5.独立重复试验解析

基础达标1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )A ．516B ．25C ．58D ．132解析：选A ．P ＝C 25·⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫122＝516. 2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)＝( )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14C ．⎝⎛⎭⎫142×34D ．⎝⎛⎭⎫342×14解析：选C ．X ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是⎝⎛⎭⎫142×34. 3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A ．827B ．6481C ．49D ．89解析：选A ．当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23(23)2(1－23)×23＝3×49×13×23＝827，故选A ． 4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C ．由1－C 0n⎝⎛⎭⎫12n>0.9，得⎝⎛⎭⎫12n<0.1，所以n ≥4.5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×(13)2×(23)5B ．C 27×(23)2×(13)5C ．C 57×(13)2×(13)5 D ．C 27×(13)2×(23)2 解析：选B ．由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13)5，故选B ． 6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．(填序号) ①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次，出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )；④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数．解析：对于①，设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P (A )＝13.而在n次独立重复试验中事件A 恰好发生了k 次(k ＝0，1，2，…，n )的概率P (ξ＝k )＝C k n ×⎝⎛⎭⎫13k×⎝⎛⎭⎫23n －k，符合二项分布的定义，即有ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13；对于②，ξ的取值是1，2，3，…，n ，P (ξ＝k )＝0.9×0.1k －1(k ＝1，2，3，…，n )，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布；③和④的区别是③是“有放回”抽取，而④是“不放回”抽取，显然④中n 次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，MN . 答案：①③7．某市公租房的房源位于甲、乙、丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为________．解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请甲片区房源记为A ，则P (A )＝13，恰有2人申请甲片区的概率为P ＝C 24·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫232＝827. 答案：827还可以利用信箱问题 8．(2019·郑州高二检测)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.则乙恰好比甲多击中目标2次的概率为________．解析：设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A ，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B 1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件，则P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23×(23)2×13×C 03×(12)3＋C 33×(23)3×C 13×(12)3＝16， 所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16.答案：169．(2019·西安高二检测)实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．(1)试分析求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． (2)求按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.(1)记事件A ＝“甲打完3局才能取胜”，记事件B ＝“甲打完4局才能取胜”，记事件C ＝“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局才能取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜． 所以甲打完3局才能取胜的概率为P (A )＝C 33⎝⎛⎭⎫123＝18. ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，所以甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12×12＝316. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，所以甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C 24×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫122×12＝316. (2)记事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D ＝A ＋B ＋C ，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝18＋316＋316＝12.即按比赛规则甲获胜的概率为12.10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)用X 表示该地的5位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的分布列． 解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ∪B ， P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.8.(2)D ＝C —，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，由已知得X ～B (5，0.2)，所以P (X ＝k )＝C k 50.2k 0.85－k (k ＝0，1，2，3，4，5)，分布列如下表：能力提升11．一个口袋内有n (n ＞3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p .若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，则p ＝________，n ＝________． 解析：由题设知，C 24p 2(1－p )2＞827.因为p (1－p )＞0， 所以不等式化为p (1－p )＞29，解得13＜p ＜23，故2＜6p ＜4.又因为6p ∈N ，所以6p ＝3，即p ＝12.由3n ＝12，得n ＝6.答案：12612．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－(1－13)4＝6581.答案：658113．(2019·沧州高二检测)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．解：(1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0，1，2，3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3. 又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710. (2)由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－7102＝9100， P (X ＝1)＝C 12×710×⎝⎛⎭⎫1－710＝2150， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫7102＝49100. 所以X 的分布列为14．(选做题)过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审，则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率．(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．解：设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ∪BC ， 因为P (A )＝12×12＝14.P (B )＝2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12，P (C )＝310，所以P (D )＝P (A ∪BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，知X ＝0，1，2，3，4，设A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝0，1，2，3，4)，则P (A 0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫250×⎝⎛⎭⎫354＝81625，P (A 1)＝C 14×25×⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (A 3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625， P (A 4)＝C 44×⎝⎛⎭⎫254×⎝⎛⎭⎫350＝16625. 所以X 的分布列为。