大学物理[下册]波动习题课

15-4已知一波动方程为 y 0.05sin 10t 2xm.
(1)求波长,频率,波速,周期; (2)说明x=0时方程的
意义,并作图表示.
解:已知波动方程改为 y 0.05cos10(t x / 5) / 2m
与一般表达式 y Acos(t x / u) 0
y(t)

A cos[(t

75 ) 100

0 ]
yp 0.30cos2t / 2m
得: A 0.30m 2s1
y(x,t) 0.30 cos[2(t x ) ]m 0
100
15-8图示为平面间谐波在t=0时的波形图,设此简谐波的频率为 250Hz,且此时图中点P的运动方向向上.求(1)该波的波动方程;(2)在 距原点7.5m处质点的运动方程与t=0时该点的振动速度.
0
1.0
2.0 x / m
确定坐标原点的振动初相0 根据t=2s原点处质点处于平衡 位置且向上运动
t 0.5 2
0 / 2
原点的运动方程
t=0


t
o
y
y 0.5cos[0.5t 0.5]m
t=2
解法2 波形平移法
x ut 0.5 2 1.0m
半波损失：
入射波在界面处反射时位相发生突变的现象。
5.多普勒效应 ' u v0
u vs
习题 15-2 一横波在沿绳子传播时的波动方程为
y 0.20cos2.50t xm.(1)求波的振幅,波速,频率,波长
(2)求绳上的质点振动时的最大速度; (3)分别画出t=1s和 t=2s时的波形,并指出波峰和波谷,画出x=1.0m处质点的振 动曲线并讨论其与波形图的不同.
15-11波的干涉的产生条件是什么?若两波源所发出的波的 振动方向相同,频率不同,则它们在空间叠加时,加强和减弱 是否稳定?
两波的相干条件：
(2 )
两波源具有：1）相同的频率
2）相同的振动方向
3）恒定的相位差
(1 )
补充条件：强度相差不太大
频率不同,就不会有恒定的相 位差,加强和减弱不会稳定.
y/m 0.2
0
波形如图
0.2
x=1.0m处质点的运动方程
y 0.20cos(2.5t)m
y/m 0.2
振动图形如图
0
0.2
t 1s t 2s
1.0 2.0 x / m
2.0 0.6
t/s
波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况,振 动图表示某确定位置的一个质点,其位移随时间变化的 情况.
I 1 uA22 22uA22 1.58105W m2 2
(2)1min内垂直通过4.010-4m2的总能量
W P t IS t 3.79103 J
15-15如图所示,两振动方向相同的平面简谐波波源分别位
于A,B点,设它们相位相同,且频率=30Hz,波速u=0.50m.s-1.
管长度差,r=r2-r1至少应为多少?(设声速为340m.s-1)
解 由相消条件
r2
2k 1, k 0,1
两列波的相位差
A
B
2r /
r1
声波从点A分开到点B相遇,两 列波的波程差
r r2 r1 r (2k 1) / 2
令k=0得r至少应为
求点P处两列波的相位差.
P
解
BP AP2 AB2 2AP ABcos300
2.94m
点P处两列波的波程差
(2 )
r AP BP
300
A 0.07m B
相位差 2 r /
(1 )
2r / u 7.2
15-16如图所示,两相干波源分别在P,Q两点,它们发出频率 为,波长为,初相相同的两列相干波,设PQ=3/2,R为PQ连 线上的一点.求（1）自P,Q发出的两列波在R处的相位差； （2）两波在R处干涉时的合振幅.
比较,得
10s1,u 15.7m s1,
/ 2 5.0HZ T 1/ 0.2s uT 3.14m
x=0时方程 y 0.05cos(10t / 2)m
表示位于坐标原点的质点的运动方程. y/m
0.05
0 0.1
0.2 t / s
y/m
0.5
t=2s
0
1.0
x
u
t=0
2.0 x / m
根据t=0原点处质点处于平衡 位置且向下运动
0 / 2
t=0


o
y
15-14有一波在介质中传播,其波速u=1.0103m.s-1,振幅 A= 1.010-4m,频率= 1.0103Hz,若介质的密度为= 8.0102kg.m-3,求:(1)该波的能流密度;(2)1min内垂直通 过4.010-4m2的总能量. 解 (1)能流密度I的表达式得
它们的初相分别为10=-15.5和20=-5.5 (2)距波源16.0m和17.0m的两点间的相位差
1 2 2x2 x1/
15-7有一平面简谐波在介质中传播,波速u=100m.s-1,波 线上右侧距波源o(坐标原点)为75.0m处的一点P的运动
方程为 yp 0.30cos2t / 2m 求
2 / T 100s1, uT 2m
t=0时,波源处的质点经平衡位置向正 方向运动,质点的初相为 0=-/2
设波源为坐标原点 y Acos100(t x /100) / 2m
距波源15.0m和5.0m处质点的运动方程为
yy12AAccooss110000tt155..55mm
位相差： 加强条件：

2
1

2
(r2

r)
2k , k 1,2,...
A A1 A2
减弱条件： (2k 1) , k 1,2,... A A1 A2
驻波：
两列振幅相同、相向传播的相干波叠加形成驻波。
波腹与波节相间，相邻两波节（或波腹）间距为 2
解 R处两列波的相位差
2r / 3
P 3/2 Q
R
合振幅 A A12 A22 2A1A2 cos 3 A1 A2
15-18图是干涉型消声器结构的原理图,利用这一结构可
以消除噪声,当发动机排气噪声声波经管道到达点A时,分
成两路而在点B相遇,声波因干涉而相消,求图中弯道与直

将沿oy轴的负方向运动. 0 / 3
y
(
x,
t)
Acos[(t x ) u
0.1cos[500(t
0 ] x / 5000)


/
3]m
o
A/2 y
(2)在距原点7.5m处质点的运动方程.
y 0.1cos[500t 13 /12]m
t=0时该点的振动速度
15-9波动的能量与那些物理量有关?比较波动的能量与 简谐运动的能量.
从波的能量密度公式可知 w A22 sin 2 t x / u
波动的能量不但与体积有关,且与,A,,u.
波动的能量与简谐运动的能量有显著的不同,在简谐 运动系统中,动能和势能有/2的相位差,系统的机械 能是守恒的.在波动中,动能和势能的变化是同相位 的,对任何体积元来说,系统的机械能是不守恒的.
得: A 0.30m
yp 0.30cos2t / 2m
2s1
y(x,t) 0.30 cos[2(t x )]m 0 2
100
(2)波向x轴负方向传播时的波动方程;
把x=75.0m代入向x轴负方向传播时波动方程的
一般形式与P点的振动方程进行比较
15-14在驻波的同一半波中,其各质点振动的振幅是否相同? 振动的频率是否相同?相位是否相同?
v dy / dt 0.5sin2.5t x / 2.5SI
vmax 1.57m s1
已知波动方程为 y 0.20cos2.50t xm
(3)t=1s和t=2s时的波形方程分别为
y1 0.20cos2.50 xm y2 0.20cos5 xm
15-5 波源作简谐运动,周期为0.02s,若该振动以100m.s-1的速度沿直 线传播,设t=0时,波源处的质点经平衡位置向正方向运动,求:(1)距波 源15.0m和5.0m处质点的运动方程和初相;(2)距波源分别为16.0m和 17.0m的两质点间的相位差.
解: (1)由题意知:T=0.02s,u=100m.s-1,可得
v (dy / dt)t0 50sin(13 /12) 40.6m s1
15-9 平面简谐波以波速u=0.50m.s-1沿x轴负向传播,t=2s
时刻的波形如图所示,求原点的运动方程.
解 由图得: A 0.5m 2.0m
y/m
u
0.5
t=2s
2u / 0.5(s1)
A 2
A
2
1

A2

2
A 1
Acos

0.10
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由于A 、A1 、A2 的量值恰好满足勾股定理，
故A1 、A2垂直，即： / 2
1.平面简谐波波动方程：
y

A cos (t

x u
)



y

A cos 2
(t T

x

)



2.描写波动的物理量及其关系
r / 2 u / 2 0.57m
问题 15-4机械波的波长,频率,周期和波速四个量中,(1)在同 一介质中,那些量是不变的?(2)当波从一种介质进入另 一种介质时,那些量是不变的?
同一介质中波速不变
设在一种介质中,波长,频率,周期和波速分别为,,T,u. 进入另一种介质时, 频率不变,周期不变T
周期：T 由波源决定
波速：u 由介质决定
波长： uT
3. 波的能量 能量密度： w
W V
A22 cos(t
x u
)


平均能量密度： w W 1 A22
能流密度：
I

wu
V1
2 A22u
2
4. 波的干涉与驻波
相干条件：同方向，同频率，位相差恒定。
(1)波向x轴正方向传播时的波动方程; (2)波向x轴负方向传播时的波动方程;
解
y( x, t )

A cos[(t

x) u

0 ]
波函数就是普适性的振动方程.
把x=75.0m代入向x轴正方向传播时波动方程的
一般形式与P点的振动方程进行比较
y(t)

A cos[(t

75 ) 100

0 ]
y/m
u
解 由图得: A 0.10m 20.0m 0.10 P
u 5.0103 m s1
0.05
2 500(s1)
确定坐标原点的振动初相0
0
0.10
10m x / m
根据t=0点P的运动方向向上 可知波沿Ox轴负向传播.
t=0时位于原点处的质点
解: (1)已知波动方程为 y 0.20cos2.50t xm
与一般表达式 y Acos(t x / u) 0
比较,得 A 0.20m,u 2.5m s1, 0 0 / 2 1.25HZ u / 2.0m
(2)绳上的质点振动速度
波速变为u1,波长变为1= u1T.
15-7时判断下面几种说法,哪些是正确的,那些错的? (1)机械振动一定能产生机械波; 错 机械振动在弹性介质中传播形成的波,叫机械波 (2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的; 错
(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的; 对
(4)波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上的. 错
波动 习题课
14-27 有两个同方向、同频率的简谐运动，其合振动的振
幅为0.20 m，合振动的相位与 第一个振动的相位差为/6，
若第一个振动的振幅为 0.173m．求第二个振动的振幅及
两振动的 相位差.
A2
A
解：采用旋转矢量合成图求解。

如图：取第一个振动的旋转矢量 A1沿ox轴，即令其初相为零。则合振动的 A1 x 旋转矢量A与A1之间的夹角 = /6 。由矢量合成 可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为