣2，0），则点B '的坐标为（）A ．（1，﹣5）B ．（32，﹣5）C ．（1，−92）D ．（32，−92） 2．（2019秋•河北区期末）平面直角坐标系中，点E （﹣4，2），F （﹣1，﹣1），以原点O 为位似中心，把△EFO 缩小为△E ′F ′O ，且△E ′F ′O 与△EFO 的相似比为1：2，则点E 的对应点E ′的坐标为（）A ．（2，﹣1）B ．（8，﹣4）C ．（2，﹣1）或（﹣2，1）D ．（8，﹣4）或（﹣8，4）3．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，2），B （1，1），C （3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（）A ．√5B ．2C ．4D ．2√54．（2019•无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1是以点P 为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P 的坐标为（）A ．（﹣4，﹣3）B ．（﹣3，﹣4）C ．（﹣3，﹣3）D ．（﹣4，﹣4）5．（2018•潍坊）在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为（）A ．（2m ，2n ）B ．（2m ，2n ）或（﹣2m ，﹣2n ）C ．（12m ，12n ） D ．（12m ，12n ）或（−12m ，−12n ） 6．（2020春•永年区期末）在平面直角坐标系中，A （1，2），B （4，6），若把线段AB 扩大2倍得线段A 'B '，若A ′（2，4），则B ′的坐标可以是（）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（8，12）D ．（12，8）7．（2020•长葛市一模）如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49，则AO ：AD 的值为（）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．4：138．（2019•娄底模拟）如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OEEA =34，则FG BC 的值为（）A ．34B ．43C ．37D ．47 9．（2020•渝北区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，1），B （﹣1，2），以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABO 放大，则点B 的对应点B ′的坐标是（）A ．（﹣4，2）B ．（﹣2，4）C ．（﹣4，2）或（﹣2，4）D ．（﹣2，4）或（2，﹣4）10．（2019春•招远市期末）如图，以某点为位似中心，将△OAB 进行位似变换得到△DFE ，若△OAB 与△DFE 的相似比为k ，则位似中心的坐标与k 的值分别为（）A ．（2，2），2B ．（0，0），2C ．（2，2），12D ．（0，0），12二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019•滨州）在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为A （﹣2，4），B （﹣4，0），O （0，0）．以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO ，则点A 的对应点C 的坐标是．12．（2020•兰州）如图，四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′位似，位似中心为点O ，OC ＝6，CC ′＝4，AB ＝3，则A ′B ′＝．13．（2020•苏家屯区一模）如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且BC ：EF ＝3：2，则S △ABC ：S △DEF ＝．14．（2019秋•沈河区期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2.5，5），B （5，0），以坐标原点为位似中心，将线段AB 在第一象限内缩小得到线段CD ，其中点A 对应点C ，点B 对应点D ，若点C 的坐标为（1.25，2.5），则点D 的坐标为．15．（2019秋•铁西区期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O 和点P 也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点．16．（2020春•海淀区校级期末）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，且OA ＝8，OC ＝6，点B 在第二象限，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14．那么点B ′的坐标是．17．（2020秋•松江区月考）如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，这个点叫做位似中心．如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB ＝4．则A 1B 1的长为．18．（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，已知A （2，3），则点A 1的坐标是．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•来宾期末）如图，已知O 是坐标原点，AB 两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以点O 为位似中心，在y 轴的左侧将△OAB 放大2倍；（2）分别写出A ，B 两点的对应点A '，B '的坐标．20．（2019秋•西城区期末）如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A （﹣2，4），B （﹣4，0），O （0，0），以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为12．21．（2018秋•苏州期末）如图，在正方形网格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．以点O 为位似中心，把△ABC 按相似比2：1放大，得到对应的△A 'B 'C '．（1）请在第一象限内画出△A 'B 'C '；设D （a ，b ）为线段AC 上一点，则点D 经过上述变换后得到的对应点D '的坐标为（用含a 、b 的式子表示）；（2）△A 'B 'C '的面积为．22．（2019秋•唐山期末）如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．（1）求证：△ADP∽△BCP；（2）直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形？（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．23．（2016•盐城）如果两个一次函数y＝k1x+b1和y＝k2x+b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+4是“平行一次函数”（1）若函数y＝kx+b的图象过点（3，1），求b的值；（2）若函数y＝kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y＝kx+b的表达式．24．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．（1）求证：四边形PQMN为正方形；（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．。

九年级数学下册第27章相似测试题(含答案新人教版)

九年级数学下册第27章相似测试题（含答案新人教版）实用精品文献资料分享知识点3 相似多边形 6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A) A.23 B.32 C.49 D.94 7．(2021?重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C) A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 8．下列四组图形中，一定相似的是(D) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝325，α＝80°． 10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，A′B′＝12AB. ∴∠OA′B′＝∠OAB，A′B′AB＝12. 同理，∠OA′D′＝∠OAD，A′D′AD＝12. ∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′A B＝A′D′AD. 同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，A′B′AB＝A′D′AD＝D′C′DC＝B′C′BC，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．易错点没有分情况讨论导致漏解 11．已知三条线段的长分别为1实用精品文献资料分享cm、2 cm、2 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2__cm，22__cm或22__cm.02 中档题 12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C) A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小 13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B) A．2 B．3 C．－3 D．3或－3 14．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 15．(教材P28习题T5变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4. (1)求ADAB，AEAC，DEBC的值； (2)求证：△ADE与△ABC相似. 解：(1)ADAB＝1.54.5＝13， AEAC＝1.85.4＝13， DEBC＝39＝13. (2)证明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C. 又∵∠DAE＝∠BAC，ADAB＝AEAC＝DEBC，∴△ADE与△ABC相似．16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG. ∴AE＝EG＝FG＝AF. 又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE为正方形．∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．03 综合题 17．(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4. (1)求AD的长； (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝x2. ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴ADAB＝DCDM，即x4＝4x2.解得x＝42(舍负)．∴AD的长为42. (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为 DCAD＝442＝22. 27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例 01 基础题知识点1 相似三角形的有关概念 1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A) A.ADAC＝AEAB＝DEBC B.ADAB＝AEAC C.ADAE＝ACAB＝DEBC D.AEEC＝DEBC 2．已知△ABC和△A′B′C′相实用精品文献资料分享似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D) A．R1＝R2 B．R1R2＝－1 C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1知识点2 平行线分线段成比例定理及推论 3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C) A.ACCE＝BDDF B.ACAE＝BDBF C.BDCE＝ACDF D.AECE＝BFDF 4．(教材P31练习T2变式)如图，在△ABC中，DE∥BC.若ADDB＝23，则AEEC＝(C) A.13 B.25 C.23 D.35 5．(2021?临沂)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若BOOC＝23，AD＝10，则AO＝4． 6．(2021?嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知ABAC＝13，则EFDE＝2． 7．如图，EG∥B C，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．解：∵EG∥BC，∴AEEB＝AGGC. ∵GF∥CD，∴AGGC＝AFFD. ∴AEEB＝AFFD，即32＝6FD. ∴FD＝4. ∴AD＝AF＋FD＝10. 知识点3 相似三角形判定的预备定理 8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则(B) A.ADAB＝12 B.AEEC＝12 C.ADEC＝12 D.DEBC＝12 9．(2021?自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1. 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点图形的不唯一导致漏解 11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6或12．02 中档题 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C) A．4 B．3 C．2.4 D．213．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝12cm. 14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，实用精品文献资料分享遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A? 解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. ∴ADAB＝DEBC，即ADAD＋8＝1018.∴AD＝10. 答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A. 15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG. 证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE. ∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED. ∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE. ∴AFAD＝AGAE＝FGDE. ∴AFAB＝AGAC＝FGBC. 又∵∠C＝∠AED＝∠G，∠B＝∠ADE＝∠F，∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.03 综合题 16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC. ∴EGBC＝AEAB，即EG10＝35.∴EG＝6. ∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD.∴EFAD＝BEBA，即EF6＝5－35.∴EF＝125. ∴FG＝EG－EF＝185. 第2课时相似三角形的判定定理1，2 01 基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(A) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 2．(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B) 4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵ACAE＝2021＝53，ABAD＝2515＝53， BCDE＝4024＝53，∴ACAE＝ABAD＝BCDE. ∴△ABC∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C) 6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C) A.ACAD＝ABAE B.ACAD＝BCDE C.ACAD＝ABDE D.ACAD＝BCAE 7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，实用精品文献资料分享BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′. 8．如图，已知AB?AD ＝AC?AE，∠B＝30°，则∠E＝30°． 9．如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴DQPC＝ADCQ＝21. 又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.易错点对应边没有确定时容易漏解 10. (2021?随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝125或53时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 02 中档题 11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 12．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若ADAC＝12，求AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C. 又∵ADAC＝DFCG，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG.∴ADAC＝AFAG＝12. ∴AFFG＝1.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm. ①∵∠PBQ＝∠ABC，∴若△BPQ∽△BAC，则还需BPBA＝BQBC，即5t10＝8－4t8.解得t＝1. ②∵∠PBQ＝∠CBA，∴若△BPQ∽△BCA，则还需BPBC＝BQBA，即5t8＝8－4t10.解得t＝3241. 综上所述，当t＝1或3241时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．03 综合题 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD. (1)通过计算，判断AD2与AC?CD 的实用精品文献资料分享大小关系； (2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD＝BC＝5－12，∴AD2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC＝1，∴CD＝1－5－12＝3－52. ∴AD2＝AC?CD. (2)∵AD2＝AC?CD，∴BC2＝AC?CD，即BCCD＝ACBC. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴ABBD＝ACBC. 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD. ∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝感谢您的阅读，祝您生活愉快。

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2020-2021初三培优易错试卷相似辅导专题训练及详细答案一、相似1．在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，∴∠BAP=∠CPM=∠C，∴MP=MC∵tan∠PAC=，设MN=2m,PN=m,根据勾股定理得，PM=,∴tanC=（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴ =同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC= =【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

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第27章相似专项训练专训1 巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．三角形的内接正三角形问题1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．(第1题)三角形的内接矩形问题2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DE EF＝1 2.(第2题)三角形的内接正方形问题(方程思想)3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N 分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？(第3题)4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：DPBQ＝PEQC.(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图③，求证：MN2＝DM·EN.(第4题)专训2 图形的相似中五种热门考点名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而针对成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．成比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是( ) A ．2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB ．2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD ．2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c＝________. 3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________(5≈2.236，结果精确到0.01)．(第3题)平行线分线段成比例4．如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF相等的是( ) A .AB EF B .CD EF C .BO OE D .BC BE(第4题)(第5题) 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6．如图，在△ABC 中，AM MD ＝4，BD DC ＝23，求AE EC的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE ED＝31，CE 的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF S四边形ABCE为( )A．3 4 B．4 3 C．79 D．97(第7题)(第9题)8．若两个相似多边形的面积之比为14，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．9．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________．10．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．(第10题)11．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第11题)相似三角形的应用12．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立(BN)时的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1 m)．(第12题)13．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)(第13题)位似(第14题)14．如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形AB′C′D′，则点C′的坐标为________．15．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC 的顶点均是小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1 2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．(第15题)答案专训11．证明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO，CEC′E′＝OEOE′.又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO，DED′E′＝OEOE′.∴∠CED＝∠C′E′D′，CEC′E′＝DED′E′.∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．(第2题)2．解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC 上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG为△ABC的内接矩形，且DE EF ＝1 2.3．解：设符合要求的正方形PQMN 的边PN 与△ABC 的高AD 相交于点E. 设正方形PQMN 的边长为x mm ，∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC.∵△APN 与△ABC 的对应点都经过点A ，∴△APN 与△ABC 是以点A 为位似中心的位似图形．∴AE AD ＝PN BC .∴80－x 80＝x 120.解得x ＝48. 即这个正方形零件的边长是48 mm .点拨：利用位似图形的性质“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，构造方程，利用方程思想解决问题．4．(1)证明：在△ABQ 和△ADP 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ ＝AP AQ. 同理△ACQ ∽△AEP ，∴PE QC ＝AP AQ .∴DP BQ ＝PE QC. (2)①解：MN ＝29. ②证明：∵∠B ＋∠C ＝90°，∠CEF ＋∠C ＝90°.∴∠B ＝∠CEF.又∵∠BGD ＝∠EFC ＝90°，∴△BGD ∽△EFC.∴DG CF ＝BG EF. ∴DG ·EF ＝CF ·BG.又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF ·BG.由(1)得DM BG ＝MN GF ＝EN CF .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫MN GF 2＝ DM BG ·EN CF ，即MN 2FG 2＝DM ·EN BG ·CF ，∴MN 2＝DM ·EN.专训21．A 2.4 3.49.44 cm 4.D 5.3 cm(第6题)6．解：过D 点作DN ∥AC ，交BE 于N ，如图．易知△DMN ∽△AME ，△BDN ∽△BCE.∵BD DC ＝23，∴BD BC ＝25. ∴DN CE ＝BD BC ＝25. ∵AM MD ＝4，∴AE DN ＝AM MD＝4. ∴AE EC ＝DN EC ·AE DN ＝25×4＝85. 7．D 8.6，129．4或247点拨：∵△ABC 沿EF 折叠，B 和B ′重合，∴BF ＝B ′F.设BF ＝x ，则CF ＝8－x ，当△B ′FC ∽△ABC 时，B ′F AB ＝CF BC .∵AB ＝6，BC ＝8，∴x 6＝8－x 8，解得：x ＝247，即BF ＝247；当△FB ′C ∽△ABC 时，FB ′AB ＝FC AC ，则x 6＝8－x 6，解得：x ＝4.故BF ＝4或247. 10．(1)证明：∵E 是Rt △ACD 的斜边的中点，∴DE ＝EA.∴∠A ＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD.又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC.∴FB FD ＝FD FC.∴FD 2＝FB ·FC.(2)解：∵FB ＝5，BC ＝4，∴FC ＝9.∵FD 2＝FB ·FC ，∴FD 2＝45.∴FD ＝3 5.11．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°.又∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.∴∠CBE ＝∠CDF.∴∠CBE ＋∠BEC ＝∠CDF ＋∠DEM ＝90°.∴BM ⊥DF.(2)解：易知∠CBD ＝45°.∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBM ＝∠FBM ＝22.5°.由(1)知∠BMD ＝∠BMF ＝90°，∴∠BDM ＝∠F ＝67.5°.∴BD ＝BF.∴DM ＝FM ＝12DF. ∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝BF ＝22，∴CF ＝22－2.在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝4＋(22－2)2＝16－8 2.∴DM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DF 22＝4－2 2. ∵∠CDF ＝∠DBM ，∠DME ＝∠BMD ，∴△DME ∽△BMD.∴DM MB ＝ME DM，即DM 2＝ME ·MB.∴ME ·MB ＝4－2 2. 12．解：设CD ＝x m ．∵AM ⊥EC ，BN ⊥EC ，CD ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN.又MA ＝EA ，∴EC ＝CD ＝x m ．易知△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75，解得x ＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD 约为6.1 m .13．解：如图，过点C 作CM ∥AB ，分别交EF ，AD 于点N ，M ，作CP ⊥AD ，分别交EF ，AD 于点Q ，P.由题意得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm .∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ＝8 cm .∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD.∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240，解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm )．即横梁EF 的长应为44 cm .(第13题)(第15题)14．(2，1)或(0，－1)15．解：(1)△A′B′C′如图所示．(2)如图，四边形AA′C′C的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC＝2＋22＋2＋42＝4＋6 2.。

2020-2021初三数学相似的专项培优练习题(含答案)附详细答案

2020-2021初三数学相似的专项培优练习题(含答案)附详细答案一、相似1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=（3）解：存在，易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC•OB= ×3×4=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），①当N点在AC上，如图1，∴△AMN的面积为△ABC面积的，∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，∴tan∠MAC= =4；当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，∴tan∠MAC= =1；②当N点在BC上，如图2，BC= =2 ，∵BC•AN= AC•BC，解得AN= ，∵S△AMN= AN•MN=2，∴MN= = ，∴∠MAC= ；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN= ﹣t，由②得AH= ，则BH= ，∵∠NBG=∠HBA，∴△BNM∽△BHA，∴，即，∴MN= ，∵AN•MN=2，即•（﹣t）• =2，整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。

2020-2021初三培优相似辅导专题训练及详细答案

2020-2021初三培优相似辅导专题训练及详细答案一、相似1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？（2）若设AK=x，S EFGH=y，试写出y与x的函数解析式．（3）x为何值时，S EFGH达到最大值．【答案】（1）解：设边长为xcm，∵矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，∵BE+AE=AB，∴ + = + =1，解得x= ，∴AK= ，∴当时，矩形EFGH为正方形（2）解：设AK=x，EH=24-x，∵EHGF为矩形，∴ = ，即EF= x，∴S EFGH=y= x•（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）（3）解：y=- x2+16x配方得：y= （x-12）2+96，∴当x=12时，S EFGH有最大值96【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。

（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。

（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。

2．已知线段a，b，c满足，且a＋2b＋c＝26.（1）判断a，2b，c，b2是否成比例；（2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值．【答案】（1）解：设，则a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。

九年级数学尖子生培优竞赛压轴题专题辅导第四章图形的相似47页

A. B. C. D.
答案：C
★★变式2：如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，则下列式子不正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
命题角度2：利用平行线分线段成比例求值
例6：如图，点F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于点G、E，若EF=32，GE=8，求BE.
（2）判定相似多边形的条件：①所有的角分别相等；②所有的边成比例.
（3）相似多边形的性质：
①相似多边形对应边的比相等，对应角相等；
②相似多边形周长的比等于相似比；
③相似多边形对应对角线的比等于相似比；
④相似多边形面积的比等于相似比的平方.
命题角度：相似多边形的性质与判定
例7：如图，矩形ABCD剪去一个以宽为边长的正方形ABFE后，剩下的矩形EFCD的长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比.
③在判断成比例线段时，长度单位必须相同。
命题角度1：判断线段是否成比例
方法：一排（排顺序）、二算（算比值或乘积）、三判（是否成比例）.
例1：给出下列各组线段，其中成比例线段是
A.a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cm
B.a＝ cm，b＝ cm，c＝ cm，d＝ cm
C.a＝ cm，b＝ cm，c＝ cm，d＝2 cm
例9：如图，正方形ABCD的边BC恰好在△ECG的边EC上，点D在边EG上，AB与EG交于点F.
（1）求证：△FAD∽△FBE；
（2）若正方形的边长为5，EF:FD:DG=2：1：1，求△ECG的面积。
答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠ABE＝90°，∴∠FAD＋∠FBE＝90°，∵∠GFB＝∠DFA，∴△FAD∽△FBE；

2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章《相似》章节培优训练(一)(含答案)

九年级下册第27章《相似》章节培优训练（一）1．已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：．2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，＝．（1）求证：DF∥BE；（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6，求的值．3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．4．（1）如图1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分别为B、E，且C是l上一点，∠ACD＝90°，求证：△ABC∽△CED；（2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝5，求BD的长．5．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）△ABE与△BEF相似吗？为什么？6．如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝4，⊙O的半径为5．求BF的长．7．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AF平分∠BAC，求证：AC2＝2AG•AF．8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．（1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE；（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．9．一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D、E、F分别在BC、AB、AC上．设EF＝x，请解答下列问题：（1）若矩形CDEF的面积为8，求x的值；（2）矩形CDEF的面积能否为10？给出你的结论并说明理由．10．如图，E是边长为8的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝2，EF⊥DE交BC于点F．求线段CF的长．参考答案1．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴＝＝，（）2＝•，∴．2．（1）证明：∵DE∥BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴DF∥BE；（2）解：∵AF＝2，EF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，＝＝，∴＝，∴AD＝AB＝2，BD＝2AD＝4，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEB，∴＝＝．3．证明：（1）∵AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△CBE，∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB；（2）∵DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，∴△ADB∽△ADE，∴＝，∵△ABE∽△ACB，∴＝，∴AD＝，∴＝＝，∴AB•EC＝BC•AE．4．证明：（1）∵AB⊥l，DE⊥l，∴∠ABC＝∠CED＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠BAC＝∠DCE，∴△ABC∽△CED；（2）如图，连接AC，∵∠ABC＝90°，∴AC＝，∵AD＝5，CD＝10，∴△ACD满足AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，如图，过点D作DE⊥BC延长线于点E，由（1）得此时△ABC∽△CED，∴，∴CE＝6，DE＝8，在Rt△BDE中，BD＝．5．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，设AB＝AD＝CD＝4a，∵E为边AD的中点，CF＝3FD，∴AE＝DE＝2a，DF＝a，∴，∴又∵∠A＝∠D＝90°∴△ABE∽△DEF．（2）∵△ABE∽△DEF，∴∴∠AEB＝∠DFE∠ABE＝∠DEF∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠BEF＝90°又∵，∠A＝90°∴，∠A＝∠BEF＝90°∴△ABE∽△EBF．6．证明：（1）连接OD，BC，OD与BC相交于点G，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，∴四边形DECG为矩形，∴CG＝DE＝4，∴BC＝8，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∴AC＝＝6，OG＝AC＝3，GD＝2，在矩形GDEC中CE＝GD＝2，∴AE＝8．∵D为弧BC的中点，∴∠EAD＝∠FAB，∵BF切⊙O于B，∴∠FBA＝90°．又∵DE⊥AC于E，∴∠E＝90°，∴∠FBA＝∠E，∴△AED∽△ABF，∴，∴∴BF＝5．7．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵EF⊥AC，∴∠FEC＝90°＝∠ABC，又∵∠FCE＝∠ACB，∴△CEF∽△CBA，∴＝，又∵∠ACF＝∠BCE，∴△CAF∽△CBE；（2）∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF＝∠CBE，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，∴∠BAF＝∠CBE，∴∠BAF+∠AFB＝∠CBE+∠AFB＝90°，即∠ABF＝∠BGA＝90°，∵∠BAG＝∠BAF，∴△ABF∽△AGB，∴＝，∴AB2＝AG•AF，∵正方形ABCD中，AC2＝2AB2，∴AC2＝2AG•AF8．证明：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴，即DE•CD＝DF•BE；（2）由（1）可得：△BDE∽△CFD，∴，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴，∵∠B＝∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF．9．解：（1）∵∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，EF＝x，四边形CDEF为矩形，∴∠AFE＝90°，AE＝2x，AF＝＝x，同理：AC＝6，∴CF＝6﹣x，∵矩形CDEF的面积为8，∴x（6﹣x）＝8，解得：x＝2或4；故x的值为2或4；（2）不能，理由是：由（1）知：S 矩形CDEF＝x（6﹣x）若S 矩形CDEF＝10，即x（6﹣x）＝10，即x2﹣6x+10＝0，∵△＝62﹣4×1×10＝﹣4＜0，∴此方程无解，故矩形面积不能为10．10．解：∵ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠DEA＝90°，又EF⊥DE，∴∠AED+∠FEB＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，∴△ADE∽△BEF．∴＝，∴＝，∴BF＝∵BC＝8，∴CF＝BC﹣BF＝．。

专题27.1图形的相似-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题27.1图形的相似姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•红桥区期末）下列各组图形中，是相似图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解析】A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；故选：D．2．（2019秋•榆次区期中）在如图所示的各组图形中，相似的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【分析】根据相似多边形的性质对各组多边形进行逐一判断即可．【解析】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，∴两图形不相似；②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等， ∴两正方形相似；③∵菱形的角相等，对应边的比也相等， ∴两个菱形相似．④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等， ∴两个矩形不一定相似．故选：C ．3．（2018秋•丰顺县期末）如图所示的三个矩形中，其中相似形是（）A ．甲与乙B ．乙与丙C ．甲与丙D ．以上都不对【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等就可以．【解析】因为43≠21，故甲与乙不相似；因为21=42，故乙与丙相似；因为43≠42，故甲与丙不相似．故选：B ．4．（2019秋•东营期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【解析】矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A 符合题意；锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、D不符合题意；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故C不符合题意．故选：A．5．（2020•亳州模拟）下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个等腰三角形【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【解析】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．6．（2018秋•福田区校级期末）下列说法正确的是（）A．菱形都是相似图形B．矩形都是相似图形C．等边三角形都是相似图形D．各边对应成比例的多边形是相似多边形【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，故选：C．7．（2019秋•浦东新区校级月考）下列说法中，正确的是（）A．等腰三角形都是相似形B．等边三角形都是相似形C．平行四边形都是相似形D．菱形都是相似形【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故错误，不符合题意； B 、等边三角形都是相似形，正确，符合题意；C 、平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；D 、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意，故选：B ．8．（2019秋•普宁市期中）已知A 4纸的宽度为21cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A 4的高度约为（）A ．29.7cmB ．26.7cmC ．24.8cmD ．无法确定【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】设A 4纸的高度为xcm ，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似， ∴12x 21=21x，解得，x 1＝﹣21√2（舍去），x 2＝21√2≈29.7，则设A 4纸的高度为29.7cm ，故选：A ．9．（2019秋•渭滨区期末）如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝xcm ，宽BC ＝ycm ，把这张纸片沿一组对边AB 和DC 的中点连线EF 对折，对折后所得矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似，则x ：y 的值为（）A ．2B ．√2C ．√5+12D ．√5−12【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【解析】∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ＝ycm ，由折叠的性质得：AE =12AB =12x ，∵矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似，∴AE AD=AD AB，即12x y=yx，∴x 2＝2y 2， ∴x =√2y ， ∴xy =√2yy=√2，．故选：B ．10．（2019秋•连州市期末）一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（） A ．6B ．8C ．12D ．10【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】设这个多边形的最短边长为x ， ∵两个多边形相似， ∴246=x2，解得，x ＝8，故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为 100° ．【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．【解析】∵一个三角形的两个角分别为25°、55°， ∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°， ∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为100°，故答案为：100°．12．若两个相似多边形的对应边分别为4cm 和8cm ，则它们的相似比为 1：2 ．【分析】根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可解决问题．【解析】∵相似多边形的对应边的比等于相似比，∴它们的相似比＝4：8＝1：2，故答案为1：2．13．（2020秋•蜀山区校级月考）以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为√2：2．【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出正方形EFGH的边长，即可求解．【解析】如图，设正方形ABCD的边长为2a，∵E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，∴AE＝AH＝a，∵∠A＝90°，∴EH=√AE2+AH2=√2a，∴新正方形与原正方形的相似比＝EH：AB=√2a：2a=√2：2．故答案为：√2：2．14．（2019秋•平顶山期中）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF 相似，AB＝6，则AD的长为6√2．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴AEAB =ABAD，即12AD6=6AD，解得，AD＝6√2，故答案为：6√2．15．（2019秋•资阳区期末）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC的长为√2．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴AEAB =ABAD，即12AD1=1AD，解得，AD=√2，∴BC＝AD=√2，故答案为：√2．16．（2020•朝阳区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE 与原矩形ABCD相似，则AD的长为1+√5．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，∴CDAD =DFCD，即2AD=AD−22，整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，解得，AD1＝1−√5（舍去），AD2＝1+√5，故答案为：1+√5．17．（2019秋•藤县校级期中）如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是67°．【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和为360°解决问题即可．【解析】如图，∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A′＝∠A＝138°，∴α＝∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣138°﹣80°﹣75°＝67°，故答案为67°．18．（2020春•中山市校级月考）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为135°．【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．【解析】∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．故答案是：135°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．【分析】如图1中，根据两个相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值；如图2中，由相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可求得答案．【解析】如图1中，∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴x 18=m 2m，α＝40°，∴x ＝9；如图2中，∵∠D ＝180°﹣65°﹣70°＝45°， ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴α＝∠D ＝45°．20．（2019秋•宽城区校级月考）如图，四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′．（1）α＝ 83° （2）求边x 、y 的长度．【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等求得答案；（2）利用相似多边形的对应边成比例列式求得x 、y 的值；【解析】（1）∵四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′， ∴∠A ＝∠A ′＝62°，∠B ＝∠B ′＝75°， ∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，故答案为：83°；（2）∵四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′， ∴x8=y 11=96，解得：x ＝12，y =332．21．（2020秋•松江区月考）已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，并且点A 与点A 1、点B 与点B 1、点C 与点C 1、点D 与点D 1对应．（1）已知∠A ＝40°，∠B ＝110°，∠C 1＝90°，求∠D 的度数；（2）已知AB ＝9，CD ＝15，A 1B 1＝6，A 1D 1＝4，B 1C 1＝8，求四边形ABCD 的周长．【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，∴∠C＝∠C1＝90°，∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，∴ABA1B1=BCB1C1=ADA1D1，∴96=BC8=AD4，∴BC＝12，AD＝6，∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42．22．（2018秋•太原期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．【分析】利用相似多边形的性质得到ABDE =AEDC=12，而根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，从而利用比例性质得到DE＝8，AE＝2，然后计算AE+DE即可．【解析】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴ABDE =AEDC=12，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴4DE =AE4=12，∴DE＝8，AE＝2，∴AD＝AE+DE＝2+8＝10．23．（2019秋•孟津县期中）一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D相似吗？为什么？【分析】先求出外框的长与宽，再求出对应边的比的值即可判断．【解析】不相似；内边缘的矩形ABCD长AD＝300 cm，宽AB＝150 cm，外边缘的矩形长A'D'＝315 cm，宽A'B'＝165 cm，∵ADA′D′=300315，ABA′B′=150165=300330，AD A′D′≠ABA′B′，所以内外边缘所成的两个矩形不相似．24．（2019秋•大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为m，DE＝15，求△DEF的面积．【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定甲乙的观点是否正确；（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的内切圆半径，进而△DEF的内切圆的半径，根据相似三角形的性质以及面积公式即可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．【解析】（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA ，交FC 的延长线于点O ，∵△ABC 和△DEF 对应的边的距离都为1，∴AB ∥DE ，AC ∥DF ，∴∠FDO ＝∠CAO ，∠ODE ＝∠OAB ，∴∠FDO +∠ODE ＝∠CAO +∠OAB ，即∠FDE ＝∠CAB ，同理∠DEF ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△DEF ，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵64=32，108=54， ∴64≠108，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA 、EB 交于点O ，∵A 到DE 、DF 的距离都为1， ∴DA 是∠FDE 的角平分线，同理，EB 是∠DEF 的角平分线， ∴点O 是△ABC 的内心，∵AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，∴△ABC 是直角三角形，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则6﹣r +8﹣r ＝10，解得r ＝2，过点O 作OH ⊥DE 于点H ，交AB 于G ， ∵AB ∥DE ，∴OG ⊥AB ，∴OG ＝r ＝2，∴AB DE =OG OH =23，同理AC DF =BC EF =AB DE =23， ∴DF ＝9，EF ＝12，∴△DEF 的面积为：12×9×12＝54．。

2020—2021年新苏科版(新课标)九年级数学下册《图形的相似》提优测试卷及答案.docx

苏科版（新课标）九年级下册第6章《图形的相似》提优测试卷(时间:120分钟满分:130分)一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列四个命题中，假命题是( )A.有一个锐角相等的两个等腰三角形相似B.有一个锐角相等的两个直角三角形相似C.底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似D.斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似2.如图，已知C E ∠=∠，则不一定能使ABC ∆∽ADE ∆的条件是( )A. BAD CAE ∠=∠B. B D ∠=∠C. BC AC DE AE =D. AB AC AD AE =3.如图所示，给出下列条件:①ACD ADC ∠=∠; ②ADC ACB ∠=∠; ③AC AB CD BC =; ④AC AB AD AC =.其中单独能够判定ABC ∆∽ACD ∆的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.(乌鲁木齐中考题)如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在,AB AC 上，//DE BC ,AD CE =.若:3:2,10AB AC BC ==，则DE 的长为( )A. 3B.4C. 5D. 65.(毕节中考题)如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ,C E ∠=∠，:3:5AD DE =，8AE =，4BD =，则DC 的长等于( )A. 154B. 125C. 203D. 1746.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ,(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ,则端点C 的坐标为( )A. ( 3，3)B. (4，3)C. (3，1)D. ( 4，1)7.如图，ABCD Y 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果:2:3BE BC =，那么下列各式错误的是( )A. 2BE EC =B. 13EC AD =C. 23EF AE =D. 23BF DF =8.将一副三角板如图叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积比是( ) A.B.12C.13D.14 9.(南京中考题)如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标是(－2,1)，点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是( ) A.3(,3)2、2(,4)3- B.3(,3)2、1(,4)2- C.77(,)42、2(,4)3- D.77(,)421(,4)2-10. 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设,()AB a CG b a b ==>.下列结论:①BCG DCE ∆≅∆；②BG DE ⊥；③DG GO GC CE =；④22()EFO DGO a b S b S ∆∆-⋅=⋅. 其中结论正确的个数是( )A. 4B.3C.2D. 1二、填空题(每小题3分，共24分)11.(齐齐哈尔中考题)如图，要使ABC ∆与DBA ∆相似，则只需添加一个适当的条件是.12.如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m 的位置上，则网球拍击球的高度h 为.13.如图，在ABCD Y 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点,//E BP DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形: .14.如图，已知ABC ∆中，AB =8,AC =6，点D 是线段AC 的中点，点E 在线段AB 上，且ADE ∆∽ABC ∆，则AE =.15.(盘锦中考题)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE CF ⊥ 于点5,3,4,,902H AD DC DE EDF ===∠=︒,则DF =.16.如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4BAC AB AC ∠=︒==，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以,PA PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为.17.如图，在平面直角坐标系中，Rt ABO ∆的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，90ABO ∠=︒,OA 与反比例函数(0)k y k x=≠的图像交于点D ，且2OD AD =，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C .若ABCD S 四边形=10，则k 的值为.18.如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上，且BE =1，点,P Q 分别是边,BC CD 上的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ 的周长取最小时，四边形AEPQ 的面积是.三、解答题(共76分)19. (6分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC ∆(顶点是网格线的交点).(1)将ABC ∆向上平移3个单位得到111A B C ∆,请画出111A B C ∆;(2)请画一个格点222A B C ∆，使222A B C ∆∽ABC ∆，且相似比不为1.20. (6分)如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使. (1) 求证：(2) 用直尺和圆规在AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP （保留作图痕迹，不写作法）。

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