6.2.4等差数列应用举例(课件)
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2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：等差数列
所以 Sn＋1－ Sn＝(n＋1) a1－n a1＝ a1(常数)，
所以数列{ Sn}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列.
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝12n2d＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列， 所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，
教材改编题
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2
B.－1
√C.1
D.2
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得151＝＝aa1＋1＋74dd，， 解得ad1＝＝－192，. ∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
教材改编题
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0， 则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d2， 所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一 次函数，且a1＝d2满足上式， 所以数列{an}是等差数列.
所以数列{ Sn}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列.
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝12n2d＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列， 所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，
教材改编题
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2
B.－1
√C.1
D.2
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得151＝＝aa1＋1＋74dd，， 解得ad1＝＝－192，. ∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
教材改编题
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0， 则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d2， 所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一 次函数，且a1＝d2满足上式， 所以数列{an}是等差数列.
等差数列的性质和应用PPT优秀课件
解 a n： S nS n 1(n2 ) a nn 2 2 n (n 1 )22 (n 1 )2 n 3(n2 （ )* ）
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
16
思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是 列否成数 等列 ?差
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
17
评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时 一定 要注意 验 证 a1是否适合通项公式 .
19
例3:设等差{数 an}的 列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
20
例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？ 。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1
ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
解：由推广的通项公 知式 ：
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
16
思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是 列否成数 等列 ?差
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
17
评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时 一定 要注意 验 证 a1是否适合通项公式 .
19
例3:设等差{数 an}的 列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
20
例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？ 。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1
ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
解：由推广的通项公 知式 ：
中职教育-数学(基础模块)下册 第六章 数列.ppt
根据高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，其前n项和
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
等差数列及其通项公式-完整PPT课件
d=（后一项）-（前一项）
an1 an d
two
练一练
判断下列数列哪些是等差数列，若是等差数列，求公差d （1）10 ，8 ，6 ，4 ，… 是等差数列 d=-2
（2）5 ，9 ，13 ，17，… 是等差数列 d=4
（3）1 ，-1 ，1 ，-1 ，… 不是等差数列
判断方法：定义法： an1 an d (n N *，d为常数) 数列{a n}是等差数列
three 巩 固 知 识 典 型 例 题
an a1 (n 1)d
例4 求等差数列-1 ，5 ，11 ，17，…的第几项是119.
解： 由题知a1 1，d 6， an 119
an a1 (n 1)d 1 (n 1) 6 6n 7 令119 6n 7
得n 21 所以这个数列的第21项是119
解： 设小明、爸爸、爷爷的 年龄分别为 a d、a、a d, d为公差
由题知（ a d） a (a d) 120 ①
（ 4 a d） 5 a d
②
由①得 3a 120
a 40
代入②得 d 25 所以祖孙三人的年龄分别为15、40、65岁
four
课后小结
1.
two
动脑思考 探索新知
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它前一项的差是同一个常数，则这个数列 叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差——用d表示
an1 an d
two
练一练
判断： （1）6 ，3 ，0 ，-5是等差数列
（2）等差数列9 ，6 ，3 ，0的公差d=9-6=3
小结
2.等差数列通项公式 an a1 (n 1)d
four
作业
《等差数列及其应》课件
详细描述
等差数列的求和公式为：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)，其中S_n表示前n项和，a_1 表示第一项，a_n表示第n项。这个公式适用于任何等差数列，只要知道首项和 公差，就可以计算出任意项的和。
倒序相加法求和
总结词
倒序相加法是一种特殊的求和方法，通过将等差数列倒序相加，可以得出一个常 数，进而求得等差数列的和。
《等差数列及其应用 》PPT课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的求和 • 等差数列的应用 • 等差数列与其他数学知识的联系 • 练习题与答案
01
等差数列的定义与 性质
等差数列的定义
总结词
明确等差数列的概念
答案解析
答案2
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=5， 第10项a_{10} = 3 + (10-1) * 5
= 48。
答案3
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=2， 第8项a_{8} = 3 + (8-1) * 2 =
裂项法的基本思路是将等差数列中的每一项拆分成易于计算 的形式，然后利用等差数列的性质进行化简。这种方法适用 于一些特定形式的等差数列，可以简化计算过程，提高计算 效率。
01
等差数列的应用
等差数列在日常生活中的应用
01
02
03
银行储蓄
等差数列常用于计算复利 ，计算存款增长情况。
等差数列的求和公式为：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)，其中S_n表示前n项和，a_1 表示第一项，a_n表示第n项。这个公式适用于任何等差数列，只要知道首项和 公差，就可以计算出任意项的和。
倒序相加法求和
总结词
倒序相加法是一种特殊的求和方法，通过将等差数列倒序相加，可以得出一个常 数，进而求得等差数列的和。
《等差数列及其应用 》PPT课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的求和 • 等差数列的应用 • 等差数列与其他数学知识的联系 • 练习题与答案
01
等差数列的定义与 性质
等差数列的定义
总结词
明确等差数列的概念
答案解析
答案2
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=5， 第10项a_{10} = 3 + (10-1) * 5
= 48。
答案3
根据等差数列的通项公式，第n 项a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_1是首项，d是公差。代入题目 给定的首项a_1=3和公差d=2， 第8项a_{8} = 3 + (8-1) * 2 =
裂项法的基本思路是将等差数列中的每一项拆分成易于计算 的形式，然后利用等差数列的性质进行化简。这种方法适用 于一些特定形式的等差数列，可以简化计算过程，提高计算 效率。
01
等差数列的应用
等差数列在日常生活中的应用
01
02
03
银行储蓄
等差数列常用于计算复利 ，计算存款增长情况。
高教版中职数学(基础模块)下册6.2《等差数列》ppt课件4
(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n ＋1)＋p＋q.又(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数，
∴数列{an＋1－an}是等差数列．
类型二 等差数列基本量的计算
例 2.在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 an； (2)已知 a6＝10，S5＝5，求 Sn； (3)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d＞0，
(3)设该等差数列的项数为 n，则 a1＋a2＋a3＋a4＝36，an ＋an－1＋an－2＋an－3＝124，
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝160，即 a1＋an＝40. ∴Sn＝n（a12＋an）＝20n＝780，解得 n＝39.故填 39.
(4)解法一：令 Sn＝An2＋Bn，则
(5)等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n，…为等差数列，公差为 n2d.
(6)若等差数列的项数为 2n，则有
S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1.
(2015·重庆)在等差数列 {an} 中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6
设数列{an}的前 n 项 和为 Sn，若对于所有的正整数 n， 都有 Sn＝n（a1＋ 2 an），证明{an} 是等差数列．
证明：当 n≥2 时，由题设知 an＝Sn－Sn－1＝n（a12＋an）－（n－1）（2a1＋an－1） ＝12[a1＋nan－(n－1)an－1]， 同理 an＋1＝12[a1＋(n＋1)an＋1－nan]．从而 an＋1－an＝12[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1]. 等差数列的定义
∴数列{an＋1－an}是等差数列．
类型二 等差数列基本量的计算
例 2.在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 an； (2)已知 a6＝10，S5＝5，求 Sn； (3)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d＞0，
(3)设该等差数列的项数为 n，则 a1＋a2＋a3＋a4＝36，an ＋an－1＋an－2＋an－3＝124，
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝160，即 a1＋an＝40. ∴Sn＝n（a12＋an）＝20n＝780，解得 n＝39.故填 39.
(4)解法一：令 Sn＝An2＋Bn，则
(5)等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n，…为等差数列，公差为 n2d.
(6)若等差数列的项数为 2n，则有
S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1.
(2015·重庆)在等差数列 {an} 中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6
设数列{an}的前 n 项 和为 Sn，若对于所有的正整数 n， 都有 Sn＝n（a1＋ 2 an），证明{an} 是等差数列．
证明：当 n≥2 时，由题设知 an＝Sn－Sn－1＝n（a12＋an）－（n－1）（2a1＋an－1） ＝12[a1＋nan－(n－1)an－1]， 同理 an＋1＝12[a1＋(n＋1)an＋1－nan]．从而 an＋1－an＝12[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1]. 等差数列的定义
等差数列ppt课件
的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+
d,
2
(−1)
则 =a1+
d= n+a1- ,
2
2
2
因此
反之,乙:
为等差数列,即甲是乙的充分条件;
为等差数列,
+1
即
- =D, =S1+(n-1)D,
+1
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
基础诊断·自测
类型
辨析
易错
高考
题号
1
3
2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差
数列.( × )
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
2
a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(
A.145
B.150
C.155
)
D.160
3(1 +3 )
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3=
当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,
d,
2
(−1)
则 =a1+
d= n+a1- ,
2
2
2
因此
反之,乙:
为等差数列,即甲是乙的充分条件;
为等差数列,
+1
即
- =D, =S1+(n-1)D,
+1
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
基础诊断·自测
类型
辨析
易错
高考
题号
1
3
2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差
数列.( × )
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
2
a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(
A.145
B.150
C.155
)
D.160
3(1 +3 )
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3=
当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,
等差数列及其应用37页PPT
②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为
9×20199/9/+239=90），它是179.
35
2019/9/23
36
2019/9/23
5
例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是， 请指明公差，若不是，则说明理由.
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
2019/9/23
19
练一练
求从1到2000的自然数中，所有偶 数之和与所有奇数之和的差.
2019/9/23
20
练一练
根据题意可列出算式：
（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+2019）
解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一
个公差为2的等差数列，1，3，5，…，2019也是
2019/9/23
8
对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1小 于a2，则显然a2-a1=a3-a2=...=an-a(n-1)=d,因此
a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d ...
由此可知：an=a1+(n-1)×d (1) 若a1大于a2，则同理可推得:an=a1-(n-1)×d (2) 公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式，利用通项公式， 在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一 项.
等差数列的应用课件
在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋a18＋a19＋a20 的值为( )
A．9
B．12
C．16
D．17
【解析】 由等差数列的性质知 S4，S8－S4，S12－S8，…也 构成等差数列，不妨设为{bn}，且 b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3， 于是可求得 b3＝5，b4＝7，b5＝9，即 a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
【解】 ∵数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列． ∴Sn＝n＋nn2－1×1＝12n2＋12n， ∴S1n＝nn2＋1＝21n－n＋1 1， ∴S11＋S12＋S13＋…＋S1n
＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
裂项相消法求和
n∈N*)．
依题中条件知Smm、S22mm、S33mm成等差数列， 所以 2·S22mm＝S33mm＋Smm. 所以 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)设等差数列{an}共 2n＋1 项，公差为 d，则奇数项有 n＋1 项，偶数项有 n 项，中间项是第 n＋1 项，即 an＋1， 则SS偶 奇＝ ＝aa21＋ ＋aa43＋ ＋aa65＋ ＋… …＋ ＋aa22nn＝ ＋1＝3344 ∴S 奇－S 偶＝a1＋nd＝an＋1＝11， 即中间项 an＋1＝11.
∵an－11·an＝1dan1－1－a1n， ∴Tn＝1da11－a12＋a12－a13＋…＋an1－1－a1n ＝1da11－a1n＝na－1a1n .
2．常用到的裂项公式有如下形式：
(1)nn1＋k＝1k1n－n＋1 k；
(2)
1 n＋k＋
n＝1k(
n＋k－
n)．
本例中若把条件改为“a1＝1，d＝1”，其他都不变，试求 解之．
等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
等差数列的性质及应用 课件
①
又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.
②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.
由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
探究点二
等差数列的有关计算
利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计 算．一般有如下规律： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为
仍为等差数列；
(7){an}和{bn}均为等差数列，则{an±bn}也是等差数列； (8){an}的公差为d，则d＞0⇔{an}为递增数列；d＜0⇔{an}
为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋ a10＝________. 提示：由等差数列的性质可知： a3＋a9＝a4＋a8＝a5＋a7＝2a6＝a2＋a10 ∴3(a2＋a10)＋12(a2＋a10)＝420.∴a2＋a10＝120.
等差数列的常用性质
(1)对称性：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…； (2)m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq； (3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an也成等差数列； (4)an＝am＋(n－m)d；
(5)若数列{an}成等差数列，则an＝pn＋q(p，q∈R)； (6)若数列{an}成等差数列，则数列{λan＋b}(λ、b为常数)
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差 为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1.∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，∴d＞0. ∴d＝1.故所求的四个数为－2,0,2,4.
课件1：6.2 等差数列
S6＝5a1＋10d，则 Sn 取最大值时，n＝________. 解析：由题意得 S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d， 所以 a6＝0，故当 n＝5 或 6 时，Sn 最大． 答案：5 或 6 2．(2013·广东高考)在等差数列{an}中，已知 a3＋a8＝10，则
3a5＋a7＝________. 解析：因为 a3＋a8＝10，所以 3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20. 答案：20
(2)邻项变号法： ①a1>0，d<0 时，满足aamm≥ ＋1≤0，0 的项数 m 使得 Sn 取得最大 值为 Sm； ②当 a1<0，d>0 时，满足aamm≤ ＋1≥0，0 的项数 m 使得 Sn 取得最 小值为 Sm.
[针对训练] 1．设数列{an}是公差 d<0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若
3．已知数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，a7－a5＝4，a11
＝21，Sk＝9，则 k＝________. 解析：a7－a5＝2d＝4，则 d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋kk2－1×2＝k2＝9.又 k∈N*，故 k＝3. 答案：3
4．已知一等差数列的前四项和为 124，后四项和为 156，各项和 为 210，则此等差数列的项数是________． 解析：设数列{an}为该等差数列， 依题意得 a1＋an＝124＋4 156＝70. ∵Sn＝210，Sn＝na12＋an，∴210＝702n，∴n＝6. 答案：6
[典例]
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝
1 2
，
an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N＋)．
(1)求证：数列S1n是等差数列．
(2)求 Sn 和 an.
3a5＋a7＝________. 解析：因为 a3＋a8＝10，所以 3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20. 答案：20
(2)邻项变号法： ①a1>0，d<0 时，满足aamm≥ ＋1≤0，0 的项数 m 使得 Sn 取得最大 值为 Sm； ②当 a1<0，d>0 时，满足aamm≤ ＋1≥0，0 的项数 m 使得 Sn 取得最 小值为 Sm.
[针对训练] 1．设数列{an}是公差 d<0 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若
3．已知数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，a7－a5＝4，a11
＝21，Sk＝9，则 k＝________. 解析：a7－a5＝2d＝4，则 d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，
Sk＝k＋kk2－1×2＝k2＝9.又 k∈N*，故 k＝3. 答案：3
4．已知一等差数列的前四项和为 124，后四项和为 156，各项和 为 210，则此等差数列的项数是________． 解析：设数列{an}为该等差数列， 依题意得 a1＋an＝124＋4 156＝70. ∵Sn＝210，Sn＝na12＋an，∴210＝702n，∴n＝6. 答案：6
[典例]
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝
1 2
，
an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N＋)．
(1)求证：数列S1n是等差数列．
(2)求 Sn 和 an.
等差数列课件
应用二
应用一
03
CHAPTER
等差数列的求和公式
利用等差数列的性质和数学归纳法，推导出等差数列的求和公式。
公式推导方法
通过数学归纳法证明等差数列的求和公式，确保其正确性和通用性。
数学归纳法
实际应用场景
等差数列的求和公式在日常生活和工作中有着广泛的应用，如计算存款利息、计算工资等。
解题技巧
掌握等差数列求和公式的应用技巧，能够快速解决相关问题，提高工作效率。
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差相等。
等差数列可以用通项公式表示，即第 n 项的值为 a_n = a_1 + (n-1)d。
也可以用递推公式表示，即第 n 项的值为 a_n = a_(n-1) + d。
等差数列的任意一项都可以由首项和公差唯一确定。
等差数列的公差是恒定的，不会随着项数的增加或减少而改变。
答案解析
一个等差数列的前5项依次为2、7、12、17、22，求该等差数列的通项公式。
题目
题目
题目
答案解析
一个等差数列的第10项是50的前4项和为26，前8项和为76，求该等差数列的前12项和。
进阶练习题主要考察等差数列的通项公式和求和公式的应用，以及如何根据已知条件求解未知数。
等差数列和等比数列在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在物理学中，等差数列可以用来描述声音的振动，而等比数列可以用来描述光的强度。
等差数列和几何级数是两种不同的数学概念，但它们之间也存在一定的关系。在几何级数中，任意两项之间的比是一个常数，与等比数列相似。但是，几何级数的第一项必须为1，而等比数列的第一项可以是任意实数。
THANKS
感谢您的观看。
应用一
03
CHAPTER
等差数列的求和公式
利用等差数列的性质和数学归纳法，推导出等差数列的求和公式。
公式推导方法
通过数学归纳法证明等差数列的求和公式，确保其正确性和通用性。
数学归纳法
实际应用场景
等差数列的求和公式在日常生活和工作中有着广泛的应用，如计算存款利息、计算工资等。
解题技巧
掌握等差数列求和公式的应用技巧，能够快速解决相关问题，提高工作效率。
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差相等。
等差数列可以用通项公式表示，即第 n 项的值为 a_n = a_1 + (n-1)d。
也可以用递推公式表示，即第 n 项的值为 a_n = a_(n-1) + d。
等差数列的任意一项都可以由首项和公差唯一确定。
等差数列的公差是恒定的，不会随着项数的增加或减少而改变。
答案解析
一个等差数列的前5项依次为2、7、12、17、22，求该等差数列的通项公式。
题目
题目
题目
答案解析
一个等差数列的第10项是50的前4项和为26，前8项和为76，求该等差数列的前12项和。
进阶练习题主要考察等差数列的通项公式和求和公式的应用，以及如何根据已知条件求解未知数。
等差数列和等比数列在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在物理学中，等差数列可以用来描述声音的振动，而等比数列可以用来描述光的强度。
等差数列和几何级数是两种不同的数学概念，但它们之间也存在一定的关系。在几何级数中，任意两项之间的比是一个常数，与等比数列相似。但是，几何级数的第一项必须为1，而等比数列的第一项可以是任意实数。
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等差数列ppt
等差数列ppt标题：等差数列一、引言数列是数学中的一个概念，是由一组按一定顺序排列的数依次组成的序列。
而等差数列是其中一种常见的数列。
本次演讲主题为等差数列，将主要介绍等差数列的定义、性质以及实际应用。
二、等差数列的定义等差数列是指数列中的相邻两项之差是一个常数。
首先，我们来看等差数列的一般形式：an = a1 + (n-1)d。
其中，an 表示第n个数，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的公差是数列中相邻两项之间的差别。
三、等差数列的性质1. 公差的性质：等差数列中，所有相邻两项之差都相等。
2. 总和的公式：等差数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = (n/2)(a1+an)进行计算。
即，前n项和等于项数n与首项和末项之和的乘积的一半。
3. 通项公式：等差数列的第n个数（通项）可以通过公式an = a1 + (n-1)d得到。
4. 等差中项：若等差数列的项数n是奇数，则中间项是n/2+1；若n是偶数，则中间两项分别是n/2和n/2+1。
四、等差数列的应用1. 排列组合：等差数列的应用在排列组合中是很常见的。
通过等差数列的性质，可以轻松解题。
2. 数学建模：等差数列在数学建模中有广泛应用。
例如，用等差数列可以描述连续变化的数据，从而进行预测和分析。
3. 经济学：等差数列的应用在经济学中也很重要。
例如，用等差数列可以对某一指标的连续变化进行分析和预测，从而为经济决策提供参考。
五、总结通过本次演讲，我们简要介绍了等差数列的定义、性质以及应用。
等差数列在数学中起到了很重要的作用，通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地理解和应用数学知识。
让我们一起探索更多有趣的数学概念吧！。
第六章 §6.2 等差数列-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d 2，
所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd， 所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次 函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
思维升华
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差 数列； (2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 等差数列； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差 数列； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 ⇔{an}是等差数列.
第六章
§6.2 等差数列
课标要求
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式 与前n项和公式的关系. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元函数的关系.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－2 1d＝12dn2＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列，所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的 一次函数，则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0，
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，
6.2.4等差数列应用举例(课件)
第1个月的存款利息为1000×0.1425%×12（元）； 第2个月的存款利息为1000×0.1425%×11（元）； 第3个月的存款利息为1000×0.1425%×10（元）； … 第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）． 应得到的利息就是上面各期利息之和．
Sn 1000 0.1425% (1 2 3
故年终本金与利息之和总额为
12) 111.15 （元），
12×1000+111.15=12111.15（元）．
三 巩固练习
1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面 一层放一根钢管，往上每一层都比他下面 一层多放一个，最上面一层放30根钢管， 求这个V形架上共放着多少根钢管．
第1题图
2．张新采用零存整取方式在农行存款．从元月 份开始，每月第1天存入银行200元，银行以年利 率1.71%计息，试问年终结算时本利和总额是多 少（精确到0.01元）?
例7
例8
小王参加工作后，采用零存整取方式 在农行存款．从元月份开始，每月第1天 存入银行1000元，银行以年利率1.71%计 息，试问年终结算时本金与利息之和（简 称本利和）总额是多少（精确到0.01元）? 解
年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．
年利率1.71%， 折合月利率为 0.1425%．计算公 式为月利率=年利 率÷12．
四 目标检测
一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形， 最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多 铺一块瓦片，斜面上铺了2际生活中的等差数列问题， 要通过观察构建等差数列模型，将实 际问题转化为数学问题，再应用等差 数列的通项公式和求和公式求解
书面作业：1、教材习题6.2A组9 2、《指导与练习》第8页 课余调查：寻找生活中的等差 数列求和实例
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动
数列求和实例
探
究
到0.01元）?
年利率1.71%，折合 月利率为0.1425%．计 算公式为月利率=年利 率÷12．
解 年利率1.71%，折合月利率为0.1425%． 第1个月的存款利息为1000×0.1425%×12（元）； 第2个月的存款利息为1000×0.1425%×11（元）； 第3个月的存款利息为1000×0.1425%×10（元）； … 第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）． 应得到的利息就是上面各期利息之和．
2
．
6.2 等差数列
一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，
最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多
自 铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，问共 我 铺了多少块瓦片． 反 思
目
610．
标
检
测
读书部分：阅读教材相关章节
继 续
书面作业：1、教材习题6.2A组和B 组（做在课本上）
探
2、《练与考》第6页
索
活
实践调查：寻找生活中的等差
Sn 1000 0.1425% (1 2 3 12) 111.15（元），
故年终本金与利息之和总额为
12×1000+111.15=12111.15（元）．
运
用 1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面
知 一层放一根钢管，往上每一层都比他下面
识 一层多放一个，最上面一层放30根钢管，
求这个V形架上共放着多少根钢管．
强 化
第1题图
练 习
2．张新采用零存整取方式在农行存款．从元月 份开始，每月第1天存入银行200元，银行以年利
率1.71%计息，试问年终结算时本利和总额是多
少（精确到0.01元）?
6.2 等差数列
理 论 升 华.
整 体 建 构
等差数列的前n项和公式是什么？
sn
n a1 an
2
；
n n 1 d
sn na1
6.2.4 等差数列应用举例
例7 某礼堂共有25排座位， 后一排比前一排多两个
座位，最后一排有70个 座位，问礼堂共有多少?
例8 小王参加工作后，采用零存整取 方式在农行存款．从元月份开始，每月
第1天存入银行1000元，银行以年利率 1.71%计息，试问年终结算时本金与利息 之和（简称本利和）总额是多少（精确