泛函分析习题标准答案.doc

9、试问在 C[a,b] 上的 B(x0;1) 是什么？ C[a,b]上图像以 x0 为中心铅直高为 2 的开带中的连续函数的集
合。
10、试考虑C[0,2 ] 并确定使得 y B(x, r) 的最小 r ，其中 x sin t, y cost 。
(x, y) sup sin t cos t sup 2 sin(t ) 2
i1
i 1
证： n
xi 2
n
n
n
xi 2 12 n
xi 2
i1
i 1
i 1
i 1
8.试证明下列各式都在度量空间 R1, 1 和 R1, R2 的 Descartes 积
R R1 R2 上定义了度量
(1)
1
2 ; (2)~
( 12
源自文库
2 2
)1
/
2
;
(3)
~~
max 1,
2
证：仅证三角不等式。（1）略。
即 yx zx yz
1 y x 1 z x 1 y z
4.试证明在 C 1 a, b上，
( x,
y)
b
a
x(t)
y(t)
dt
(2.3.12)
定义了度量。
证：（1） (x, y) 0 x(t) y(t) 0 （因为 x,y 是连续函数）
(x, y) 0 及 (x, y) ( y, x) 显然成立。
有 xn, xn0 1,因此，对于一切 n ，有
xn , xn0 max 1, x1, xn0 ,..., xn01, xn0
19.若xn 和yn 都是度量空间 x 中的 Cauchy 列，试证明： n xn, yn 是收敛的。
证：根据三角不等式，有 n xn , yn xn , xm xm , ym ym , yn xn , xm m ym , yn
第二章 度量空间
作业题答案提示
1、 试问在 R 上， x, y x y2 能定义度量吗？
答：不能，因为三角不等式不成立。如取
则有 x, y 4 ,而 x, z 1， z, x 1
2、
试证明：（1）
x,
y
x
y
1 2
;(2)
x,
y
x y
在 R 上都定
1 x y
义了度量。
证：（1）仅证明三角不等式。注意到
以 xM ，因此 M 是紧的。
第三章 线性空间和赋范线性空间
10.试证明下列都是 Rn 上的范数
（1）
x 1
n
xi ；
i 1
1
(2)
x 2
n i1
2 2 xi
; (3)
x
max i
xi
;
x
n i 1
xi
1
2
2 是范数吗？
（1）、（2）和（3）的证明略
x
n
i 1
xi
1 2
z1 )
12 (z1,
y1) 2
22 (x2 ,
z2 )
2 2
(
z2
,
y2 ) 2
(x, z) (z, y)
n i 1
i
i
2
1
2
n i 1
i2
1
2
n
i2
i 1
1
2
（3） (x, y) max{1 (x1, y1), 2 (x2, y2)}
max{1 (x1, z1) 1 (z1, y1), 2 (x2 , z2 ) 2 (x2 , z2 )} max[1 (x1, z1) 1 (z1, y1)] max[2 (x2 , z2 ) 2 (x2 , z2 )] (x, z) (z, y)
2
不是范数，不满足三角不等式。
b
(2) (x, y) a x(t) y(t) dt
b a x(t) z(t) dt z(t) y(t) dt
b
b
a x(t) z(t) dt a z(t) y(t) dt
(x, z) (z, y)
5.试由 Cauchy-Schwarz 不等式证明
n xi 2 n n xi 2
13．（1）若度量空间 R 中的序列{xn}是收敛的，并且有极限 x ，试 证明{xn}的每个子序列{xnk }都是收敛的，并且有同一极限。
（2）若{xn}是 Cauchy 序列，并且存在收敛的子序列{xnk }， xnk x ，试证明{xn}也是收敛的，并且有同一极限。
（1） 略
（2） ， N ，当 m, nk N 时，有
x
y
xz
z
y
xz
1 2
z
y
1 2
2
故有
x
y
1 2
xz
1 2
z
y
1 2
（2）仅证明三角不等式 易证函数 x x 在 R 上是单调增加的，
1 x
所 以 有 aba b , 从 而 有
ab
ab
a
b
1 a b 1 a b 1 a 1 b
令 x, y, z R ,令 a z x,b y z
故， n m xn, xm ym, yn 同样有： m n xn, xm ym, yn
即： n m xn, xm ym, yn 0 而 R 是完备的，则n 是收敛的。
34.若 X 是紧度量空间，并且 M X 是闭的，试证明 M 也是紧的。
证明：因为 X 是紧的，故 M 中任一序列xn 有一个在 X n 中收敛的 子序列xnk。不妨设xnk x X ，则有 x M 。又因 M 是闭的，所
t[0,2 ]
t[0,2 ]
4
11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。
设 A 是离散度量空间 X 的任一子集。 a A ，开球 B(a, 1) {a} A ，故 A 事开集。
2
同样道理，知 AC 是开的，故 A (AC )C 又是闭集。
12．设 x0 是 M R 的聚点，试证明 x0 的任何邻域都含有 M 的无限 多个点。 证：略。
(2) 设 x (x1, x2 ) ， y ( y1, y2 ) R1 R2 ，则
1
(x, y) [12 (x1, y1) 22 (x2, y2 )]2
1
12 (x1, z1) 12 (z1, y1)2 22 (x2, z2 ) 22 (z2, y2 )2 2
1
1
12 (x1,
(xm , xnkl )
2
， (xnkl , x)
2
（{xn} 是
Cauchy
序列且 xnk
x）
因此，当 m N 时，
( xm ,
x)
( xm ,
xnkl
)
( xnkl
,
x)
2
2
18.试证明：Cauchy 序列是有界的.
证明：若xn 是 Cauchy 序列，则存在 ,使得对于一切 n n0 ,