最新相似三角形全章导学案

27.1.图形的相似（一）
一、学习目标
1.理解并掌握两个图形相似的概念。

2.了解成比例线段的概念，会确定线段的比。

二、新知链接
1．（1）请同学们先观察第27章章头图，他们的形状、大小有什么关系。

（2）相似图形概念：______________________________________________。

（3）让同学们再举几个相似图形的例子．
2．两条线段的比：两条线段的比，就是__________________________________。

3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中____________________相等，如d
c
b a =（即ad=b
c ）
，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位； （2）线段的比是一个没有单位的正数；
（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d
c
b a =或a:b=c:d ；
（4）若四条线段满足d
c
b a =，则有ad=b
c ．
三、合作探究
例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）
例2一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是多少？
（1）如果a=125cm ，b=75cm ，那么长与宽的比是多少？ （2）如果a=1250mm ，b=750mm ，那么长与宽的比是多少？
例3已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？
分析：根据比例尺=实际距离图上距离
，可求出北京到上海的实际距离．
解：
答：北京到上海的实际距离大约是___________km ． 四、课堂练习
1．观察下列图形，指出哪些是相似图形：
相似图形： _____和______； _____和______； _____和______。

2．下列说法正确的是（ ）
A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.
B ．商店新买来的一副三角板是相似的.
C ．所有的课本都是相似的.
D ．国旗的五角星都是相似的. 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ；
（2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？
4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？
5．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？
27.1 图形的相似（二）
一、学习目标
1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
二、新知链接
1．如图的左边格点图中有一个四边
形，请在右边的格点图中画出一个
与该四边形相似的图形．
2．问题：对于图中两个相似的四边
形，它们的对应角，对应边的比是
否相等．
3．【结论】：
（1）相似多边形的特征：
反之，
（2）相似比：
问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
结论：
三、合作探究
例1下列说法正确的是（）
A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似
例2（教材P39例题）．
例3已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．
解：四、课堂练习
1．△ABC与△DEF相似，且相似比是
3
2
，则△DEF 与△ABC与的相似比是（）．
A．
3
2
B．
2
3
C．
5
2
D．
9
4
2．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）
（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？
4．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．
※3．如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F
分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形
ABCD相似，求a:b的值．
27.2.1 相似三角形的判定（一）
一、学习目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．
2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 二、新知链接 1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC 与△A ′B ′C ′中，
如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且
k A C CA
C B BC B A AB ='
'=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且A C CA
C B BC B A AB '
'=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材P42的思考，并引导同学们探索与证明． 3．【归纳】
三角形相似的预备定理 三、合作探究
例1如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．
例2如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．
四、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）
A ．两个直角三角形
B ．两个钝角三角形
C ．两个等腰三角形
D ．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 3．如图，D
E ∥BC ，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE :BC 的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．
4．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE :EA=2:3，EF=4，求CD 的长．
27.2.1 相似三角形的判定（二）
一、学习目标
1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养同学们获得数学猜想的经验，激发同学们探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、新知链接 1．复习提问：
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ (4) 如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一
个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）带领同学们画图探究； （3）【归纳】
三角形相似的判定方法1 3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）引领同学们探求证明方法．
4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：
（1）提出问题：由三角形全等的SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）让同学们画图，自主展开探究活动． （3）【归纳】
三角形相似的判定方法2 三、合作探究 例1（教材P46例1） 分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．
※例2已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=2
1
7，求AD 的长．
四、课堂练习
1．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
2．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．
※3．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ， 求证：△ADC ∽△CDP ．
B'
C'
A'
A
B
C
27.2.1 相似三角形的判定（三）
一、学习目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．
2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、新知链接
1．复习提问：
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？
（4）【归纳】
三角形相似的判定方法2
三、合作探究
例1（教材P48例2）．
例2（补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE
于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
解：四、课堂练习
1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
3.已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．求证：
FD
EF
BF
AF
．
4．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC•BC=BE•CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
课题 27.2.1相似三角形的判定（复习）
学习目标：掌握两个三角形相似的判定方法；会用其解决问题。

导学过程：
一、自主探究（课前导学）
两个三角形相似的判断方法：
1、定义：两个三角形的，，这个两个三角形相似。

2、预备定理：于三角形一边的直线和其他两边（或）相交，所构成的三角
形与原三角形。

3、判定定理1：。

→（SSS）
4、判定定理2：。

→（SAS）
5、判定定理3：。

→（ASA或AAS）
6、相似三角形的判定方法
二、合作探究（课堂导学）
例1 如图所示，给出下列条件：⑴∠ B＝∠ ACD；⑵∠ ADC＝∠ ACB；⑶
BC
AB
CD
AC
；⑷AC2＝AD·AB。

其中能够单独判定△ ABC∽△ ACD的有（填序号）
例2 如图所示，若∠BAD＝∠CAE，再添加一个条件（添加一条即可），则△ABC∽△A′B′C′。

例3如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△ DEM∽△ ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（）A、F B、G C、H D、K
例4如图所示，∠C＝∠E＝90°，AC＝6，BC＝8，AE＝4，则AD的长为多少?
例5、如图，在矩形ABCD中，延着BF折叠，使C落在AD边
的E处。

找出与ABE
△相似的三角形，并加以证明。

B
C
E
D
A
8 6
4
三、巩固训练：
1、在△ ABC 与△ A′B′C′中，有下列条件：⑴
C B BC B A AB ''=''；⑵ C B BC
C A AC '
'=''；⑶ ∠ A ＝∠ A′；⑷ ∠ C ＝∠ C′。

如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ ABC ∽ △ A′B′C′的共有（ ）A 、1组 B 、2组 C 、3组 D 、4组
2、在直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （0，4），C （0，3），过点C 作直线交x 轴于点D ，使得以D ，O ，C 为顶点的三角形与△ AOB 相似，求点D 的坐标．
3、如图所示，在正方形ABCD 中，有一块直角三板按图摆放。

（1）写出图中的相似的三角形；
（2）从上面任选一组进行证明 四、课堂检测
1、如图所示，正方形ABCD 边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的端点M 、N 分别在CD 、AD 上滑动，当DM= 时，△ ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似．
2. 如图，在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点N 在AB 边上，且AN ：AB=1：5，CN 交AD 与M 点，则AM ：MD 的比为（ ）
A 、1：2
B 、1：3
C 、2：3
D 、1：1
3、如图所示，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F 。

试证明：AB·AD ＝AE·BF
27.2.2 相似三角形的应用举例
一、学习目标
1．进一步巩固相似三角形的知识．
2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
二、新知链接
问：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
三、合作探究
例1（教材P49例3——测量金字塔高度问题）
例2（教材P50例4——测量河宽问题）
解：略（见教材P50）
问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？
解法二：如图构造相似三角形（解法略）．
例3（教材P50例5——盲区问题）
分析：略（见教材P50）解：略（见教材P51）四、课堂练习
1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米?
2．小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?
3.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)
4.小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙
上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影
长2.7m，他求得的树高是多少？
27.2.3 相似三角形的周长与面积
一、学习目标
1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2．能用三角形的性质解决简单的问题．
二、新知链接
1．复习提问：
已知：∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些
结论？
问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？
2．思考：
（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？
（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？
推导见教材P54．
结论——相似三角形的性质：
性质1
即：
性质2
即：．
相似多边形的性质1．
相似多边形的性质2．
三、合作探究
例1已知：如图：△ABC ∽△A′B′C′，它们的周长分别是60 cm 和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AB、A′B′、A′C′的长．
分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长．例2（教材P53例6）
分析：根据已知可以得到
2
1
AC
DF
AB
DE
=
=，又有夹角∠D=∠A，由相似三角形的判定方法2 可以
得到这两个三角形相似，且相似比为
2
1
，故△DEF的周长和面积可求出．
四、课堂练习
1．填空：
（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
2．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？
如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．
3．已知：如图，△ABC中，DE∥BC，
（1）若
3
2
EC
AE
=，①求
AC
AE
的值；②求
ABC
ADE
S
S
∆
∆的值；
③若5
S
ABC
=
∆
，求△ADE的面积；
（2）若S
S
ABC
=
∆
，
3
2
EC
AE
=，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积；
（3）若k
EC
AE
=，5
S
ABC
=
∆
，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积．
(第3题
)
27. 3 位似（一）
一、学习目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、新知链接
1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？
2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
三、合作探究
例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是
位似图形，请指出其位似中心．
分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：例2 把图1中的四边形ABCD缩小到原来的
2
1
．
分析：把原图形缩小到原来的
2
1
，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
四、课堂练习
1．画出所给图中的位似中心．
2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍．
3．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，
使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求
（1）位似中心在△ABC的外部；
（2）位似中心在△ABC的内部；
（3）位似中心在△ABC的一条边上；
（4）以点C为位似中心．
27. 3 位似（二）
一、学习目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换． 二、新知链接
1．如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC 向左平移三个单位得
到△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1三点的坐标；
（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2三个顶点A 2、B 2、C 2的坐标；
（3）将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 3B 3C 3，写出A 3、B 3、C 3三点的坐标．
2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示． 3．探究：
（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为
3
1
，把线段AB 缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ （2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律： 五、合作探究
例1（教材P63的例题） 解：
问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！ 解法二： 例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？ 分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……． 六、课堂练习
1． △ABO 的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO 放大为△EFO ，使△EFO 与△
ABO 的相似比为2.5∶1，求点E 和点F 的坐标．
2． 如图，△AOB 缩小后得到△COD ，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．
3．如图，将图中的△ABC 以A ．为位似中心，放大到1.5倍，
请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．
4．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计一种图案（选择的变换不限）．
A O
E
D C
B 例1图
54
321
O
D C B A 变式1图
O
E D
C
B
A
相似三角形复习学案
一、知识梳理： 1、比例、第四比例项、比例中项、比例线段； 2、比例性质： （1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c b b a =⇔=2
（2）合比定理：d d c b b a d c b a ±=
±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b a n d b m c a n m d c b a
3、相似三角形定义：________________________________．
4、判定方法：______________________________________________________________
5、相似三角形性质： （1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于 ；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于 ；（4）面积之比等于 ．
6、相似三角形中的基本图形． （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型： （3）旋转型： （4）母子三角形：
二、基本应用：
1、四条线段a 、c 、b 、d 成比例，其中b=3cm ，c=2cm ，d=6cm ，则线段a 的长为
2、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，判断它们是否成比例？ （1）a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm （2）a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm
3、已知 0432≠==c b a ,则c
b a +的值为
4、若a ：b ：c=2：3：4，且a+b －c=5，则a －b=
5、若74===f e d c b a ，则f
d b e
c a 3232+-+-=
6、a 是b 、c 的比例中项，且2
3
=b a ，则c b =
7、已知a 、b 、c 为非0的整数，c
b
a b c a a c b k +=+=+=，则k 的值是 8、若
6
5
432+==+c b a ,且2a －b +3c =21，则a ∶b ∶c .= 9、把长度为20cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是________cm ，较短线段的长是________cm ．一个矩形是黄金矩形，若它的长为4cm ，则它的宽为 。

10、以下的命题中：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所
有的等腰三角形都相似；⑤所有的直角三角形都相似；⑥所有的等腰直角三角形都相似；⑦所有的等边三角形都相似；⑧所有的正五边形都相似；其中正确的命题有 （填序号） 11、两个相似三角形对应边的比为1：3，则周长比为 ，面积比为 ，相似比为 ；对应
角平分线比为 ，对应中线比为 ，对应高线比为 。

12、两个相似多边形最长边分别为10cm 和25cm ，它们的周长之差为60cm ，则这两个三角形的周长分别是 。

13、一个三角形钢架三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要做一个与其相似的三角形钢架，而只有长为30和50的两根钢架，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料），作为两
边，则不同的截法有 种． 14. 在比例尺为1∶1000的地图上，一个周长为4cm ，面积为1cm 2的地方，所表示的实际
周长为 ，面积是 。

15.如图,已知:∠C ﹦∠E,那么图中有几对相似三角形?说说你的理由.又如果BC ﹦4,DE
﹦2,OC ﹦6，OB ﹦3,那么OE 的长是多少?
三、典型例题 例1.如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，过O 作AO 的垂线交AB 于D 。

求证：△OBD ∽
△CBO 。

变式1：已知如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，AO ⊥DE 于O ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，BO 平分∠ABC 。

求证：BC BD BO ⋅=2。

变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC 中，O 为两内角平分线的交点，过点O 作直线交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ＝AE 。

求证：（1）△BDO ∽△OEC ；（2）CE BD DO ⋅=2。

A
B
C D
E A B C D E A
B C D A B C D E D A B C E
K H
G F E D
C B A
例2图
F
E
D C B A
例2变式图1
F E D C
B
A
例2变式图2 F
E D C B A 例3图
G
F
E D
C
B
A
例2.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 中点，DE 交BA 的延长线于F 。

求证：AB ∶AC ＝BF ∶DF 。

变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？
例3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE ⊥CD 于E ，且BC ＝BD ，对角线AC 、BD 相交于G ，
AC 、BE 相交于F 。

求证：FA FG FC ⋅=2。

例4．有一块三角形的余料ABC ，要把它加工成矩形的零件，已知:BC ﹦8cm ，高AD ﹦12cm ，矩形EFGH 的边EF 在BC 边上，G 、H 分别在AC 、AB 上，
设HE 的长为ycm 、EF 的长为xcm ⑴写出y 与x 的函数关系式。

⑵当x 取多少时，EFGH 是正方形。

例５，（2006年深圳市）如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，求路灯A 的高度。

例６、△ABC 中，∠C=900
，BC=8厘米，AC ∶BC=3∶4，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2厘米/秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿CA 向点A 以1厘米/秒的速度移动。

如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发：（1）经过多少秒时△CPQ ∽△CBA ？（2）经过多少秒时以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似？
问题二图
Q
P
D
C
B
A 四、同步习题 （一）基础题 1. 已知2
1=b a ，则
b a a
+的值为__________
2．如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6，则S △CDF = ．
3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB ＝7cm ，CF ＝3cm ，则AD ∶CE ＝ ．
4．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB
的长为 ．
5．如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //并且三角形ADE 与四边形DBCE 的面积比为4：5，那么AE:AC 等于 ．
6．如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为 ．
7．如图，已知△ABC 的面积为4 cm 2，它的三条中位线组成△DEF ，△DEF 的三条中位线组成△MNP ，则△MNP 的面积等于 ． 8．E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2和8，则四边形AOED 的面积
为 ． （二）综合能力题
１.如图，∠ACB ＝∠ADC ＝900，AC ＝6，AD ＝2。

问当AB 的长为多少时，
这两个直角三角形相似？
２.已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，
设BQ ＝k ，是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

３.过三角形边AB 上的一点，E 为△ABC 边上任一点，且以APE 为顶点的三角形与△ABC 相似，在图中找出点E 的位置（你能找出几个？）。

2、已知：CD ⊥DB ，AB 垂直DB ，DC=4，AB=8，DB=18，点P 在DB 上，且以点D 、C 、P 为顶点的三角形与以点A 、B 、P 为顶点的三角形相似，求DP 的长。

3、如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合）
，且120BEF ∠=，设AE x =，DF y =． ⑴ 求y 与x 的函数表达式；
⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
O
E D C
B
A A
E
D C
B
F B
P
N
M
F E
D
C
A
E D B
A
C
B C
E
D
A A
B
C
D E
F
E
D
C B A 问题一图
D
C
B A
Ａ Ｅ Ｄ Ｆ Ｃ
Ｂ
五、自我检测 一、填空题：
1、如图，在△ABC 中，P 是边AB 上一点，连结CP ，使△ACP ∽△ABC 的条件是 。

2、在直角坐标系中，已知A （－3，0）、B （0，－4）、C （0，1），过C 点作直线l 交x 轴于D ，使得以点D 、C 、O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线有 条。

3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，AC ＝8，CB ＝6，在斜边AB 上取一点M ，使MB ＝CB ，过M 作MN ⊥AB 交AC 于N ，则MN ＝ 。

4、一个钢筋三角架长分别为20cm 、50 cm 、60 cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm 和50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。

第1题图
P
C
B A
第3题图
N
M C
B A
第5题图
E
D
C
B A
5、如图，在锐角△ABC 中，BD ⊥AC ，DE ⊥BC ，AB ＝14，AD ＝4，BE ∶EC ＝5∶1，则CD ＝ 。

二、选择题：
1、下面两个三角形一定相似的是（ ）
A 、两个等腰三角形
B 、两个直角三角形
C 、两个钝角三角形
D 、两个等边三角形
2、如图，点E 是平行四边形ABCD 的边CB 延长线上一点，
EA 分别交CD 、BD 的延长线于点F 、G ，则图中相似三角形 共有（ ） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对
三、解答题：
1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝BE ＝EF ＝FC 。

求证：△AEF ∽△CEA 。

解答第1题图
F E C
B
A
2、如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，DE ⊥AC 于E ，交AB 于F 。

求证：△AFD ∽△ADB 。

解答第2题图
D
F
E
C
B
A
3、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝900，AB ＝3，DC ＝7，AD ＝15，请你在AD 上找一点P ，使得以P 、A 、B 和以P 、D 、C 为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的P 点有几个？并求出AP 的长；若不能，请说明理由。

解答第3题图
P
D C
B
A
4、在边长为1的正方形网格中有A 、B 、C 、D 、E 五个点，问△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。

选择第2题图 F
G E D C
B A。