3.2.1对数及其运算1教师版
高中数学人教B版必修1第三章3.2.1 对数及其运算课件
（1）log5 25
（2）log
2
1 16
（3）lg1000（4）lg 0.001
2.求下列各式的值
(1)log15 15 (2)log0.4 1 (3)log9 81
(4)log2.5 6.25 (5)log7 343 (6)log3 243
• • （四）课堂小结 • 1.对数的概念是什么？（重点） • 2.对数式与指数式的关系是怎样的？（重
一般地，如果ax N a 0, a 1 ，那么数x
叫做以a为底N的对数，记作
x loga N, (a 0;a 1);
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
这里“㏒”是我们引进的一种符号，它表示对数， 它是拉丁文logarithm（对数）的缩写，读作log. 同学们想一下， 如果a 0或者a=1时会有什么情况呢？
(2) 26 1
2
(5) lg 0.01 2
64
(3) (1)m 5.73 (6) ln10 2.303 3
解：(1)log5 625 4
1 (2) log2 64 6 (3) log 1 5.37 m
3
((4） 43)2 (19) 4 16 (5)53 2125 (((656)())121e)024 . 30213601.001
？ 1.01x=18/13
• 容易得出关系式
18 x= log1.01 13
（讲一讲，练一练）求值
例3 求下列各式中x的值：
(1) log64
x
2 3
（2）logx 8 6
（3）lg100 x （4）- ln e2 x
解（：1）因为
log64
x
2 3
，则
2
x 64 3
3.2.1对数——对数的概念课件(苏教版)
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法 分
●教学建议
方 法
析
技
教
1．对数概念的引入
能
学 方
建议教师先让学生阅读教材中的实例，体会数学概念源
当 堂
案
双
设 于生活，再复习指数式，引入对数概念，便于学生接受． 基
计
达
课
2．关于指数式与对数式互化的教学
析
法 技
能
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
【思路探究】 根据对数的定义 ab＝N(a>0，且 a≠1)⇔ 业
课 堂 互 动 探 究
logaN＝b(a>0 且 a≠1)进行互化，要分清各字母分别在指数式 和对数式中的位置．
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法 分 析
【自主解答】 (1)①由 3－3＝217，得 log3217＝－3.
菜单
SJ ·数学 必修1
思 想 方 法 技 能
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ ·数学 必修1
思 想 方 法 技 能
高中数学人教新课标必修一B版教案3.2.1对数及其运算
3.2.1对数及其运算（第一课时）一、教学目标：二、教学重点：1重点是对数定义的理解2在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义。
鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解。
引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性三、教学方法：1充分利用信息技术和网络资源来学习知识2学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的3 教学方法与学习指导策略建议对学生的学法指导：联想类比。
数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。
鼓励学生自主学习和协作学习。
学生是在特定的学习环境进行学习。
“水涨船高”，通过小组协商、讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决。
鼓励学生利用网络查询有关对数的相关信息。
对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今后的学习做准备。
四、教学过程：引入新课[仿照初中如何引入根式定义的方式来导入]资料：布尔基与耐普尔数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（Joh n Na ei p r，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jo b st Bürgi，1552－1632）．布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价3.2.1对数及其运算（二）一、教学目标：1、知识与技能（1）理解对数的运算性质，掌握对数的运算法则（2）掌握对数的加、减、乘、除运算法则（3）知道对数运算性质的实质：把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法．2、过程与方法（1）通过学习对数运算性质和法则，再次强调真数大于零（2）学会借助实例分析、探究数学问题3、情感、态度与价值观通过对数运算性质的研究，增强学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。
3.2.1对数与对数运算1课件人教新课标B版
（1）32×1024
（2）4096÷128
计算 13×2048=
（3）
如何非整除法的运算
非完全平方数的开方运算
ax=N 求 x
除号“—”
根号“√”
?
2.2.1 对数与对数运算
人教A版必修1第一章第2节
讲授新知
log
对数（logarithm）
概念形成
对数的发明延长了科学家生命.
【例2】求下列各式中x的值
伽利略·伽利雷
（1） （2） （3） （4）
给我时间、空间和对数，我就可以创造一个宇宙.
弗里德里希·恩格斯
把对数的发明和解析几何的首创、微积分的
建立称为17世纪数学的三大成绩.
课堂小结
今天你学到了什么？
概念
【例2】求下列各式中x的值
（1） （2） （3） （4）
但那时候还没有计算机，
人们迫切需要找到一种方
法提高运算效率，那该怎
么办？
情境引入
x
x
1
2
13
2
4
3 4 5 6 7
8
9
10
11
12
8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
14
15
8192 16384 32768
16
17
18
65536
131072
262144
计算 32×1024= ？
一、对数的概念
一般地，如果 ax =
N（a>0，且a≠1），
那么数x叫做以a为底N的对数，
记作：
x = logaN
其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
对数的概念教学设计(江苏南京师大附中张萍)
课题：3.2.1对数的概念(第1课时)授课教师：师大学附属中学萍教材：教版高中数学必修1一. 教材分析对数这节课是教版必修1第3章对数函数第1课时．学习对数的概念是对指数概念和指数函数的回顾与深化，是学习对数函数的基础．二. 学情分析高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程．对数的概念对学生来说，是全新的，需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念．在教学过程中，力求让学生体会运用从特殊到一般，类比等数学方法来理解对数式与指数式之间的在联系，将对数这一新知纳入已有的知识结构中．三. 教学目标1. 理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．2. 学生在解决具体问题中体会引入对数的必要性，在举例过程中理解对数．3. 学生在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想，学会用相互联系的观点辩证地看问题．四. 重点与难点1. 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化．2. 难点：对数概念的理解．五. 教学方法与教学手段问题教学法，启发式教学．六．教学过程1. 创设情境 建构概念某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%．（设该物质最初的质量为1）【问题1】你能就此情境提出一个问题吗？[设计意图]通过学生熟悉的问题情境，让学生自主地提出问题，引发思考，体会这些问题之间的关联是指数式a b =N 中已知两个量求第三个量．[教学过程]师：写好的同学请和同桌交流一下.师：你提的是什么问题呢？生：经过5年，这种物质的剩留量为原来的多少？师：是多少呢？生：0.845=N.师：有不同的问题吗？生：经过多少年，这种物质的剩留量为原来的一半？师：这个问题怎么解决呢？ 0.84x=12. 师：同学们提出了很好的问题，这两个问题实际上都与我们学过的指数函数y=0.84x 有关．第一个问题是已知指数x 求幂y ；第二个问题是已知幂y 求指数x ．如果底数是未知的，那么，我们还可以解决已知指数x 和幂y 求底数a 的问题．[阶段小结]这些问题实际就是在研究a b=N (其中a ＞0且a ≠1)中已知两个量求第三个量．我们可以研究以下三类问题：设a b=N.(1)已知a，b，求N；比如32＝9，53＝125，……(2)已知b，N，求a；比如a5＝32⇒a＝2，a3＝5⇒a＝35，……(3)已知a，N，求b.2b＝2⇔b＝1，2b＝4⇔b＝2，【问题2】2b=3，这样的指数b有没有呢？[设计意图]利用具体的问题引发学生的认知冲突，引导学生运用数形结合的方法探索指数b是存在的，并且只有一个，进而想办法用数学符号表示指数b．[教学过程]生：2b＝3这个问题和指数函数y=2x有关，我们可以作出它的图象来观察.师：作出2x＝3与y=3的图象，发现它们有交点，而且只有一个，那么指数b 在哪里呢？生：交点的横坐标就是指数b．师：看来满足2b＝3的指数b可由“2和3”唯一确定，但它究竟是个什么数呢？现在用我们学过的数又不能把它写出来，怎么办呢？生：用一个新的符号来表示它.师：是的，数学家也是这么想的，他们解决这种问题的办法就是引进一个新的符号，比如这里的a3＝5，a等于什么呢？数学家就用a＝35来表示，a是由3和5确定的，将3和5写在相应的位置.师：现在如何表示这里的指数b 呢？指数b 由2和3确定，数学家用log 23来表示，读作以2为底3的对数，其中2为底数，写在下方，3叫真数．师：有了这个符号，就可以解决我们刚才的问题了，0.84x=12⇔ x ＝log 0.8412. 师：你能再举一些这样的对数吗？生：3b ＝10⇔ b ＝log 310；4b ＝5⇔ b ＝log 45；2b ＝7⇔ b ＝log 27；……师：这里的1能用对数表示吗？生：1= log 22．师：同样这里的2也可以表示为log 24. 对数b 其实就是一个数．思考：根据这些具体的例子，你能得到一般情况下，对数是怎么表示的吗？ 对数的概念：如果a 的b 次幂等于N (其中a ＞0，a ≠1)，即a b =N ，那么就称b 是以 a 为底 N 的对数，记作log a N ＝b ．其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．数学史简介：对数是由17世纪格兰数学家纳皮尔发明的，有兴趣的同学可以查阅相关的数学史资料.师：根据对数的概念，我们不难发现，对数来源于指数，这两个等式表示的是a ，b ，N 三个量之间的同一个关系，只是表现形式不同而已，比如在a b =N 中，a ＞0，a ≠1，a 叫底数，b 叫指数，N 叫幂，当变为对数式时，a 的围不变，a 还叫底数，指数b 现在叫对数，幂N 现在叫真数.2．具体实例 理解概念[学生活动]请每位同学写出2—3个对数，与同桌交流．[设计意图]深入理解对数．第一阶段，让学生体会对数可以转化为指数，对数式和指数式是等价的；第二阶段，认识特殊的对数，明确对数式中a ，b ，N 的围．[教学过程]师：大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看，有同学写了这样一个对数log 327. 你知道它是个什么样的数吗？师：为什么等于3呢？生：因为33 =27.师：还有同学写了log 139，这是个什么数啊？生：－2.师：为什么？生：因为(13)－2 =9. 师：想认识对数只要将它转化为相应的指数式就容易理解了.师：我也写一个log 926，这是个什么数呢？师：你知道它大概是多大吗?生：1到2之间.师：你怎么知道的呢？生：因为91=9，92=81，26在9和81之间.师：你是将问题转化为指数问题来考虑的.我们知道对数就是一个数，可以设它为b，转化为9b=26就好理解了.[阶段小结]其实想要认识同学写的对数，只要将它转化为相应的指数式就明白了，指数式和对数式是可以等价转化的.师：看大家写的对数有大于0的，有小于0的，有没有等于0的对数呢？生：log21=0.师：还有吗？生：只要底数取a>0，a≠1，真数为1的对数都等于0.师：怎么表示呢？生：log a1=0(a>0，a≠1).师：为什么？生：因为a0＝1(a>0,a≠1) .师：a0＝1是个特殊的指数式，还有其他特殊的指数式吗？生：a1＝a.师：由这个我们又能得到什么样的对数式呢？生：log a a=1(a>0，a≠1) .师：对数可正可负可为0，那对数是否能取到所有的实数呢？师：你怎么知道的呢？生：从指数式a b=N(其中a＞0且a≠1)中我们可以知道.师：对数b可以取到一切实数，底数a＞0，a≠1，真数N应满足什么要求呢？生：大于0.生：在a＞0且a≠1时，a b=N，根据指数函数的值域可知N只能取大于0的数.[阶段小结]通过讨论，我们认识了一些特殊的对数，知道对数b可以取到一切实数，但是真数N必须大于0. 在认识对数的过程中，我们运用了对数式与指数式之间的等价转化.3．概念应用方法总结练习求下列各式的值：(1)log264；(2)log101100；(3)log927．[设计意图](1)理解对数是个数，对数问题可以转化为指数问题来解决．(2)反思解题过程，从中得到两个对数性质log a a b=b，a log a N＝N (a＞0且a≠1)，为对数求值提供新的方法．(3)激起学生进一步探索对数相关结论的兴趣．(4)介绍常用对数和自然对数．[教学过程]师：回头看第1个问题的解决过程，log226=6，log1010-2=-2你有什么发现？师：一般情况下log a a b=b对吗？生：对，因为a b= a b.师：在log a a b=b这个式子中，真数N变成了a b，相当于将指数式a b=N带入对数式log a N=b，消去N.现在如果将对数式log a N=b带入指数式a b=N消去b，会得到什么呢？生：a log a N＝N (a＞0且a≠1)．师：从第3小题中，你又会有什么发现呢？对数还有很多有趣的性质，有兴趣的同学可以继续研究.师：大家看第2小题底数是10，我们通常将以10为底的对数叫常用对数，简记为log10 N＝lg N．以后在高等数学和物理学中还会经常用到以e为底的对数，叫做自然对数，loge N＝ln N．比如，lg2，ln3.【问题3】什么是对数？研究对数的基本方法是什么？[设计意图]回顾反思本节课学习的知识和方法．主要让学生体会研究一个新的数学对象的一般方法，即生：对数就是一个数．遇到对数问题转化为指数问题来解决．师：很好，我们通过一些具体的例子得到了对数的概念，又通过举例和练习进一步认识了对数，在认识的过程中，发现遇到对数的问题可以转化为指数问题来解决.这两个式子是等价的，表示的是a，b，N这三个量之间的同一种关系.师：既然对数就是一个数，你觉得下面我们可以研究什么？生：对数的运算．师：那如何研究对数的运算性质呢？请同学们先回去思考，我们下节课再研究．4. 课堂小结布置作业(1)课本P74 练习第1、3、4、5题．(2)探究对数的运算性质．[设计意图]布置作业的面向全体学生，旨在掌握对数的概念，熟练对数式与指数式的互化．探究对数的运算性质给学生提供进一步自主研究对数的机会．七. 教学设计说明对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念。
数学：3.2.1《对数及其运算》课件(新人教B版必修1)
变式训练 5 (1)log2
求下列各式的值：
1 1 ＋log212－ log26； 24 2
(2)log9 2· 43＋log83)． (log
分析：(1)由于24,12,6都可分解成2和3的 这两个质因子的积或幂，所以可运用对数运 算性质直接将原式转化为含log23的式子再化 简即可．或利用题中各对数均为同底的对数， 可逆用运算性质将之化为一个对数的计算问 题． (2)所含对数底数不同，因此可考虑用对 数换底公式化为同底对数的运算．
(1)解法一：log2
1 1 ＋log212－ log26 24 2
分析：根据对数式的定义求解．
1 解：(1)log3 ＝x； 27 1 1 (3)log5 ＝－ ； 2 5 (5)10－3＝0.001； (4)( 2)4＝4； (6)( 2－1)－1＝ 2＋1.
评析：明确对数的定义是解题的关 键．指数式与对数式是互逆的，二者能够相 互转化，熟练掌握二者的互化，能够加深对 指数式和对数式的理解，为后面学习对数函 数打下坚实的基础．
分析：利用对数的性质求值，首先要明 确解题目标是化异为同，先使各项底数相同， 才能使用性质，再找真数间的联系，对于复 杂的真数，可以先化简再计算．
解：(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3 ＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 10 (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg · lg(2×10)＋(lg2)2 2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg2)· (lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. 1 log 2· 73 2log log5 2· 79 2 5 log (3)∵ ＝ 1 1 3 log5 · 7 4 －log53·log74 log 3 3 lg2 lg3 · lg5 lg7 3 ＝－ ＝－ ， lg3 1lg4 2 · lg5 3lg7
人教B版高中数学必修一课件-3.2.1 对数及其运算
继而，你还能推导出对数的其他运算法则吗？
log a M
- loga N
loga
M N
nlog a M log a M n
对数的减法法则
对数的数乘法则
本课新知我应用 例题1：求下列各例式题2的：值请：用 loga x, loga y,logaz
来表示下列各式的结果：
结合思考问题（3），你觉得选手徐睿回答正确了吗？
汶川之难 历历在目 有志青年 学习强国
本课总结与检测——每 题10分
1.求值log2 24 lg 0.5 log3
27
lg 2 log2 3 （
3 2
）
1
2.求值83 lg5 lg20 eln2 （ 2 ）
3.求值9log32 （ 4 ）
4.求值（log43 log83）(log32 log9 2) （
5 4
）
谢谢
3
（3）logaa 1y(a 0且a 1)
完成下列各题：对数
式与指数式互化。
（4）2log2N x （5）log 33x t （6）log a1 0x
特殊
特殊
一般
alogaN N
一般
log aa x x
本课新知我来教：阅读 P62页 你能想办法证明这个等 式logaM loga N loga (MN )吗？
（1）log（2 47 25） log2 47 log2 25 log2 214 5 14 5
19
(1)log a
x2 y z
log（a x2 y） log a z
loga x2 loga y loga z
2loga x loga y loga z
教学设计3：3.2.1 对数及其运算
3.2.1对数及其运算一、教学内容解析本节课是人教B版第三章第二节对数与对数函数中第一小节对数及其运算的第一课时。
对数对学生来说是一个全新的概念，学习起来略显困难，不过在此之前，学生已学习了指数和指数函数的有关知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用；本章后面的对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广。
本节内容的学习主要是为让学生理解对数的概念，为学习对数函数作好准备。
同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化，数形结合的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、教学目标设置通过对本节课教材的分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标制定出如下三个方面的教学目标：1、知识与技能目标：理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质。
2、过程与方法目标：通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。
小组交流对对数的理解和认识，培养学生合作学习的能力，使学生经历认知逐渐深入的过程。
3、情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们研究数学问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自主探究以及合作交流的能力。
三、学生学情分析我校在营口市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力很强，思维较活跃。
我校的教学模式为小组合作交流学习模式，学生已经养成了小组合作学习的习惯。
即学生通过预习，结合学案，自主学习、探究的模式。
前面学生已经学习了指数和指数函数的有关知识。
在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学重点是：重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化。
难点：对数概念的理解，对数性质的理解。
四、教学策略分析为了最大程度发挥学生的主观能动性，实践人本教育，我校采用“主动、合作、交流”学习方法学习，把学生分成四人小组，分工合作，进行讨论探究逐渐培养学生“会观察”、 “会分析”、“会论证” 、“会合作”的能力。
高中数学人教B版必修一3.2.1 第1课时 对数概念及常用对数课件
跟踪演练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( C )
A.e0＝1 与 loge1＝0
1
C.log24＝2 与 4 2 ＝2
B.8
1 3
＝2
与
log82＝13
D.log33＝1 与 31＝3
解析 由指对互化的关系：ax＝N⇔x＝logaN可知A、B、D 都正确； C中log24＝2⇔22＝4.
[知识链接]
2
1.8 3
＝
4
，64
2 3
＝
1 16
.
2.若2x＝8，则x＝ 3 ；若3x＝81，则x＝ 4 .
[预习导引] 1.对数 (1)定义：对于指数式ab＝N，把“以a为底N的对数b”记作 logaN ，即 b＝logaN(a＞0，且a≠1) ，其中，数a叫做对数的 底数 ，N叫做 真数 ，读作“b等于以a为底N的对数 ”. (2)常用对数：当a＝10时，log10N记作 lg N ，叫做常用对数. (3)对数恒等式： a logaN ＝N .
(3)ea＝16；
解 loge16＝a.
(4)64
1 3
＝14；
解 log6414＝－13.
(5)log39＝2； 解 32＝9.
(6)logxy＝z. 解 xz＝y.
规律方法 1.对数式与指数式的互化图：
2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(－3)2＝9就 不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时， 才有ax＝N⇔x＝logaN.
余正确.
1
4.已知
log2x＝2，则
x
1 2
＝__2__.
解析 ∵log2x＝2，∴x＝4，
∴x
1 2
教学设计2：3.2.1 对数及其运算（一）
§3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算(一)一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系 .2. 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.二．重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：对数性质的推导三．学法与教具：（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现（2）教具：投影仪教学过程[问题情境] 对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一 对数的概念问题1 若24＝M ,则M 等于多少？若2－2＝N ,则N 等于多少？答： M ＝16,N ＝14. 问题2 若2x ＝16,则x 等于多少？若2x ＝14,则x 等于多少？ 答： x 的值分别为4,－2.问题3 满足2x ＝3的x 的值,我们用log 23表示,即x ＝log 23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x ＝16,2x ＝14,4x ＝8的x 的值如何表示？ 答： 分别表示为log 216,log 214,log 48. 小结： 1.在指数函数f (x )＝a x (a ＞0,且a ≠1)中,对于实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一确定的值x 和它对应.幂指数x ,又叫做以a 为底y 的对数.一般地,对于指数式a b ＝N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b ＝log a N (a >0,a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.2.对数log a N (a >0,且a ≠1)的性质(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即 log a 1＝0;(3)底的对数等于1,即 log a a ＝1.3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log 10N 简记作 lg N .探究点二 对数与指数的关系问题1 当a >0,且a ≠1时,若a x ＝N ,则x ＝log a N ,反之成立吗？为什么？答：反之也成立,因为对数表达式x ＝log a N 不过是指数式a x ＝N 的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2 在指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N 中,a ,x ,N 各自的地位有什么不同？答问题3 若a b ＝N ,则b ＝log a N ,二者组合可得什么等式？答：对数恒等式:a ＝N .问题4 当a >0,且a ≠1时,log a (－2),log a 0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？ 答：不存在,因为log a (－2),log a 0对应的指数式分别为a x ＝－2,a x ＝0,x 的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5 根据对数定义,log a 1和log a a (a >0,a ≠1)的值分别是多少？答：log a 1＝0,log a a ＝1.∵对任意a >0且a ≠1,都有a 0＝1, ∴化成对数式为log a 1＝0; ∵a 1＝a ,∴化成对数式为log a a ＝1.小结： 对数log a N (a >0,且a ≠1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1＝0;(3)底的对数等于1,即log a a ＝1.例1 求log 22, log 21, log 216, log 212. 解： 因为21＝2,所以log 22＝1;因为20＝1,所以log 21＝0;因为24＝16,所以log 216＝4;因为2－1＝12,所以log 212＝－1. 小结： log a N ＝x 与a x ＝N (a >0,且a ≠1,N >0)是等价的,表示a ,x ,N 三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a ,x ,N 中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:(1)54＝625; (2)2－6＝164; (3)3a ＝27; (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解： (1)log 5625＝4;(2)log 2164＝－6;(3)log 327＝a ;(4)log 135.73＝m . 例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.解：(1)设x ＝log 927,则9x ＝27,32x ＝33,∴x ＝32. (2)设x ＝log 4381,则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,3＝34,∴x ＝16.(3)令x ＝log 354625,∴⎝⎛⎭⎫354x ＝625,5＝54,∴x ＝3.小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:(1)log 64x ＝－23; (2)log x 8＝6; (3)lg 100＝x . 解： (1)x ＝(64) －23＝(43) －23＝4－2＝116.(2)x 6＝8,所以x ＝(x 6) 16＝816＝(23) 16＝212＝ 2.(3)10x ＝100＝102,于是x ＝2.探究点三 常用对数问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？答：以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log 10N 记做lg N .如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.解：因为101＝10,所以lg 10＝1;因为102＝100,所以lg 100＝2;因为10－2＝0.01,所以lg 0.01＝－2.小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n ∈Z )时,lg 10n ＝n ;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:(1)log 2(log 5x )＝0;(2)log 3(lg x )＝1; (3)log (2－1)13＋22＝x .解： (1)∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1,∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1,∴lg x ＝31＝3,∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)13＋22＝x ,∴(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1, ∴x ＝1.当堂检测1.若log (x ＋1)(x ＋1)＝1,则x 的取值范围是( B ) A.x >－1B.x >－1且x ≠0C.x ≠0D.x ∈R 解析：由对数函数的定义可知x ＋1≠1，x ＋1>0即x >－1且x ≠0.2.已知log 12x ＝3,则x 13＝__12______.解析：∵log 12x ＝3,∴x ＝(12)3, ∴x 13＝12. 3.已知a 12＝49(a >0),则log 23a ＝__4______.解析：由a 12＝49(a >0),得a ＝(49)2＝(23)4, 所以log 23a ＝log 23(23)4＝4. 4.将下列对数式写成指数式:(1)log 16＝－4;(2)log 2128＝7;(3)lg 0.01＝－2.解：(1)⎝⎛⎭⎫12－4＝16;(2)27＝128; (3)10－2＝0.01.课堂小结：1.掌握指数式与对数式的互化a b ＝N ⇔log a N ＝b .2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1＝0,log a a ＝1.3.对数恒等式有:a log a N ＝N ,log a a n ＝n .4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N .。
3.2.1对数及其运算1课件人教新课标B版
例题讲授
• 例2 计算下列各式中 x 的值： (1)logx 8 6; (2)lg100 x; (3) ln e2 x; (4)lg1 x.
探究四：对数恒等式
• 求下列各式中 x 的值：
(1)2log2 3 x =3
• 一般地，如果ax N (a 0且a 1)，那么数_x_
叫做以_a_为底_N_的对数，记做 x log a N
a_______. 底数 N
真数
叫做对数的____， 叫做_____.
注意：
a 0且a 1（为什么？）
（1）底数的限制：
log N （2）对数的书写格式： a
探究一：对数的概念
一、导入
口算下列各式：
2x 2 x _1__
2x 4 x __2_ 2x 8 x __3_
2x 16 x _4__
2x 10 x _?__
对数
对数与对数运算
二、探究学习
探究一：对数的概念 • 思考：已知底数和幂的值，怎样求指数
呢？例如：2x 由10 ，x 求 .
探究一：对数的概念
(2)log
8
x
2 3
(3)lg0.1 x (4)4logx 7 7
课后作业
• 完成导学案【模块六：课后作业】
数的对数，把 loge N 记为__ln_N______
例题讲授
• 例1 将下列指数式写成对数式或对数式写成 指数式：
（1）54 625;
（2）log 116 -4;
2
（3）2-6 1 ; 64
(4)lg0.01 -2;
(5) 1 m 5.73; (6)ln10 2.303. 3
3.2.1(二)对数及其运算教案
3.2.1 对数及其运算(二)【学习要求】1.加深对数的概念;2.了解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式;3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.【学法指导】通过对数运算性质的推导及对数式的运算、求值、化简,培养分析问题、解决问题的能力及数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.填一填：知识要点、记下疑难点1.对数运算法则:log a (MN)＝ log a M ＋ log a N ,log a M N＝ log a M － log a N , log a M n ＝ nlog a M .2.log b N ＝log a N log a b 叫做换底公式,log a m b n ＝n m log a b,log a b ＝1log b a(或 log a b·log b a ＝1 ). 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道,实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,集合有交、并、补运算,指数也有三种运算,那么,对数有怎样的运算？探究点一 积、商、幂的对数问题1 指数的运算法则有哪些？答：a m ·a n ＝a m ＋n ;a m ÷a n ＝a m －n ;(a m )n ＝a mn ;m a n ＝a n m. 问题2 你能写出指数式与对数式的互化公式吗？答：指数式与对数式的互化公式为:a b ＝N ⇔log a N ＝b.问题3 根据对数的定义及对数与指数的关系你能解答下列问题吗？(1)设log a 2＝m,log a 3＝n,求a m ＋n ;(2)设log a M ＝m,log a N ＝n,试利用m 、n 表示log a (MN).解：(1)由log a 2＝m,得a m ＝2,由log a 3＝n,得a n ＝3,所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝2×3＝6,即a m ＋n ＝6.(2)由log a M ＝m,得a m ＝M,由log a N ＝n,得a n ＝N.所以a m ·a n ＝a m ＋n ＝M×N,把指数式化为对数式得:log a (MN)＝m ＋n.小结：在问题3中的第(2)题中,我们得到log a (MN)＝m ＋n,又由log a M ＝m,log a N ＝n,进行m,n 的代换后就得到对数的一条运算性质,即:log a (MN)＝log a M ＋log a N.因为同底数幂相乘,不论有多少因数,都是把指数相加,所以这个性质可推广到若干个正因数的积:log a (N 1N 2…N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k .问题4同样地,由a m ÷a n ＝a m －n 和(a m )n ＝a mn ,也得到对数运算的其他性质:log a M N＝log a M －log a N;log a M n ＝nlog a M(n ∈R) (a>0,且a≠1,M>0,N>0).你能不能推导出呢？答:令M ＝a m ,N ＝a n ,则M N＝a m ÷a n ＝a m －n , ∴m －n ＝log a M N.又由M ＝a m ,N ＝a n , ∴m ＝log a M,n ＝log a N,即:log a M －log a N ＝m －n ＝log a M N; 当n≠0时,令log a M ＝p,由对数定义可以得M ＝a p ,∴M n ＝(a p )n ＝a np ,∴log a M n ＝np,将log a M ＝p 代入,即证得log a M n ＝nlog a M.当n ＝0时,显然成立.∴log a M n ＝nlog a M.小结:上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形;然后再根据对数定义将指数式化成对数式.对数运算性质可以用简易语言表达:“积的对数＝对数的和”,“商的对数＝对数的差”,“正数的n 次方的对数＝正数的对数的n 倍”.有时用逆向运算性质:如log 105＋log 102＝log 1010＝1.例1 用log a x,log a y,log a z 表示下列各式:(1)log a xy z ; (2)log a (x 3y 5); (3)log a x yz ; (4)log a x 2y 3z . 解:(1)log a xy z＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z;(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y;(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a x －(log a y ＋log a z)＝12log a x －log a y －log a z; (4)log a x 2y 3z ＝log a (x 2y)－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a z ＝2log a x ＋12log a y －13log a z. 小结:真数的取值范围是(0,＋∞),log 2(－3)(－5)＝log 2(－3)＋log 2(－5)不成立,log 10(－10)2＝2log 10(－10)也不成立.要特别注意log a (MN)≠log a M·log a N,log a (M±N)≠log a M±log a N.跟踪训练1计算:(1)lg 5100; (2)log 2(47×25); (3)lg 4＋lg 25; (4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5.解:(1)lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25; (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19;(3)lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2;(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.探究点二 换底公式与自然对数导引 在实际应用中,常常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数呢？如何求log 35?问题1:假设log 25log 23＝x,则log 25＝xlog 23,即log 25＝log 23x ,从而有3x ＝5,进一步可得到什么结论？ 答:把3x ＝5化为对数式为:log 35＝x,又因x ＝log 25log 23,所以得出log 35＝log 25log 23的结论. 问题2 如果a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,那么log c b log c a与哪个对数相等？如何证明这个结论？ 答:结论为log c b log c a＝log a b. 证明如下:令log c b log c a ＝x ⇒log c b ＝xlog c a ⇒log c b ＝log c a x ⇒b ＝a x ⇒x ＝log a b ⇒log c b log c a＝log a b. 小结:(1)log a b ＝log c b log c a(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)叫做换底公式. (2)由换底公式可得两个结论:①log a b n ＝n m log a b; ②log a b ＝1log b a(或log a b·log b a ＝1). 问题3:什么叫做自然对数？自然对数如何表示？答:以e ＝2.718 28…为底的对数叫做自然对数.记作ln N. 例2 已知log 23＝a,log 37＝b,用a,b 表示log 4256.解:因为log 23＝a,则1a＝log 32, 又∵log 37＝b,∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 小结:在利用换底公式进行化简求值时,一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10为底数进行换底. 跟踪训练2 求log 89·log 2732的值. 解:log 89·log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝23×53＝109. 例3 计算下列各式的值:(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245; (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解:(1)方法一原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 2＋lg(72×5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12.方法二:原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.小结:这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂,然后化简求值. 跟踪训练3 (1)已知lg 2＝0.301 0,lg 3＝0.477 1,求lg 45;(2)已知lg x ＝2lg a ＋3lg b －5lg c,求x.解： (1)lg 45＝12 lg 45＝12lg 902＝12[lg 9＋lg 10－lg 2]＝12[2lg 3＋1－lg 2]＝lg 3＋12－12lg 2＝0.477 1＋0.5－0.150 5＝0.826 6;(2)由已知得:lg x ＝lg a 2＋lg b 3－lg c 5＝lg a 2b 3c 5,∴x ＝a 2b 3c 5.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A.log a x·log a y ＝log a (x ＋y)B.(log a x)n ＝nlog a xC .log a x n ＝log a nxD.log a xlog a y ＝log a x －log a y解析：因log a x n ＝1n log a x ＝log a x ＝log a nx,所以选C.2.log 327＋lg 25＋lg 4＋7＋(－9.8)0＝__________.解析：原式＝12log 333＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132.3.求证:(1)log x ylog y z ＝log x z;(2)log a b n ＝log a b.证明：(1)因为log x ylog y z ＝log x y log xzlog x y ＝log x z,所以log x ylog y z ＝log x z.(2)log a b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a bnlog a a ＝log a b.课堂小结：1.对数的运算法则:如果a>0,a≠1,M>0,N>0有:(1)log a (MN)＝log a M ＋log a N(2)log a M N ＝log a M －log a N(3)log a M n ＝nlog a M (n ∈R)2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:log a b ＝log c blog c a (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0).。
高中数学：3.2.1《对数的概念》教案(新人教B版必修1)
对数及其运算（第一课时）
课型
新授课
授课人
某某育明高中常爱华
教学
目标
1．知识与技能：
(1)掌握对数的定义及性质；
(2)能利用对数定义解决简单的对数计算；
(3)初步理解对数的运算性质．
2．过程与方法：
(1)在解决问题的过程中，掌握对数的定义；
(2)通过对数运算性质的探索及推导过程，培养学生“合情推理”的能力和“演绎归纳”的数学思想方法．
通过小结使学生加深对知识的记忆、理解，养成总结的习惯．
(2)1的对数为0，即 ；
(3)底的对数等于１，即 ．
教师点拨，学生发现、归纳、回答．
加深定义
的理解．
巩固
练习
6．练习：
(1)将下列指数式与对数式互化：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
(2)计算：
① ② ③ ④
⑤ ⑥
学生练习，师生共同总结．
加深定义的理解与应用．
概念
深化
7．对数的运算性质：
思考：根据 的计算结果，你能用
3．情感、态度与价值观：
(1)通过对数在历史上发明的交流，了解对数在人类文明发展中的作用，提高学生对数学文化价值的认识；
(2)通过“合情推理”和“演绎归纳”的数学思想方法的运用，培养学生大胆探索、实事求是的科学精神．
重点
对数的定义及对数的运算性质
难点
对数运算性质的发现及推导
教学过程
教学
环节
教学内容
师生活动
概念
形成
教学
环节
3．对数的定义：
定义：对于指数式 ，我们把“以 为底 的对数 ”记作 ，
即 ．
其中，数 叫ห้องสมุดไป่ตู้对数的底数， 叫做真数，
课件1：3.2.1 对数及其运算 第1课时
解：(1)由题意有 x－10>0，∴x>10，即为所 求．
(2)由题意有xx＋ －21>>00， 且x－1≠1， 即xx>>－1且2，x≠2，∴x>1 且 x≠2. (3)由题意有（x＋x－1>10）且2x>＋0，1≠1，
解得 x>－1 且 x≠0，x≠1.
2.求下列各式中 x 的值：
(1)log31－92x＝1；
叫做对数的__底__数__，N叫做__真__数___，读作 __“__b_等__于__以__a_为__底__N_的__对__数__”_____． (3)对数恒等式___a_lo_g_aN_＝__N___．
典题例证技法归纳
题型探究
对数式与指数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化 (1)log216＝4；(2)log127＝－3；
(2)log2012(x2－1)＝0. 解：(1)∵log31－92x＝1，∴1－92x＝3，
∴1－2x＝27，即 x＝－13.
(2)∵log2012(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即 x2＝2，
∴x＝± 2.
3.已知：x＝log23，求223xx－－22－ －3xx的值．
解：由 x＝log23，得 2x＝3，2－x＝13. ∴223xx－－22－－x3x＝22x＋2－2x＋1＝(2x)2＋(2－x)2＋1 ＝9＋19＋1＝991.
方法感悟
方法技巧 1.正确理解对数的概念： (1)底数大于0且不等于1，真数大于0. (2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及 二者的相互转化．
2.实质上，对数表达式，不过是指数函数 y ＝ax(a>0 且 a≠1)的另一种表达形式，例如： 34＝81 与 4＝log381 这两个式子表达是同一 关系，因此，有关系式 ax＝N⇔x＝logaN.
课件3：3.2.1 对数及其运算 第1课时
验根．
例如：解方程 log64(x－1156)＝－23，将其化为指数式为 x－1156
2
＝64－3
2
，又 64－3
＝(43)
2 －3
＝4－2＝116，则 x－1156＝116，
所以 x＝1，经检验 x＝1 是原方程的根．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
Байду номын сангаас
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
第二类是形如关于 x 的方程 logf(x)n＝b，通常将其化为指数 式[f(x)]b＝n，这样解关于 x 的方程[f(x)]b＝n 即可，最后要注意 验根．
例如，解方程 log(1－x)4＝2，将其化为指数式为 (1－x)2＝4， 解得 x＝3 或 x＝－1，经检验 x＝3 是增根，原方程的根是 x＝ －1.
[分析] 根据对数式的定义求解．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
[解析] (1)log3217＝x. (2) log1 64＝x.
4
(3)log5 15＝－12. (4)( 2)4＝4. (5)10－3＝0.001. (6)( 2－1)－1＝ 2＋1.
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
指数式与对数式的相互转化
将下列指数式与对数式进行互化．
(1)3x＝217；
1
(3)5－2
＝
1； 5
(5)lg0.001＝－3;
(2)14x＝64；
(4) log 2 4 4 ；
(6) log 21 2 1 1 .
x2＋3x＝x＋3
高中数学 《3.2.1对数及其运算(一)》课件 新人教B版必
x2＋1≠1 ∴x<38且 x≠0.
课堂讲练互动
题型二 对数式与指数式的互化 【例 2】 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化 为对数形式： [思路探索] 属于指数式与对数式的关系问题．
课堂讲练互动
规律方法 ①指数和对数运算是一对互逆运算，在利用 ax ＝N⇔x＝logaN 进行转化时，要分清各字母分别在指数式和对数 式中的位置．
2－1)
1 3＋2
＝x， 2
∴(
2－1)x＝
1 3＋2
＝ 2Leabharlann 1＝ 2＋121 2＋1
＝ 2－1，∴x＝1.
课堂讲练互动
误区警示 忽视对数式中底数与真数的条件而出错 【示例】 已知 logx116＝－2，求 x. [错解] 由 logx116＝－2，∴x－2＝116， 即 x2＝16，∴x＝±4.
课堂讲练互动
4．对数的性质 (1)1 的对数为 0 ； (2)底的对数为 1 ； (3)零和负数 没有对数 .
课堂讲练互动
想一想：对数式 logaN 中真数 N 有何要求？为什么？ 提示 依对数定义知，若 ax＝N，则 x＝logaN，对于 a>0， 无论 x 取何实数，总有 ax>0，即 N>0.
课堂讲练互动
(3)对数记号 logaN 中，只有在 a>0 且 a≠1，N>0 时，才有 意义．
课堂讲练互动
题型一 对数的概念 【例 1】 求下列各式中 x 的取值范围： (1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2. [思路探索] 用对数式中底数，真数的限制条件． 解 (1)由题意有 x－10>0，} ∴x>10，即为所求．
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算》_1
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
授课题目
对数与对数运算（二）
拟课时
第课时
明确目标
1.知识与技能：理解对数的运算性质．
2.过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3.情感、态度与价值观
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log Mn= logaM及换底公式logaN= .利用换底公式可以证明：logab= ，
即logablogba=1.
例2:已知log189 =a，18b= 5，求log3645.
.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1.已知 ， ，求下列格式的值
则由１、 0=1２、 1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义， =？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （ ＞0，且 ≠1）
②∵ ＞0，且 ≠1对任意的力， 常记为 .
恒等式： =N
3.两类对数
①以10为底的对数称为常用对数， 常记为 .
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数， 常记为 .
让学生讨论、研究，教师引导
师组织，生交流探讨得出如下结论:
底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
学生思考，口答，教师板演、点评．
学生先做，老师再评讲
板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
高中数学：3.2.1对数及其运算(一) _1
3.2.1对数及其运算(一)
制作人：张颖 校对人：潘嵩 使用时间：2017年 10月 领导签字：
一．自主学习：
1、对数的概念：
一般地，对于指数____________________，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作：_________， 即____________________，其中，数_____叫做对数的底数，______叫做真数，读作______________
2、对数的性质
（1） 零和负数没有对数，即
中N 必须大于零；
（2） 1的对数为0，即01log =
（3） 底数的对数为1，即1log =a a
3、对数恒等式：______________________.
4、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：__________________.
三．典例分析
例1.（1）lg10,lg100,lg 0.01求
(2)将下列指数式写成对数式 62554=
64
126=- 373=a
73.5)3
1(=m
(3)将下列对数式写成指数式
416log 2
1-=
7128log 2=
a =27log 3
201.0lg -=
22222164212.(1)log 32log 2
2log 43,2
2,log 3,m n a a x x m n a +===例求，2,log 1,log 16,log 的值 （）的值为__________.
(3)log 则的值为_________. (4)已知log 则的值为__________.
例3化简
:
31log log 53+
四．快乐体验
课本97页练习A 练习B
五．今天我学到了什么？。
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§3.2 对数与对数函数
3．2.1 对数及其运算(一)
一、基础过关
1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是 ( C ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 2．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是 ( C ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5 C ．2<a<3或3<a<5 D ．3<a<4
3．方程2log 3x ＝1
4
的解是 ( A )
A ．x ＝19
B ．x ＝3
3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9
4．若log a 5
b ＝
c ，则下列关系式中正确的是 ( A ) A ．b ＝a 5c B ．b 5＝a c
＝5a c
D ．b ＝c 5a
5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －
12＝4
6．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝___3_____.
7．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－1
3
.
(2)已知6a
＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26.
解:(1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝2－25＝5
82.②因为log x 3＝－13，所以x －13＝3，所以x ＝3－
3＝127
.
(2)①log 68＝a.②由6a ＝8得6a ＝23，即6a 3＝2，所以log 62＝a 3.③由6a 3＝2得23a ＝6，所以log 26＝3
a
.
8．求下列各式中x 的取值范围．(1)log (x －1)(x ＋2)；(2)log (x ＋3)(x ＋3)． 解:(1)由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2>0，x －1>0，
x －1≠1.
解得x>1且x≠2，故x 的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．
(2)由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3>0
x ＋3≠1，解得x>－3且x≠－2.故x 的取值范围是(－3，－2)∪(－2，＋∞)．
二、能力提升
9．(12
)－1＋log 0.54的值为 ( C )
A ．6 B.72 C ．8 D.3
7
10．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n
的值是 ( C )
A ．15
B ．75
C ．45
D ．225
11．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a ＝____1
10
____.
12．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；(2)22＋log 23＋32－log 39.
解:(1)10lg 3
－10log 41＋2log 26＝3－0＋6＝9.(2)22＋log 23＋32－log 39＝22
×2log 23＋323log 39＝4×3＋99
＝12＋1＝13.
三、探究与拓展
13．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1
b
.
证明：令log a b ＝log b a ＝t ，则a t ＝b ，b t ＝a ，∴(a t )t ＝a ，则at 2＝a ，∴t 2＝1，t ＝±1.
当t ＝1时，a ＝b ，当t ＝－1时，a ＝1b ，∴a ＝b 或a ＝1
b
.。