专题02+平面向量与复数(仿真押题)-2019年高考数学(文)命题猜想与仿真押题

1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i

2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( ) A.1

3 B ．－13 C ．3

D ．－3

【解析】选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋2i

5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3. 【答案】A

14．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫

α－π4＝( )

A ．－13 B.13 C ．－1

D ．0

【解析】由已知可得，a ·

b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝1

3，故选B. 【答案】B

15.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →

的最大值为( )

A.1

2 B.22 C.34

D ．1

【答案】D

16．设复数z 满足z －i

z ＋

i ＝i(i

为虚数单位)，则z 2 016＝( )

A ．21 008

B ．21 008i

C ．－21 008

D ．－21 008i

【解析】由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i

1－i ＝

2i 1＋i

1－i 1＋i ＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2

＝－2i ，从而

z 2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i 1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A.

【答案】A

17．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB ，则复数

1

2

z z 的值是（ ）

A ．﹣1+2i

B ．﹣2﹣2i

C ．1+2i

D ．1﹣2i 【答案】A

【解析】在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是OA 、OB ，结合所给的图形可得12,z i =--2z i =，则复数

，故选A.

18．设复数

（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ）

A ．i 43+-

B ．i 43--

C ．i 43+

D ．i 43- 【答案】C

19．复数z 满足，则=z （ ）

A ．1+i

B ．1i -

C ．1i --

D ．1+i - 【答案】A.

【解析】由题意得，

，∴1z i =+，故选A ．

20.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →

＝( )

A.4

B.6

C.1

D.2

【解析】由条件可得B (3，1)，A (2，0)， 【答案】 A

27．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →

，F 为AE 的中点，则BF →

＝( )

A ．23A

B →－13AD → B ．13AB →－23AD →

C ．－23AB →＋13A

D → D ．－13AB →＋23AD →

【答案】 C

28．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝1

2，则(a ＋b )·(2b －c )的最小值为( ) A ．－2 B ．3－ 3 C ．－1 D ．0

【解析】由|a |＝|b |＝1，a ·

b ＝12，可得〈a ，b 〉＝π

3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1,0)，b ＝OB →＝⎝⎛⎭⎫1

2，32，设c ＝OC →＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a ·b －a ·c ＋2b 2

－b ·c ＝3－⎝⎛⎭⎫cos θ＋12cos θ＋32sin θ＝3－3sin ⎝⎛⎭⎫

θ＋π3，则(a ＋b )·

(2b －c )的最小值为3－3，故选B.

＝λ⎣

⎢⎡⎦⎥⎤

|AB →||BC →|cos （180°－B ）|AB →

|cos B ＋|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，得AP →⊥BC →

，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 【答案】垂心

35.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤

0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；

(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值.

(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ， 即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.

因为x ∈⎣⎡⎦⎤

0，π2，所以0≤cos x ≤1.

①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；

②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2

，由已知得－1－2λ2

＝－32，解得λ＝1

2；

③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝5

8，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝1

2.

36．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=10． （Ⅰ）求复数z ； （Ⅱ）在复平面内，若复

对应的点在第四象限，求实数m 取值范围．

【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<.