第四版复变函数第二章.
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b为整数，为单值，处处解析， z nz n 1； m b为有理数b , 有n个分支多值函数， n 1 1 n n 1 n 除原点和负实轴外处处解析， z n z ；
n
b为一般数，z b 有无穷多个分支， b 除原点和负实轴外处处 解析， z bz b 1
e z的性质： ( 4条 )
f ( z ) e z 0 z e e z Biblioteka Baidu处解析
满足加法定理：e z1 e z 2 e z1 z2 周期性：周期为 2 i
Re(e ) e cos y
z x
Im(e ) e sin y
z x
e e
z
x
2、对数函数：Ln z（多值）
U ln z ln x iy
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); u=log(sqrt(x.^2+y.^2)); surf(x,y,u)
y V arg z arctg( ) x
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); v=atan(y./x); surf(x,y,v)
f ( z0 ) dw dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
注意：z 0的方式是任意的,比实变严格。
例1：f z 2
连续、处处导数存在
例2：函数：w f ( z ) x 2 yi 连续、处处不可导
求导法则： 导数定义形式与实变相 同，求导法则与实变相 同。
Re (cosz ) cos xchy
Re (sin z ) sinxchy
Im(cosz ) sinxshy
Im(sinz ) cos xshy
三角函数性质： (5条)
周期为2的周期函数； 在复平面内处处解析； sinz cos z , cos z sinz 欧拉公式仍然成立； e iz cos z i sinz 一些三角公式仍然成立； cos(z1 z 2 ), sin( z1 z 2 ) sin2 z cos2 z 1, 但 sinz 1 & cos z 1不成立
高 层 中 层 低 层
f ( z )在D内解析
f ( z )在D内可导
f ( z )在z0解析
f ( z )在z0可导
f ( z )在z0连续
连续、点解析、区域解 析关系图
目标1：由定义或定理判断函 数的解析点。 目标2：由柯西 黎曼方程判断函数的解 析性。
作业1： 第二章习题( p66) 2,3
定义：使e z成立的函数w Ln z
w
Ln z ln z iArg z ln z i arg z i 2k
主值对数函数： ln z ln z i arg z 多值对数函数： Ln z ln z 2k i arg z k 1 ,2
§3 初 等 函 数
实变函数中有五个基本初等函数： e , log , x , sin x , Arc sin x 用初等函数的四则和复合运算得到一般函数。
推广到复数域，有五种 初等函数： e , Lnz , z , sin z , Arc sin z
z a
x
x a
n
性质、解析性
1、指数函数：e（周期）
复变可导比实变严格的多；
u y v y
定理二：f ( z ) u( x , y ) v ( x , y )i 在区域D内解析的充分必要条件 为： u( x , y ), v ( x , y )在D内可导； u v u v 在D内（C R方程）： , x y y x
目标4：求a , z
b
b
的值。 z
b
bz
2
b 1
例3：求(1 i ) ; (1 i ) ; 1
2
2 3
;i
i
例4：分析 : z 4 , 4 z , z i 1的解析性
目标3：求e , Lnz的值。 e
z
z
e
b
z
1 Lnz z
目标4：求a , z
b
b
定义f ( z )满足3个条件为e z ： f ( z )在复平面内处处解析； f ( z ) f ( z ) Im (z ) 0时有e z e x ;
z
f(z) e e
z
x iy
e (cos y i sin y )
x
模： ez ex
辐角：Arg e z y 2k
第二章 解析函数
• 基本要求：
• 1、掌握复变函数求导数； • 2、掌握解析函数的判断及柯西.黎曼方程。 • 3、初等函数的定义及性质。
§1 解 析 函 数
1、导数：
定义： w f ( z )定义在区域D内, z0 D
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 如果 lim 存在，则：称f ( z )在z 0可导。 z 0 z
有理函数（多项式）在 整个复平面上解析。 w P ( z ) a 0 a1 z a n z n P(z) 有理分式w （两个多项式的商）除 分母不为0的 Q( z ) 点外，处处解析。
目标1：由定义或定理判断函 数的解析点。
例3、 (1) f ( z ) z 2 (2) f ( z ) x 2 yi 1 2 (3) f ( z ) z (4) f ( z ) 的解析性？ z
1、 ( c ) 0 2、 ( z n ) nz n 1 n正整数 3、f ( z ) g( z ) f ( z ) g ( z ) 4、f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g ( z ) f (z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) 5、 2 g ( z ) g ( z ) f [ g( z )] f ( w ) g ( z ) w g( z ) 6、
1 u y v y 0 u y , v y 不全为0 i u y , v y 都不为0，u( x , y ) c1 证明：f ( z ) ux dy 任一条曲线斜率为： k 1 dx uy v( x, y ) c 2 vx dy 任一条曲线斜率为： k 2 dx vy ux v x 利用C R方程得：k 1 k 2 1 两曲线正交。 uy v y u y 0 v x , v y 0 u x ux ux vx 0 k1 平行与y轴，k 2 0平行与x轴 uy 0 vy vy
§2 函数解析的条件
u 复变可导不但实部和虚部必须可导， x 而且它们之间还要有特殊的关系。 v x
定理一：f ( z ) u( x , y ) v ( x , y )i 在一点z x iy可导的充分必要条件为： u( x , y ), v ( x , y )在点z ( x , y )可导； u v u v 满足柯西 黎曼方程： , x y y x
2、解析函数
w f ( z )在点z 0 解析： f ( z )在z 0 及z 0的邻域内处处可导
在区域D内解析：f ( z )在D内每一点解析。
f ( z )在z0不解析 z0为奇点。
定理： 1） 如果f ( z )，g ( z )在区域D内解析，有 : f ( z) f ( z ) g ( z ), f ( z ) g ( z ), , 在D内都解析。 g ( z) 2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析， 如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则 复合函数w=f[g(z)]在D内解析
Lnz的性质： ( 3条 )
多值性： 有无穷多个对数，任意两个相差2 i整数倍； 解析性：
Lnz 除原点和负实轴外处处解析，
2
1 ； z
1 Lnz 2 Lnz Ln z Lnz 前一个 不等式正确，后一个错误 2 Ln( z 1 z 2 ) Lnz1 Lnz2 z1 可能值全体相等 Ln( ) Lnz1 Lnz2 z2
b
bLna
e
b lna b2 k i
e
多值函数
n
(1)b为整数
a 为单值 特殊：a
b
m ( 2)b 为分数 n
n a b为n个值 特殊： a
(3)b为一般复数
a b为无穷多个值
幂函数： z
b
f ( z ) z b e bLnz e b ln z e b2k i 所以：z b的多值性取决于e b2k i的多值性。
e z e z shz 0 e z e z 0 2 e z e z e z 2 k i z k i 0点在虚轴上
5、反三角函数和双曲函 数： (多值)
反三角函数定义：z cos w 则：w Arc cos z
Arc sin z iLn( iz 1 z 2 ) Arc cos z iLn( z z 2 1 ) i 1 iz Arc tgz Ln 2 1 iz
e i ( iy ) e i ( iy ) e y e y 解释当：z iy cos z 2 2 limcos z sin x与sinz有相同的基本性质，但 有本质的差异
y
双曲函数性质： (3条)
周期为2 i的周期函数； 在复平面内处处解析； shz chz , chz shz 和三角函数关系： chz chx cos y ishx sin y shz shx cos y ichx sin y
2
u x v x
-
u y v y
例2：f ( z ) x 2 axy by2 i (cx2 dxy y 2 ) a, b, c, d ? 可使f ( z )处处解析。
例3、f ( z ) 0在D内 f ( z ) 常数
'
例4、如果：f ( z ) u iv为解析函数，且f ( z ) 0 则： 曲线组u( x, y ) c1和v( x, y ) c 2互相正交。
的值。 z
bz
b 1
作业2： 第二章习题( p68) 15 , 18
4、三角函数和双曲函数 ： (周期)
e iz e iz cos z （偶函数） 2 三角函数： e iz e iz sin z （奇函数） 2i
ez ez chz （偶函数） 2 双曲函数： e z ez shz （奇函数） 2
目标3：求e , Lnz的值。 e
z
z
e
z
1 Lnz z
例 1：求e z 1 0的全部解。
例2：求Ln2和Ln(1)及其主值
正实数的对数也有无穷 多个分支 复数的对数是实数对数 的拓广
3、乘幂与幂函数：a b、z b
（单值、有限个值、无 穷多值）
乘幂：a
b
a e
目标5：解含有sinz, cos z, shz , chz的方程。
例5：解方程： sinz 0 shz 0
e iz e iz sinz 0 e iz e iz 0 2i e iz e iz z z 2k z k 0点在实轴上
提供了判断函数是否可 导的方法； 给出了求导公式。 u v v u f ( z ) i i x x y y
u x v x u y v y
目标2：由柯西 黎曼方程判断函数的解 析性。
例 1：f ( z ) z , z , z Re(z )的解析性
n
b为一般数，z b 有无穷多个分支， b 除原点和负实轴外处处 解析， z bz b 1
e z的性质： ( 4条 )
f ( z ) e z 0 z e e z Biblioteka Baidu处解析
满足加法定理：e z1 e z 2 e z1 z2 周期性：周期为 2 i
Re(e ) e cos y
z x
Im(e ) e sin y
z x
e e
z
x
2、对数函数：Ln z（多值）
U ln z ln x iy
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); u=log(sqrt(x.^2+y.^2)); surf(x,y,u)
y V arg z arctg( ) x
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); v=atan(y./x); surf(x,y,v)
f ( z0 ) dw dz
z z0
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
注意：z 0的方式是任意的,比实变严格。
例1：f z 2
连续、处处导数存在
例2：函数：w f ( z ) x 2 yi 连续、处处不可导
求导法则： 导数定义形式与实变相 同，求导法则与实变相 同。
Re (cosz ) cos xchy
Re (sin z ) sinxchy
Im(cosz ) sinxshy
Im(sinz ) cos xshy
三角函数性质： (5条)
周期为2的周期函数； 在复平面内处处解析； sinz cos z , cos z sinz 欧拉公式仍然成立； e iz cos z i sinz 一些三角公式仍然成立； cos(z1 z 2 ), sin( z1 z 2 ) sin2 z cos2 z 1, 但 sinz 1 & cos z 1不成立
高 层 中 层 低 层
f ( z )在D内解析
f ( z )在D内可导
f ( z )在z0解析
f ( z )在z0可导
f ( z )在z0连续
连续、点解析、区域解 析关系图
目标1：由定义或定理判断函 数的解析点。 目标2：由柯西 黎曼方程判断函数的解 析性。
作业1： 第二章习题( p66) 2,3
定义：使e z成立的函数w Ln z
w
Ln z ln z iArg z ln z i arg z i 2k
主值对数函数： ln z ln z i arg z 多值对数函数： Ln z ln z 2k i arg z k 1 ,2
§3 初 等 函 数
实变函数中有五个基本初等函数： e , log , x , sin x , Arc sin x 用初等函数的四则和复合运算得到一般函数。
推广到复数域，有五种 初等函数： e , Lnz , z , sin z , Arc sin z
z a
x
x a
n
性质、解析性
1、指数函数：e（周期）
复变可导比实变严格的多；
u y v y
定理二：f ( z ) u( x , y ) v ( x , y )i 在区域D内解析的充分必要条件 为： u( x , y ), v ( x , y )在D内可导； u v u v 在D内（C R方程）： , x y y x
目标4：求a , z
b
b
的值。 z
b
bz
2
b 1
例3：求(1 i ) ; (1 i ) ; 1
2
2 3
;i
i
例4：分析 : z 4 , 4 z , z i 1的解析性
目标3：求e , Lnz的值。 e
z
z
e
b
z
1 Lnz z
目标4：求a , z
b
b
定义f ( z )满足3个条件为e z ： f ( z )在复平面内处处解析； f ( z ) f ( z ) Im (z ) 0时有e z e x ;
z
f(z) e e
z
x iy
e (cos y i sin y )
x
模： ez ex
辐角：Arg e z y 2k
第二章 解析函数
• 基本要求：
• 1、掌握复变函数求导数； • 2、掌握解析函数的判断及柯西.黎曼方程。 • 3、初等函数的定义及性质。
§1 解 析 函 数
1、导数：
定义： w f ( z )定义在区域D内, z0 D
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 如果 lim 存在，则：称f ( z )在z 0可导。 z 0 z
有理函数（多项式）在 整个复平面上解析。 w P ( z ) a 0 a1 z a n z n P(z) 有理分式w （两个多项式的商）除 分母不为0的 Q( z ) 点外，处处解析。
目标1：由定义或定理判断函 数的解析点。
例3、 (1) f ( z ) z 2 (2) f ( z ) x 2 yi 1 2 (3) f ( z ) z (4) f ( z ) 的解析性？ z
1、 ( c ) 0 2、 ( z n ) nz n 1 n正整数 3、f ( z ) g( z ) f ( z ) g ( z ) 4、f ( z ) g ( z ) f ( z ) g( z ) f ( z ) g ( z ) f (z) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) 5、 2 g ( z ) g ( z ) f [ g( z )] f ( w ) g ( z ) w g( z ) 6、
1 u y v y 0 u y , v y 不全为0 i u y , v y 都不为0，u( x , y ) c1 证明：f ( z ) ux dy 任一条曲线斜率为： k 1 dx uy v( x, y ) c 2 vx dy 任一条曲线斜率为： k 2 dx vy ux v x 利用C R方程得：k 1 k 2 1 两曲线正交。 uy v y u y 0 v x , v y 0 u x ux ux vx 0 k1 平行与y轴，k 2 0平行与x轴 uy 0 vy vy
§2 函数解析的条件
u 复变可导不但实部和虚部必须可导， x 而且它们之间还要有特殊的关系。 v x
定理一：f ( z ) u( x , y ) v ( x , y )i 在一点z x iy可导的充分必要条件为： u( x , y ), v ( x , y )在点z ( x , y )可导； u v u v 满足柯西 黎曼方程： , x y y x
2、解析函数
w f ( z )在点z 0 解析： f ( z )在z 0 及z 0的邻域内处处可导
在区域D内解析：f ( z )在D内每一点解析。
f ( z )在z0不解析 z0为奇点。
定理： 1） 如果f ( z )，g ( z )在区域D内解析，有 : f ( z) f ( z ) g ( z ), f ( z ) g ( z ), , 在D内都解析。 g ( z) 2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析， 如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则 复合函数w=f[g(z)]在D内解析
Lnz的性质： ( 3条 )
多值性： 有无穷多个对数，任意两个相差2 i整数倍； 解析性：
Lnz 除原点和负实轴外处处解析，
2
1 ； z
1 Lnz 2 Lnz Ln z Lnz 前一个 不等式正确，后一个错误 2 Ln( z 1 z 2 ) Lnz1 Lnz2 z1 可能值全体相等 Ln( ) Lnz1 Lnz2 z2
b
bLna
e
b lna b2 k i
e
多值函数
n
(1)b为整数
a 为单值 特殊：a
b
m ( 2)b 为分数 n
n a b为n个值 特殊： a
(3)b为一般复数
a b为无穷多个值
幂函数： z
b
f ( z ) z b e bLnz e b ln z e b2k i 所以：z b的多值性取决于e b2k i的多值性。
e z e z shz 0 e z e z 0 2 e z e z e z 2 k i z k i 0点在虚轴上
5、反三角函数和双曲函 数： (多值)
反三角函数定义：z cos w 则：w Arc cos z
Arc sin z iLn( iz 1 z 2 ) Arc cos z iLn( z z 2 1 ) i 1 iz Arc tgz Ln 2 1 iz
e i ( iy ) e i ( iy ) e y e y 解释当：z iy cos z 2 2 limcos z sin x与sinz有相同的基本性质，但 有本质的差异
y
双曲函数性质： (3条)
周期为2 i的周期函数； 在复平面内处处解析； shz chz , chz shz 和三角函数关系： chz chx cos y ishx sin y shz shx cos y ichx sin y
2
u x v x
-
u y v y
例2：f ( z ) x 2 axy by2 i (cx2 dxy y 2 ) a, b, c, d ? 可使f ( z )处处解析。
例3、f ( z ) 0在D内 f ( z ) 常数
'
例4、如果：f ( z ) u iv为解析函数，且f ( z ) 0 则： 曲线组u( x, y ) c1和v( x, y ) c 2互相正交。
的值。 z
bz
b 1
作业2： 第二章习题( p68) 15 , 18
4、三角函数和双曲函数 ： (周期)
e iz e iz cos z （偶函数） 2 三角函数： e iz e iz sin z （奇函数） 2i
ez ez chz （偶函数） 2 双曲函数： e z ez shz （奇函数） 2
目标3：求e , Lnz的值。 e
z
z
e
z
1 Lnz z
例 1：求e z 1 0的全部解。
例2：求Ln2和Ln(1)及其主值
正实数的对数也有无穷 多个分支 复数的对数是实数对数 的拓广
3、乘幂与幂函数：a b、z b
（单值、有限个值、无 穷多值）
乘幂：a
b
a e
目标5：解含有sinz, cos z, shz , chz的方程。
例5：解方程： sinz 0 shz 0
e iz e iz sinz 0 e iz e iz 0 2i e iz e iz z z 2k z k 0点在实轴上
提供了判断函数是否可 导的方法； 给出了求导公式。 u v v u f ( z ) i i x x y y
u x v x u y v y
目标2：由柯西 黎曼方程判断函数的解 析性。
例 1：f ( z ) z , z , z Re(z )的解析性