(完整word版)初中数学全等三角形的知识点梳理.docx

《全等三角形》一、结构梳理概念
丰富的生活情境全
特征应用
等
图
全等三角形特征形
特例全等三角形
全等三角形条件画三角形
二、知识梳理
（一）概念梳理
1．全等图形
定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如
图 1 中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图 2 中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形．
图 2
图 1
2．全等三角形
这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角
形．完全重合有两层含义：（ 1）图形的形状相同；（ 2）图形的大小相等．符号“≌” 也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“ =”表示图形大小相等．
（二）性质与判定梳理
1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．
全等三角形的对应边、对应角分别相等．
2．全等三角形的判定
这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有：
（ 1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ；
（ 2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA ；
（ 3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS ；
（ 4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．
若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL ）。

由此可以看出，判断三角形全等，无论
用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等．
（ 5）注意判定三角形全等的基本思路
从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有
三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有：
找夹角SAS
已知两边
找另一边SSS
边为角的对边找任一角AAS
已知一边一角
找这条边上的另一角
边就是角的一条边找这条边上的对角
找该角的另一边
ASA AAS SAS
找两角的夹边ASA
已知两角
找任一边AAS
（ 6）学会辨认全等三角形的对应元素
辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ ABC ≌ EFD，这种记法意味着 A 与 E、B 与 F、 C 与 D 对应，则三角
形的边 AB 与 EF、BC 与 FD 、AC 与 ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还
有如下规律：（ 1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角．
（三）基本图形梳理
注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变
换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种：
1．平移型如图3，下面几种图形属于平移型：
它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边
的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到．
2．对称型如图 4，下面几种图形属于对称型：图 3
图 4
它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点．
3．旋转型如图 5，下面几种图形属于旋转型：
它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转
所构成的，故一般有一对相等的角隐含在
对顶角、某些角的和或差中．图 5
三、易混、易错点剖析
1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例
（1）三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的
两个三角形不一定全等；如图 6（ 1）中的两个三角形的每个
图 6（1）
角都是 60 0，但这两个三角形显然不全等；
（ 2）两边和其中一边的对角对应相等的两个
三角形不一定全等，如图6（ 2），中的△ ABC 和△ ABD 中，
虽然有 AB=AB ， AC=AD ，∠ B= ∠ B ，但它们显然不全等．
Ｂ2．在判定三角形全等时，还要注意的问题
在判定三角形全等时，应做到以下几点：
（１）根据已知条件与结论认真分析图形；
（２）准确无误的确定每个三角形的六个元素；
（３）根据已知条件，确定对应元素，即找出相等的角或边；
（４）对照判定方法，看看还需什么条件两个三角形就全等；
（５）想办法找出所需的条件来．
四、例题：
Ａ
Ｃ
Ｄ图 6（2）
例 1．如图 7（ 1），E、F 分别是四边形 ABCD的边 BA、DC延长线上的点， AB//CD，AD//BC，且 AE=CF，EF 交 AD于 G，交 BC于 H．
（ 1）图中的全等三角形有对，它们分别是；（不添加任
E 何辅助线）
（ 2）请在（ 1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明．
A G
D
我选择的是：．
解：（1） 2，△ AEG≌△ CFH和△ BEH≌△ DFG．
（ 2）如求证明：△AEG≌△ CFH．
证明：在平行四边形ABCD中，有∠ BAG=∠ HCD，
00
所以∠ EAG=180－∠ BAG=180－∠ HCD=∠ FCH．
又因 BA∥DC，所以∠ E=∠ F．又因 AE=CF，所以△ AEG≌△ CFH．点评：本题简单地考察学生对图形的识别能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．
例 2．如图 8，在△ ABD和△ ACE中，有下列四个等式：
B
H C
F
图 7（1）图 6
1 AB=AC
2 AD=AE
3 1=∠ 2
4 BD=CE.
○○○○
图 7（2）A
请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，
写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）．1
（提示：答案不唯一）．2点评：本题是条件组装题，答案不唯一，它重点考查学生的
B
创新意识和能力，四个命题进行组合，有六种情况，这六种情况中E 有的是假命题，请同学们注意分辨．
图 8
C C
例 3．如图 9，点 E 在 AB 上， AC=AD ，
请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

A E B
所添条件为，
你得到的一对全等三角形是．
D
（提示：可选择 CE DE、 CAB DAB、BC BD 等条件中的一个。

图 10可得到ACE ADE或 ACB ADB ，证明过程略）．
图 10
例 4．如图 10，AB=CD=ED， AD=EB， BE⊥ DE，垂足为 E．
(1)求证：△ ABD≌△ EDB
(2)只需添加一个条件，即 ________，可使四边形 ABCD为矩形 .
请加以证明 .
提示： (1) 证明略
(2)添加 AB∥CD，或添加 AD=BC或 BE=BC或∠ A=∠ ADC或∠ ADC=90°或∠ A=∠ C 或∠C=90°或∠ ABD=∠BDC或∠ A=∠ ABC或∠ ADB=∠ DBC或∠ ABC=90°等 . 证明略 .。